Рефотека.ру / Математика

Реферат: Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Реферат Выполнил: студент гр. МХТ-02 Казаков Василий Васильевич

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова

Магнитогорск 2003

Колебаниями  называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания.

Гармонические колебания.

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).

Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна Механические колебания в дифференциальных уравнениях. Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.

Механические колебания в дифференциальных уравненияхРешение

Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.

Механические колебания в дифференциальных уравненияхПусть l означает удлинение пружины  в данный момент, а lст—статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда l=lст+х, или l-lст=х.

Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma,   где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести.

По закону Гука сила натяжения пружины  пропорциональна её удлинению: Fупр=-сl, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины.

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= сlст. Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим  l-lст через х, получится уравнение в виде:

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

или, обозначив с/m через k2,

Механические колебания в дифференциальных уравнениях                                                  (1)

Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

имеет мнимые корни Механические колебания в дифференциальных уравнениях, соответственно этому общее решение

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на Механические колебания в дифференциальных уравнениях, получим:

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Если положить

Механические колебания в дифференциальных уравнениях Механические колебания в дифференциальных уравнениях Механические колебания в дифференциальных уравнениях

то

    Механические колебания в дифференциальных уравнениях                        (2)

График гармонических колебаний имеет вид:

Механические колебания в дифференциальных уравнениях 

Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент Механические колебания в дифференциальных уравнениях — фазой колебания. Значение фазы при t=o т.e.  величина  Механические колебания в дифференциальных уравнениях, называется начальной фазой колебания. Величина Механические колебания в дифференциальных уравнениях есть частота колебания. Период колебания Механические колебания в дифференциальных уравнениях  и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы. Так как с = Р/lст = mg/lст, то для периода можно получить также формулу:

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Скорость движения груза получается дифференцированием решения по t:

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо задать начальные условия. Пусть, например, в начальный момент t = 0 положение груза x=x0 и скорость u=u0. Тогда Механические колебания в дифференциальных уравнениях Механические колебания в дифференциальных уравнениях, откуда

Механические колебания в дифференциальных уравнениях,        Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной скорости (u0=0) амплитуда А=х0, а начальная фаза a=p/2 и, таким образом,

Механические колебания в дифференциальных уравнениях  или    Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Затухающие колебания.

Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшают-ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения.

Решение

К силам, действующим на груз, прибавляется здесь сила сопротивления воздуха Механические колебания в дифференциальных уравнениях (знак минус показывает, что сила R направлена противоположно скорости u). Тогда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox имеет вид

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

или если положить Механические колебания в дифференциальных уравнениях, Механические колебания в дифференциальных уравнениях, то

Механические колебания в дифференциальных уравнениях                                                     (3)

Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

Механические колебания в дифференциальных уравнениях 

имеет корни

Механические колебания в дифференциальных уравнениях                                                    (4)

Характер движения целиком определяется этими корнями. Возможны три различных случая. Рассмотрим сначала случай, когда Механические колебания в дифференциальных уравнениях. Это неравенство имеет место, когда сопротивление среды невелико. Если положить Механические колебания в дифференциальных уравнениях, то корни (4) имеют вид Механические колебания в дифференциальных уравнениях. Тогда общее решение можно записать в виде

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

или, преобразовав, умножая и деля на Механические колебания в дифференциальных уравнениях, получим:

Механические колебания в дифференциальных уравнениях 

положим, что

Механические колебания в дифференциальных уравнениях Механические колебания в дифференциальных уравнениях Механические колебания в дифференциальных уравнениях,

тогда

Механические колебания в дифференциальных уравнениях                                                     (5)

График зависимости отклонения от положения равновесия от времени имеет вид:

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Если заданы начальные условия: Механические колебания в дифференциальных уравнениях при t = 0, то можно определить А и a. Для этого находим

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

и   подставляем  t = 0  в  выражения   для Механические колебания в дифференциальных уравненияхи Механические колебания в дифференциальных уравнениях получим систему уравнений

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части первого получим

Механические колебания в дифференциальных уравнениях 

откуда

Механические колебания в дифференциальных уравнениях    или  Механические колебания в дифференциальных уравнениях а    Механические колебания в дифференциальных уравнениях 

Так как

Механические колебания в дифференциальных уравнениях 

то

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии-тельно, амплитуда колебания Механические колебания в дифференциальных уравнениях зависит от времени и является монотонно убывающей функцией, причем Механические колебания в дифференциальных уравнениях при Механические колебания в дифференциальных уравнениях.

