Министерство образования Российской Федерации

Ставропольский Государственный университет

Кафедра математического анализа

Курсовая работа на тему :

«Дзета-функция Римана»

Выполнил: студент 2го курса ФМФ группы «Б» Симонян Сергей

Олегович

Ставрополь, 2004 г.

Введение.

Функция – одно из основных понятий во всех естественнонаучных дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получают интуитивное представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знаний пополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная, степенная, показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда добавляются интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма- и бета- функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие.

Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует. Это понятие является в математике первичным, аксиоматизируется. Однако, под функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу какого-то множества X ставится в соответствие один или несколько элементов множества
Y. Элементы множества X называются аргументами, а множества Y – значениями функции. Если каждому аргументу соответствует одно значение, функция называется однозначной, если более одного – то многозначной. Синонимом функции является термин «отображение». В простейшем случае множество X может быть подмножеством поля действительных R или комплексных C чисел.
Тогда функция называется числовой. Нам будут встречаться только такие отображения.

Функции могут быть заданы многими различными способами: словесным, графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будем рассматривать в этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на такое нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она может быть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к различным теоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней наук.

Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана, имеющей широчайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в науку великий швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её свойства.
Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик Бернгард
Риман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовал несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них он распространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл её аналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньших заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участием функции [pic] и высказал свою гипотезу о нулях дзета-функции, над доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются лучшие умы человечества уже почти 150 лет.

Научная общественность считала и считает решение этой проблемы одной из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на Международной
Парижской математической конференции 1900 году с подведением итогов развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в список 23 проблем, подлежащих решению в новом столетии и способных продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году американский
The Clay Mathematics Institute назвал семь задач, за решение каждой из которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала гипотеза
Римана.

Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет и интересным, и полезным.

Глава 1.

Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции
Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в вещественной области, исходя из её определения с помощью ряда.

Определение. Дзета-функцией Римана ?(s) называют функцию, которая любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда

[pic]

(1) если она существует.

Основной характеристикой любой функции является область определения.
Найдём её для нашей функции.

Пусть сначала s?0, тогда s=-t, где t принадлежит множеству неотрицательных действительных чисел R+[pic]{0}. В этом случае [pic] и ряд
(1) обращается в ряд [pic], который, очевидно, расходится как при t>0, так и при t=0. То есть значения s?0 не входят в область определения функции.

Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда (1) воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом s рассмотрим функцию [pic], где
[pic], которая является на промежутке непрерывной, положительной и монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:

1) 01. Перепишем ряд (1) в виде [pic]. Как было выше показано, ряд [pic] сходится, а функции [pic] при s>s0 монотонно убывают и все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>s0 ряд (1) сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что в любой точке s>s0 дзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности s0 ?(s) непрерывна на всей области определения.

Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально, найдём производную дзета-функции Римана:

[pic]

(2).
Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд
(2) равномерно сходится на промежутке [pic] и воспользоваться теоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s0>1 и представим ряд (2) в виде [pic] для s>s0. Множители [pic], начиная с n=2, монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку
Абеля ряд (2) сходится равномерно при s>s0, а значит и при любом s>1. Какое бы значение s>1 ни взять его можно заключить между [pic] и [pic], где
[pic], а [pic]; к промежутку [pic] применима вышеуказанная теорема.

Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:

[pic].

Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки s=1.

В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теореме о почленном переходе к пределу, имеем [pic]. При n=1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому [pic].

Чтобы исследовать случай [pic], докажем некоторые вспомогательные оценки.

Во-первых, известно, что если для ряда [pic] существует непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция [pic], определённая на множестве
[pic], такая, что [pic], и имеет первообразную [pic], то остаток ряда оценивается так: [pic], где [pic]. Применяя вышесказанное к ряду
(1), найдём, что необходимая функция
[pic], а [pic] и [pic]. Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем

[pic] (3).
В левом неравенстве положим n=0, тогда [pic], то есть [pic]. В правом же возьмём n=1 и получим [pic], далее [pic], [pic] и, наконец, [pic]. Переходя в неравенствах [pic] к пределу при [pic], находим [pic].

