Рефетека.ру / Математика

Реферат: Сфера Sⁿ

СФЕРА Сфера Sⁿ

 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................... 3

МНОЖЕСТВО Сфера Sⁿ И РАССТОЯНИЕ В НЁМ........................... 4

ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В Сфера Sⁿ............... 5

СФЕРА Сфера Sⁿ...................................................................................... 6

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРЫ Сфера Sⁿ.................................... 7

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.................. 11

ВВЕДЕНИЕ

Многие величины, представляющие интерес, зависят не от одного, а от очень многих факторов, и если сама величина и каждый из определяющих его факторов могут быть охарактеризованы некоторым числом, то указанная зависимость сводится к тому, что упорядоченному набору Сфера Sⁿ чисел, каждое из которых описывает состояние соответствующего фактора, становится в соответствие значение Сфера Sⁿ исследуемой величины, которое она приобретает при этом состоянии определяющих величину факторов.

Например, площадь прямоугольника есть произведение длин его сторон; объём данного количества газа вычисляется по формуле

Сфера Sⁿ,

где Сфера Sⁿ – постоянная, Сфера Sⁿ – масса, Сфера Sⁿ – абсолютная температура и Сфера Sⁿ – давление газа. Таким образом, значение Сфера Sⁿ зависит от переменной упорядоченной тройки чисел Сфера Sⁿ или, как говорят Сфера Sⁿ есть функция трёх переменных Сфера Sⁿ.

Мы ставим себе целью научиться исследовать функции многих переменных так же, как мы научились исследовать функции одного переменного.

Как и в случае функции одного переменного, изучение функции многих числовых переменных начинается с описания их области определения.


МНОЖЕСТВО Сфера Sⁿ И РАССТОЯНИЕ В НЁМ.

Условимся через Сфера Sⁿ обозначать множество всех упорядоченных наборов Сфера Sⁿ, состоящих из Сфера Sⁿ действительных чисел Сфера Sⁿ Сфера Sⁿ.

Каждый такой набор будем обозначать одной буквой Сфера Sⁿ и в соответствии с удобной геометрической терминологии называть точкой множества Сфера Sⁿ.

Число Сфера Sⁿ в наборе Сфера Sⁿ называют Сфера Sⁿ-й координатой точки Сфера Sⁿ.

Геометрические аналогии можно продолжить и ввести на множестве Сфера Sⁿ расстояние между точками Сфера Sⁿ, Сфера Sⁿ по формуле

Сфера Sⁿ                               (1)

Функция

Сфера Sⁿ,

определяемая формулой (1), очевидно, обладает следующими свойствами:

a) Сфера Sⁿ;

b) Сфера Sⁿ;

c) Сфера Sⁿ;

d) Сфера Sⁿ.

Последнее неравенство (называемое опять-таки по геометрической аналогии неравенством треугольника) есть частный случай неравенства Минковского.

Функцию, определённую на парах Сфера Sⁿ точек некоторого множества Сфера Sⁿ и обладающую свойствами a), b), c), d), называют метрикой или расстоянием в Сфера Sⁿ.

Множество Сфера Sⁿ вместе с фиксированной в нём метрикой называют метрическим пространством.

Таким образом, мы превратили Сфера Sⁿ в метрическое пространство, наделив Сфера Sⁿ метрикой, заданной соотношением (1).

Из соотношения (1) следует, что при Сфера Sⁿ

Сфера Sⁿ                                  (2)

т. е. расстояние между точками Сфера Sⁿ мало в том и только в том случае, когда мало отличаются соответствующие координаты этих точек.

Из (2), как и из (1), видно, что при Сфера Sⁿ множество Сфера Sⁿ совпадает с множеством действительных чисел, расстояние между точками которого измеряется стандартным образом посредством модуля разности чисел.

ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В Сфера Sⁿ

Определение 1. При Сфера Sⁿ множество

Сфера Sⁿ

называется шаром с центром Сфера Sⁿ радиуса Сфера Sⁿ или также Сфера Sⁿ-окрестностью точки Сфера Sⁿ.

Определение 2. Множество Сфера Sⁿ называется открытым в Сфера Sⁿ, если для любой точки Сфера Sⁿ найдётся шар Сфера Sⁿ такой, что Сфера Sⁿ.

Пример 1. Сфера Sⁿ – открытое множество в Сфера Sⁿ.

Пример 2. Сфера Sⁿ – пустое множество – вообще не содержит точек и потому может считаться удовлетворяющим определению 2, т. е. Сфера Sⁿ – открытое множество в Сфера Sⁿ.

Пример 3. Шар Сфера Sⁿ – открытое множество в Сфера Sⁿ.

Действительно, если Сфера Sⁿ, т. е. Сфера Sⁿ, то при Сфера Sⁿ будет Сфера Sⁿ, поскольку

Сфера Sⁿ.

