МОУ СОШ «УК №20»

Иррациональные

уравнения и неравенства

[pic] реферат по алгебре ученика 11 «В» класса

Торосяна
Левона

Руководитель:

Олейникова Р. М.

Сочи 2002г.

Содержание.

I. Введение

II. Основные правила

III. Иррациональные уравнения:

. Решение иррациональных уравнений стандартного вида.

. Решение иррациональных уравнений смешанного вида.

. Решение сложных иррациональных уравнений.

IV. Иррациональные неравенства:

. Решение иррациональных неравенств стандартного вида.

. Решение нестандартных иррациональных неравенств.

. Решение иррациональных неравенств смешанного вида.

V. Вывод

VI. Список литературы

I. Введение

Я, Торосян Левон, ученик 11 «В» класса, выполнил реферат по теме:
«Иррациональные уравнения и неравенства».

Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают.

Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и неравенств.

В реферате показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому реферат можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также рефератом можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.

II. Иррациональные уравнения
Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.
Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.
Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом:

[pic]

[pic]

[pic]

Решение иррациональных уравнений стандартного вида:

а) Решить уравнение [pic] = x – 2,
Решение.
[pic] = x – 2,
2x – 1 = x2 – 4x + 4,

Проверка: x2 – 6x + 5 = 0, х = 5, [pic] = 5 – 2, x1 = 5,

3 = 3 x2 = 1 – постор. корень х = 1, [pic][pic]1 – 2 ,
Ответ: 5 пост. к. 1 [pic]-1.

б) Решить уравнение [pic] = х + 4,
Решение.
[pic] = х + 4,
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: -1

в) Решить уравнение х – 1 = [pic]
Решение. х – 1 = [pic] х3 – 3х2 + 3х – 1 = х2 – х – 1, х3 – 4х2 + 4х = 0, х(х2 – 4х + 4) = 0, х = 0 или х2 – 4х + 4 = 0,

(х – 2)2 = 0, х = 2
Ответ: 0; 2.

г) Решить уравнение х – [pic] + 4 = 0,
Решение. х – [pic] + 4 = 0, х + 4 = [pic],
Проверка: х2 + 8х + 16 = 25х – 50, х = 11,

11 – [pic] + 4 = 0, х2 – 17х + 66 = 0,

0 = 0 х1 = 11, х = 6, 6 – [pic] + 4 = 0, х2 = 6.

0 = 0.
Ответ: 6; 11.

Решение иррациональных уравнений смешанного вида:

. Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля: а) Решить уравнение [pic] = [pic]
Решение.
[pic] = [pic], [pic] –

+

x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

[pic] или [pic]

[pic][pic] [pic]

[pic]

[pic] [pic]

[pic]

[pic]
Ответ: [pic]

б) Решить уравнение [pic]
Решение.
[pic],[pic] [pic] –

+ x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

[pic] или [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]

Ответ: [pic].

. Иррациональные показательные уравнения:

а) Решить уравнение [pic]

Решение.

[pic] ОДЗ: [pic]
[pic]
Пусть [pic] = t, t > 0
[pic]
Сделаем обратную замену:
[pic] = 1/49, или [pic] = 7,
[pic] = [pic], [pic]
[pic]– (ур-ние не имеет решений) x = 3.
Ответ: 3

б) Решить уравнение [pic]

Решение.

Приведем все степени к одному основанию 2:

[pic]

[pic]данное уравнение равносильно уравнению:

[pic]

Ответ: 0,7

. Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:
Решить уравнение [pic]
Решение.
[pic] возведем обе части уравнения в квадрат
3x – 5 – 2[pic]
2x – 2 = 2[pic] x –1 = [pic] x[pic] Проверка: x[pic] x = 3, [pic]
4x[pic]

1 = 1. x = 1,75 [pic]

Ответ: 3.

. Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени:
Решить уравнение [pic]
Решение.
[pic] возведем обе части уравнения в куб
[pic]
[pic] но [pic], значит:
[pic]
[pic] возведем обе части уравнения в куб
(25 + x)(3 – x) = 27,
[pic]
Ответ: –24; 2.

. Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:

а) Решить уравнение [pic]

Решение.
[pic]
Пусть [pic] = t, тогда [pic] = [pic], где t > 0 t – [pic]
[pic]
Сделаем обратную замену:
[pic]= 2, возведем обе части в квадрат
[pic] Проверка: x = 2,5 [pic]
Ответ: 2,5.

б) Решить уравнение [pic]
Решение.
[pic]
Пусть [pic] = t, значит [pic]= [pic], где t > 0 t[pic]+ t – 6 = 0,
[pic]
Сделаем обратную замену:
[pic] = 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень x[pic] + 8 = 16,
Проверка: x[pic] = 8, x =
2, [pic] x = 2.

6 = 6
Ответ: 2.

в) Решить уравнение [pic]
Решение.
[pic]
[pic]
Пусть [pic] = t, где t > 0
[pic]
Сделаем обратную замену:
[pic] = 2, возведем обе части уравнения в квадрат
[pic] Проверка: [pic] [pic]
[pic] [pic],

[pic]

Ответ: –5; 2.

