Рефетека.ру / Математика

Курсовая работа: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Выпускная квалификационная работа

Выполнила студентка V курса математического факультета Овчинникова Елена Александровна

Вятский государственный гуманитарный университет

Киров  2005

Введение

Раздел математической логики – теория нестандартных моделей математического анализа относительно молод и недостаточно освещён в математической литературе. Поэтому мне интересно было осветить его элементы в своей квалификационной работе.

Целью работы является освещение теории стандартных операторов, исследование резольвенты и спектра оператора с помощью стандартных методов математического анализа, а затем, после введения основных понятий и предложений нестандартного анализа, с помощью нестандартных методов.

В ходе работы были описаны резольвентное и спектральное множества операторов, а так же приведены их примеры на стандартных и нестандартных операторах.

История нестандартного анализа

Возраст нестандартного анализа колеблется от четырёх десятков до трех сотен лет. Четыре десятка получается, если считать, что нестандартный анализ зародился осенью 1960 года, когда его основатель, Абрахам Робинсон, сделал на одном из семинаров Принстонского университета доклад о возможности применения методов математической логики к обоснованию математического анализа. Триста лет получается, если считать началом нестандартного анализа появление символов бесконечно малых dx и dy в трактате Лейбница.

Как и всякое другое научное направление, нестандартный анализ возник не на пустом месте. Основные его источники: во-первых, это идущая от классиков математического анализа традиция употребления бесконечно больших и бесконечно малых – традиция, сохранившаяся до нашего времени. Второй, менее очевидный источник – нестандартные модели аксиоматических систем, появившиеся в математической логике.

К 1960 году методы построения нестандартных моделей были давно разработаны и хорошо известны специалистам по теории моделей, одним из основателей которой был А. Робинсон. Оставалось лишь соединить их с идеями о применении бесконечно малых величин в анализе, чтобы положить начало развитию нестандартного анализа. В 1961 г. появилась статья А. Робинсона “Нестандартный анализ” в Трудах Нидерландской академии наук. В статье были намечены как основные положения нестандартного анализа, так и некоторые его приложения. В течение последующих восьми лет вышли в свет три монографии, излагающие нестандартную теорию: в 1962 г. - книга В.А. Дж. Люксембурга “Нестандартный анализ. Лекции о робинсоновой теории бесконечно малых и бесконечно больших чисел”, в 1966 г. - книга самого А. Робинсона “Нестандартный анализ” и в 1969 г. - книга М. Маховера и Дж. Хиршфелда “Лекции о нестандартном анализе”.

Наибольший резонанс вызвала книга Робинсона. В девяти первых главах этой монографии содержалось как построение необходимого логико-математического аппарата, так и многочисленные приложения – к дифференциальному и интегральному исчислению, к общей топологии, к теории функций комплексного переменного, к теории групп Ли, к гидродинамике и теории упругости.

В 1966 г. появилась статья А.Р. Бернстейна и А. Робинсона, в которой впервые методами нестандартного анализа было получено решение проблемы инвариантных пространств для полиномиально компактных операторов. В очерке П.Р. Халмоша “взгляд в гильбертово пространство” в качестве проблемы фигурирует поставленная К.Т. Смитом задача о существовании инвариантного подпространства для таких операторов Т в гильбертовом пространстве Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, для которых оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора компактен. А.Р. Бернстейном и А. Робинсоном методами нестандартного анализа было доказано, что любой полиномиально-компактный оператор в гильбертовом пространстве имеет нетривиальное инвариантное замкнутое подпространство.

Приложения нестандартного анализа внутри математики охватывают обширную область от топологии до теории дифференциальных уравнений, теории мер и вероятностей. Что касается внематематических приложений, то среди них мы встречаем даже приложения к математической экономике. Многообещающим выглядит использование нестандартного гильбертова пространства для построения квантовой механики. А в статистической механике становится возможным рассматривать системы из бесконечного числа частиц. Помимо применений к различным областям математики, исследования в области нестандартного анализа включают в себя и исследование самих нестандартных структур.

В 1976 г. вышли сразу три книги по нестандартному анализу: “Элементарный анализ” и “Основания исчисления бесконечно малых” Г. Дж. Кейслера и “Введение в теорию бесконечно малых” К. Д. Стройана и В. А. Дж. Люксембурга.

