Рефетека.ру / Математика

Реферат: Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя

Реферат

Роботу виконала студентка 211 групи Піщук Олеся

Житомирський фармацевтичний колледж ім. Г.С. Протасевича

м. Житомир – 2006

І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.

Лопіталь де Гійом Франсуа (1661-2.02.1704 рр.). Французький математик, член Парижської АН, народився в Парижі, вивчав математику під керівництвом У. Бернуллі. Видав перший друкований підручник по диференціальному обчисленню – “Аналіз нескінченно малих” (1696р.). В підручнику є правило Лопіталя – правило знаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0. Крім того, він створив курс аналітичної геометрії конічних перетинів. Йому також належить дослідження і розвиток за допомогою математичного аналізу декількох важких задач по геометрії і механіці, а також одне із рівнянь знаменитої задачі о браністохроні.

Правило Лопіталя.

Нехай виконані умови:

функції f(х) та g(х) визначені і диференційовані в колі точки х0;

частка цих функцій Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя в точці х0 має невизначеність вигляду Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя або Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя;

існує Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

Тоді існує Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя і виконує рівність:

Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя (1)

а) Наслідок.

Нехай:

1. Визначені в колі точки х0 функції f(х), g(х) та їх похідні до n-го порядку включно;

2. Частки Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя, Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя, …, Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя мають невизначеність вигляду Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя або Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя;

3. Існує Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя, тоді

Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя (2)

б) Приклад 1.

Знайти: Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

Розв’язання:

Функції Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя та Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя визначені з усіма своїми похідними в околі точки х=0.

Маємо:

Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞; 00; ∞0.

Існують прийоми, що дозволяють зводити вказані невизначеності до невизначеностей вигляду Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя або Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя, які можна розкривати з використанням правила Лопіталя.

Нехай Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя і Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя, тоді

Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя (3)

За умовою Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя при Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя, тому Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя при Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

Якщо Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя не прямує до 0 при Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя, то границя в правій частині (3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує.

Якщо Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя при Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя, то вираз Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя має невизначеність Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

2. Нехай Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя, Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя, тоді Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя має невизначеність вигляду Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя при Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

В цьому випадку поступають так:

Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя

Під знаком останньої границі маємо невизначеність Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

3. Нехай Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя, Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя при Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя. Тоді Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя має невизначеність вигляду Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

Позначимо Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя. Шляхом логарифмування цієї рівності одержимо:

Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя

Отже, обчислення натурального логарифма границі Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя зводиться до розкриття невизначеності вигляду Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

4. Невизначеності вигляду Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя та Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя зводять до невизначеностей Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя або Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя шляхом логарифмування аналогічно до невизначеності вигляду Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

а) Приклад 2.

Знайти границю Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

Розв’язання:

Функції Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя та Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя диференційовані, а їх частка Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя має невизначеність вигляду Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя при Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:

Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

б) Приклад 3.

Знайти границю Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

Розв’язання:

В цьому випадку маємо невизначеність вигляду Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя. Позначимо Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя і про логарифмуємо цю рівність. Одержимо:

Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя, тобто невизначеність вигляду Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя. Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:

Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

Отже, Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

в) Приклад 4.

Знайти границю Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

В цьому випадку маємо невизначеність вигляду Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя. Нехай Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя. Логарифмуючи цю рівність, одержимо:

Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.

Чотири рази застосували правило Лопіталя.

Отже, маємо:

Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя

Список литературы

Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. К.82. Вища математика. Практикум. Навчальний посібник.–Київ: Центр навчальної літератури, 2005.–536с.

Бородин А.И., Бугай А.С., Биографический словарь деятелей в области математики. Радянська школа 1979.

Алгебра и начала анализа: В 2-х ч./ Под. ред. Г.Н. Яковлева.–2-е изд. –К.: Вища шк., Головное изд-во, 1984.–Ч.2. 293с.

Рефетека ру refoteka@gmail.com