Действительные числа:

Теорема: R - несчётное множество.

Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1) 

X1=0,n11n12n13…n1k…       m1Î{0,1,…,9}{9,n11}

X2=0,n21n22n23…n2k…       m2Î{0,1,…,9}{9,n22}

………………………       ………………………

Xk=0,nk1nk2nk3…nkk…       mkÎ{0,1,…,9}{9,nkk}

a=0,m1m2…mk… Þ a¹x1 a¹x2 a¹x3 …… a¹xk

aÏ(0;1) Противоречие.

0/P PПочти все - это значит за исключением быть может конечного числа./P PFONT face=Symbol$/FONTnsub0/sub=nsub0/sub(FONT face=Symbole/FONT)FONT face=SymbolÎ/FONTN: n>n0 Þ |xn-a|b, a-b=e>0

$n0=n0(e/3):|xn-a|0 $n0=n0(e) n>n0 Þ |xn|0 $n0=n0(e) n>n0 Þ |xn|>e

Свойство 1. Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м.

{xn}-б.м. {yn}-ограниченная {xnyn}-б.м.

Док-во: $M>0:|yn|£M "n - значит ограничена.

"e>0 $n0=n0(e/M):n>n0 Þ |xn|n0 |xnyn|=|xn||yn|£e/M*M=e Þ {xnyn}-б.м.

Свойство 2. Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б.

{xn}-б.б. и {yn}-отдел от нуля

Док-во: {1/xn*1/yn}=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству)Þ {xnyn}-б.б.

Свойство 3. Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м.

{xn} и {yn}-б.м. Þ{xn+yn}-б.м.

Док-во: "e $n|=n|(e/2):n>n| |xn|n|| |yn|n0 Þ |xn+yn|£|xn|+|yn|