Рефетека.ру / Коммуникации и связь

Реферат: Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації


ВИБІР ОПТИМАЛЬНИХ ВАРІАНТІВ СИСТЕМ МЕТОДАМИ ВЕКТОРНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ

Вступ

проектування оптимальна система векторна оптимізація

Початкові етапи проектування оптимальних систем базуються на основних положеннях теорії векторної (багатокритеріальної) оптимізації. Векторна оптимізація визначає правила вибору оптимальних проектних рішень - варіантів побудови системи з урахуванням сукупності показників якості системи. Методи векторної оптимізації набули бурхливого розвитку як у галузі загальносистемного аналізу, так і у галузі радіотехнічних систем, зокрема, систем електрозв’язку. Це було визвано об'єктивною необхідністю враховувати при проектуванні сукупність, як правило, протирічивих техніко-економічних вимог до системи. Основні положення векторної оптимізації використовуються в задачах синтезу і аналізу системи, коли створюється проект оптимальної системи з використанням математичних моделей повідомлень, сигналів, завад, критеріїв оптимальності, а також методів вибору оптимальних проектних рішень.

В даному розділі розглядається формалізована постановка та основні особливості розв'язання задач векторної оптимізації, що виникають на початкових етапах проектування системи при виборі оптимальних варіантів за сукупністю показників якості. Основні положення теорії векторної оптимізації викладені на основі систематизації та узагальнення вказаних вище робіт.

1 Постановка задачі проектування оптимальної системи


При проектуванні систем постановка задачі відіграє важливу роль. Недаром кажуть, що правильна постановка задачі наполовину дає її успішне розв'язання. Розглянемо особливості та проблеми постановки задачі проектування оптимальної системи з урахуванням сукупності показників якості. Альтернативне проектне рішення Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації - це варіант побудови системи Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. У загальному вигляді систему можна подати як упорядковану множину елементів, відносин між ними та їх властивостей. Їх однозначне задавання цілком визначає побудову й ефективність системи. Вважатимемо, що варіант побудови системи Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації задається структурою Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації і вектором параметрів Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Для інформаційних систем також повинна бути задана множина вхідних впливів Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації і результатів роботи системи Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, що фактично визначає систему Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації як відображення множини Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації на множину Y - Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації.

Ці абстрактні означення системи повинні бути конкретизовані в процесі проектування. Зокрема, для інформаційної системи множина вхідних впливів - це множина сигналів і завад, що повинні бути описані певними математичними моделями. При проектуванні має бути визначена структура системи як сукупність відповідних елементів і зв'язків між ними, а також повинні бути отримані значення параметрів цієї системи.

Вихідні дані для проектування системи включать: сукупність умов роботи системи Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації та обмежень на умови роботи, на структуру і параметри системи Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації; сукупність показників якості Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації та обмежень на значення цих показників якості Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації; критерій оптимальності системи.

Розглянемо приклади вихідних даних при проектуванні систем зв'язку. До умов роботи Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації системи зв'язку може відноситись: вид і характеристики повідомлень, сигналів, завад, каналів зв'язку. Обмеження на структуру системи Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації залежно від конкретної задачі можуть бути задані як слабкі, так і жорсткі. Зокрема, це загальні вимоги до класу систем зв'язку, наприклад, вимоги, щоб система була одноканальною, мала вільний доступ, не включала зворотного (службового) каналу, ретрансляторів. За більш жорсткіших обмежень задається принцип роботи системи, вид модуляції, декомпозиція системи і навіть повністю структура, а в процесі оптимізації варіюється лише вектор внутрішніх параметрів системи. При цьому обмеження на параметри системи (наприклад, параметри модуляції, потужність сигналу або завади, число каналів) можуть бути типу рівностей, нерівностей або деякого функціонального зв'язку.

Вектор показників якості Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації включає сукупність зовнішніх параметрів системи зв'язку, що характеризують основні тактико-технічні характеристики системи (швидкість передавання повідомлень, імовірність похибок передавання, пропускну здатність, надійність). При постановці задачі задаються не числові значення, а лише склад показників якості, які повинні враховуватися при оптимізації системи. На початкових етапах проектування, як правило, до уваги беруть лише найбільш важливі показники. Обмеження Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації що накладаються на числові значення показників якості, можуть бути також типу рівностей, нерівностей або функціонального зв'язку.

