Рефотека.ру / Математика

Реферат: Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

Курсовая работа по сеточным методам

Студент: Смирнов А.В.

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана

Москва 2002

Постановка задачи

Рассчитать установившееся температурное поле в плоской пластине, имеющей  форму криволинейного треугольника с тремя отверстиями (см. рисунок).

К внешним границам пластины подводится тепловой поток плотностью Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине. На внутренних границах конструкции происходит теплообмен со средой, характеризующийся коэффициентом теплообмена Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине и температурой среды Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине. Коэффициент теплопроводности материала пластины Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине 

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

Рис. 1 Решение

Введем декартову систему координат Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине, выбрав начало координат и направим оси x и y так, как показано на рис.2.

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

Рис. 2

Задача теплопроводности в пластине запишется в виде

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине       (1)

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластинеРасчет стационарного теплового поля в двумерной пластине  (2)

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластинеРасчет стационарного теплового поля в двумерной пластине    (3)

где Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине  - направляющие косинусы вектора внешней нормали к граничной поверхности, Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине - граничная поверхность, на которой происходит теплообмен с коэффициентом теплообмена Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине, Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине - граничная поверхность, на которой задан тепловой поток плотности Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине.

Решение уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3) можно заменить задачей поиска минимума функционала

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине. (4)

Решать поставленную задачу будем с помощью метода конечных элементов. Для этого сначала проведем триангуляцию нашей области.

Триангуляция.

Результат триангуляции представлен на рис.3.

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

Рис. 3

Все выбранные узлы заносятся в список, который содержит информацию о координатах узлов. Номер узла определяется его номером в списке. Кроме списка вершин будем вести еще список треугольников. В глобальном списке треугольников будет храниться информация о каждом построенном треугольнике: номера (Top1, Top2, Top3) трех узлов, составляющих данный элемент и номер границы. Номер треугольника определяется его номером в списке. Договоримся, что у каждого треугольника границе может принадлежать только одна сторона и если такая сторона есть, то вершины, которые она соединяет, будут стоять на первых двух позициях (Top1 и Top2). Обход треугольника совершается против часовой стрелки.

Метод конечных элементов

Выберем произвольный треугольник (с номером e). Обозначим его вершины Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине и Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине. Каждому узлу треугольника поставим в соответствие функцию формы

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине,        (5)

где Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине,  A – площадь треугольника. Тогда температуру в пределах треугольника можно определить с помощью функций форм и значений температуры Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине в узловых точках

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине.      (6)

Функционал (4) можно представить в виде суммы функционалов Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине, каждый из которых отражает вклад в функционал (4) элемента с номером e

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине.         (7)

Минимум функционала (4) находим из условия

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине      (8)

Функционал Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине можно представить в виде

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине  (9)

Здесь Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине, глобальный вектор  температур Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине  Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине, Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине - матрица градиентов, которая для функций формы (5) примет вид Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине, Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине. Локальный вектор температур Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине. Здесь матрица геометрических связей Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине имеет размерность Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине. Элементы этой матрицы определяются следующим образом: Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине; все остальные элементы равны нулю.

Продифференцируем функционал (9):

Из выражения (8) с учетом последнего соотношения получаем Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине, где матрица теплопроводности элемента Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине; вектор нагрузки элемента  Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине.

В силу особенностей проведенной триангуляции можно выделить три группы конечных элементов. В первую входят треугольники, у которых сторона i – j принадлежит одной из внешних границ. Во вторую – те, у которых та же сторона принадлежит одной из внутренних границ. И, наконец, третью группу составляют элементы, стороны которых лежат внутри рассматриваемой области.

В зависимости от того, к какой группе принадлежит конечный элемент с номером e, матрица Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине и вектор Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине будут определяться несколько различным образом.

Обозначим

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине.

Поверхностные интегралы можно посчитать с помощью относительных координат Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине. Отрезки, соединяющие любую фиксированную точку P треугольника e c его вершинами, разбивают этот элемент на три треугольные части площадью Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине. Координаты Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине определяются из соотношений Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине.

Используя относительные координаты, можно получить следующие соотношения:

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

Если конечный элемент с номером e принадлежит к первой группе, то Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине. Если ко второй, то Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине. Наконец, если элемент принадлежит к третьей группе, то Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине.

Вектор температур, удовлетворяющий условию (8) минимума функционала (4), находим решением системы линейных алгебраических уравнений

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине,          (10)

где глобальная матрица теплопроводности K и глобальный вектор нагрузки F определяются по формулам

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине,  Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине.     (11)

Для решения задачи (10) применялся следующий алгоритм:

Вычисление Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине разложения матрицы Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине(Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластинеРасчет стационарного теплового поля в двумерной пластинеРасчет стационарного теплового поля в двумерной пластине).

Оценка числа обусловленности. Если число обусловленности больше Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине (Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине определяется точностью вычислительной машины), то выдается предупреждение, так как малые отклонения в коэффициентах матрицы Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине могут привести к большим отклонениям в решении.

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине. Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине.

Реализация описанного выше метода проводилась на языке программирования С++ и FORTRAN в среде интегрированной среде разработки Microsoft Visual C++ 6.0. Конечные результаты данной работы приведены на рис.4 - 7.

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

Рис.4

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

Рис.5

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

Рис.6

Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

Рис.7

Список литературы

Амосов А.А, Дубинский Ю.А, Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1994. – 544 с.

Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с.

Станкевич И. В. Сеточные методы (лекции и семинары 2002 года).


Похожие работы:

  1. • Расчет стационарного теплового поля в двумерной ...
  2. • Расчет температурного поля и массопереноса углерода при ...
  3. • Расчёт параметров изгиба прямоугольных пластин ...
  4. • Подвижные сосредоточенные источники постоянной мощности
  5. • Качественное исследование в целом двумерной ...
  6. • Расчет стационарного токораспределения в ...
  7. • Підвищення ефективності чистового точіння сталей різцями з ...
  8. • Качественное исследование в целом двумерной ...
  9. • Качественное исследование в целом двумерной ...
  10. • Двумерная спектроскопия ЯМР
  11. • Дифференциальное уравнение теплопроводимости
  12. • Квантовый эффект Холла в двумерных системах
  13. • Математическое моделирование тепловой работы ...
  14. • Распределение температуры по стволу скважины с целью ...
  15. • Магниторезистивный эффект
  16. • Массивы. Двумерные массивы
  17. • Решение обратных задач теплопроводности для элементов ...
  18. • Просветление тумана в электрическом поле
  19. • Перемешивание жидкостей
Смотреть все похожие работы
Рефетека ру refoteka@gmail.com