Отсюда, в частности, следует, что [pic]. Действительно, положим [pic].
Тогда [pic], то есть [pic] [pic]. Поэтому [pic]. Из того, что [pic], а
[pic], вытекает доказываемое утверждение.

Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше, принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n равенства [pic]. Прибавим ко всем частям неравенств (3) сумму [pic] и вычтем [pic]. Имеем [pic]. Пусть здесь s стремится к единице. По правилу
Лопиталя легко вычислить [pic] и [pic]. Мы пока не знаем, существует ли предел выражения [pic] при [pic], поэтому, воспользовавшись наибольшим и наименьшим пределами, напишем неравенства так: [pic]
[pic]. Ввиду произвольности n возьмём [pic]. Первое и последнее выражения стремятся к эйлеровой постоянной C (C[pic]0,577). Значит [pic], а, следовательно, существует и обычный предел и [pic].

Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу, которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно, определим значения [pic], где k – натуральное число.

Возьмём известное разложение [pic], где [pic] - знаменитые числа
Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое [pic] в левую часть равенства. Слева получаем [pic]
[pic]cth[pic], а в правой части - [pic], то есть [pic]cth[pic]. Заменяем
[pic] на [pic], получаем [pic]cth[pic].

С другой стороны, существует равенство cth[pic], из которого
[pic]cth[pic]. Подстановкой [pic] вместо [pic] находим [pic]cth[pic] [pic].
Если [pic], то для любого [pic]N [pic] [pic] и по теореме о сложении бесконечного множества степенных рядов [pic]cth[pic] [pic].

Приравняем полученные разложения: [pic]
[pic], следовательно [pic]. Отсюда немедленно следует искомая формула

[pic]

(4), где [pic] - k-е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.

Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всей области определения.

[pic]

Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже принимают за определение:

[pic], где pi – i-е простое число

(4).

Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство [pic]
[pic] Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящим заданного натурального числа N, то получившееся частичное произведение окажется равным [pic], где символ * означает, что суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении содержат только простые числа меньшие N. Так как первые N натуральных чисел этим свойством обладают, то

[pic]

(5).
Сумма [pic] содержит не все числа, большие N+1, поэтому, очевидно, [pic].
Из (5) получаем

[pic]
(6).
Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток после N-го члена, стремится к нулю при N стремящимся к бесконечности, а
[pic] есть произведение (4). Значит из неравенства при [pic] [pic], что и требовалось доказать.

Формула (4) важна потому, что она связывает натуральный ряд, представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множеством простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив [pic], а именно показав, что [pic], где [pic] остаётся ограниченным при [pic].

Из (4) следует, что [pic], где [pic]N, а [pic] при [pic]. Возьмём логарифм от обеих частей равенства, тогда [pic] [pic]. Натуральные логарифмы под знаком суммы разлагаются в ряд: [pic] [pic]. Подставив полученные разложения в равенство и устремив N к бесконечности, имеем
[pic]. Остаётся доказать ограниченность последнего слагаемого. Ясно, что
[pic]. Последнее равенство справедливо, так как [pic] [pic]. Далее, очевидно, [pic], что и завершает доказательство.

На этом закончим изложение свойств дзета-функции Римана для действительного аргумента, так как наибольший теоретический и прикладной интерес представляет случай изложенный во второй главе.

Глава 2.

Все результаты первой главы, касающиеся дзета-функции Римана, были получены в предположении, что её аргумент s – действительное число. Однако, самые выдающиеся исследования и многочисленные важные приложения стали возможны лишь после включения в область определения функции комплексных чисел. Впервые рассмотрел дзета-функцию как функцию мнимого аргумента немецкий математик Бернгард Риман, глубоко изучивший её свойства и широко применявший её в теории чисел. В честь него функция получила своё название.

Для комплексной дзета-функции остаётся в силе определение, данное в главе 1, с тем лишь изменением, что теперь там будет [pic]C. Возникает необходимость найти новую область определения. С этой целью докажем следующее утверждение: в полуплоскости [pic] ([pic] действительная часть числа x) ряд

[pic]

(1) сходится абсолютно.

