Министерство образования Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Самарский государственный университет» механико-математический факультет
кафедра дифференциальных уравнений и теории управления специальность прикладная математика
Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
Курсовая работа
Выполнил студент
2 курса 1222 группы
Труфанов Александр Николаевич
Научный руководитель
Долгова Ольга Андреевна
__________
работа защищена
«___»___________200_г.
Оценка _______________ зав. Кафедрой профессор д.ф.-м.н.
Соболев В.А.
Самара 2004
Теорема существования и единственности решения уравнения
Пусть дано уравнение
[pic]
с начальным условием
[pic]
Пусть в замкнутой области R [pic]функции [pic]и [pic]непрерывны). Тогда на некотором отрезке [pic]существует единственное решение, удовлетворяющее начальному условию [pic].
Последовательные приближения определяются формулами:
[pic] [pic] k = 1,2....
Задание №9
Перейти от уравнения
[pic]
к системе нормального вида и при начальных условиях
[pic], [pic], [pic]
построить два последовательных приближения к решению.
Произведем замену переменных
[pic]; [pic]
и перейдем к системе нормального вида:
[pic]
Построим последовательные приближения
[pic]
[pic]
Задание №10
Построить три последовательных приближения [pic] к решению задачи
[pic], [pic]
Построим последовательные приближения
[pic]
[pic]
Задание №11
а) Задачу
[pic], [pic] свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения [pic] б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.
Сведем данное уравнение к интегральному :
[pic]
[pic]
[pic]
Докажем равномерную сходимость последовательных приближений
С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность
[pic] непрерывных функций, определенных на некотором отрезке [pic], который содержит внутри себя точку [pic]. Каждая функция последовательности определяется через предыдущую при помощи равенства
[pic] [pic]i = 0, 1, 2 …
Если график функции [pic] проходит в области Г, то функция [pic]
определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена
следующая функция [pic], нужно, чтобы и график функции [pic] проходил в
области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок [pic]достаточно коротким.
Далее, за счет уменьшения длины отрезка [pic], можно достичь того, чтобы
для последовательности [pic] выполнялись неравенства:
[pic], i = 1, 2, …,
где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:
[pic], i = 1, 2, …,
Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим [pic], например, на [pic]. На этом промежутке все последовательные приближения являются непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое приближение представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка, чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует:
[pic]
что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений.
С другой стороны, на нашем отрезке выполняется [pic], что также совершенно очевидно. А так как последовательность [pic] сходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.
Список использованной литературы
1. Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.:
Государственное издательство физико-математической литературы, 1961
2. А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.:
Интеграл-Пресс, 1998
3. О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский университет», 1999
4. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука.
Физматлит, 1998