Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Верхний центральный показатель некоторой линейной системы

Курсовая работа

Исполнитель:

Студентка группы М-42

Лукьянович А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Зверева Т.Е.

Гомель 2006

Содержание

Введение

1. Верхнее центральное число семейства функций

2. Верхний центральный показатель линейной системы

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Цель данной курсовой работы - найти верхний центральный показатель системы

где k=0, 1, 2,….

Из определения верхнего центрального показателя диагональной системы следует, что верхний центральный показатель рассматриваемой системы совпадает с верхним центральным числом конечного семейства

, где

Таким образом, главная задача курсовой работы - найти верхнее центральное число соответствующего конечного семейства

.

1. Верхнее центральное число семейства функций

Рассмотрим какое-либо семейство кусочно-непрерывных и равномерно ограниченных функций:

, ,

зависящее от параметра x непрерывно в том смысле, что из следует

равномерно по крайней мере на каждом конечном отрезке [0,t]. Параметр x может пробегать некоторое компактное (в частности, конечное) множество.

Определение 1 [1, с.103]: ограниченная измеримая функция R (t) называется верхней функцией для семейства P, если все функции этого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функцию R (t):

,

т.е. если

,

где - константа, общая для всех и , но, вообще говоря, зависящая от выбора R и >0.

Определение 2 [1, с.103]: совокупность всех верхних функций называется верхним классом семейства P (обозначим через N=N (P)).

Определение 3 [1, с.534]: число

называется верхним средним значением функции p (t).

Определение 4 [1, с.103]: число

где - верхнее среднее значение функции R (t), называется верхним центральным числом семейства P. Оно будет обозначаться также .

Докажем следующее утверждение: если семейство состоит из двух функций и при этом , то верхний класс семейства P можно считать состоящим из одной функции , и .

Неравенство означает, что

и для любого существует такая константа , что

Или

(1)

Аналогичное неравенство для функции очевидно

.

Согласно определения 1 является верхней функцией для семейства

.

Докажем равенство

.

Если существует такая верхняя функция , что для всех , то эта функция одна образует верхний класс и [1, с.104].

Найдем такую верхнюю функцию , что .

Рассмотрим интегралы

Разделим последнее неравенство на (t-s), получим

Устремив и вычислив верхний предел при , получим

или

Итак, имеем

Значит, .

Так как - верхняя функция, то .

2. Верхний центральный показатель линейной системы

Пусть дана система

(2)

и - ее решение.

Рассмотрим семейство функций

,,

Определение 5 [1, с.116]: Функция R (t) называется верхней для системы (2), если она ограничена, измерима и осуществляет оценку

,

Где

- норма матрицы Коши линейной системы.

Совокупность всех верхних функций называется верхним классом системы (2), а число

верхним центральным показателем линейной системы.

Диагональная система

имеет матрицу Коши

с нормой

.

Поэтому верхний центральный показатель диагональной системы совпадает с верхним центральным числом конечного семейства P={} [1, с.118].

Найдем верхний центральный показатель следующей системы

(3)

где k=0, 1, 2,….

Верхний центральный показатель системы (3) совпадает с верхним центральным числом конечного семейства

, где

Найдем верхнее центральное число семейства

.

Согласно утверждения, доказанного в пункте1: если семейство состоит из двух функций и при этом , то

.

Проверим, осуществляется ли оценка . (4)

Подставляя в (1), получим

Или

Оценка (4) осуществляется, следовательно, .

Вычислим верхнее среднее значение функции .

По определению 3 имеем

.

Вычисляя интеграл

,

Получим

Так как , то

Таким образом, верхнее центральное число семейства

,

где , равно 0, следовательно, верхний центральный показатель системы (3) также равен 0.

Заключение

Таким образом, мы выяснили, что если семейство состоит из двух функций и при этом , то ; верхний центральный показатель рассмотренной системы совпадает с верхним центральным числом конечного семействаи равен 0.

Список использованной литературы

1. Б.Ф. Былов и др. "Теория показателей Ляпунова" - М.: Наука, 1966 г., 564 с.