Пусть [pic]. Подсчитаем абсолютные величины членов ряда (1), [pic].
Первый множитель содержит только вещественные числа и [pic], так как [pic].
Ко второму же множителю применим знаменитую формулу Эйлера, получим
[pic][pic]. Значит, [pic]. Ввиду сходимости ряда [pic] при ?>1, имеем абсолютную сходимость ряда (1).

На своей области определения дзета-функция аналитична. Действительно, при всяком q>0 и фиксированном ?>1+q, числовой ряд [pic] мажорирует ряд из абсолютных величин [pic], где [pic], откуда, по теореме Вейерштрасса, следует равномерная сходимость ряда в полуплоскости [pic]. Сумма же равномерно сходящегося ряда из аналитических функций сама является аналитической функцией.

Нетрудно показать, что все полученные для дзета-функции формулы без изменений переносятся на случай комплексного аргумента. Доказательства претерпевают незначительные преобразования, связанные с переходом к абсолютным величинам.

В связи с этим замечанием становится возможным использовать разложение дзета-функции в произведение [pic], где s теперь любое комплексное число, такое, что [pic]. Применим его к доказательству отсутствия у функции [pic] корней.

Оценим величину [pic], используя свойство модуля [pic]: [pic], где как обычно [pic]. Так как [pic], то [pic], а [pic], следовательно, дзета- функция в нуль не обращается.

Вопрос о нулях дзета-функции, а также другие прикладные вопросы получают новые широкие возможности для исследования, если распространить её на всю комплексную плоскость. Поэтому, сейчас мы одним из многих возможных способов найдём аналитическое продолжение дзета-функции и выведем её функциональное уравнение, характеризующее и однозначно определяющее [pic].

Для этого нам понадобится формула

[pic] (2), которая выводится следующим образом. Используя свойства интегралов можно записать [pic]. Для любого d при [pic] [pic], значит
[pic] и [pic], а [pic]. [pic]. Следовательно, [pic] [pic] [pic][pic][pic].
Интеграл [pic] можно найти интегрированием по частям, принимая [pic],
[pic]; тогда [pic], а [pic]. В результате [pic] [pic]. Вычтем из этого интеграла предыдущий и получим [pic], отсюда легко следует равенство (2).

Теперь положим в (2) [pic], [pic], a и b – целые положительные числа.
Тогда [pic] [pic]. Пусть сначала [pic], примем a=1, а b устремим к бесконечности. Получим [pic]. Прибавим по единице в обе части равенств:

[pic]

(3).

Выражение [pic] является ограниченным, так как [pic], а функция [pic] абсолютно интегрируема на промежутке [pic] при [pic], то есть при [pic],
[pic]. Значит, интеграл [pic] абсолютно сходится при [pic], причём равномерно в любой конечной области, лежащей в комплексной плоскости справа от прямой [pic]. Тем самым он определяет аналитическую функцию переменной s, регулярную при [pic]. Поэтому правая часть равенства (3) представляет собой аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость [pic] и имеет там лишь один простой полюс в точке [pic] с вычетом, равным единице.

Для [pic] можно преобразовать выражение (3) дзета-функции. При [pic] имеем [pic], значит, [pic] и[pic]. Теперь при [pic] (3) может быть записано в виде [pic].

Немного более сложными рассуждениями можно установить, что в действительности (3) даёт аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость [pic]. Положим [pic], а [pic], то есть [pic] первообразная для [pic]. [pic] ограничена, так как [pic], а интеграл [pic] [pic] и [pic]
[pic] ограничен из-за того, что [pic]. Рассмотрим интеграл [pic] при x1>x2 и [pic]. Проинтегрируем его по частям, приняв [pic], [pic], тогда [pic], а по указанному выше утверждению [pic]. Получаем [pic] [pic]. Возьмём [pic], а [pic]. Имеем [pic], [pic], потому что [pic] является ограниченной функцией. Значит,

[pic]

(4).