Быть может, наибольшую пользу нестандартые методы могут принести в области прикладной математики. В 1981 г. вышла книга Р. Лутца и М. Гозе “Нестандартный анализ: практическое руководство с приложениями”. В этой книге после изложения основных принципов нестандартного анализа рассматриваются вопросы теории возмущений.

В настоящее время нестандартный анализ завоёвывает всё большее признание. Состоялся ряд международных симпозиумов, специально посвященных нестандартному анализу и его приложениям. В течение последнего десятилетия нестандартный анализ (точнее, элементарный математический анализ, но основанный на нестандартном подходе) преподавался в ряде высших учебных заведений США.

Линейные операторы

Определение и примеры линейных операторов

Пусть Е и Е1 – два линейных топологических пространства. Линейным оператором, действующим из Е в Е1, называется отображение

y=Ax (xСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораE, yСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораE1),

удовлетворяющее условию

А(Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора)=Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Совокупность DA всех тех хСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораЕ, для которых отображение А определено, называется областью определения оператора А; вообще говоря, не предполагается, что DA=E, однако мы всегда будем считать, что DA есть линейное многообразие, т.е. если x,yСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораDА, то и Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораDA при всех Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Оператор называется непрерывным, если он любую сходящуюся последовательность переводит в сходящуюся последовательность.

Пример 1: Пусть Е – линейное топологическое пространство. Положим

Iх=х для всех хСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораЕ

Такой оператор I, переводящий каждый элемент пространства в себя, называется единичным оператором.

Пример 2: Если Е и Е1 – произвольные линейные топологические пространства и

0х=0 для всех хСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораЕ

(здесь 0 – нулевой элемент пространства Е1), то 0 называется нулевым оператором.

Непрерывность оператора в первых двух примерах очевидна.

Пример 3: Общий вид линейного оператора, переводящего конечномерное пространство в конечномерное:

Пусть А – линейный оператор, отображающий n-мерное пространство Rn с базисом е1,е2,…,еn в m-мерное пространство Rm c базисом f1,f2,…,fm. Если х – произвольный вектор на Rn, то

х=Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

и, в силу линейности оператора А,

Ах=Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Таким образом, оператор А задан, если известно, во что он переводит базисные векторы е1,е2,…,еn. Рассмотрим разложение векторов Аеi по базису f1,f2,…,fm. Имеем

Аеi=Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Отсюда ясно, что оператор А определяется матрицей коэффициентов аi j. Образ пространства Rn в Rm представляет собой линейное подпространство, размерность которого равна, очевидно, рангу матрицы Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, т. е. во всяком случае, не превосходит n. Мы получили, что оператор в конечномерном пространстве задаётся матрицей коэффициентов разложения векторов Аеi по векторам базиса fi. Образ вектора х вычисляется, как произведение столбца координат этого вектора на матрицу коэффициентов. Отметим, что в конечномерном пространстве всякий линейный оператор автоматически непрерывен.

Пример 4: Пусть А – линейный оператор, отображающий пространство квадратных матриц размерности m на себя. Пространство квадратных матриц размерности m – конечномерное, следовательно, линейный оператор задаётся матрицей размерности m. Таким образом, получается пример, похожий на пример 3, только в роли конечномерного пространства векторов здесь выступает конечномерное пространство квадратных матриц.

Линейный оператор, действующий из Е в Е1, называется ограниченным, если он определён на всём Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное множество. Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно, справедливы следующие утверждения.

Всякий непрерывный оператор ограничен.

Если А – ограниченный оператор, действующий из Е в Е1, и в пространстве Е выполнена первая аксиома счётности (если каждая точка топологического пространства имеет счётную определяющую систему окрестностей, т.е. систему окрестностей точки, обладающую следующими свойствами: каково бы ни было открытое множество G, содержащее эту точку, найдётся окрестность из этой системы, целиком лежащая в G), то оператор А непрерывен.

То есть, в пространствах с первой аксиомой счётности ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.

Если Е и Е1 – нормированные пространства, то условие ограниченности оператора А, действующего из Е в Е1, можно сформулировать так: оператор а называется ограниченным, если он переводит всякий шар в ограниченное множество. В силу линейности оператора А это условие можно сформулировать так: А ограничен, если существует такая постоянная С, что для всякого Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Наименьшее из чисел С, удовлетворяющих этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Справедлива так же такая теорема:

Теорема: Для любого ограниченного оператора А, действующего из нормированного пространства в нормированное,

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора= Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Определение: Пусть А и В – два линейных оператора, действующих из линейного топологического пространства Е в пространство Е1. Назовём суммой А+В оператор С, ставящий в соответствие элементу хСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораЕ элемент

y=Ax+ByСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораE1.

