Рефетека.ру / Математика

Реферат: Случайное событие и его вероятность

Реферат по дисциплине «Математика»

Марийский государственный технический университет

Йошкар-Ола 2004 год.

Введение

Случай, случайность — с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут лет места для математики—какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности—они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встреча со случайными событиями.

Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр. Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hazard, буквально означающего «случай», «риск». Азартными называют те игры, а которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности. Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных—алгебраиста Джероламо Кардана (1501- 1576) и Галилео Галилея (1564—1642). Однако честь открытия этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым—Блезу Паскалю (1623—1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность.

1. Случайное событие. Его вероятность.

Любая наука, развивающая общую теорию какого-нибудь круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии понятия точки, прямой, линии; в механике - понятия силы, массы скорости, ускорения. Естественно, что не все основные понятия могут быть полностью определены, ибо "определить" понятие

- это значит свести его к другим, более известным. Очевидно, процесс определения одних понятий через другие должен где-то кончаться, дойдя до самых первичных понятий, к которым сводятся все остальные и которые сами не определяются, а только поясняются. Такие понятия существуют и в теории вероятностей. Здесь мы рассмотрим некоторые из них.

Под опытом (экспериментом, испытанием) мы будем понимать некоторую воспроизводимую совокупность условий, в которых наблюдается то или другое явление, фиксируется тот или другой результат. Заметим, что "опыт" не обязательно должен быть поставлен человеком; он может протекать независимо от него; при этом человек выступает в роли наблюдателя или фиксатора происходящего. от него зависит только решение: что именно наблюдать и какие явления фиксировать.

Если результат опыта варьируется при его повторении, говорят об опыте со случайным исходом. Именно такие опыты мы будем здесь рассматривать и добавление "со случайным исходом" для краткости опускать. Тот факт, что при повторении опыта его основные условия сохраняются, и, значит, мы вправе ожидать устойчивости частот, тоже не будет каждый раз оговаривать.

Случайным событием ( или, короче, просто событием ) называется всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти. События мы будем обозначать большими буквами латинского алфавита.

Рассмотрим несколько примеров событий. 1. Опыт - бросание монеты; событие A - появление герба. 2. Опыт - бросание трех монет; событие B - появление трех гербов. 3. Опыт передача группы из n сигналов; событие C - искажение хотя бы одного из них. 4. Опыт - выстрел по мишени; событие D - попадание. 5. Опыт - вынимание наугад одной карты из колоды; событие Е - появление туза. 6. Тот же опыт, что в примере 5; событие F - появление карты червонной масти.

Рассматривая перечисленные в наших примерах события A,B,C, видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности - одни большей, а другие меньшей, причем для некоторых из них мы сразу можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Например событие A более возможно (вероятно), чем B, а событие F более возможно, чем

Е. Любое случайное событие обладает какой-то степенью возможности, которую в принципе можно измерить численно. Чтобы сравнивать события по степени их возможности, нужно связать с каждым из них какое-то число, которое тем больше, чем больше возможность события. Это число мы и назовем вероятностью события.

Отметим, что сравнивая между собой по степени возможности различные события, мы склонны считать более вероятными те события, которые происходят чаще, менее вероятными

- те, которые происходят реже; маловероятными - те, которые вообще не происходят. Например, событие "выпадение дождя в Москве 1-го июня предстоящего года" более вероятно, чем "выпадение снега в Москве тот же день", а событие "землетрясения в Москве, превышающее по интенсивности 3 балла, в течение предстоящего года" крайне мало вероятно (хотя такое землетрясение и наблюдалось в 1977 г., и статистика говорит, что подобные события происходят раз в 100 лет). Таким образом, понятие вероятности события с самого начала тесно увязывается с понятием его частоты.

Характеризуя вероятности событий числами, нужно установить какую-то единицу измерения. В качестве такой единицы естественно взять вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое в результате опыта неизбежно должно произойти. Пример достоверного события - выпадение не более шести очков при бросании игральной кости. Другой пример достоверного события: " камень, брошенный вверх рукой вернется на Землю, а не станет её искусственным спутником ".