Системи, які задовольняють сукупність даних Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, називають допустимими, а такі системи, які задовольняють ще й обмеження на значення показників якості Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації - строго допустимими. Раніше при проектуванні систем обмежувалися вибором строго допустимих систем. З ускладненням і збільшенням вартості систем, що проектуються, актуальним стає пошук оптимальних за сукупністю показників якості систем.

З усіх строго допустимих систем оптимальною (найкращою) є та система, якій відповідає найкраще (у раніше встановленому розумінні) значення вектора Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Для вибору оптимальної системи слід обрати чи обґрунтувати критерій переваги однієї системи над другою (критерій оптимальності), тобто правило, на основі якого одне значення вектора Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації слід визнати кращим порівняно з іншим його значенням.

Таким чином, задача проектування оптимальної системи формулюється так: знайти таку систему, яка задовольняє сукупності вихідних даних Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації і при цьому має значення вектора показників якості Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, найкраще за обраним критерієм переваги.

Проектування, що проводиться з урахуванням сукупності показників якості Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, називають векторним синтезом (векторною оптимізацією, оптимізацією за векторним критерієм, багатокритеріальною оптимізацією). На відмінність від цього синтез системи з урахуванням одного показника якості Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації називається скалярним.

Залежно від сформульованих вихідних даних знаходження оптимальної системи може зводиться до розв'язання різних у математичному відношенні оптимізаційних задач:

1. Синтез оптимальної структури системи, що означає знаходження оптимального оператора системи.

Параметрична оптимізація, тобто вибір оптимальних значень параметрів системи при заданій її структурі.

3. Дискретний вибір оптимальних варіантів системи із скінченного числа допустимих варіантів.

Математичні методи оптимізації параметрів і дискретного вибору добре розвинуті й широко використовуються при проектуванні систем. Синтез структури системи є складнішою задачею і часто наштовхується на труднощі не лише математичного, а й принципового характеру, що зв'язані з інформаційною невизначеністю при формулюванні умов роботи системи, а також при виборі узагальненої цільової функції системи.

В останньому випадку виникає непроста задача «апроксимації» функції вибору оптимальної системи, яка є в уяві замовника системи, іншою функцією вибору, що формалізується у вигляді певного критерію оптимальності з використанням строгих математичних методів. Як правило, відразу не вдається вибрати глобальний критерій оптимальності у вигляді скалярної цільової функції, що включає сукупність показників якості, і оптимізація якої привела б до вибору єдиного варіанта системи. Тому доводиться вводити сукупність цільових функцій, зв'язанних з відповідними показниками якості, що приводить до необхідності розв'язання задач векторної оптимізаціі. При введенні векторної цільової функції


Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації (1)


множина допустимих варіантів системи Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації відображується у критеріальний простір векторних оцінок Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Це дає можливість порівнювати варіанти системи між собою у критеріальному просторі Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації і вибирати оптимальні варіанти системи. Вибір оптимальних варіантів системи пов'язаний з певним критерієм оптимальності.


2 Формування множини припустимих варіантів системи на основі морфологічного підходу


При задаванні множини припустимих варіантів технічних систем широкого застосування набув морфологічний підхід, для якого характерні такі чинники:

-виявлення максимального переліку основних функцій системи та декомпозиція системи на підсистеми за функціональними ознаками Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації;

-визначення різних альтернативних способів реалізації кожної підсистеми і задання припустимих варіантів їх побудови Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації;

-формування різних варіантів побудови системи в цілому на основі морфологічних класів – множини варіантів побудови кожної підсистеми, для яких виконуються умови Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації.

Формується морфологічна таблиця (табл. 1). Кожен варіант побудови системи визначаеться різними можливими варіантами підсистем. При формуванні припустимої множини варіантів системи повинні враховуватися обмеження на структуру, параметри і технічну реалізацію окремих підсистеми та системи в цілому, а також припустимі комбінації поєднання окремих варіантів підсистем між собою. Кількість можливих варіантів системи визначається так: Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації.