С=А+В – линейный оператор, непрерывный, если А и В непрерывны. Область определения Dc есть пересечение DAСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораDB областей определения оператора А и оператора В.

Если Е и Е1 – нормированные пространства, а операторы А и В ограничены, то С тоже ограничен, причём

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Это следует из:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Определение: Пусть А и В – линейные операторы, причём А действует из пространства Е в Е1, а В действует из Е1 в Е2. Произведением ВА операторов А и В называется оператор, ставящий в соответствие элементу хСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораЕ элемент

z=B(Ax)

из Е2. Область определения DC оператора С=ВА состоит из тех хСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораDA, для которых AxСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораDB. Ясно, что оператор С линеен. Он непрерывен, если А и В непрерывны.

Если А и В – ограниченные операторы, действующие в нормированных пространствах, то и оператор С=ВА ограничен, причём

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Это следует из:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Обратный оператор. Обратимость

Пусть А – оператор, действующий из Е в Е1, и DA – область определения, а RA – область значений этого оператора.

Определение: Оператор А называется обратимым, если для любого Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора уравнение

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

имеет единственное решение.

Если А обратим, то каждому Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора можно поставить в соответствие единственный элемент Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, являющийся решением уравнения Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется оператором обратным к А и обозначается Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Рассмотрим оператор, переводящий конечномерное пространство в конечномерное. Выше было сказано, что он задаётся матрицей коэффициентов. Таким образом, оператор обратим, если обратима матрица коэффициентов, которой он задаётся. А матрица обратима лишь в том случае, если её определитель не равен нулю. То есть матрицы, которые имеют ненулевой определитель, задают обратимый оператор, переводящий конечномерное пространство в конечномерное.

Теорема: Оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, обратный к линейному оператору А, также линеен.

Теорема Баноха об обратном операторе: Пусть А – линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство Е на банахово пространство Е1. Тогда обратный оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора тоже ограничен.

Теорема: Пусть ограниченный линейный оператор А0, отображающий банахово пространство Е на банахово пространство Е1, обладает ограниченным обратным Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и пусть Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора – такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в Е1, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Тогда оператор А=Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора отображает Е на Е1 и обладает ограниченным обратным.

Теорема: Пусть Е – банахово пространство, I – тождественный оператор в Е, а А – такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что норма Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Тогда оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора существует, ограничен и представляется в виде

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Резольвента линейного оператора

Определение и примеры резольвенты оператора

Рассмотрим оператор А, действующий в (комплексном) линейном топологическом пространстве Е, и уравнение

Ах=Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Решения этого уравнения зависят от вида оператора Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Имеется три возможности:

уравнение Ах=Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора имеет ненулевое решение, т.е. Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора есть собственное значение для А; оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора при этом не существует;

существует ограниченный оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, т.е. Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора есть регулярная точка;

оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора существует, т.е. уравнение Ах=Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.

Введём следующую терминологию. Оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора называется резольвентой оператора А. Число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора мы назовём регулярным для оператора А, действующего в линейном топологическом пространстве Е, если оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора определён на всём Е и непрерывен, множество таких Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора будем называть резольвентным множеством и обозначать Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Совокупность всех остальных значений Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора называется спектром оператора А, будем обозначать Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как если Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра операторах=0 при некотором Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, т.е. совокупность тех Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, для которых Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

В конечномерном же случае имеется лишь две первые возможности. Причём, Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора называется собственным значением оператора, если данное уравнение имеет ненулевое решение. Совокупность всех собственных значений образуют спектр оператора, а все остальные значения называются Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора – регулярными. Иначе, говоря Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, есть регулярная точка, если оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора обратим.

Рассмотрим насколько примеров резольвент операторов.

Пример 1: Возьмём оператор, переводящий конечномерное пространство в конечномерное, как было сказано выше, его можно задать матрицей коэффициентов:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, тогда

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

С помощью нехитрых преобразований находим обратную матрицу, тем самым резольвенту этого оператора:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора,

здесь хорошо видно, что оператор, заданный этой матрицей не существует при Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора=1, то есть это собственное значение оператора А.