Противоположностью достоверного события является невозможное событие - то, которое в данном опыте вообще не может произойти. Пример: " выпадение 12 очков при бросании одной игральной кости ".

Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, а невозможному - равную нулю, то все другие события - возможные, но не достоверные будут характеризоваться вероятностями, лежащими между нулем и единицей, составляющими какую то долю единицы.

Таким образом, установлены единица измерения вероятности - вероятность достоверного события и диапазон вероятностей - числа от нуля до единицы.

Какое бы событие A мы бы ни взяли, его вероятность P(A) удовлетворяет условию:

0<P(A)<1.

Очень большую роль в применении вероятностных методов играют практически достоверные и практически невозможные события.

Событие A называется практически невозможным, если его вероятность не в точности равна нулю, но очень близка к нулю:

P(A) 0 Пример.

Опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешали между собой; наугад вынимается одна карточка, стоящая на ней буква записывается, карточка возвращается обратно и смешивается с другими. Такой опыт производится 25 раз. Событие A состоит в том, что после 25 выниманий мы запишем первую строчку "Евгения Онегина":

"Мой дядя самых честных правил". Событие A не является физически невозможным, но вероятность его настолько мала, что событие с такой вероятностью можно смело считать практически невозможным.

Аналогично, практически достоверным является событие, вероятность которого не в точности равна единице, но очень близка к единице:

P(A) 1.

Введем новое важное понятие: противоположное событие. Противоположным событию А называется событие А, состоящее в непоявлении события А.

Пример. Опыт: Один выстрел по мишени. Событие А - попадание в десятку. Противоположное событие А - непопадание в десятку.

Вернемся к практически невозможным и практически достоверным событиям. Если какое-то событие А практически невозможно, то противоположное ему событие А практически достоверно и наоборот.

Практически невозможные ( и сопутствующие им практически достоверные) события играют большую роль в теории вероятностей: на них основана вся её познавательная ценность. Ни один прогноз в области случайных явлений не является и не может являться полностью достоверным; он может быть только практически достоверным, т. е. осуществляться с очень большой вероятностью.

В основе применения всех выводов и рекомендаций, добываемых с помощью теории вероятностей, лежит принцип практической уверенности, который можно сформулировать следующим образом:

Если вероятность события А в данном опыте весьма мала, то (при однократном выполнении опыта) можно вести себя так, как будто событие А вообще невозможно, т. е. не рассчитывать на его появление.

В повседневной жизни мы постоянно (хотя и бессознательно) пользуемся этим при принципом. Например выезжая куда-то на такси, мы не рассчитываем на возможность погибнуть в дорожной катастрофе, хотя некоторая (весьма малая) вероятность этого события все же имеется. Отправляясь летом на Кавказ или в Крым, мы не захватываем с собой зимней верхней одежды, хотя какая-то (очень малая) вероятность того, что нас настигнет мороз, всё-таки не равна нулю.

Переходим к самому тонкому и трудному вопросу: насколько мала должна быть вероятность события, чтобы его можно было считать практически невозможным ?

Ответ на вопрос выходит за рамки математической теории и в каждом отдельном случае решается из практических соображений, в соответствии с той важностью, которую имеет желаемый для нас результат опыта. Чем опаснее для нас возможная ошибка предсказания, тем ближе к нулю должна быть вероятность события, чтобы его считать практически невозможным.

Существует класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов можно вычислить, исходя непосредственно из самих условий опыта. Для этого нужно, чтобы различные исходы опыта обладали симметрией и в силу этого были объективно одинаково возможными.

Рассмотрим, например, опыт, состоящий в бросании игральной кости. Если кубик выполнен симметрично, "правильно" (центр тяжести не смещен ни к одной из граней), естественно предположить, что любая из граней будет выпадать так же часто, как каждая из остальных. Так как достоверное событие "выпадает какая-то из граней" имеет вероятность, равную единице, и распадается на шесть одинаково равных вариантов (1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков), то естественно приписать каждому из них вероятность, равную 1/6.

Для всякого опыта, обладающего симметрией возможных исходов, можно применить аналогичный прием, который называется непосредственным подсчетом вероятностей.

Перед тем как дать способ непосредственного подсчёта вероятностей, введём некоторые вспомогательные понятия.

Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно из них.

Примеры событий, образующих полную группу:

1) Появление "1", "2", "3", "4", "5", "6" очков при бросании игральной кости;

2) Два попадания, два промаха и одно попадание, один промах при двух выстрелах по мишени.

Несколько событий в данном опыте называются несовместимыми если никакие два из них не могут появиться вместе. Примеры несовместимых событий:

1) Выпадение герба и выпадение решки при бросании монеты;

2) Два попадания и два промаха при двух выстрелах;

3) Выпадение двух, выпадение трех и выпадение пяти очков при однократном бросании игральной кости. Несколько событий называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из них не является более объективно возможным чем другое.

Заметим, что равновозможные события не могут проявляться иначе, чем в опытах, обладающих симметрией возможных исходов; наше незнание о том, какое из них вероятнее, не есть основание для того, чтобы считать события равновозможными.

Примеры равновозможных событий:

1) Выпадение герба и выпадение решки при бросании симметричной, "правильной монеты";

2) Появление карты "червонной", "бубновой", "трефовой" или "пиковой" масти при вынимании карты из колоды.

С опытами, обладающими симметрией исходов, связываются особые группы событий: они образуют полную группу, несовместимы и равновозможны.

События, образующие такую группу, называются случаями. Примеры случаев:

1) Появление герба и решки при бросании монеты;

2) Появление "1", "2", "3", "4", "5" и "6" очков при бросании игральной кости.

Если опыт обладает симметрией возможных исходов, то случаи представляют собой набор его равновозможных и исключающих друг друга исходов. Про такой случай говорят, что он сводится к схеме случаев. Для таких опытов возможен непосредственный подсчет вероятностей, основанный на подсчете доли так называемых благоприятных случаев в общем их числе.

Случай называется благоприятным ( или "благоприятствующим") событию A, если появление этого случая влечет за собой появление данного события.

Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события A в данном опыте можно вычислить как долю благоприятных случаев в общем их числе:

P(A)=m/n,

где m - число случаев, благоприятных событию A; n - общее

число случаев.

Данная формула, так называемая "классическая формула" для вычисления вероятностей, предложенная еще в XVII веке, когда главным полем приложения теории вероятностей были азартные игры ( в которых симметрия возможных  исходов обеспечивается специальными мерами), долгое время ( вплоть до XIX века ) фигурировала в литературе как " определение вероятности "; те задачи, в которых схема случаев отсутствует, искусственными приемами сводились к ней. В настоящее время формального определения вероятности не дается, т. к. это понятие считается первичным и не определяется.

В данное время для вычисления вероятностей применяется закон распределения Пуассона.

Распределением Пуассона описываются :

а) показания счетчика, снимаемые через каждый интервал времени Т;

б) число зарегистрированных событий.

Распределение Пуассона играет большую роль в практическом применении теории вероятностей: многие физические явления приводят именно к такому распределению вероятностей.

2. Теорема сложения вероятностей

Непосредственный подсчёт случаев, благоприятствующих данному событию, может оказаться затруднительным. Поэтому для определения вероятности события бывает выгодно представить данное событие в виде комбинации некоторых других, более простых событий. Приведём теоремы, с помощью которых можно по вероятностям одних случайных событий вычислять вероятности других случайных событий, каким – либо образом связанных с первыми. Начнём с теорем, которые образуют группу с общим названием «теоремы сложения».

Теорема 1. Пусть А и В – два несовместных события. Тогда вероятность того, что осуществится хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей: P(A U B)=P(A)+P(B).

Доказательство.

Обозначим исходы, благоприятные для события А, через а1,а2,…,аm , а для события В – через b1,b2,…,bn. Вероятности этих исходов обозначим соответственно через p1,p2,…,pm и q1,q2,…,qn . Тогда событию A U B благоприятны все исходы a1,a2,…,am , b1,b2,…,bn . В силу того что события А и В несовместны, среди этих исходов нет повторяющихся. Поэтому вероятность события АUB равна сумме вероятностей этих исходов. т.е.

P(AUB)=p1+p2+…+pm+q1+q2+…+qn.

Но p1+p2+pm=P(A), q1+q2+qn=P(B), а потому

P(AUB)=P(A)+P(B).