Таблиця 1 - Морфологічна таблиця для задання множини припустимих варіантів системи

Морфологічні класи

Можливі способи

реалізації підсистеми

Кількість способів

реалізації системи

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації

.... ... ...

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації

... ... ...

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації


3 Вибір критерію оптимальності системи


Дуже важливим при розв'язанні задач оптимізації є питання вибору критерію оптимальності системи. Саме критерій оптимальності визначає істинну цінність проектованої системи. Ніякі зручності математичного чи іншого характеру не можуть компенсувати шкідливих наслідків застосування неадекватного критерію оптимальності системи.

Вибір критерію оптимальності, як уже зазначалося, зв'язаний з формалізацією уяви замовника системи про її оптимальність. Існує два підходи до опису переваги одного варіанта системи над іншим: ординалістичний і кардиналістичний.

Кардиналістичний підхід до опису переваги замовника приписує кожній системі Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації якесь числове значення функції корисності Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Функція корисності визначає відповідний порядок (або перевагу) Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації на множині Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації тоді і тільки тоді, коли для різних варіантів Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації виконуєтся нерівність Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. У цьому випадку кажуть, що функція корисності Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації є індикатором переваги Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Фактично цей підхід зв'язаний із заданням такої скалярної цільової функції, оптимізація якої у загальному випадку може привести до вибору єдиного найкращого варіанту системи.

Однак на початкових етапах проектуваннях систем задати скалярну функцію корисності досить складно, тому спочатку вводять сукупність показників якості та зв’язаних з ними цільових функцій (1). Це пов'язано з такими причинами: багатогранність технічних вимог, які висуваються до проектуємої системи; необхідність забезпечення оптимальності системи за різних умов її роботи; система складається з декількох взаємозалежних між собою підсистем і оптимальність системи в цілому визначається ефективністю її складових частин.

У зв’язку з тим, що систему Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації доводиться характеризувати сукупністю показників якості (цільових функції), це ускладнює процес вибору оптимальних варіантів систем. При цьому мають місце три випадки: показники якості не пов'язані між собою; показники якості зв'язані між собою, але є узгодженими; показники якості зв'язані між собою і є конкуруючими (антагоністичними).

У першому випадку знаходження оптимальних варіантів системи виконується шляхом оптимізації по кожній із цільових функцій незалежно

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. (2)


У другому випадку оптимальні варіанти можуть знаходитися також шляхом оптимізації окремих цільових функцій, тобто цей випадок близький до першого.

У третьому випадку оптимуми по різним цільових функціях не збігаються. Розв’язанням цієї задачі є узгоджений оптимум цільових функцій. Узгоджений оптимум полягає в тому, що досягається мінімальне (максимальне) значення кожнієї цільової функції за умови, що інші цільові функції приймають фіксовані, але довільні значення.

Ординалістичний підхід апелює до порядку (краще-гірше) і базується на введенні певних бінарних відношень на множині допустимих систем. У цьому випадку поняття переваги замовника системи - це бінарне відношення Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації на множині допустимих систем Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, яке відображує уяву замовника системи, що система Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації краща за систему Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації: Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації.

На практиці часто при виборі системи на множині Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації можна керуватися відношенням строгої переваги Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, що є асиметричним і транзитивним. При цьому система Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації називається оптимальною за відношенням Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, якщо не існує іншої системи Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, для якої справедливе відношення Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Множина оптимальних систем за відношенням Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації означається як Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Залежно від структури допустимої множини Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації і властивостей відношення Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації множина оптимальних систем може включати єдиний елемент, скінченне або нескінченне число елементів. Якщо відношення нероздільності збігається з відношенням рівності Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, то множина Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації (якщо вона не порожня) складається з єдиного елемента.

Із введенням сукупності цільових функцій кожна система відображується на простір векторних оцінок (критеріальний простір). При цьому вказане відношення строгої переваги існує і для оцінок. Узгодженість відношення переваги на множині проектних рішень Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації і просторі векторних оцінок Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації встановлює аксіома Парето. Згідно з нею для будь-яких двох векторних оцінок Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, що задовольняють векторну нерівність Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, завжди виконується відношення Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації.

