Рефотека.ру / Математика

Реферат: Площадь поверхности тел вращения

МПС РФ

Омский Государственный Университет Путей Сообщения

Р Е Ф Е Р А Т

[pic]

«Определение площади тела вращения с помощью определенного интеграла.»

выполнила:

студентка группы 29 Г

Митрохина Анна

Проверил :

Гателюк О.В.

Омск

2000г.

ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ О ПРОИСХОЖДЕНИИ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ


Символ [pic]введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.)
Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.


В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я.
Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви математики
- интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Самое важное из истории интегрального исчисления!


Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней
Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом
Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок.
287 - 212 до н. э.).


Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.


Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой
Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести .


[pic]


Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.


[pic]


Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме
S = [pic] бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.


На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер
(1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и
“Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей
(например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).


Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери
(1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).


В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y =[pic], где N - целое (т. е. вывел формулу [pic][pic]), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И.
Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.


[pic]


Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано:

дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии
(в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И.
Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский
(1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.


Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке,
Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).


Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.


[pic]


Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А.
Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)

ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.

Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг оси Ох.

Определим площадь этой поверхности на участке а ? х ? b. Функцию f(x) предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках отрезка [a;b]. Проведем хорды АМ1, М1М2,….Мn-1B длины которых обозначим через ?S1, ?S2… ?Sn (рис. 1). Каждая хорда длины ?Si (i=1,2,….n) при вращении опишет усеченный конус, поверхность которого ?Pi равна:

Применяя теорему Лагранжа получим:

,где

Следовательно

Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме


, или сумме

, (1)

распространенной на все звенья ломаной.

Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ?Si стремится к нулю, называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не является интегральной суммой для функции

(2)

, так как в слагаемом, соответствующем отрезку [xi-1, xi ], фигурирует несколько точек этого отрезка xi-1, xi ,?i.. Но можно доказать, что предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т.е.

или

(3)

Формула (3) определяет площадь Р поверхности теля вращения возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке а ? x ? b неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией f(x).

Если вращающаяся кривая задана параметрически: x=?(t), y=?(t) (t0 ? t ? t1) то формула (3) имеет вид,

(3/)

-----------------------
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Похожие работы:

  1. • Объем фигур вращения правильных многогранников
  2. • Вычисление интегралов
  3. • Папп Александрийский. Теоремы Паппа-Гульдена
  4. • Циклоида
  5. • Применение дифференциального и интегрального исчисления к ...
  6. • Кривые третьего и четвертого порядка
  7. • Обобщающее повторение по геометрии на примере темы ...
  8. • Разработка технологического процесса изготовления детали с ...
  9. • История развития начертательной геометрии
  10. • Бернулли
  11. • Продольное и поперечное обтекание тел вращения
  12. • Особенности жизнедеятельности организмов
  13. • Расчет сверхзвукового обтекания заостренных тел ...
  14. • Технология машиностроения
  15. • Модернизация станка Nagel
  16. • Детская анестезиология
  17. • Адиуретин-СД в педиатрической практике
  18. • Землетрясения, их медицинские последствия
  19. • Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших ...
Смотреть все похожие работы
Рефетека ру refoteka@gmail.com