Теорема доказана.

Пример 1. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна 0,3 , а вероятность выбить 9 очков равна 0,6. Чему равна вероятность выбить не менее 9 очков?

Решение. Событие А «выбить не менее 9 очков» является объединением событий В - «выбить 10 очков» и С – «выбить 9 очков». При этом события В и С несовместны, так как нельзя одним выстрелом выбить сразу и 9, и 10 очков.

Поэтому по теореме 1 имеем:

P(A)=P(B)+P(C)=0,3+0,6=0.9.

Если события А1, А2, … ,Аn попарно несовместны, то событие A1U … UAn-1 несовместно с событием An . В самом деле,

(A1U…UAn-1) I An =(A1An)U…U(An-1  An) .

Но при s<n имеем As An =, и потому (A1U…UAn-1)An =. Пользуясь этим замечанием, получаем из теоремы 1 следствие:

Следствие. Если события А1,…, Аn попарно несовместны, то вероятность объединения этих событий равна сумме их вероятностей:

P(A1U…UAn)=P(A1)+…+P(An).

Доказательство. Как было отмечено выше, события A1U … UAn-1 и An несовместны, а потому по теореме 1имеем:

P(A1U…UAn-1UAn)=P(A1U…UAn-1)+P(An).

Применяя это же рассуждение к первому слагаемому и продолжая далее, получаем после n-1 шага, что

P(A1U … UAn)=P(A1)+…+P(An).

Пример 2. В цехе работает несколько станков. Вероятность того, что за смену потребует наладки ровно один станок, равна 0,2. Вероятность того, что за смену потребуют наладки ровно два станка, равна 0,13. Вероятность того, что за смену потребуют наладки больше двух станков, равна 0,07. Какова вероятность того, что за смену придётся проводить наладку станков?

Решение. В том примере опыт состоит в том, что прошла смена и отмечено, сколько станков за эту смену потребовало наладки. В этом опыте события: А – «за смену потребовал наладки ровно один станок», В – «за смену потребовали наладки ровно два станка» и С – « за сену потребовали наладки более двух станков» несовместны. Нас же интересует вероятность события AUBUC. По теореме 1: P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0,2+0,13+0,07=0,4.

Выведем теперь связь между вероятностями противоположных событий.

Теорема 2. Для любого события А имеем: P(A*)=1-P(A).

Для доказательства вспомним, что AUA*=U, P(U)=1 и A A*. Тогда по теореме 1 получаем: 1=P(U)=P(AUA*)=P(A)+P(A*), откуда следует требуемая формула.

Пример 3. Берётся наудачу трёхзначное натуральное число от 100 до 999. Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?

Решение. Опыт здесь состоит в том, что наудачу выбирается натуральное число от 100 до 999 и смотрят, есть ли у негосовпадающие цифры. События «взяли наудачу число N» (N= 100, 101, … , 999) равновероятны (в этом смысл слова «наудачу» ) и образуют множество исходов этого опыта. Число исходов n=900. Нас интересует событие А - «у выбранного числа совпадают хотя бы две цифры». Проще, однако, подсчитать вероятность противоположного события А* - «у выбранного числа все цифры различны». Каждое такое число есть размещение без повторений из 10 цифр по 3, не имеющее первым элементом нуль. Следовательно, m=(A10)3 –(A9)2=10.9.8—9.8=92.8 (из числа всех трёхэлементных размещений без повторений надо вычесть число тех, у которых на первом месте стоит нуль) и P(A*)=92.8/900=0,72. Тогда по

теореме 2 P(A)=1-P(A*)=0,28.

Пример 4. В урне, содержащей n шаров белого, красного и чёрного цвета, находится k белых шаров и L красных. Какова вероятность вынуть шар не чёрного цвета?

Решение. Если событие А состоит в появлении белого, а событие В – красного шара, то появление шара не чёрного цвета означает появление либо белого, либо красного шара. Так как по определению вероятности

P(A)=k/n, P(B)=L/n,

То по теореме сложения вероятность появления шара не чёрного цвета равна: P(A U B)=k/(n+L)/n=(k+L)/n.