Пример 2: Рассмотрим линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций на отрезке [a,b] на себя. Пусть это будет оператор умножения на функцию g(x). Тогда резольвента этого оператора запишется в следующем виде: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, такой оператор непрерывен, если функция g(x) не принимает значение Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора на отрезке [a,b], в противном случае Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора будет являться собственным значением. То есть спектр этого оператора состоит из значений функции g(x) на отрезке [a,b]. Причём этот оператор имеет лишь непрерывный спектр, так как резольвента при Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора существует, но не непрерывна. Точечного спектра оператор не имеет.

Пример 3: Рассмотрим оператор дифференцирования на множестве дифференцируемых функций. А:Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора (для краткости будем писать вместо f(x) просто f). Рассмотрим резольвенту этого оператора: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то есть мы должны найти обратный оператор к оператору: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, для чего надо решить дифференциальное уравнение относительно Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Решим уравнение Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора методом Бернулли:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора;

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора;

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора; Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора; Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора; Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора; Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, откуда Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора,

тогда Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Видно, что резольвента существует и непрерывна, когда существует и непрерывен интеграл.

Резольвентное множество. Спектр

Пусть А – оператор, действующий в В-пространстве. Если Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора регулярна, т.е. оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора существует и ограничен, то при достаточно малом Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора тоже существует и ограничен, т.е. точка Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора+Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора тоже регулярна. Таким образом, регулярные точки образуют открытое множество. Докажем это.

Теорема: Резольвентное множество Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора открыто, функция резолвента Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора аналитична в этой области.

Доказательство:

Пусть Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора - фиксированная точка в Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора - любое комплексное число, такое, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Покажем, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора должен иметь обратный, если Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Этот обратный оператор, если он существует, будет выглядеть так:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Рассмотрим эту дробь как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, тогда она представима в виде ряда

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Мы предполагали, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, следовательно, этот ряд сходится. Покажем, то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора это резольвента Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора,

отсюда и следует, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора=Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора аналитична в точке Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Доказано.

Следовательно, спектр, т.е. дополнение этого множества – замкнутое множество, и резольвента аналитична на бесконечности.

Следствие: Если Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора равно расстоянию от Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора до спектра Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Таким образом, Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора при Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и резольвентное множество есть естественная область аналитичности Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Доказательство:

В доказательстве предыдущей теоремы мы видели, что если Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Следовательно, Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, от куда и следует доказываемое утверждение.

Доказано.

Резольвента как функция от Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

А сейчас рассмотрим резольвенту как функцию отСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и докажем несколько утверждений о её свойствах и особенностях. Для доказательства следующего утверждения нам понадобится следующая теорема.

Теорема 5: Пусть Е – банахово пространство, I – тождественный оператор в Е, а А – такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Тогда оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора существует, ограничен и представляется в виде

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Доказательство:

Так как Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора<1, то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.Пространство Е полно, так что из сходимости ряда Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора вытекает, что сумма ряда Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора представляет собой ограниченный линейный оператор. Для любого n имеем

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора;

переходя к пределу при Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и учитывая, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, получаем

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора,

что и означает, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Доказано.

Теорема 7. Если А – ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве и Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора>Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора – регулярная точка.

Доказательство:

Так как, очевидно, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора,

то

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

При Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора<Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора этот ряд сходится (см. теорему 5), т.е. оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора имеет ограниченный обратный. Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора с центром в нуле.

Доказано.

Из выше доказанной теоремы вытекает разложение резольвенты в ряд Лорана на бесконечности

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

При Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора<Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора этот ряд сходится. Но Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора – это наименьшее из чисел С, удовлетворяющих неравенству:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Аf=Cf, если С – собственное значение, то и Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то для наибольшего по модулю из собственных значений неравенство будет иметь место, с другой стороны, это число будет наименьшим. Следовательно, ряд Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора будет сходиться при Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора<Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора(А), где Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора(А) – наибольший модуль собственных значений оператора А. Величина Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора(А) называется спектральным радиусом оператора А.

Теорема 8: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора(А)=Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Для доказательства воспользуемся теоремой Коши-Адамара, сформулируем её. Теорема Коши-Адамара: Положим Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Рассмотрим степенной ряд Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Тогда он сходится всюду в круге Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и расходится всюду вне этого круга.

Доказательство:

Рассмотрим разложение резольвенты в ряд Лорана как степенной ряд:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

По теореме Коши-Адамара его радиус сходимости равен числу

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, но с другой стороны радиус сходимости ряда Лорана резольвенты есть спектральный радиус.

Доказано.