Множину оптимальних оцінок відносно Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації на просторі Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації називають множиною Парето-оптимальних (оптимальних за Парето) або ефективних оцінок і позначають Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Включення Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації має місце тоді і тільки тоді, коли немає оцінок, для яких виконується нерівність Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Такий критерій вибору оптимальних рішень називають безумовним критерієм переваги (БКП) або критерієм Парето.

Проектні рішення, тобто варіанти побудови системи Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, для яких справджується включення Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації називають Парето-оптимальними відносно векторної цільової функції Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації на множині Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації і позначають як Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Іншими словами, Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації тоді і тільки тоді, коли не існує такої системи Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, для якої виконується векторна нерівність.


Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. (3)


Співвідношення (3) означає, що виконуються нерівності Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізаціїдля всіх Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації і принаймні для одного з показників якості виконується строга нерівність.

Слід зазначити, що відношення строгої переваги Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, яке має місце для векторних оцінок, перетворюється при Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації на відношення Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації для скалярних оцінок. При цьому Парето-оптимальна оцінка збігається з максимальним елементом множини Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, якому відповідає оптимум скалярної цільової функції Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Таким чином, поняття Парето-оптимальності слід розглядати як узагальнення поняття оптимуму на випадок кількох цільових функцій. При цьому оптимум за Парето - це узгоджений оптимум зв'язаних між собою і конкуруючих показників якості системи.

Для Парето-оптимальних проектних рішень характерні такі властивості:

1. Усі елементи множини допустимих варіантів системи Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, що не належать до множини Парето-оптимальних Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, є безумовно гіршими.

Жодна Парето-оптимальна система з множини Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації не може бути визнана безумовно гіршою або кращою порівняно з іншою системою цієї множини. Це означає, що всі вони є незрівнянними за критерієм Парето - безумовним критерієм переваги.

3. Якщо множина Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації узгоджена, тобто містить лише один елемент (систему), то відповідний варіант системи є найкращим.

4. Кожній Парето-оптимальній системі відповідає потенціально можливе значення кожного із показників якості Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, що може бути досягнуто за фіксованих, але довільних значень інших Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації показників якості. Це властивість Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації-кратного оптимуму. Сукупність таких оптимальних значень показників якості є багатовимірними потенціальними характеристиками системи (БПХ).

5. Оптимальна поверхня, що є геометричним місцем Парето-оптимальних оцінок, має строго монотонний характер, тобто кожна із функцій


Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації,

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, (4)

..........................

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації

для Парето-оптимальних оцінок монотонно спадає щодо кожного з аргументів. Ці залежності називаються багатовимірними діаграмами обміну (БДО) для Парето-оптимальних систем.

Порівняно з одновимірними потенціальними характеристиками системи БПХ та зв'язані з ними БДО характеризуються двома важливими властивостями. По-перше, вони дають найкраще (потенціальне можливе) значення не одного, а кожного з обраних показників якості. По-друге, вони вказують, яким чином слід змінити значення одних показників якості для поліпшення інших показників якості і за рахунок якої зміни структури чи параметрів системи це можна зробити.


4 Деякі методи знаходження Парето-оптимальних рішень


Більшість методів знаходження Парето-оптимальних рішень базується на тих чи інших умовах Парето-оптимальності. У загальному випадку використовуються достатні й необхідні умови Парето-оптимальності. Зокрема, рішення є Парето-оптимальним, якщо воно є рішеннями задачі максимізації певної функції, зростаючої за відношенням Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Фактично розв'язання задачі Парето-оптимізації зводиться до множини відповідних задач скалярної оптимізації за деяких обмежень. Якщо використані умови оптимальності є також і достатніми, то знайдена у такій спосіб множина рішень є множиною Парето-оптимальних рішень. У противному випадку, знайдена множина може включати і зайві рішення, що мають бути відкинуті.

Знаходження множини Парето-оптимальних систем може здійснюватися або безпосередньо перебиранням усіх строго допустимих варіантів системи та перевіркою умови (3), або з використанням спеціальних методів, наприклад, методу послідовних поступок, вагового методу, методу робочих характеристик. Вибір відповідного методу оптимізації залежить від змісту сформульованих вихідних даних, типу поставленої задачі проектування. Розглянемо особливості деяких методів.

