Рефетека.ру / Наука и техника

Доклад: Интересные примеры в метрических пространствах

1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную Интересные примеры в метрических пространствах-сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.

Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:

е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),

е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),

…………………………,

еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),

………………………….

Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (n¹m) равно Ö2. Поэтому последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e<Ö2/2.

Рассмотрим в l2 множество П точек

x=(x1, x2, ¼, xn, ...),

удовлетворяющих условиям:

| x1|£1, | x2|£1/2, ¼,| xn|£1/2n-1, ...

Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l2. Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.

Пусть e>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1<e/2. Каждой точке x=(x1, x2, ¼, xn, ...)

из П сопоставим точку x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...)

из того же множества. При этом

r(x,x*)=Интересные примеры в метрических пространствах£Интересные примеры в метрических пространствах<1/2n-1<e/2.

Множество П* точек вида x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она будет в то же время e-сетью во всем П. Докажем это.

Доказательство: для "e>0, выберем n так, что 1/2n-1<e/2.

"xÎП: x=(x1, x2, ¼, xn, ...) сопоставим

x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) и x*ÎП. При этом r(x,x*)<e/2. Из пространства П выберем x**: r(x*,x**)<e/2.

Тогда: r(x,x**)£r(x,x*)+r(x*,x**)<e/2+e/2=e.

Множество П* содержит точки вида x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...), в этом множестве выберем конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П, так как r(x,x**)<e.

Похожие работы:

  1. • Интересные примеры в метрических пространствах
  2. • Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства
  3. • Метризуемость топологических пространств
  4. • Калибровочно-эволюционная интерпретация специальной и общей ...
  5. • Феноменологическое обоснование формы линейного ...
  6. • Непараметричні методи розпізнавання з гарантованим рівнем ...
  7. • Гносеологика дискретной темпоралогии
  8. • Материя в дробноразмерном пространстве
  9. • Компактные операторы
  10. • Сфера Sn
  11. • Об эволюционности процесса расширения вселенной
  12. • Четвертая координата - козни лукавого
  13. • Новая модель эволюции вселенной
  14. • Восстановление эталона циклических сигналов на основе ...
  15. • Топологические пространства
  16. • Об эволюционности процесса расширения вселенной
  17. • Дифференциальная геометрия
  18. • Гравитация и геометрические свойства пространства
  19. • О возможностях физической нереализуемости ...
Рефетека ру refoteka@gmail.com