Математическая модель распределения потенциала в МДП-структуре
Математическая модель
Пусть??(x,y) - функция, описывающая распределение потенциала в полупроводниковой структуре. В области оксла (СDEF) она удовлетворяет уравнению Лапласа:
d2??????d2????????
dx2 dy2
а в области полупроводника (прямоугольник ABGH) - уравнению Пуассона:
d2? ? d2? = ?
dx2 dy2
где
q - элементарный заряд e;
?nn -диэлектрическая проницаемость кремния;
Nd(x,y) -распределение концентрации донорской примеси в подложке ;
Na(x,y) -распределение концентрации акцепторной примеси в подложке;
?? -диэлектрическая постоянная
0 D E
y
B G
C F
A H
x
На контактах прибора задано условие Дирихле:
?| BC = Uu
?| DE = Uз
?| FG = Uc
?| AH = Un
На боковых сторонах полупроводниковой структуры требуется выполнение
однородного условия Неймана вытекающее из симметричности структуры
относительно линий лежащих на отрезках AB и GH:
d???????? d?????????
dy AB dy GH
На боковых сторонах окисла так же задается однородное условие Неймана
означающее что в направлении оси OY отсутствует течение электрического
тока:
d???????? d?????????
dy DC dy EF
На границе раздела структуры окисел- полупроводник ставится условие
сопряжения :
?| -0 = ?| +0
?ok Ex |-0 - ?nn Ex |+0 = - Qss
где Qss -плотность поверхностного заряда;
?ok -диэлектрическая проницаемость окисла кремния;
?nn -диэлектрическая проницаемость полупроводника.
Под символом “+0” и”-0” понимают что значение функции берется бесконечно близко к границе CF со стороны либо полупроводника либо окисла кремния. Здесь первое условие означает непрерывность потенциала при переходе границы раздела сред а второе - указывает соотношение связывающее величину разрыва вектора напряженности при переходе из одной среды в другую с величиной поверхностного заряда на границе раздела.
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ
Использование разностных схем для решения уравнения Пуассона и для граничных условий раздела сред
Уравнение Пуассона
В области {(x,y) : 0 < x < Lx, 0 < y < Ly } вводится сетка>
где h*i = hi - hi+1, r*j = rj - rj+1
2 2
Теперь Еi+ Ѕ,j выражаем через значение ?(x,y) в узлах сетки:
xi+1
??x(x,yj)dx = - ?i+1,j - ?ij
xi
из (**) при y=yj:
Для вычисленя решений многих решений многих многих стационарных задач математической физики, описывающих равновесные состояния, рассматриватривают последнии как результат установленияразвивающегося во времени процесса, расчёт которых оказывается проще, чем прямой расчёт равновесного состояния.
Рассмотрим применение метода установления на примере алгоритма для вычисления решения задачи Дирихле:
которая решается методом прогонки.
Рассмотрим теперь нашу двимерную задачу в прямоугольнике. Сетку ?h можно представить как совокупность узлов, расположенных на строках i2=0,1,2,...,N2, или как совокупность узлов расположенных на столбцах i1=1,2,...,N1. Всего имеется N1+1 столбцов и N2+1 строк. Число узлов в каждой строке равно N1+1, а в каждом столбце N2+1 - узлов.
Если на каждой строке (или столбце) решать задачу вида (2) методом прогонки при фиксированом i2(или i1), то для отыскания решения на всех строках (или столбцах), т.е. во всех узлах сетки, понадобится О(N1N2) арифметических действий. Основная идея большинства экономичных методов и состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению одномерных задач вида (2) вдоль строк и вдоль столбцов.
Наряду с основными значениями искомой сеточной функции y(x,t), т.е. с y = yn и y` = yn+1 вводится промежуточное значение y = yn+Ѕ, которое можно формально рассматривать как значение при t = tn+Ѕ = ?n+Ѕ. Переход от слоя n на слой n+1 совершается в два этапа с шагами 0.5t.
yn+Ѕ - yn = ?1yn+Ѕ + ?2yn + ?n (3)
0.5t
yn+1 - yn+Ѕ = ?1yn+Ѕ + ?2yn+1 +??n (4)
0.5t
Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах x = xi сетки ?h и для всех t=th > 0.
Первая схема неявная по направлению х1 и явная по х2, вторая схема явная по х1 и неявная по х2. К уравнениям (3),(4) надо добавить начальные условия:
y(x,0) = U0(x), x??h (5)
и разностно краевые условия, например, в виде:
yn+1 = ?n+1 при i1=0, i2=N2 (6)
yn+? = ? при i1=0, i2=N1 (7)
где ? = 1 (?n+1 + ?n) - ? L2(?n+1 - ?n) (8)
2 4
Т.о., разностная краевая задача (3)-(8) соответствует задаче (1). Остановимся на методе решения этой задачи. Пререпишем (3) и (4) в виде:
2 y - ?1 y = F, F = 2 y + ?2 y + ?
* ??????????????????????????????????????????????????????????????????????9)
2y` - ?2 y` = F’, F = 2 y + ?1 y + ??
* ?????????????????????????????
Введём обозначения:
xi = (i1h1, i2h2)
F = Fi1,i2
y = yi1,i2
при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то его не пишем. Тогда (9) можно записать в виде (2), т.е.:
Пусть задано у=уn. Тогда вычисляем ?F, затем методом прогонки вдоль строк i2=1,...,N2-1 решаем задачу (10) и определим y’ во всех узлах сетки ?h, после чего вычисляем F и решаем задачу (11) вдоль столбцов i1=1,...,N1-1, определяя y`=yn+1. При переходе от слоя n+1 к слою n+2 процедура повторяется, т.е. происходит всё время чередование направлений.
Построение разностных схем
Для каждой области МДП - структуры построим консервативную разностную схему, учитывая при этом заданные условия.
Разобьём данную МДП - структуру на несколько областей следующим образом:
L M N
y
K0
K1
x
I : jk0,y = Un
?. ?k+?i-1,y + 1 + ? + ??. ?k+?ij - ?. ?k+?i+1y = ?ij
2h*ihi 2h*ihi+1 2h*i2hi 2h*ihi+1
?k1,y = Un