Метод перебору. При розв'язанні оптимізаційної задачі методом перебору згідно з умовою (3) припускається, що множина Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації має скінченну потужність. Такі задачі виникають, наприклад, при виборі з уже відомих (“у натурі” або у вигляді технічних проектів) варіантів систем. Зокрема, множина допустимих систем може формуватися на основі відомого морфологічного підходу як різні допустимі комбінації певної кількості підсистем. Тут суттєво зазначити, що навіть для порівняно простих систем, які складаються лише з кількох підсистем, кількість допустимих комбінацій останніх може бути значною (десятки і сотні тисяч). Тому, хоча принципових труднощів при використанні методу перебору не існує, проте на практиці можливі складнощі обчислювального характеру.

Метод робочих характеристик. Метод полягає у тому, що шукається оптимум однієї із цільових, наприклад, першої функції на множині строго допустимих систем при умові, що на всі цільові функції накладаються обмеження типу рівності


Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, при Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, (5)


де Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації - фіксовані, але довільні значення показників якості.

Очевидно, оптимальне значення показника Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації у загальному випадку залежатиме від фіксованих значень інших показників якості Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Знайдені у такий спосіб залежності за допустимих комбінацій фіксованих значень Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації у критеріальному просторі являють собою робочу поверхню. Робочій поверхні відповідає сім'я одновимірних робочих характеристик Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації виду


Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації,

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, (6)

...........................

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації.


Тут підкреслені змінні, що розглядаються як фіксовані параметри.

Робоча поверхня має такі характерні властивості:

1. Робоча поверхня включає усі Парето-оптимальні точки, але поряд з ними має і ряд безумовно гірших точок. Вони мають бути відкинуті з подальшого розгляду.

Необхідною і достатньою умовою збіжності робочої поверхні з Парето-оптимальною множиною, є її строга монотонність, тобто монотонно спадний характер відносно кожного з аргументів. В цьому випадку робоча поверхня визначає БПХ системи.

Основні складнощі при використанні методу робочих характеристик полягають у розв'язанні задачі скалярної оптимізації в умовах Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації-го обмеження типу рівностей. Але у багатьох практичних випадках таку задачу вдається довести до одержання конкретної структури системи з довільними параметрами.

Ваговий метод. При його застосуванні Парето-оптимальні рішення знаходяться шляхом оптимізації зваженої суми цільових функцій виду


Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. (7)


Тут Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації — скінченні додаткові зважуючі коефіцієнти. При цьому знаходиться оптимальне значення Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації і відповідні йому значення показників якості Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації,


Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. (8)


У загальному випадку значення Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації залежать від обраних вагових коефіцієнтів Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації:


Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації,

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації,

….…...................... (9)

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації.


Для розв'язання оптимізаційної задачі (7), а також для знаходження залежностей (9) необхідно виконати оптимізацію для всіх можливих комбінацій коефіцієнтів Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації.

Розв'язавши систему із Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації рівнянь (9) можна дістати залежність


Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. (10)


У Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації-вимірному просторі векторних оцінок ця залежність розглядається, як рівняння вагової поверхні. Неважко бачити, що використання вагового методу зводиться до скалярної оптимізації, зокрема, відомим методом множників Лагранжа.

Вагова поверхня має такі властивості:

1. Включає тільки Парето-оптимальні точки, тобто жодна з безумовно гірших точок не може належати цій поверхні.

У багатьох випадках вагова поверхня є повністю визначеною і неперервною в усьому діапазоні значень показників якості Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. У таких випадках вагова поверхня збігається з Парето оптимальною множиною.

Отже, при використанні розглянутих методів, а також їхніх модифікацій векторна оптимізаційна задача зводиться у математичному відношенні до розв'язання множини скалярних оптимізаційних задач з урахуванням різного роду обмежень.

У загальному випадку при розв'язанні оптимізаційних задач (5), (7) варіюється оператор системи Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, тобто як структура Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, так і параметри Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації системи. При цьому можуть бути використані методи варіаційного числення, функціонального аналізу, теорії статистичних рішень, теорії інформації. При фіксованій структурі системи Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації задача синтезу зводиться до задачі оптимізації вектора параметрів Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Ця задача у ряді випадків може розв'язуватися методами лінійного, нелінійного чи динамічного програмування.