Пример 4. Множество Сфера Sⁿ, т. е. совокупность точек, удалённых от фиксированной точки Сфера Sⁿ на расстояние больше чем Сфера Sⁿ является открытым, что, как и в примере 3, легко проверить, используя неравенство треугольника для метрики.

Определение 3. Множество Сфера Sⁿ называется замкнутым в Сфера Sⁿ, если его дополнение Сфера Sⁿ в Сфера Sⁿ является множеством, открытым в Сфера Sⁿ.

Пример 5. Множество Сфера Sⁿ, т. е. совокупность точек, удалённых от фиксированной точки Сфера Sⁿ не больше чем на Сфера Sⁿ, является замкнутым, что следует из определения 3 и примера 4. Множество Сфера Sⁿ называют замкнутым шаром с центром Сфера Sⁿ радиуса Сфера Sⁿ.

СФЕРА Сфера Sⁿ.

Сфера – множество Сфера Sⁿ точек Сфера Sⁿ евклидова пространства Сфера Sⁿ, находящихся от некоторой точки Сфера Sⁿ(центр сферы) на постоянном расстоянии Сфера Sⁿ(радиус сферы), т. е.

Сфера Sⁿ.

Сфера Сфера Sⁿ– пара точек, сфера Сфера Sⁿ– это окружность, сферу Сфера Sⁿ при Сфера Sⁿ иногда называют гиперсферой. Объём сферы Сфера Sⁿ(длина при Сфера Sⁿ, поверхность при Сфера Sⁿ) вычисляется по формуле

Сфера Sⁿ,

в частности,

Сфера Sⁿ, Сфера Sⁿ, Сфера Sⁿ, Сфера Sⁿ.

Уравнение сферы Сфера Sⁿ в декартовых прямоугольных координатах в Сфера Sⁿ имеет вид

Сфера Sⁿ

(здесь Сфера Sⁿ, Сфера Sⁿ, Сфера Sⁿ, – координаты Сфера Sⁿ, Сфера Sⁿ соответственно), т. е. Сфера – (гипер)квадрика, или поверхность второго порядка специального вида.

Положение какой-либо точки в пространстве относительно сферы характеризуется степенью точки. Совокупность всех сфер, относительно которых данная точка имеет одинаковую степень, составляет сеть сферы. Совокупность всех сфер, относительно которых точки некоторой прямой (радикальной оси) имеют одинаковую степень (различную для различных точек), составляет пучок сферы.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРЫ Сфера Sⁿ.

С точки зрения дифференциальной геометрии, сфера Сфера Sⁿ – риманово пространство, имеющее постоянную (гауссову при Сфера Sⁿ и риманову при Сфера Sⁿ) кривизну Сфера Sⁿ. Все геодезические линии сферы замкнуты и имеют постоянную длину Сфера Sⁿ – это так называемые большие окружности, т. е. пересечения с Сфера Sⁿ двумерных плоскостей в Сфера Sⁿ, проходящих через её центр. Внешнегеометрические свойства Сфера Sⁿ: все нормали пересекаются в одной точке, кривизна любого нормального сечения одна и та же и не зависит от точки, в которой оно рассматривается, в частности имеет постоянную среднюю кривизну, причём полная средняя кривизна сферы – наименьшая среди выпуклых поверхностей одинаковой площади, все точки сферы омбилические.

Некоторые из таких свойств, принятые за основные, послужили отправной точкой для обобщения понятия сферы. Так, например, аффинная сфера определяется тем, что все её (аффинные) нормали пересекаются в одной точке; псевдосфера – поверхность в Сфера Sⁿ постоянной гауссовой кривизны (но уже отрицательной); одна из интерпретаций орисферы (предельной сферы) – множество точек внутри Сфера Sⁿ, определяемое уравнением также второго порядка

Сфера Sⁿ.

На сферу Сфера Sⁿ дважды транзитивно действует ортогональная группа Сфера Sⁿ пространства Сфера Sⁿ (2 – транзитивность означает, что для любых двух пар точек, с равными расстояниями, существует вращение – элемент Сфера Sⁿ, переводящая одну пару в другую); наконец, сфера есть однородное пространство: Сфера Sⁿ.

С точки зрения (дифференциальной) топологии, сфера Сфера Sⁿ – замкнутое дифференцируемое многообразие, разделяющее Сфера Sⁿ на две области и являющееся их общей границей; при этом ограниченная область, гомеоморфная Сфера Sⁿ – это (открытый) шар, так, что сферу можно определить как его границу.

Группы гомологий сферы Сфера Sⁿ, Сфера Sⁿ:

Сфера Sⁿ

в частности Сфера Sⁿ не стягивается в точку сама по себе, т. е. тождественное отображение Сфера Sⁿ в себя существенно.