Период затухающих колебаний определяется по формуле

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Моменты времени, в которые груз получает максимальное отклонение от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным Механические колебания в дифференциальных уравнениях или Механические колебания в дифференциальных уравнениях. Эта величина называется декрементом затухания и обычно обозначается буквой D. Натуральный логарифм декремента lnD = - пТ/2 называется логарифмическим декрементом затухания.

Частота колебаний Механические колебания в дифференциальных уравненияхв этом случае меньше, нежели в предыдущем (Механические колебания в дифференциальных уравнениях), но, как и там, не зависит от начального положения груза.

Если сопротивление среды велико и Механические колебания в дифференциальных уравнениях, то, положив Механические колебания в дифференциальных уравнениях, получим корни (4) в виде Механические колебания в дифференциальных уравнениях Так как Механические колебания в дифференциальных уравнениях, то оба корня отрицательны. Общее решение уравнения в этом случае имеет вид

Механические колебания в дифференциальных уравнениях                                              (6)

Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера. Аналогичный характер будет иметь движение и в случае Механические колебания в дифференциальных уравнениях, когда общее решение имеет вид

Механические колебания в дифференциальных уравнениях                                                      (7)

Легко заметить,  что  в обоих  последних  случаях при Механические колебания в дифференциальных уравнениях имеем Механические колебания в дифференциальных уравнениях.

Если заданы начальные условия Механические колебания в дифференциальных уравнениях и Механические колебания в дифференциальных уравнениях, то в случае, когда Механические колебания в дифференциальных уравнениях, имеем Механические колебания в дифференциальных уравнениях, а Механические колебания в дифференциальных уравнениях. Решая эту систему относительно Механические колебания в дифференциальных уравнениях и Механические колебания в дифференциальных уравнениях, получим

Механические колебания в дифференциальных уравнениях,      Механические колебания в дифференциальных уравнениях 

и, следовательно

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Механические колебания в дифференциальных уравнениях 

В случае же, когда Механические колебания в дифференциальных уравнениях, получаем Механические колебания в дифференциальных уравнениях, Механические колебания в дифференциальных уравнениях и следовательно,

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Вынужденные колебания без учета сопротивления среды.

Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой.

Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в ненагруженном состоянии равна Механические колебания в дифференциальных уравнениях. На груз действует периодическая возмущающая сила Механические колебания в дифференциальных уравнениях где Q и р — постоянные. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды.

Решение

Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Полагая, как и прежде, Механические колебания в дифференциальных уравнениях и, кроме того, Механические колебания в дифференциальных уравнениях перепишем уравнение в виде

Механические колебания в дифференциальных уравнениях                                               (8)

Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем однородным уравнением, соответствующим уравнению (8), является (1). Поэтому Механические колебания в дифференциальных уравнениях; остается найти х. Если предположить, что Механические колебания в дифференциальных уравнениях, то частное решение х, нужно искать в виде Механические колебания в дифференциальных уравнениях, где М и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак,

Механические колебания в дифференциальных уравненияхМеханические колебания в дифференциальных уравнениях

Производя вычисления, получаем

Механические колебания в дифференциальных уравнениях    Механические колебания в дифференциальных уравнениях 

откуда М=0 и Механические колебания в дифференциальных уравнениях Полученное таким образом частное решение

Механические колебания в дифференциальных уравнениях                                                     (9)

определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю-щей силой Механические колебания в дифференциальных уравнениях. Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и возмущающая сила, совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную фазу) при k>p, либо отличаются на p, если k<p, т. е. если N<0.