Якщо знайдена множина Парето Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації порівняно вузька, то за оптимальне рішення може бути прийнята люба Парето-оптимальна оцінка і відповідна їй система. У таких випадках можна вважати, що відношення строгої переваги Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації збігається з відношенням Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації на множині векторних оцінок, а тому Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. При цьому часто і не вдаються до пошуку всієї множини Парето-оптимальних систем, а зразу вибирають один із Парето-оптимальних варіантів.

Проте часто множина Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації є занадто обширною. Це свідчить, що відношення Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації та Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації хоча і зв'язані аксіомою Парето, але не збігаються. Для звуження множини Парето-оптимальних оцінок слід використати умовний критерій переваги (УПК), який зводиться до задання деякої скалярної цільової функції. УКП може бути заданий після одержання додаткової інформації та введенні різного роду умов.

При цьому постає запитання: чи має сенс виконувати синтез на основі безумовного критерію переваги - критерію Парето, якщо на заключному етапі все ж доводиться вводити умовний критерій переваги. В обґрунтування доцільності пошуку Парето-оптимальних варіантів систем з використанням БКП на початкових етапах оптимального проектування зазначимо таке:

1. БКП дає змогу знайти всі Парето-оптимальні системи, тобто відкинути безумовно гірші варіанти системи.

БКП дає змогу знайти потенціальні (найкращі можливі) значення кожного із показників якості і зв'язок між ними.

3. Методи відшукання Парето-оптимальних систем зводяться у математичному відношенні до оптимізації скалярних цільових функцій, тобто зводять розв'язання задачі векторного синтезу до деякої множини задач скалярного синтезу.

4. У виродженому випадку БКП дає змогу знайти єдину найкращу систему.

5. У невиродженому випадку знаходження Парето-оптимальних систем часто приводить до однієї структури системи, але з різними параметрами.

6. Навіть тоді, коли на заключному етапі синтезу для вибору єдиної системи доводиться вводити УКП, то краще вводити різного роду умовності на більш пізньому етапі синтезу.


5 Методи звуження множини Парето-оптимальних рішень


Формальна модель задачі Парето-оптимізації не містить інформації для вибору єдиної альтернативи. При цьому множина допустимих варіантів системи лише звужується до множини Парето шляхом виключення безумовно гірших варіантів за відношенням Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Проте для наступних етапів проектування системи, як правило, має бути обраний єдиний варіант системи. Тому виникає необхідність звуження множини Парето-оптимальних рішень із залученням додаткової інформації про відношення Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Така інформація з'являється в результаті різностороннього аналізу структури і параметрів Парето-оптимальних варіантів системи, багатовимірних діаграм обміну показників якості системи, відносної важливості показників якості, порівняльного аналізу одержаних варіантів системи між собою.

Отримана при цьому додаткова інформація може бути використана для побудови скалярної цільової функції Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, оптимізація якої на множині Парето-оптимальних рішень Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації приводить до вибору єдиного оптимального варіанта системи


Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. (11)


Загальна вимога до функції Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації зводиться до того, щоб вона була монотонною (зростаючою чи спадною) по кожному зі своїх аргументів.

Існують як об'єктивні, так і суб'єктивні підходи до побудови такої функції. У ряді випадків на основі розгляду призначення системи, що проектується у складі більш складної надсистеми (комплексу), об'єктивними методами може бути встановлено взаємозв'язок показників якості системи Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації з якимось показником якості Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації надсистеми у вигляді відповідної функції Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Проте у більшості випадків об'єктивно ввести таку функцію не вдається і доводиться вдаватись до її побудови значною мірою суб'єктивними методами. Розглянемо деякі з них.

Вибір оптимальних рішень з використанням функцій цінності. Одним із широко використовуваних методів звуження множини Парето-оптимальних рішень є використання скалярної функції цінності (корисності), оптимізація якої веде до вибору одного з оптимальних варіантів системи. Числову функцію Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації називають функцією цінності для відношення строгої переваги Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, якщо для довільних оцінок Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації у просторі Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації нерівність Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації має місце тоді і тільки тоді, коли Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Припустимо, що відношення строгої переваги Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації задовольняє аксіому Парето. При цьому із нерівності Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації випливає відношення Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, що означає Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, тобто функція цінності Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, є зростаючою за відношенням Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Якщо існує функція цінності Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, то оптимальна оцінка знаходиться шляхом максимізації цієї функції на множині Парето

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. (12)


Тобто відшукання оптимальної оцінки зводиться до розв'язання задачі скалярної оптимізації функції багатьох змінних Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації.