Эту задачу можно решить и так. Пусть событие С состоит в появлении чёрного шара. Число чёрных шаров равно n –(k+L), так что P(C)=(n—k—L)/n. 3

Появление шара не чёрного цвета является противоположным событием С*, поэтому на основании указанного выше следствия из теоремы сложения имеем: P(C*)=1—P(C )=1—(n—k—L)/n=(k+L)/n, как и раньше.

Пример 5. В денежно – вещевой лотерее на серию в 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого – либо выигрыша на один лотерейный билет?

Решение. Если обозначить через А событие, состоящее в выпадении денежного выигрыша, и через В — вещевого, то из определения вероятности следует P(A)=120/1000=0,12; P(B)=80/1000=0,08. Интересующее нас событие представляет (AUB), поэтому из теоремы сложения вытекает:

P(AUB)=P(A)+P(B)=0,20.

Таким образом, вероятность какого – либо выигрыша равна 0,2.

3. Закон равномерной плотности вероятности.

В некоторых задачах практики встречаются непрерывные случайные величины, о которых заранее известно, что их возможные значения лежат в пределах некоторого определенного интервала; кроме того, известно, что в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (точнее, обладают одной и той же плотностью вероятности). О таких случайных величинах говорят, что они распределяются по закону равномерной плотности.

Дадим определение: равномерным называется распределение непрерывной случайной величины Х все значения которой лежат на отрезке [a;b] и имеют при этом постоянную плотность распределения:

Случайное событие и его вероятность

площадь под кривой распределения равна 1 и поэтому с(в-а)=1

Случайное событие и его вероятность

вероятность попадания случайной величины Х на интервал от (α;β)

Случайное событие и его вероятность

α=а, если α<а

β=в, если β>в

основные числовые характеристики закона распределения плотности вычисляются по общим формулам и они равны

Случайное событие и его вероятность

Приведем примеры подобных случайных величин:

Пример 1. Произведено взвешивание тела на точных весах, но в распоряжении взвешивающего имеются только разновески весом не менее 1г.; результат взвешивания показывает, что вес тела заключен между k и (k+1/2) граммам. Допущенная при этом ошибка X , очевидно, есть случайная величина, распределенная с равномерной плотностью на участке Случайное событие и его вероятностьг.

Пример 2. Вертикально поставленное симметричное колесо (см.Рисунок№1) приводится во вращение и затем останавливается вследствие трения. Рассматривается случайная величина θ –угол, который после остановки будет составлять с горизонтом фиксированный радиус колеса ОА. Очевидно величина θ распределена с равномерной плотностью на участке (0,2 π)

Рисунок 1
Случайное событие и его вероятность

Итак, я рассмотрю случайные величины и функции распределения.

4. Случайные величины

Определение. Пусть Случайное событие и его вероятность— произвольное вероятностное пространство.

Случайной величиной Случайное событие и его вероятностьназывается измеримая функция Случайное событие и его вероятность, отображающая Случайное событие и его вероятностьв множество действительных чисел Случайное событие и его вероятность, т.е. функция, для которой прообраз Случайное событие и его вероятностьлюбого борелевского множества Случайное событие и его вероятностьесть множество из Случайное событие и его вероятность-алгебры Случайное событие и его вероятность.

Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости.

2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала координат до случайно брошенной в квадрат точки Случайное событие и его вероятность.

Множество значений случайной величины Случайное событие и его вероятностьбудем обозначать Случайное событие и его вероятность, а образ элементарного события Случайное событие и его вероятностьСлучайное событие и его вероятность. Множество значений Случайное событие и его вероятностьможет быть конечным, счетным или несчетным.

Определим Случайное событие и его вероятность-алгебру на множестве Случайное событие и его вероятность. В общем случае Случайное событие и его вероятность-алгебра числового множества Случайное событие и его вероятностьможет быть образована применением конечного числа операций объединения и пересечения интервалов Случайное событие и его вероятностьили полуинтервалов вида Случайное событие и его вероятность(Случайное событие и его вероятность), в которых одно из чисел Случайное событие и его вероятностьили Случайное событие и его вероятностьможет быть равно Случайное событие и его вероятностьили Случайное событие и его вероятность.

