С.н.с. Алехин В. И.

Кафедра автоматизированной обработки информации.

Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет)

Метод решения дифференциальных уравнений, разработанный В. И. Алехиным (метод АВИ), применяется для определения переноса вредных веществ в гетерогенных средах.

В работах [1 – 3] была отмечена специфика метода АВИ при решении задач по определению переноса вредных веществ под действием импульсных источников в гомогенных средах.

При непосредственном применении метода АВИ для изучения вопроса распространения вредных веществ в гетерогенных средах возникают трудности, связанные с наличием двухпараметрического асимптотического решения исходного уравнения при

Для преодоления этой проблемы в настоящей работе вводятся разные масштабы  и . Здесь  характерный масштаб изменения времени импульсного выброса, характерный масштаб (параметр) изменения неоднородностей гетерогенной среды, в которой распространяются вредные вещества после импульсного выброса.

Проиллюстрируем применение метода АВИ на следующем примере.

Пусть имеем уравнение, которое описывает диффузию вредных веществ, вызванную периодическим импульсным источником (действующим в моменты времени :

 , (1)

здесь периодические (период равен – 1), ограниченные , гладкие функции по  где

Учитывая, что при  имеет место импульсный выброс вредных веществ, определяем поведение их концентрации при  Для этого применим метод АВИ, согласно которому будем иметь асимптотическое решение уравнения (1) в следующем виде:

 , (2)

где   и т.д. – гладкие, ограниченные функции по Подставим (2) в уравнение (1) и приравняем нулю коэффициенты при .

В результате получим следующую систему рекуррентных, дифференциальных уравнений, из которой определяются коэффициенты асимптотического разложения (2):  

 …….и.т.д. (3)

Здесь  ; ;

;  ….. и т. д. (4)

Рассмотрим первое уравнение системы (3), (4)

. (5)

Будем искать в следующем виде , тогда

.

Проинтегрируем последнее уравнение по  , в результате найдем

, (6)

 , .

Будем искать решение уравнения (6) в следующем виде:

 .  (7)

Подставим (7) в уравнение (6) и получим характеристическое уравнение (8) для :

. (8)

Из (9) получим корни характеристического уравнения

  . (9)

Следовательно, общее решение уравнения (6) можно записать в следующем виде:

 ; (10)

 . (11)

Таким образом, концентрация вредных веществ с точностью до будет.

 . (12)

Так как  не зависит от , отсюда вытекает, что

, (13)

где  некоторая постоянная величина (в частности ).

Рассмотрим уравнение (13) при ; тогда

.

Решая уравнение Гамильтона–Якоби (13), найдем функцию :

 , (14)

, (15)

где  . Из данных соотношений определяется .

Если , тогда уравнение (1) редуцируется к уравнению с постоянными коэффициентами:

 . (16)

Решение однородного уравнения (16) будем искать методом разделения переменных. Пусть  тогда из (16) получим

. (17)

Из (17) следует

 

 (18)

где  собственное значение.

Из (18) следует: , . Раскрывая производные, получаем:

. (19)

С точностью до  из (19) получим

. (20)

Положим , тогда, подставляя это выражение в (20), получаем:

.  (21)

Пусть , подставим данное выражение в правую часть уравнений (21). Приравнивая нулю коэффициенты при , в результате получаем систему рекуррентных уравнений:

  (22)

из которой можно определить

), (23)

где  некоторые постоянные. Из второго уравнения системы (21)

получим .

Таким образом,

 (24)

определяет изменение концентрации вредных веществ при . Далее, при  происходит второй выброс вредных веществ, и процесс нахождения повторяется.

Дополнение

Для теоретического описания гетерогенных сред и возможности применения аппарата дифференциальных уравнений необходимо введение понятия абстрактной гетерогенной среды.

Как известно, гомогенная среда характеризуется однородностью физических процессов, протекающих в ней.

С другой стороны, для гетерогенных сред характерно многообразие данных процессов, находящихся в единстве.

Так, при изучении процессов распространения вредных веществ в городских и горных условиях мы будем вводить понятие гетерогенной среды, применимое и в более общих случаях.

Гетерогенные среды (как городская, так и горная) образуют некоторые «ячейки» неодинаковых размеров. Для того чтобы отвлечься от данных моментов, будем рассматривать абстрактную гетерогенную среду, ячейки которой являются усредненными для реальной гетерогенной среды.

Например, рассмотрим городскую среду. Как известно, в ней основной формой ячеек будут разнообразные прямоугольники. Обозначим размеры i-го прямоугольника через Пусть в городе имеются N подобных ячеек (кварталов), тогда размеры абстрактной (усредненной) ячейки можно представить следующим образом:

 ,  .

Таким образом, абстрактная городская среда будет состоять изусредненных прямоугольников со сторонами

Далее введем понятие характерного размера ячейки, как . Естественно, абстрактные ячейки могут быть самой разнообразной формы (треугольники, окружности и т.п.), что характеризует специфические особенности данной гетерогенной среды.

Если мы имеем источник вредных веществ, то эти вещества, испытав перенос, будут осаждаться на ячейки гетерогенной структуры (среды).

Посчитав массу mi вредных веществ, которая была осаждена на i-ую ячейку, нетрудно найти общую массу вредных веществ, осевших на всю среду

.

Естественно,  будет зависеть от физико-химических процессов, которые будут происходить на поверхностях ячеек. Например, в случае выброса сернистого газа на поверхности ячеек может происходить химическая реакция под действием серной кислоты. В процессе данной реакции на поверхности ячеек образуется турбулентный, диффузионный, пограничный слой.

Список литературы

1. Алехин В. И. Построение асимптотических решений нелинейных уравнений с негладкими коэффициентами. Библиографический указатель ВИНИТИ, 1985, №5.

2. Алборов И. Д., Алехин В. И. Новые подходы решения задач математической экологии // Вестник Международной академии наук экологии и безопасности жизнедеятельности. Т. 7, 9(57), 2002.

3. Астахова Л. Г., Алехин В. И. Об одном методе в теории нелинейных уравнений // Владикавказский научный центр РАН. Труды молодых ученых. №3. 2002.