Пользуясь абсолютной сходимостью интеграла [pic], если [pic], и ограниченностью функции [pic], делаем вывод, что в левой части равенства
(4) интеграл тоже сходится при [pic]. Значит формулой (3) можно продолжить дзета-функцию и на полуплоскость правее прямой [pic].

Нетрудно установить, что для отрицательных [pic] [pic], поэтому из (3) имеем

[pic]

(5) при [pic].

Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений x справедливо разложение в ряд

[pic]

(6).

Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:
[pic]. Сделаем в полученном интеграле подстановку [pic], отсюда следует
[pic], а [pic], и получим далее [pic]. Известно, что [pic] [pic], значит
[pic] [pic]. Из известного соотношения для гамма-функции [pic], по формуле дополнения [pic], следовательно [pic] [pic]

Итак, мы получили функциональное уравнение дзета-функции Римана

[pic]

(7), которое само по себе может служить средством изучения этой функции, так как вполне характеризует её, в том смысле, что любая другая функция [pic], удовлетворяющая равенству (7), а также ещё некоторым естественным условиям, тождественна с [pic].

Пока, правда, как следует из рассуждений, мы доказали формулу (7) для
[pic]. Однако правая часть этого равенства является аналитической функцией s и при [pic]. Это показывает, что дзета-функция может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость, причём не имеет на ней никаких особенностей, кроме упоминавшегося полюса при [pic].

Чтобы доказательство было строгим, мы должны ещё обосновать почленное интегрирование. Поскольку ряд (6) сходится почти всюду и его частичные суммы остаются ограниченными, почленное интегрирование на любом конечном отрезке допустимо. Ввиду [pic] [pic] для любого [pic], остаётся доказать, что [pic] [pic] при [pic]. Но интегрируя внутренний интеграл по частям имеем [pic]
[pic]. Отсюда без труда получается наше утверждение.

Функциональное уравнение дзета-функции (7) может быть записано многими способами. Например, заменим s на 1-s, получаем равносильное равенство

[pic]

(8). Из него можно получить два небольших следствия.

Подставим в (8) вместо s число 2m, где m – натуральное число. Имеем
[pic]. По формуле (4) первой главы [pic] [pic], а [pic], поэтому [pic] и произведя в правой части все сокращения, учитывая, что [pic], получим
[pic].

Покажем ещё, что [pic]. Для этого прологарифмируем равенство (8):
[pic] [pic] и результат продифференцируем [pic] [pic]. В окрестности точки s=1 [pic], [pic] [pic], [pic], где С – постоянная Эйлера, а k – произвольная постоянная. Следовательно, устремляя s к единице, получим
[pic], то есть [pic]. Опять из формулы (4) главы 1 при k=0 [pic], значит, действительно, [pic].

Глава 3.

Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется в математическом анализе. Однако наиболее полно важность её выявляется в теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучении распределения простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ о серьезных и нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за рамки этой работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой функции, докажем с её помощью несколько интересных утверждений.

Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самое знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит в следующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел, обозначим их p1, p2, … , pn. Рассмотрим число p1p2…pn+1, оно не делится ни на одно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является простым числом, отличным от вышеуказанных, что противоречит предположению.
Значит, количество простых чисел не может быть конечным.

Другое доказательство этого факта, использующее дзета-функцию, было дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство (5) при s=1, получим [pic], отсюда [pic] и ввиду расходимости гармонического ряда, имеем при [pic]

[pic]

(1). Если бы количество простых чисел было конечным, то и это произведение имело конечное значение. Однако, полученный результат свидетельствует об обратном. Доказательство завершено.

Теперь перепишем (1) в виде [pic]. Опираясь на теорему о сходимости бесконечного произведения, из расходимости предыдущего делаем вывод, что ряд [pic] расходится. Это предложение даёт некоторую характеристику роста простых чисел. Подчеркнём, что оно гораздо сильнее утверждения о расходимости гармонического ряда, так как здесь речь идёт лишь о части его членов, тем более что в натуральном ряде имеются сколь угодно длинные промежутки без простых чисел, например: [pic], [pic], … , [pic].

