Реферат: Алгоритм фильтрации, пример на основе БПФ
РЕФЕРАТ
по дисциплине «Анализ временных рядов»
на тему:
«Алгоритм фильтрации, пример на основе БПФ»
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Основы алгоритмов БПФ
2. Алгоритм БПФ с прореживанием по времени
3. Программа и пример реализации алгоритма БПФ с прореживанием по времени
4. Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте
5. Применение метода БПФ для вычисления обратного ДПФ (ОДПФ)
6. Применение БПФ для вычисления реакции ЦФ
7. Другие быстрые алгоритмы вычисления дискретного преобразования Фурье
7.1 Обобщенный алгоритм Кули-тьюки с произвольным основанием с множителями поворота
7.2 Алгоритм простых множителей
7.3 Алгоритм винограда
8. Анализ точности реализации алгоритмов БПФ
Заключение
Список использованных источников
ВВЕДЕНИЕ
В основе преобразования Фурье (ПФ) лежит чрезвычайно простая, но исключительно плодотворная идея – почти любую периодическую функцию можно представить суммой отдельных гармонических составляющих (синусоид и косинусоид с различными амплитудами A, периодами Т и, следовательно, частотами ω).
Неоспоримым достоинством ПФ является его гибкость – преобразование может использоваться как для непрерывных функций времени, так и для дискретных.
ПФ часто применяется при решении задач, возникающих в теории автоматического регулирования и управления, в теории фильтрации и т.д. Разберем один из примеров. Имеется некий линейный фильтр – изготовленный то ли в виде набора спаянных между собой резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности, то ли в виде модульной конструкции интегральных микросхем. Известен также входной сигнал (на рис. 1 в качестве входного сигнала изображена дельта-функция, то есть импульс исчезающе короткой длительности и бесконечно большой амплитуды). Необходимо определить, какой сигнал появится на выходе нашего фильтра.
Рисунок 1 - Исследование линейного фильтра
Ход решения этой задачи зависит от того, какую позицию мы предпочтем. Выберем временной путь решения (верхняя половина рис. 2) – придется входной сигнал записать как функцию времени SBX(t) и использовать импульсную характеристику фильтра h(t), то есть математическую запись его работы во времени. Отправимся по частотному пути (нижняя половина рис. 2) – нужно будет оперировать уже не с самим входным сигналом, а с его спектром gbx(ω). Δа и алгоритм работы нашего фильтра потребуется представить в частотной области – в виде частотной характеристики K(ω). Δля этого воспользуемся помощью «магического стекла» ПФ.
Рисунок 2 - Быстрое преобразование Фурье
Итак, два пути – какой из них избрать? По-видимому, тот, который проще. Во всяком случае, в большинстве практических задач предпочтение отдается частотному направлению.
Если выполнять ДПФ входной последовательности, впрямую – строго по исходной формуле, то потребуется много времени (особенно если количество входных отсчетов велико). Конструктивнее использовать принцип «разделяй и властвуй», лежащий в основе алгоритма БПФ. Согласно ему входная последовательность делится на группы (например, четные и нечетные отсчеты), и для каждой из них выполняется ДПФ, а затем полученные результаты объединяются. В итоге получается ДПФ входной последовательности – и существенная экономия времени. Поэтому описанный алгоритм так и назвали – быстрое преобразование Фурье.
В данном реферате рассмотрим более подробно быстрое преобразование Фурье.
1. ОСНОВЫ АЛГОРИТМОВ БПФ
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) X(k) конечной последователъности х(пТ), п=О, 1,..., N-1 определяется согласно (1.1), (1.2):
(1.1)
(1.2)