Закон движения представляется общим решением

Механические колебания в дифференциальных уравнениях.                                     (10)

Оно слагается из собственно вынужденных колебаний (9), которые определяются внешней возмущающей силой, и собственных колебаний (2), обусловленных исключительно внутренними причинами: жесткостью пружины и массой груза.

Если заданы начальные условия: Механические колебания в дифференциальных уравнениях и Механические колебания в дифференциальных уравнениях, то можно определить произвольные постоянные А и u. Для этого продифференцируем функцию (10):

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

и подставим  в   выражения  х   и Механические колебания в дифференциальных уравнениях значение  аргумента t = 0;   получим  систему  уравнений  относительно  A и a:

Механические колебания в дифференциальных уравнениях 

Преобразуем её так:

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

возведем в квадрат обе части каждого из этих уравнений и сложим. Тогда

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Для нахождения a разделим обе части  первого уравнения на соответствую-щие части второго; получим

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

откуда

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

при этом Механические колебания в дифференциальных уравнениях,   Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Итак, искомым  частным решением, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является функция

Механические колебания в дифференциальных уравнениях 

или

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Частное решение (9), характеризующее собственно вынужденные колебания, было получено в предположении, что Механические колебания в дифференциальных уравнениях, т. е. что частота внешней силы не совпадает с частотой собственных колебаний. Если же Механические колебания в дифференциальных уравнениях, то дело будет обстоять совсем иначе. Действительно, уравнение (8) можно переписать теперь в виде

Механические колебания в дифференциальных уравнениях                                               (11)

Частное решение следует искать в форме

Механические колебания в дифференциальных уравнениях,

где М и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак,

Механические колебания в дифференциальных уравненияхМеханические колебания в дифференциальных уравнениях

откуда получаем Механические колебания в дифференциальных уравнениях, Механические колебания в дифференциальных уравнениях, и следовательно, частное решение имеет вид

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Общее решение в этом случае

Механические колебания в дифференциальных уравнениях                                          (12)

Найдем Механические колебания в дифференциальных уравнениях  и   подставим  в  выражения  х и Механические колебания в дифференциальных уравнениях  значение t=0; получим

                             Механические колебания в дифференциальных уравнениях     

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Механические колебания в дифференциальных уравнениях    или Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Из последних двух равенств находим

Механические колебания в дифференциальных уравнениях,        Механические колебания в дифференциальных уравнениях 

откуда

Механические колебания в дифференциальных уравнениях     Механические колебания в дифференциальных уравнениях     Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Перепишем общее решение так:

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

тогда искомое  частное  решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, запишется в виде.

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Выражение (12) показывает, что амплитуда вынужденных колебаний Механические колебания в дифференциальных уравнениях в этом случае может стать неограниченно большой даже тогда, когда q невелико. Иначе говоря, возможно получение сколь угодно больших амплитуд при малых возмущающих силах. Это явление называется резонансом. Таким образом, резонанс наступает тогда, когда частота возмущающей силы совпадает с частотой собственных колебаний.

Впрочем, в действительности точное совпадение этих частот не является необходимым. Выражение (9) для вынужденного колебания показывает, что при близости частот амплитуда Механические колебания в дифференциальных уравнениях может быть очень большой, хотя и ограниченной при фиксированных частотах k и р. Возможностью создания колебаний с значительной амплитудой часто пользуются в различных усилителях, например в радиотехнике. С другой стороны, в большом числе случаев появление больших амплитуд является вредным, ибо может приводить к разрушению конструкций (скажем, мостов или перекрытий).

Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды.

Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи с учетом сопротивления среды, пропорционального скорости движения.