Группы гомотетий сферы Сфера Sⁿ, Сфера Sⁿ:

Сфера Sⁿ

Например, Сфера Sⁿ, Сфера Sⁿ при Сфера Sⁿ. В общем случае – для любых Сфера Sⁿ и Сфера Sⁿ, Сфера Sⁿ, группы Сфера Sⁿ не вычислены.

И здесь понятие сфера получает обобщение. Например, дикая сфера – топологическая сфера в Сфера Sⁿ, не ограничивающая области, гомеоморфной Сфера Sⁿ; Милнора сфера (экзотическая сфера) – многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное Сфера Sⁿ.

Топологическое пространство, гомеоморфное сфере, называется топологической сферой. Одним из основных здесь является вопрос об условиях того, что некоторое пространство является топологической сферой.

Примеры.

а) Инвариантная топологическая характеристика сферы Сфера Sⁿ при Сфера Sⁿ не известна. О случае Сфера Sⁿсм. Одномерное многообразие. Для того чтобы континуум был гомеоморфен сфере Сфера Sⁿ, необходимо и достаточно, чтобы он был локально связан, содержал хотя бы одну простую замкнутую линию и чтобы всякая лежащая на нём такая линия разбивала его на две области, имеющие эту линию своей общей границей (теорема Уайлдера).

б) Полное односвязное риманово пространство размерности Сфера Sⁿ кривизна Сфера Sⁿ которого для всех касательных двухмерных плоскостей Сфера Sⁿ Сфера Sⁿ – ограничена Сфера Sⁿ, т. е. Сфера Sⁿ гомеоморфно Сфера Sⁿ (теорема о сфере).

в) Односвязное замкнутое гладкое многообразие, (целые) гомологии которого совпадают с гомологиями Сфера Sⁿ при Сфера Sⁿ (при Сфера Sⁿ – неизвестно). Если Сфера Sⁿ, то оно также и гомеоморфно Сфера Sⁿ, при Сфера Sⁿ гипотеза остаётся, при Сфера Sⁿ диффеоморфизм не имеет места.

Совершенно аналогично определяется сфера Сфера Sⁿ в метрическом пространстве Сфера Sⁿ. Однако это множество, вообще говоря, может быть устроено достаточно сложно (или может быть пустым).

В нормированном пространстве Сфера Sⁿ с нормой Сфера Sⁿ сферой называется множество Сфера Sⁿ: это, по существу, произвольная, вообще говоря, бесконечномерная выпуклая (гипер)поверхность, не всегда обладающая, например, гладкостью, округлостью и т. п. полезными свойствами обычной сферы. Один из вариантов, применяющихся в топологии, – тек называемая бесконечномерная сфера – строгий индуктивный предел Сфера Sⁿ последовательности вложенных сфер:

Сфера Sⁿ

другое определение: Сфера Sⁿ, где Сфера Sⁿ – бесконечномерное многообразие Штифеля. Для любого Сфера Sⁿ оказывается, что Сфера Sⁿ.

Приложения понятия сфера чрезвычайно разнообразны. Например сферы участвуют в конструкциях новых пространств или дополнительных структур на них. Так, например, проективные пространства Сфера SⁿСфера Sⁿ можно интерпретировать как сферу Сфера Sⁿ с отождествлёнными диаметрально противоположными точками; сфера с ручками и дырами используются в теории ручек.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Буземан Г., Геометрия геодезических. – М., 1962.

2. Зорич В. А. Математический анализ. Ч.1. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

3. Розенфельд Б. А., Многомерные пространства. М., 1966.

4. Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства. М., 1969.


Похожие работы:

  1. • Розробка двохсмугової активної акустичної системи з ...
  2. • Оценка финансового состояния страховой организации
  3. • Организация поточной линии по выпуску трансформаторов
  4. • Исполнение налогового законодательства: проблемы прокурорского ...
  5. • Однополосный связной передатчик
  6. • Образ управления по делам молодёжи НСО в Интернете
  7. • Определение поверхностного натяжения методом максимального ...
  8. • Статистика основного капіталу
  9. • Оценка инвестиционных процессов
  10. • Планирование персонала предприятия
  11. • Вибір плану технологічного процессу виробництва ...
  12. • Разработка и обоснование реализации инновационного проекта по ...
  13. • Организационно-технологическое проектирование ...
  14. • Права человека и международное гуманитарное право. Страна ...
  15. • Права человека и международное гуманитарное право. Страна ...
  16. • Аудит учета кассовых операций
  17. • Підвищення економічних показників з урахуванням ...
  18. • Собственный капитал и его значение в деятельности ...
  19. • Оценка рыночной стоимости предприятия ОАО "Сосновая ...
  20. • Оценка рыночной стоимости кафе и бара
Рефетека ру refoteka@gmail.com