Глава Математическое моделирование системных элементов
Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей
точного естес-
твознания, Галилео Галилей (1564 - 1642гг.) говорил, что "Книга природы
написана на языке математики". Почти через двести лет родоначальник
немецкой классической фи-
лософии Иммануил Кант (1742 - 1804гг.) утверждал, что "Во всякой науке
столько ис-
тины, сколько в ней математики". Наконец, ещё через почти сто пятьдесят
лет, практи-
чески уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862 -
1943гг.) констатировал: "Математика - основа всего точного естествознания".
Приведенные высказывания великих ученых, без дополнительных комментариев, дают полное представление о роли и значении математики как в научно-теоретической, так и предметно-практической деятельности специалистов.
1.1. Три этапа математизации знаний
Современная методология науки выделяет три этапа математизации знаний: ма- тематическая обработка эмпирических (экспериментальных) данных, моделирование и относительно полные математические теории.
Первый этап - это математическая, чаще всего именно количественная обработка эмпирических (экспериментальных) данных. Это этап выявления и выделения чисто фе- номенологических функциональных взаимосвязей (корреляций) между входными сигна- лами (входами [pic]) и выходными реакциями (откликами [pic]) на уровне целостного объекта (явления, процесса), которые наблюдают в экспериментах с объектами-оригиналами [pic]. Данный этап математизации имеет место во всякой науке и может быть определён как этап первичной обработки её эмпирического материала.
Второй этап математизации знаний определим как модельный. На этом
этапе не-которые объекты выделяются (рассматриваются) в качестве основных,
базовых (фун-даментальных), а свойства (атрибуты), характеристики и
параметры других объектов исследования объясняются и выводятся исходя из
значений, определяемых первыми (назовем их оригиналами). Второй этап
математизации характеризуется ломкой старых теоретических концепций,
многочисленными попытками ввести новые, более глубокие и фундаментальные.
Таким образом, на "модельном" этапе математизации, т.е. этапе
математического моделирования, осуществляется попытка теоретического
воспроизве-дения, "теоретической реконструкции" некоторого интересующего
исследователя объек-та-оригинала в форме другого объекта - математической
модели.
Третий этап - это этап относительно полной математической теории данного уровня организации материи в данной или рассматриваемой предметной области. Тре- тий этап предполагает существование логически полной системы понятий и аксиомати- ки. Математическая теория даёт методологию и язык, пригодные для описания явлений, процессов и систем различного назначения и природы. Она даёт возможность преодоле- вать узость мышления, порождаемую специализацией.
1.2. Математическое моделирование и модель
Математическое моделирование - это теоретико-экспериментальный метод позна- вательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов - матема- тических моделей.
Под математической моделью принято понимать совокупность
соотношений (уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п.),
определяющих характе-
ристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения -
реакции
[pic], в зависимости от параметров объекта-оригинала [pic], входных воздей-
ствий [pic], начальных и граничных условий, а также времени.
Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства
(атрибуты) объекта-оригинала [pic], которые отражают, определяют и
представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования.
Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении
одного и того же объекта-оригинала [pic] с различных точек зрения и в
различных аспектах, последний может иметь различные математичес-
кие описания и, как следствие, быть представлен различными математическими
моделя-
ми.
Принимая во внимание изложенное выше, дадим наиболее общее, но в то же время строгое конструктивное определение математической модели, сформулированное П.Дж.Коэном.
Определение 2. Математическая модель - это формальная система, представляю- щая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами.
Как следует из приведенного определения, конечное собрание
символов (алфавит) и совершенно строгих правил оперирования этими символами
("грамматика" и "синтак-
сис" математических выражений) приводят к формированию абстрактных
математичес-
ких объектов (АМО). Только интерпретация делает этот абстрактный объект
математи-
ческой моделью.
Таким образом, исходя из принципиально важного значения интерпретации в тех-нологии математического моделирования, рассмотрим ее более подробно.
1.3. Интерпретации в математическом моделировании
Интерпретация (от латинского "interpretatio" - разъяснение,
толкование, истолко-
вание) определяется как совокупность значений (смыслов), придаваемых каким-
либо об-
разом элементам некоторой системы (теории), например, формулам и отдельным
симво-
лам. В математическом аспекте интерпретация - это экстраполяция исходных
положе-
ний какой-либо формальной системы на какую-либо содержательную систему,
исход-
ные положения которой определяются независимо от формальной системы.
Следова-
тельно, можно утверждать, что интерпретация - это установление соответствия
между некоторой формальной и содержательной системами. В тех случаях, когда
формальная система оказывается применимой (интерпретируемой) к
содержательной системе, т.е. ус-
тановлено что между элементами формальной системы и элементами
содержательной системы существует взаимно однозначное соответствие, все
исходные положения фор-
мальной системы получают подтверждение в содержательной системе.
Интерпретация считается полной, если каждому элементу формальной системы
соответствует некото-
рый элемент (интерпретант) содержательной системы. Если указанное условие
наруша-
ется, имеет место частичная интерпретация.