В частном случае, когда Случайное событие и его вероятность— дискретное (не более чем счетное) множество, Случайное событие и его вероятность-алгебру образуют любые подмножества множества Случайное событие и его вероятность, в том числе и одноточечные.

Таким образом Случайное событие и его вероятность-алгебру множества Случайное событие и его вероятностьможно построить из множеств Случайное событие и его вероятностьили Случайное событие и его вероятность, или Случайное событие и его вероятность.

Будем называть событием Случайное событие и его вероятностьлюбое подмножество значений Случайное событие и его вероятностьслучайной величины Случайное событие и его вероятность: Случайное событие и его вероятность. Прообраз этого события обозначим Случайное событие и его вероятность. Ясно, что Случайное событие и его вероятность; Случайное событие и его вероятность; Случайное событие и его вероятность. Все множества Случайное событие и его вероятность, которые могут быть получены как подмножества Случайное событие и его вероятностьиз множества Случайное событие и его вероятность, Случайное событие и его вероятность, применением конечного числа операций объединения и пересечения, образуют систему событий. Определив множество возможных значений случайной величины Случайное событие и его вероятностьСлучайное событие и его вероятностьи выделив систему событий Случайное событие и его вероятность, построим измеримое пространство Случайное событие и его вероятность. Определим вероятность на подмножествах (событиях) Случайное событие и его вероятностьиз Случайное событие и его вероятностьтаким образом, чтобы она была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом: Случайное событие и его вероятность.

Тогда тройка Случайное событие и его вероятностьназовем вероятностным пространством случайной величины Случайное событие и его вероятность, где Случайное событие и его вероятность

— множество значений случайной величины Случайное событие и его вероятность; Случайное событие и его вероятностьСлучайное событие и его вероятность-алгебра числового множества Случайное событие и его вероятность; Случайное событие и его вероятность— функция вероятности случайной величины Случайное событие и его вероятность.

Если каждому событию Случайное событие и его вероятностьпоставлено в соответствие Случайное событие и его вероятность, то говорят, что задано распределение случайной величины Случайное событие и его вероятность. Функция Случайное событие и его вероятностьзадается на таких событиях (базовых), зная вероятности которых можно вычислить вероятность произвольного события Случайное событие и его вероятность. Тогда событиями могут быть события Случайное событие и его вероятность.

5. Функция распределения и ее свойства

Рассмотрим вероятностное пространство Случайное событие и его вероятность, образованное случайной величиной Случайное событие и его вероятность.

Определение. Функцией распределения случайной величины Случайное событие и его вероятностьназывается функция Случайное событие и его вероятностьдействительного переменного Случайное событие и его вероятность, определяющая вероятность того, что случайная величина Случайное событие и его вероятностьпримет в результате реализации эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа Случайное событие и его вероятность:

Случайное событие и его вероятность(1)

Там где понятно, о какой случайной величине Случайное событие и его вероятность, Случайное событие и его вероятностьили Случайное событие и его вероятностьидет речь, вместо Случайное событие и его вероятностьбудем писать Случайное событие и его вероятность. Если рассматривать случайную величину Случайное событие и его вероятностькак случайную точку на оси Случайное событие и его вероятность, то функция распределения Случайное событие и его вероятностьс геометрической точки зрения это вероятность того, что случайная точка Случайное событие и его вероятностьв результате реализации эксперимента попадет левее точки Случайное событие и его вероятность.

Очевидно что функция Случайное событие и его вероятностьпри любом Случайное событие и его вероятностьудовлетворяет неравенству Случайное событие и его вероятность. Функция распределения случайной величины Случайное событие и его вероятностьимеет следующие свойства:

2) Функция распределения — неубывающая функция Случайное событие и его вероятность, т.е. для любых Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятность, таких что Случайное событие и его вероятность, имеет место неравенство Случайное событие и его вероятность.

Доказательство. Пусть Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятность. Событие, состоящее в том, что Случайное событие и его вероятностьпримет значение, меньшее, чем Случайное событие и его вероятность, Случайное событие и его вероятностьпредставим в виде объединения двух несовместных событий Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятность: Случайное событие и его вероятность.

Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова, Случайное событие и его вероятностьили по формуле (1)

Случайное событие и его вероятность, (2)

откуда Случайное событие и его вероятность, так как Случайное событие и его вероятность. Свойство доказано.

Теорема. Для любых Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятностьвероятность неравенства Случайное событие и его вероятностьвычисляется по формуле

Случайное событие и его вероятность(3)

Доказательство. Справедливость формулы (3) следует из соотношения (2). Таким образом, вероятность попадания случайной величины Случайное событие и его вероятностьв полуинтервал Случайное событие и его вероятностьравна разности значений функции распределения вычисленных на концах полуинтервала Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятность.

2) Случайное событие и его вероятность; Случайное событие и его вероятность.

Доказательство. Пусть Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятность— две монотонные числовые последовательности, причем Случайное событие и его вероятность, Случайное событие и его вероятностьпри Случайное событие и его вероятность. Событие Случайное событие и его вероятностьсостоит в том, что Случайное событие и его вероятность. Достоверное событие Случайное событие и его вероятностьэквивалентно объединению событий Случайное событие и его вероятность:

Случайное событие и его вероятность; Случайное событие и его вероятность.

Так как Случайное событие и его вероятность, то по свойству вероятностей Случайное событие и его вероятность, т.е. Случайное событие и его вероятность.

Принимая во внимание определение предела, получаем Случайное событие и его вероятность; Случайное событие и его вероятность

3) Функция Случайное событие и его вероятностьнепрерывна слева в любой точке Случайное событие и его вероятность, Случайное событие и его вероятность

Доказательство. Пусть Случайное событие и его вероятность— любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к Случайное событие и его вероятность. Тогда можно записать: Случайное событие и его вероятность

На основании аксиомы 3 Случайное событие и его вероятность

Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к Случайное событие и его вероятность, то остаток ряда, начиная с некоторого номера Случайное событие и его вероятность, будет меньше Случайное событие и его вероятность, Случайное событие и его вероятность(теорема об остатке ряда)

Случайное событие и его вероятность.

Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию распределения. Получим

Случайное событие и его вероятность,

откуда Случайное событие и его вероятностьили Случайное событие и его вероятность, а это означает, что Случайное событие и его вероятность.

Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция распределения Случайное событие и его вероятностьявляется 1) неубывающей, 2) непрерывной слева и 3) удовлетворяет условию Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятность. И, обратно, каждая функция, обладающая свойствами 1), 2), 3), может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины больше действительного числа Случайное событие и его вероятность, вычисляется по формуле Случайное событие и его вероятность.

Доказательство. Достоверное событие Случайное событие и его вероятностьпредставим в виде объединения двух несовместных событий Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятность. Тогда по 3-1 аксиоме Колмогорова Случайное событие и его вероятностьили Случайное событие и его вероятность, откуда следует искомая формула.

Определение. Будем говорить, что функция распределения Случайное событие и его вероятностьимеет при Случайное событие и его вероятностьскачок Случайное событие и его вероятность, если Случайное событие и его вероятность, где Случайное событие и его вероятностьи Случайное событие и его вероятностьпределы слева и справа функции распределения Случайное событие и его вероятностьв точке Случайное событие и его вероятность.

Теорема. Для каждого Случайное событие и его вероятностьиз пространства Случайное событие и его вероятностьслучайной величины Случайное событие и его вероятностьимеет место формула Случайное событие и его вероятность

Доказательство. Приняв в формуле (3) Случайное событие и его вероятность, Случайное событие и его вероятностьи перейдя к пределу при Случайное событие и его вероятность, Случайное событие и его вероятность, согласно свойству 3), получим искомый результат. Можно показать, что функция Случайное событие и его вероятностьможет иметь не более чем счетное число скачков. Действительно функция распределения может иметь не более одного скачка Случайное событие и его вероятность, скачков Случайное событие и его вероятность— не более 3-х, скачков Случайное событие и его вероятностьне более чем Случайное событие и его вероятность.Иногда поведение случайной величины Случайное событие и его вероятностьхарактеризуется не заданием ее функции распределения, а каким-либо другим законом распределения, но так, чтобы можно было получить из этого закона распределения функцию распределения Случайное событие и его вероятность.

Рефетека ру refoteka@gmail.com