Уравнение Гильберта: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Доказательство:

Возьмем Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Учитывая, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, получаем следующее:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, что и требовалось доказать.

Доказано.

Следствие из уравнения Гильберта: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Доказательство:

Оно вытекает из уравнения Гильберта: действительно, возьмём Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, тогда получим по уравнению Гильберта, что произведение Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора равно отношению приращения функции к приращению аргумента, то есть Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, перейдя к пределу при Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора получаем нужное равенство.

Доказано.

Теорема 9: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Доказательство:

Докажем это равенство методом математической индукции, опираясь на предыдущее утверждение:

если k=1, то получаем следствие из уравнения Гильберта

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Пусть для k=n равенство выполнено, то есть Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Докажем, что для k=n+1, оно тоже имеет место:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Получили, что если равенство выполняется для n, то оно выполняется и для n+1, то по аксиоме индукции оно выполняется и для всех натуральных чисел, что и требовалось доказать.

Доказано.

Таким образом, мы получили, что резольвента – функция бесконечно дифференцируемая.

Теорема 10: Зная все производные резольвенты, мы можем разложить её в ряд Тейлора в окрестности точки Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Напомним формулу разложения функции в ряд Тейлора:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, подставляя в эту формулу соответствующие элементы резольвенты, получаем нужное равенство.

Введение в нестандартный анализ

Что такое бесконечно малые?

Один из наиболее принципиальных моментов нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно малые рассматриваются не как переменные величины, а как величины постоянные. Достаточно раскрыть любой учебник физики, чтобы натолкнуться на бесконечно малые приращения, бесконечно малые объёмы и т. п. Все эти величины мыслятся, разумеется, не как переменные, а просто как очень маленькие, почти равные нулю.

Итак, речь будет идти о бесконечно малых числах. Какое число следует называть бесконечно малым? Предположим, что это положительное число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, если оно меньше всех положительных чисел. Легко понять, что такого не бывает: если Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора больше нуля, то оно является одним из положительных чисел, поэтому наше определение требует, чтобы число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора было меньше самого себя. Поэтому потребуем, чтобы Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора было наименьшим в множестве положительных чисел. На числовой оси такое Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора должно изобразиться самой левой точкой множества Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. К сожалению числа Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора с указанными свойствами тоже нет и быть не может: число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора будет положительным числом, меньшим Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Более точное определение бесконечной малости числа Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора>0 Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, которое мы будем использовать вСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра операторадальнейшем таково. Будем складывать число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора с самим собой, получая числа Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора+Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и т. д. Если все полученные числа окажутся меньше 1, то число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и будет называться бесконечно малым. Другими словами, если Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора бесконечно мало, то сколько раз не откладывай отрезок длины Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора вдоль отрезка длины 1, до конца не дойдёшь. Наше требование к бесконечно малому Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора можно переписать в такой форме

1<Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Таким образом, если число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора бесконечно мало, то число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора бесконечно велико в том смысле, что оно больше любого из чисел: 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1 и т.д. Из сказанного можно видеть, что существование бесконечно малых противоречит так называемой аксиоме Архимеда, которая утверждает, что для любых двух отрезков А и В можно отложить меньший из них (А) столько раз, чтобы в сумме получить отрезок, превосходящий по длине больший отрезок (В).

Вывод таков: если мы хотим рассматривать бесконечно малые, мы должны расширить множество R действительных чисел до некоторого большего множества *R. Элементы этого нового множества мы будем называть гипердействительными числами. В нём аксиома Архимеда не выполняется, и существуют бесконечно малые числа, такие, что, сколько их не складывай с собой, сумма будет всё время оставаться меньше 1. Нестандартный, или неархимедов, анализ изучает множество гипердействительных чисел *R.

Какие требования естественно предъявлять к гипердействительным числам?

1). Чтобы множество гипердействительных чисел содержало все обыкновенные действительные числа: R Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора*R.

2).Чтобы над гипердействительными числами можно было выполнять обычные операции: любые два гипердействительные числа нужно уметь складывать, умножать, вычитать и делить, причем так, чтобы выполнялись обычные свойства сложения и умножения. Кроме того, нужно уметь сравнивать гипердействительные числа по величине, т.е. решить какое из них больше.

Пусть имеется некоторое множество Р, в нём выделены некоторые элементы 0 и 1 и определены операции сложения, вычитания, умножения и деления, ставящие в соответствие двум любым элементам Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора множества Р их сумму Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора , произведение Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, разность Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и частное Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора (если Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора). Пусть при этом перечисленные операции обладают всеми обычными свойствами.