Решение

Как и выше, имеем

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

или положивМеханические колебания в дифференциальных уравнениях, Механические колебания в дифференциальных уравненияхи Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Механические колебания в дифференциальных уравнениях                                            (13)

Однородным уравнением, соответствующим (13), является уравнение (3) с корнями характеристического уравнения (4). Предположим, что сопротивление среды невелико, т. е. Механические колебания в дифференциальных уравнениях. При этом общее решение однородного уравнения имеет вид (5):

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

где Механические колебания в дифференциальных уравнениях. Это решение определяет свободные колебания, которые будут затухающими. Для отыскания вынужденных колебаний ищем частное решение в виде

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Имеем:

Механические колебания в дифференциальных уравнениях Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Сравнивая коэффициенты, получаем систему

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Так как

Механические колебания в дифференциальных уравнениях  Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Механические колебания в дифференциальных уравненияхМеханические колебания в дифференциальных уравнениях  Механические колебания в дифференциальных уравнениях  Механические колебания в дифференциальных уравнениях Механические колебания в дифференциальных уравненияхМеханические колебания в дифференциальных уравненияхМеханические колебания в дифференциальных уравнениях 

то

Механические колебания в дифференциальных уравнениях и Механические колебания в дифференциальных уравнениях

и мы находим частное решение

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Преобразуем выражение Механические колебания в дифференциальных уравнениях следующим образом:
    Механические колебания в дифференциальных уравнениях.

Обозначив

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Механические колебания в дифференциальных уравнениях        Механические колебания в дифференциальных уравнениях               (14)

перепишем Механические колебания в дифференциальных уравнениях виде

Механические колебания в дифференциальных уравнениях                                                     (15)

Выражение

Механические колебания в дифференциальных уравнениях                                                    (16)

носит название сдвига фазы. Общее решение, как и в предыдущей задаче, слагается из свободных колебаний [см. формулу (5)] и собственно вынужденных колебаний (15):

Механические колебания в дифференциальных уравнениях                                      (17)

Первое слагаемое, как было сказано выше, определяет затухающие колебания, которые, особенно при большом Механические колебания в дифференциальных уравнениях, довольно скоро становятся мало ощутимыми. Что касается вынужденных колебаний (15), то их амплитуда (14) не зависит от времени и пропорциональна амплитуде Q периодического возмущения, так как Механические колебания в дифференциальных уравнениях.  Она отличается от q множителем

Механические колебания в дифференциальных уравнениях                                            (18)

характеризующим  зависимость  амплитуды вынужденного колебания от частоты возмущающей силы.

Определим максимум этой амплитуды. Для этого найдем производную функции (18)

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Положив Механические колебания в дифференциальных уравнениях, получим уравнение Механические колебания в дифференциальных уравнениях (случай р = 0  отбрасывается  как  невозможный),  корень которого дает частоту внешних сил:

Механические колебания в дифференциальных уравнениях 

при которой, как показывает проверка достаточных условий экстремума, амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной. Максимальное значение амплитуды равно

Механические колебания в дифференциальных уравнениях                                                (19)

Формула (19) показывает, что амплитуда колебаний тем больше, чем меньше п. При малых п частота р близка к частоте собственных колебаний k.

Решение   (15)   существует   всегда,   когда

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

В случае Механические колебания в дифференциальных уравненияхполучаем p=k и n= 0, и уравнение (13) превращается в уравнение (11). Здесь вновь наступает явление резонанса, при котором, как было рассмотрено выше, вынужденные колебания имеют вид (12).

Похожие работы:

  1. • Механические колебания в дифференциальных уравнениях
  2. • Механические колебания в дифференциальных уравнениях
  3. • Роль теории дифференциальных уравнений в современной ...
  4. •  ... пакета MathCad в среде Windows 98 для решения ...
  5. • Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем
  6. • Дифференциальные уравнения I и II порядка
  7. •  ... компьютерного решения дифференциальных уравнений
  8. • Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
  9. • Дифференциальные уравнения
  10. • ЭВМ с использованием математического пакета ...
  11. • Классификации гиперболических дифференциальных ...
  12. •  ... системы дифференциальных уравнений двумя методами: ...
  13. • Основные понятия математического анализа
  14. • Система автоматического регулирования напряжения ...
  15. •  ... обучения во время изложения дифференциальных уравнений
  16. • Обзор методов определения форм и частот колебаний ...
  17. • Дифференциальные уравнения неустановившегося движения ...
  18. •  ... исчисления при решении дифференциальных уравнений
  19. • Билеты по математическому анализу
Смотреть все похожие работы
Рефотека ру refoteka@gmail.com