При цьому можуть бути побудовані адитивна, мультиплікативна, полінійна функції цінності.

Процедура утворення функції цінності Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації інколи називається згорткою векторного критерію Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації.

Операція згортки можлива, якщо:

- частинні критерії кількісно сумарні по важливості, тобто кожному з них відповідає певне число Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, яке визначає його відносну важливість відповідно до інших критеріїв;

- частинні критерії є однорідні, тобто кількісно порівнюються в одній вимірності.

Існують різноманітні форми подання узагальненого скалярного критерію та вибору відповідних оптимальних рішень. Зокрема, це такі способи згортки частинних критеріїв:

- формується узагальнений критерій, чисельник якого складає добуток критеріїв, які підлягають максимізації, а знаменник - добуток критеріїв, які підлягають мінімізації;

- формується узагальнений критерій з використання елементів теорії адитивної корисності, тобто підсумовування частинних критеріїв за певною вагою коефіцієнтів вибору чисельника і знаменника;

- формується узагальнений критерій відносно всіх частинних критеріїв.

Узагальнена функція цінності може набирати такого вигляду


Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, (13)

де Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації - одновимірні функції цінності, що характеризують цінність системи за Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації-м показником якості; Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації - шкалюючі коефіцієнти.

Задача побудови функції (13) зводиться до оцінки коефіцієнтів Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, вибору виду функцій Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, перевірки їх незалежності за перевагою Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, перевірки узгодженості побудованої функції цінності. У ряді випадків може бути використана функція цінності (13) у вигляді


Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. (14)


При цьому використовуються різні методи одержання додаткової інформації про значення коефіцієнтів Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Зокрема, це добре розроблені методи експертних оцінок. Вони зводяться до опитування вибраної групи експертів про цінність одержаних Парето-оптимальних варіантів системи, відносну важливість показників якості та інше. Існують добре розроблені методики врахування одержаної інформації, які реалізовані у методі Сааті.

Інколи для вибору єдиного варіанту обмежуються так званою пороговою оптимізацією: найбільш вагомий критерій піддається оптимізації, інші включаються до системи обмежень. Слід зауважити, що існує також багато інших принципів та підходів до вибору єдиного варіанту з використанням скалярних критеріїв оптимальності. Фактично співвідношення (14) визначає байесовий детермінований критерій оптимальності. За умов невизначеності про умови вибору рішень використовує методи теорії ігор. Такі ситуації вибору проектних рішень при створенні систем часто називають «іграми з природою». Для прийняття рішень вишукують найкращу стратегію, з використанням критерія Вальда, критерія Севіджа, критерія Гурвіца, критерія Лапласа та інших.

Вибір оптимальних рішень на основі теорії розмитих множин. Цей підхід базується на тому, що через апріорну невизначеність поняття «найкращий варіант системи» неможливо визначити точно. Можна вважати, що це поняття являє собою розмиту множину і для оцінки системи можуть бути використані основні положення теорії розмитих множин. У загальному випадку розмита множина Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації на множині Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації задається функцією належності Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації: Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, яка зіставляє з кожним елементом Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації дійсне число Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації на інтервалі Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Це число називається ступенем належності елемента Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації розмитій множині Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Чим воно ближче до Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, тим вищий ступінь належності. Функція Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації є узагальненням характеристичної функції множин, яка набуває лише два значення: Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації - при Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації і Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації - при Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. У випадку дискретних множин використовується запис розмитої множини як множини пар Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації.

Згідно з цими основними положеннями кожний показник якості системи може задаватися у вигляді розмитої множини Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, де Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації - функція належності конкретного Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації-го показника якості розмитій множині найкращого значення.