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора;

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора;

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора;

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора;

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора;

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора;

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора;

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора;

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора (если Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора).

В таком случае множество Р называется полем. Пусть на поле Р введён порядок, т. е. для любой пары не равных друг другу элементов Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора определено, который из них больше. При этом выполняются такие свойства:

если Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора , то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора;

если Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора для любого Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора;

если Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора;

если Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

В таком случае говорят, что введенный порядок превращает Р в упорядоченное поле. Упорядоченное поле Р является неархимедовым тогда и только тогда, когда в нём есть положительные бесконечно малые элементы. Упорядоченное поле Р называется расширением поля действительных чисел R, если Р содержит все действительные числа и, кроме того, операции и порядок из Р, рассматриваемые на элементах их R, совпадают с обычными арифметическими операциями и обычным порядком на действительных числах.

Пример неархимедовой числовой системы

Построим пример неархимедова упорядоченного поля, являющегося расширением поля действительных чисел.

Предположим, что искомое расширение *R уже построено, и исследуем его строение. Элементы множества *R мы будем называть гипердействительными числами. Среди них содержатся и все действительные числа. Чтобы отличить их, будем называть действительные числа (элементы R) стандартными, а остальные гипердействительные числа (элементы *R/R)—нестандартными.

По нашему предположению, поле *R содержит бесконечно малые числа, не равные нулю. Гипердействительное число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора называется бесконечно малым, если все суммы

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и т. д.

меньше 1. Здесь через Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораобозначен модуль гипердействительного числа Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, определяемый так: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Отметим, что стандартное число 0 также оказывается, согласно этому определению, бесконечно малым. Но все остальные бесконечно малые числа не могут быть стандартными. Это следует из того, что для стандартных чисел справедлива аксиома Архимеда.

Наряду с бесконечно малыми в поле *R существуют и бесконечно большие. Мы называем гипердействительное число А бесконечно большим, если

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и т.д.

Если, Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора бесконечно мало, но отлично от нуля, то число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора бесконечно велико. Верно и обратное, если число А бесконечно велико, то число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора бесконечно мало. Отсюда следует, что все бесконечно большие числа нестандартны.

Гипердействительные числа, не являющиеся бесконечно большими, называются конечными. Каждое конечное гипердействительное число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора можно представить в виде Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора где Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора – стандартное число, а Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора –- бесконечно малое. Пусть Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора – конечное гипердействительное число. Разобьём действительные числа на два класса: меньшие Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и большие Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Т.к. Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора конечно, то оба класса не пусты. По “аксиоме полноты“ существует действительное число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, разделяющее эти классы. Легко видеть, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора будет бесконечно малым. Число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора называется стандартной частью конечного гипердействительного числа Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Обозначается это так:Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Таким образом, множество конечных гипердействительных чисел разбивается на классы. Эти классы называются монадами. Монадой стандартного числа Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора называется множество всех бесконечно близких к нему гипердействительных чисел.

Обсудив структуру нестандартного “микромира”, скажем несколько слов о строении нестандартного “макромира”. Их можно разбить на классы (“галактики”), каждый из которых устроен, подобно множеству всех конечных гипердействительных чисел. Среди галактик нет ни самой большой, ни самой малой; между любыми двумя галактиками есть бесконечно много других галактик.

Что ещё нужно знать о бесконечно малых?

Рассмотрим, что получается в результате построения поля гипердействительных чисел.

Прежде всего, мы получаем неархимедово расширение поля действительных чисел. Кроме того, “каждому объекту стандартного мира” поставлен в соответствие его аналог в “нестандартном мире”. Именно нестандартным аналогом любого действительного числа является оно само; любому подмножеству А множества R соответствует подмножество *А множества *R, каждой функции f из R в R соответствует функция *f из *R в *R, каждой двуместной функции g из R в R соответствует функция *g из *R в *R и т. д. Разумеется, эти аналоги *A, *f, *g не произвольны, а должны обладать некоторыми специальными свойствами: так, *АСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, на действительных числах f и *f совпадают, так что *f является продолжением для f, а *g – продолжением для g. При этом оказывается выполненным так называемый принцип переноса, утверждающий, грубо говоря, что в стандартном универсуме истинны те же утверждения формального языка, что и в нестандартном универсуме. Типичное использование состоит в том, что мы доказываем желаемый результат в нестандартном универсуме, а потом, заметив, что результат выразим в языке, заключаем, что он выполнен также в стандартном универсуме.