Несмотря на свою простоту приведённые выше предложения важны в концептуальном плане, так как они начинают череду исследований всё более и более глубоких свойств ряда простых чисел, которая продолжается по сей день. Первоначально, основной целью изучения дзета-функции как раз и было исследование функции [pic], то есть количества простых чисел не превосходящих x. В качестве примера формулы, связывающей [pic] и [pic], мы сейчас получим равенство

[pic]

(2).

Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение: [pic].
Из логарифмического ряда [pic], учитывая, что [pic], приходим к ряду [pic]
[pic]. Значит, [pic].

Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при [pic] [pic], то [pic]. Во внутреннем интеграле положим [pic], тогда [pic] и [pic], отсюда [pic].В промежутке интегрирования [pic], поэтому верно разложение
[pic] и [pic] [pic]. Получаем [pic] [pic]. Теперь [pic] [pic] [pic]. Если сравнить полученное значение интеграла с рядом для [pic], то увидим, что они тождественны и равенство (2) доказано.

Используем формулу (2) для доказательства одной очень серьёзной и важной теоремы, а именно получим асимптотический закон распределения простых чисел, то есть покажем, что [pic].

В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий математик
Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность ещё в пятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математических таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов.

Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемся разрешить это уравнение относительно [pic], то есть обратить интеграл. Сделаем это с помощью формулы обращения Меллина следующим образом. Пусть [pic] [pic].
Тогда

[pic]

(3). Этот интеграл имеет нужную форму, а [pic] не повлияет на асимптотику [pic]. Действительно, так как [pic], интеграл для [pic] сходится равномерно в полуплоскости [pic], что легко обнаруживается сравнением с интегралом [pic]. Следовательно, [pic] регулярна и ограничена в полуплоскости [pic]. То же самое справедливо и относительно [pic], так как [pic] [pic].

Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы весьма затруднительно выполнить интегрирование. Поэтому прежде преобразуем равенство (3) следующим образом. Дифференцируя по s, получаем [pic].
Обозначим левую часть через [pic] и положим [pic], [pic], ([pic], [pic] и
[pic] полагаем равными нулю при [pic]). Тогда, интегрируя по частям, находим [pic] при [pic], или [pic].

Но [pic] непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале, а так как [pic], то [pic] ([pic]) и [pic] ([pic]).
Следовательно, [pic] абсолютно интегрируема на [pic] при [pic]. Поэтому
[pic] при [pic], или [pic] при [pic]. Интеграл в правой части абсолютно сходится, так как [pic] ограниченна при [pic], вне некоторой окрестности точки [pic]. В окрестности [pic] [pic] и можно положить [pic], где [pic] ограниченна при [pic], [pic] и имеет логарифмический порядок при [pic].
Далее, [pic] [pic]. Первый член равен сумме вычетов в особых точках, расположенных слева от прямой [pic], то есть [pic]. Во втором члене можно положить [pic], так как [pic] имеет при [pic] лишь логарифмическую особенность. Следовательно, [pic]. Последний интеграл стремится к нулю при
[pic]. Значит,

[pic]

(4).
Чтобы перейти обратно к [pic], используем следующую лемму.

Пусть [pic] положительна и не убывает и пусть при [pic] [pic]. Тогда
[pic].

Действительно, если [pic] - данное положительное число, то [pic] [pic]
([pic]). Отсюда получаем для любого [pic] [pic] [pic]. Но так как [pic] не убывает, то [pic]. Следовательно, [pic]. Полагая, например, [pic], получаем
[pic].

Аналогично, рассматривая [pic], получаем [pic], значит [pic], что и требовалось доказать.

Применяя лемму, из (4) имеем, что [pic], [pic], поэтому [pic] и теорема доказана.

Для ознакомления с более глубокими результатами теории дзета-функции
Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемому списку использованной литературы.

Список использованной литературы.

1. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000 г.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II. М.,1970 г.

3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.

М.,1999 г.

4. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.,1987 г.

5. Шафаревич З.А. Теория чисел. М.,1986г.