Решение сложных иррациональных уравнений:

. Иррациональное уравнение, содержащее двойную иррациональность:
Решить уравнение [pic]
Решение.
[pic] возведем обе части уравнения в куб
[pic]
[pic] возведем обе части уравнения в квадрат
[pic]
Пусть [pic] = t t 2– 11t + 10 = 0,
[pic] [pic]
Сделаем обратную замену:
Проверка:
[pic]= 10, или [pic]= 1, x = [pic], [pic] x = [pic]-пост. корень [pic]

0 [pic] [pic]
Ответ: 1. x = 1, [pic]

1 = 1

. Иррациональные логарифмические уравнения: а) Решить уравнение lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg[pic]
Решение. lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg[pic], lg(3[pic] = lg[pic],
Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: 32,75

б) Решить уравнение [pic]
Решение.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] [pic]
Ответ: [pic]; – 2; 3.
IV. Иррациональные неравенства
Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит под знак корня (радикала).
Иррациональное неравенство вида [pic] равносильно системе неравенств:
[pic]
Иррациональное неравенство вида [pic] равносильно совокуп-ности двух систем неравенств:
[pic] и [pic]

Решение иррациональных неравенств стандартного вида:

а) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство равносильно системе неравенств:

[pic]
[pic] [pic]
[pic]

+ – +

Ответ: [1; 2).

1 3 x б) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:

[pic] [pic]
[pic]
Ответ: [pic]

в) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство равносильно системе неравенств:

[pic]
[pic] [pic]

Ответ: нет решений[pic]

Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:

а) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство равносильно системе неравенств:

[pic]
Ответ: [pic]

б) Решить неравенство[pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство равносильно системе неравенств:

[pic]
[pic]
[pic]

[pic]
[pic] [pic]
[pic]
Ответ: [pic]

. Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при умножении и делении:

а) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Учитывая то, что [pic][pic] и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:

[pic] [pic]
[pic]
Ответ: [pic]

б) Решить неравенство (2x – 5)[pic]
Решение.
(2x – 5)[pic]

Учитывая то, что [pic] и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:

[pic] [pic]
Ответ: [pic]

. Решение иррациональных неравенств способом группировки:
Решить неравенство [pic]
Решение.

[pic],
[pic] сгруппируем по два слагаемых
[pic]
[pic]
[pic] вынесем общий множитель за скобку
[pic] учитывая, что [pic]> 0 и правило знаков при умножении данное неравенство равносильно системе неравенств:

[pic] [pic]

Ответ: [pic] ( 0; 1 )

. Иррациональное неравенство, содержащее два знака иррациональности:

Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

[pic]
[pic] [pic]
[pic]
Ответ: [pic]

. Решение иррациональных неравенств заменой:
Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]

Пусть [pic] = t, тогда [pic] = [pic], t > 0
[pic]

[pic]
[pic]
[pic]

[pic]

Сделаем обратную замену:

[pic]возведем в квадрат обе части неравенства

[pic]

[pic]

[pic]

Ответ: [pic]

Решение иррациональных неравенств смешанного вида:

. Иррациональные показательные неравенства: а) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic],
[pic] т.к. y = 0,8t [pic], то
0,5x(x – 3) < 2,
0,5x2 – 1,5x – 2 < 0, x2 – 3x – 4 < 0, f(x) = x2 – 3x – 4,
ОДЗ[pic], +

– +
Нули функции: x1 = 4; x2 = – 1. –1

4 x

Ответ: х[pic]

б) Решить неравенство 4[pic]– 2[pic] < 2[pic]– 32
Решение.
4[pic]– 2[pic] < 2[pic]– 32, ОДЗ: x > 0
2[pic]– 2[pic][pic] 2 < 2[pic][pic] 24 – 25, выполним группировку слагаемых
2[pic](2[pic]– 2) – 24(2[pic]–2) < 0,
(2[pic]– 2) [pic] (2[pic]– 24) < 0, учитывая правило знаков и ОДЗ данное неравенство равносильно 2-м системам:

[pic] или [pic]
[pic]
[pic]т.к. y = 2t [pic], то [pic] т.к. y = 2t [pic], то
[pic] [pic]

[pic] [pic]

Ответ: х[pic]

. Решение иррациональных логарифмических неравенств:

Решить неравенство [pic]

Решение.

[pic] уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств

[pic]

[pic]

[pic]
[pic] [pic]

Ответ: [pic]

V. Вывод

Реферат помог мне научиться решать иррациональные уравнения и неравенства следующих типов: стандартные, показательные, содержащие знак модуля, логарифмические, повышенного уровня.
Примеры взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника задач по математике под редакцией М.И. Сканави.
Этот материал может быть интересен и полезен выпуск – никам школ и абитуриентам технических вузов.

[pic]

VI. Список литературы

1) Алгебра и начала анализа. Под редакцией

А.Н. Колмогорова

2) 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин,

В.П. Норин

3) Справочные материалы по математике. Авторы: В.А.

Гусев, А.Г. Мордкович

4) Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави

5) Справочный материал

-----------------------
[pic]

[pic]