Приведем два примера “нестандартных определений” стандартных понятий. Пусть Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора – последовательность действительных чисел, или, другими словами, функция из N в R. Её нестандартный аналог представляет собой функцию из *N в *R; значение этой функции на гипернатуральном числе m естественно обозначать Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Определение предела. Стандартное число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора называется пределом последовательности Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, если все бесконечно далекие члены этой последовательности бесконечно близки к Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, т.е. для всякого нестандартного гипернатурального числа Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора разность Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора бесконечно мала.

Определение предельной точки. Стандартное число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораназывается предельной точкой последовательности Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, если некоторые бесконечно далёкие члены последовательности бесконечно близки к Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, т.е. существует такое нестандартное гипернатуральное число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, что разность Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра операторабесконечно мала.

А теперь докажем эквивалентность «нестандартного» определения предела последовательности «стандартному», пользуясь принципом переноса:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Доказательство:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораПусть Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, что обозначает

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Применим к этому утверждению принцип переноса, получим:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Но бесконечно большие номера будут удовлетворять этому условию при Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, поэтому для бесконечных Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора данное неравенство выполнится при Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, что и означает Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораПусть выполнено условие данного утверждения. Возьмём Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. По принципу переноса такое же утверждение верно и в стандартном универсуме, это и означает, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Доказано.

Рассмотрим ещё один пример: доказательство равномерной непрерывности функции на отрезке: функция f равномерно непрерывна на отрезке Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора тогда и только тогда, когда

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Доказательство:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораПусть f равномерно непрерывна на отрезке Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Тогда для любого Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора можно найти Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, такое , что

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

По принципу переноса получается, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора влечёт Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Если на самом деле Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то заведомо Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и, следовательно, Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Так как Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора было произвольное положительное действительное число, то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораПусть Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, как только Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Тогда для любого Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора получаем, выбирая в качестве Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора произвольное положительное бесконечное малое,

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Используя принцип переноса, получаем стандартное описание равномерной непрерывности.

Доказано.

Рассмотрим доказательство 1ой теоремы Вейерштрасса «нестандартными средствами»: функция, непрерывная на отрезке, является на нём ограниченной.

Доказательство:

Так как функция f непрерывна, то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то есть Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, значит, представляет собой конечное число, при этом отрезок обладает таким свойством: в его расширении любая точка будет бесконечно близкой к некоторой точке самого отрезка. Отсюда все значения функции на расширении отрезка конечны, что означает, что функция ограничена.

Это не верно для интервала, так как в Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора существуют точки Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, где Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, которые бесконечно близки к точке а, которая не входит в интервал.

Доказано.

Что же такое гипердействительное число?

Гипердействительные числа можно рассматривать как классы последовательностей обыкновенных действительных чисел. Рассмотрим способ построения классов. Его определение будет использовать так называемый нетривиальный ультрафильтр на множестве натуральных чисел. Объясним, что это такое.

Пусть некоторые множества натуральных чисел называются “большими”, а некоторые – “малыми”, причем выполнены следующие свойства:

Любое множество натуральных чисел является либо большим, либо малым. Ни одно множество не является большим и малым одновременно.

Дополнение (до N) любого малого множества является большим, дополнение любого большого множества – малым.

Любое подмножество малого множества является малым, любое надмножество большого – большим.

Объединение двух малых множеств является малым, пересечение дух больших множеств – большим.

Всякое конечное множество является малым, всякое множество, имеющее конечное дополнение – большим.

С помощью такого ультрафильтра построим искомое неархимедово расширение поля действительных чисел.

Будем говорить, что последовательности Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора эквивалентны, если равенство Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора “выполнено почти при всех i“, т.е. Если множество тех i, при которых Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, большое. Согласно свойству 5 любые последовательности, отличающиеся в конечном числе членов, эквивалентны. С каждой последовательностью сопоставим ее класс эквивалентности – класс всех эквивалентных ей последовательностей. Получающиеся классы эквивалентности будут называться гипердействительными числами. Обыкновенные действительные числа вкладываются в множество гипердействительных чисел. Таким образом, *R оказывается, как мы того и хотели, расширением множества R.

