Рефетека.ру / Математика

Реферат: Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.

Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию

y = arcsin(1/x)

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Д(f): | 1/x | ≤ 1 ,

  | x | ≥ 1 ,

( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

Функция нечетная

( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;π/2] )

Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда

y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)

Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).

Решение:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Д(f): [-1;1]

Четная

f(x) убывает на пр. [0;1]

f(x) возрастает на пр. [-1;0]

Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).

Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2

f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0.

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииf(y) убывает на пр. [-1;1] от π2 до 0.

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))

Решение:

Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ )

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:

[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ )

X

0

< x <

1

< x <

+∞

u=1/(x2-1)

-1

+ ∞

- ∞

0

y=arctg(u)

- π/4

π/2

- π/2

0

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x ,ctg(arcctg(x)) = x

(справедливо при любых x )

Графическое различие между функциями, заданными формулами:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

Аргумент

функция

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arcctg(x)

sin

sin(arcsin(x))=x

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

cos

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

x

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

tg

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

x

1 / x

ctg

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

1 / x

x

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

Т.к. cos2x + sin2x = 1 и φ = arcsin(x)

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Перед радикалом Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииследует взять знак “+”, т.к. дуга Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функциипринадлежит правой полуокружности (замкнутой) Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Из тождества Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииследует:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Имеем

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.

Пример №1. Преобразовать выражение Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Решение: Применяем формулу Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, имеем: Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример №3. Пользуясь

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример №5. Положив в формулах

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииОбразцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, получим:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции,Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример №6. Преобразуем Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Положив в формуле Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции,Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Получим:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функциипринадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).

Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииимеет синус, равный sinα θ заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), ρледовательно

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Так, например:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Аналогично:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

Выражение Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииОбразцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функциичерез арктангенс.

Пусть Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, тогда

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Дуга Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, по определению арктангенса, имеет тангенс, равный Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции и расположена в интервале (-π/2; π/2).

Дуга Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииимеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2).

Следовательно,

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(1)

(в интервале ( -1 : 1 )

Выражение Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функциичерез арксинус.

Т.к. Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, то Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции (2)

в интервале Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииследует тождество

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(3)

Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

Так, например, дуга Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции не может быть значением арксинуса. В этом случае

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.

Выражение арксинуса через арккосинус.

Пусть Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, если Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, то Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции. Дуга имеет косинус, равный Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, а поэтому Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

При Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииэто равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, а для функции Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииимеем: Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, т.е. число неотрицательное.

Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Х>0X<0

При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Таким образом, имеем окончательно:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииесли Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции,(4)

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, если Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

График функции Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции,

Аналогично установим, что при Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииимеем:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, если же Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, то

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Таким образом:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции при Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииимеем:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Если же х<0, то

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Итак,

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(6)

Выражение арккосинуса через арктангенс. Если Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, то Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

При Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции имеем:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Итак,

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(7)

Выражение арктангенса через арккотангенс.

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(8)

При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции.

Выражение арксинуса через арккотангенс.

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(9)

Выражение арккотангенса через арксинус.

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(10)

Выражение арккотангенса через арктангенс.

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(11)

Примеры:

Пример №1. Исследовать функцию Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

На чертеже изображен график данной функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример №2. Исследовать функцию Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Решение: Первое слагаемое определено для значений Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).

Т.к. Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, то получаем

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции,

откуда:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции на сегменте [0;1]

Пример №3. Исследовать функцию Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Приняв во внимание равенство

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

получим:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функциииОбразцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Областью определения функции Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции служит интервал Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функциисодержится на сегменте Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции. При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=π/6 имеем:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

но при х=5π/6

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π.

Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.

Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, то имеем y=π-υ;

в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-υ. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:

y=х-2π

Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то

y=-π-υ

Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то

y=х+2π

Вообще, если Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, то

y=х-2πk

и если Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, то

y=(π-х)+2πk

График функции Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функциипредставлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Рассмотрим функцию Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Согласно определению арккосинуса, имеем:

cos y = cos x, где Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], то y = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], то дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, поэтому:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем y = 2π - x

Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π

Если х принадлежит сегменту [3π; 4π], то y = 4π – x

Вообще, если Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, то y = x - 2πk

Если же Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, то y = -x + πk

Графиком функции Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииявляется ломаная линия

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.

Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.

Примеры.

Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции;Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

В данном случае Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции (т.к. Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, а следовательно, Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции), а также Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, поэтому Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции.

Вычислив синус дуги γ, получим:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Откуда

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к. Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, а Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции. Вычисляем Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

В рассматриваемом примере Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, так как дуги γ и Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функциизаключены в различных интервалах,

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, аОбразцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

В данном случае Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.

Решение: имеем

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Обе дуги γ и Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функциирасположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны: Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.

Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.

Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая четверть):

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, и Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Сумма α + β ηаключена в верхней полуокружности Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции;

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Разность α – β ηаключена в правой полуокружности: Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции;

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.

Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.

Преобразуем в арккосинус Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, где Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции и Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Имеем:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Откуда

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Аналогично

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов. Выразить сумму Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции через арксинус

По определению арксинуса

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функциииОбразцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции,

откуда

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Для дуги γ возможны следующие три случая:

Случай 1: Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.

В самом деле, при Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функциии Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, имеем:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, иОбразцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции,

откуда

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств:

а) Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииб) Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции в случае а) и Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции в случае б)

В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции и Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.

Вычислив Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, получим:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииили

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Откуда

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции и, следовательно, Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции;

но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции или Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Случай 2. Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииполучим Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Случай 3. Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

откуда Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Дуги γ и Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, следовательно в случае 1 Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции;

в случае 2 Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции и в случае 3 Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции.

Итак, имеем окончательно:

 

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции;Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

2. Заменив в (1) x на –x получим:

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

3. Выразить сумму Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функциичерез арккосинус

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функциииОбразцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

имеем

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Возможны следующие два случая.

Случай 1: Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функцииесли Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, то

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Приняв во внимание, что обе дуги Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функциии Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функциирасположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

и следовательно, Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, откуда Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Случай 2: Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции. Если Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, то

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции,

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции. Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, а случай 2, если

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции.

Из равенства Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции следует, что дуги

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции и Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции имеют одинаковый косинус.

В случае 1 Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, в случае 2 Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции, следовательно,

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(3)

4. Аналогично

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(4)

пример: Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

5.

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(5)

При xy=1 не имеет смысла

6.

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции; xy > -1

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(6)

7.

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(7)

8.

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(8)

9.

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(9)

10.

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(10)

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(11)

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции(12)


Рефетека ру refoteka@gmail.com