Такий запис окремого показника якості має високу інформативність, оскільки дає уяву про фізичну природу показника якості, конкретне його значення і цінність відносно найкращого (екстремального) значення, що характеризує функція належності. Універсальна форма функції належності, яка може бути використана як скалярна цільова функція, має такий вид


Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. (15)


Перевагою такої цільової функції є те, що вибором параметра Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації може бути реалізовано широкий клас функцій від лінійної адитивної за умови Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, до сугубо нелінійної при Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації.

Вибір оптимального варіанту при строго впорядкованих за важливістю показниках якості. Інколи для замовника системи за результатами аналізу Парето-оптимальних варіантів, а також їх БДО виявляється бажаним одержати якомога більше значення одного з показників якості, наприклад Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, навіть за рахунок погіршення інших показників якості. Це означає, що показник Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації є важливішим порівняно з іншими показниками якості.

Можливий також випадок, коли весь набір показників якості Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, строго упорядкований за важливістю, тобто показник Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації більш важливий, ніж показники Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, показник Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації більш важливий, ніж показники Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації і т.д. Цьому відповідає ситуація, коли при порівнянні оцінок систем використовується лексикографічне відношення. Наведемо означення цього відношення та особливості використання при виборі єдиного варіанту системи.

Нехай є два вектори оцінок Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. Лексикографічне відношення Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації має місце тоді і тільки тоді, коли виконується одна з таких умов

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації,


Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, (16)

............................

Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації.


Для Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації лексикографічне відношення збігається з відношенням Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації на підмножині дійсних чисел. При виконанні відношення Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації кажуть, що вектор Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації лексикографічно більший за вектор Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації.

Якщо використовується лексикографічне відношення при виборі єдиної системи, то це означає, що із пари оцінок (і відповідних їм систем) перевага віддається тій оцінці (системі), в якої перша компонента вектора Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації (тобто оцінка показника якості Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації) більша, незалежно від співвідношення по інших компонентах вектора. Якщо перші компоненти оцінок однакові, то перевага віддається тій оцінці (системі), в якої більша друга компонента вектора Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації (оцінка показника якості Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації). Наступні компонентам вектора Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації можуть при цьому значно програвати відповідним компонентам вектора Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації.

Аналогічні висновки мають місце при рівності перших двох компонент, трьох компонент і так далі до Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації компонент векторів Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації і Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації. У таких випадках стверджують, що компоненти Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації, тобто оцінки показників якості системи Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації строго упорядковані за важливістю.

У визначенні лексикографічного відношення важливу роль відіграє порядок перерахування показників якості. Зміна нумерації показників якості приводить до другого лексикографічного відношення. Крім згаданих вище методів побудови скалярної цільової функції і вибору варіанта з множини Парето-оптимальних, існує і багато інших. Вибір підходящого методу визначається вихідними даними та типом конкретної оптимізаційної задачі. Але якби-то не було, оптимальні варіанти системи слід шукати серед Парето-оптимальних розв'язків задачі. Тобто етап Парето-оптимізації є обов'язковим при проектуванні систем з урахуванням сукупності показників якості.

Размещено на

Похожие работы:

  1. • Вибір оптимальних режимів як метод підвищення стійкості і ...
  2. • Вибір оптимальних технологічних параметрів ...
  3. • Операційний менеджмент казино
  4. • Інтегральні характеристики векторних полів
  5. • Техніко-економічне обґрунтування водогосподарських ...
  6. • Забезпечення процесу стратегічного управління в ...
  7. • Оптимальний вибір і зміна ціни. Крива індивідуального попиту
  8. • Основи комп"ютерної графіки
  9. • Оцінка обстановки в надзвичайних ситуаціях
  10. • Дидактика вищої школи та шляхи її розвитку на сучасному етапі
  11. • Апаратно-програмний комплекс для віддаленого ...
  12. • Операційна система підприємства
  13. • Вибір найкращого варіанта ГВС (гнучкої виробничої ...
  14. • Виховання організованості молодших школярів на ...
  15. • Моделювання уроків української мови в школах нового ...
  16. • Роль комп'ютерних технологій при навчанні іноземній ...
  17. • Наука про надійність - від локальних до глобальних проблем
  18. • Кон"юнктура інвестиційного ринку
  19. • Градієнтні методи
Рефетека ру refoteka@gmail.com