Определим сложение и умножение на гипердействительных числах. Пусть класс Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора содержит последовательность Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, класс Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора – последовательность Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Назовем суммой классов Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора класс, содержащий последовательность Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора,а произведением последовательность Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Корректность этих определений обеспечивается свойством 4 из определения ультрафильтра.

Итак, мы ввели на множестве гипердействительных чисел сложение, умножение и порядок. Нетрудно проверить, что мы получили упорядоченное поле, т.е. что во множестве гипердействительных чисел выполняются все обычные свойства сложения, умножения и порядка. Аксиома Архимеда, однако, в этом поле не выполняется.

Не знаю, как назвать

А теперь посмотрим, как ведут себя расширения операторов.

Теорема 1: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Доказательство:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораПусть Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Это внутреннее множество. Внутренне числовое множество имеет супремум. Пусть Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Если М – конечен, то А – ограничен. Если М – бесконечен, то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора такой, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, но Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то есть Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора – бесконечна. Рассмотрим Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, но, с другой стороны, Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Получили противоречие, если предположить, что норма бесконечна. Значит оператор А ограничен.

Доказано.

Теорема 2: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Доказательство:

Пусть есть операторы А и А1 такие, что

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Воспользуемся теоремой:

Если оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и обратим, а так же есть оператор В такой, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то А1 – обратим, причём Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Поскольку данные операторы бесконечно близки, то норма их разности есть число бесконечно малое. А норма оператора А – конечна, а бесконечно малое число, естественно, меньше числа, обратного конечному, что гарантирует выполнение неравенства Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Поэтому оператор В тоже обратим. Оценим норму Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, воспользуемся вторым неравенством: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора – конечна, Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, от сюда Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Так как мы поняли, что оператор А1 обратим, то это неравенство можно записать по-другому:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, от куда получим Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Имеем одновременное выполнение двух неравенств: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то есть Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, откуда Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Что и требовалось доказать.

Доказано.

Определение резольвенты в этом поле такое же, как и в стандартном. Но есть некоторое расхождение в определении спектра и собственного вектора.

Спектром линейного оператора в Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора называется множество:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Здесь пользуются определением не собственного вектора, а почти собственного вектора:

Когда оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора существует, но этот оператор не ограничен, и уравнение Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора имеет ненулевое решение, тогда вектор х мы будем называть почти собственным вектором. А число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора является элементом непрерывного спектра. Выше мы рассматривали пример линейного оператора, отображающий пространство непрерывных функций на отрезке [a,b] на себя: оператор умножения на функцию g(x). Возьмём в качестве функции Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, тогда резолвента этого оператора запишется в следующем виде Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, тогда непрерывным спектром будет являться сам отрезок Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораРассмотрим функции вида (Рис. 1):

Рис.1
Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Где m – некоторая точка отрезка Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, а Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Такие функции будут непрерывны на отрезке Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора и являются почти собственными векторами оператора умножения на функцию g(x)=х. То есть выполняется: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. Покажем это. Для этого надо показать, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. В пространстве Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора норма такая же, как и в его стандартном аналоге. Интеграл по принципу переноса считается аналогично.

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Таким образом, получили, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Теорема 3: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Доказательство:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораСпектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора – ограничен, то ограничен и оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то по теореме 1 выполняется Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора. А поскольку он ещё и обратим, то выполняется Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, так как

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораПо теореме 1условие Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора означает, что оператор Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора ограничен, из чего и следует ограниченность оператора Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Доказано.

Теорема 4: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Доказательство:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораПусть есть число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора – ограничен, а по теореме 3 при этом выполняется условие Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, поскольку речь идёт о линейных операторах, то можно записать: Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, а следовательно, Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, от куда Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то есть условие Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора при Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператораПусть есть некоторое число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора для оператора Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, такое, что Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, но Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то условие можно переписать так:

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Проведём доказательство методом от противного. Предположим, что число Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, для которого выполняется это условие, принадлежит спектру, но тогда по определению спектра резольвента оператора Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора является неограниченным оператором, а по теореме 1 не выполнится условие Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, то есть Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, где Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора, имеем, с одной стороны,

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора,

а, с другой,

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора,

получили противоречие. Значит Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора.

Доказано.

Список литературы

М. Девис. Прикладной нестандартный анализ – Москва: Изд-во Мир, 1980 год.

А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.

Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. Линейные операторы.

И.М. Глазман, Ю.И. Любич. Конечномерный линейный анализ.

В.А. Успенский. Что такое нестандартный анализ? –

Москва: изд-во «Наука», 1987

Рефетека ру refoteka@gmail.com