При математическом моделировании в результате интерпретации задаются значе- ния элементов математических выражений (символов, операций, формул) и целостных конструкций.
Основываясь на приведенных общих положениях, определим содержание интер- претации применительно к задаче математического моделирования.
Определение 3. Интерпретация в математическом моделировании - это информа- ционный процесс преобразования абстрактного математического объекта (АМО) в кон- кретную математическую модель (ММ) конкретного объекта на основе отображения непустого информационного множества данных и знаний, определяемого АМО и называе- мого областью интерпретации, в кообласть - информационное множество данных и зна- ний, определяемое предметной областью и объектом моделирования и называемое об- ластью значений интерпретации.
Таким образом, интерпретацию следует рассматривать как один из основопола- гающих механизмов (инструментов) технологии математического (научного) модели- рования.
Именно интерпретация, придавая смысл и значения элементам
(компонентам) ма-
тематического выражения, делает последнее математической моделью реального
объек-
та.
1.4. Виды и уровни интерпретаций
Создание математической модели системного элемента - многоэтапный
процесс. Основным фактором, определяющим этапы перехода от АМО к ММ,
является интер-
претация. Количество этапов и их содержание зависит от начального
(исходного) ин-
формационного содержания интерпретируемого математического объекта -
математи-
ческого описания и требуемого конечного информационного содержания
математичес-
кого объекта - модели. Полный спектр этапов интерпретации, отражающий
переход от АМО - описания к конкретной ММ, включает четыре вида
интерпретаций: синтаксичес-
кую (структурную), семантическую(смысловую), качественную(численную) и
количес-
твенную. В общем случае, каждый из перечисленных видов интерпретации может
иметь многоуровневую реализацию. Рассмотрим более подробно перечисленные
виды интер-
претаций.
Cинтаксическая интерпретация
Синтаксическую интерпретацию будем рассматривать как отображение морфоло- гической (структурной) организации исходного АМО в морфологическую организацию структуру заданного (или требуемого) АМО. Синтаксическая интерпретация может осуществляться как в рамках одного математического языка, так и различных матема- тических языков.
При синтаксической интерпретации АМО возможны несколько вариантов задач реализации.
Задача 1. Пусть исходный АМО не структурирован, например, задан кортежем элементов. Требуется посредством синтаксической интерпретации сформировать мор- фологическую структуру математического выражения
[pic]
(1)
Задача 2. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую
структуру,
которая по тем или иным причинам не удовлетворяет требованиям исследователя
(эксперта). Требуется посредством синтаксической интерпретации
преобразовать в со-
ответствии с целями и задачами моделирования исходную структуру St[pic]в
адекватную требуемую St[pic],т.е.
[pic]
(2)
Задача 3. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую
структуру St[pic], удовлетворяющую общим принципам и требованиям
исследователя с точки зрения её синтаксической организации. Требуется
посредством синтаксической интерпретации конкретизировать АМО со структурой
St[pic]до уровня требований, определяемых целями и задачами моделирования
[pic]
(3)
Таким образом, синтаксическая интерпретация математических объектов даёт воз- можность формировать морфологические структуры АМО, осуществлять отображение (транслировать) морфологические структуры АМО с одного математического языка на другой, конкретизировать или абстрагировать морфологические структурные представ- ления АМО в рамках одного математического языка.
Семантическая интерпретация
Семантическая интерпретация предполагает задание смысла математических вы- ражений, формул, конструкций, а также отдельных символов и знаков в терминах сфе- ры, предметной области и объекта моделирования. Семантическая интерпретация даёт возможность сформировать по смысловым признакам однородные группы, виды, клас- сы и типы объектов моделирования. В зависимости от уровней обобщения и абстраги- рования или, наоборот, дифференциации или конкретизации, семантическая интерпре- тация представляется как многоуровневый, многоэтапный процесс.
Таким образом, семантическая интерпретация, задавая смысл абстрактному ма- тематическому объекту, "переводит" последний в категорию математической модели с объекта-оригинала, в терминах которого и осуществляется такая интерпретация.
Качественная интерпретация
Интерпретация на качественном уровне предполагает существование качествен- ных параметров и характеристик объекта-оригинала, в терминах (значениях) которых и производится интерпретация. При качественной интерпретации могут использоваться графические и числовые представления, посредством которых, например, интерпретиру- ется режим функционирования объекта моделирования.
Количественная интерпретация
Количественная интерпретация осуществляется за счет включения в рассмотрение количественных целочисленных и рациональных величин, определяющих значение па- раметров, характеристик, показателей.
В результате количественной интерпретации появляется возможность из класса, группы или совокупности аналогичных математических объектов выделить один един- ственный, являющийся конкретной математической моделью конкретного объекта- ори- гинала.
Таким образом, в результате четырех видов интерпретаций -
синтаксической, се-
мантической, качественной и количественной происходит поэтапная
трансформация
АМО, например, концептуальной метамодели (КММ) функциональной системы [pic]
, в конкретную математическую модель (ММ) конкретного объекта
моделирования.