Файл: MENTOR

© Н.М. Козий, 2007

Авторские права защищены

свидетельствами Украины

№ 23145 и № 27312

ОБЩЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ГИПОТЕЗЫ БИЛЯ, ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

И ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ БИЛЯ

Гипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение

Аx +Вy= Сz/1/

не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2.

Суть гипотезы Биля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:

Аx = Сz - Вy/2/

Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С.

Уравнение /2/ запишем в следующем виде:

Аx = (С0,5z) 2 -(В0,5y) 2 /3/

Обозначим:

В0,5y =V /4/

С0,5z =U /5/

Отсюда:

Вy =V2 /6/

Сz =U2 /7/

В = /8/

С = /9/

Тогда из уравнений /2/, /6/ и /7/ следует:

Аx = Сz -Вy =U2-V2 /10/

Уравнение /10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:

Аx = (U-V) ∙(U+V) /11/

Для доказательства гипотезы Биля используем метод замены переменных. Обозначим:

U-V=X /12/

Из уравнения /12/ имеем:

U=V+X /13/

Из уравнений /11/, /12/ и /13/ имеем:

Аx = X· (V+X+V) =X(2V+X) =2VХ+X2 /14/

Из уравнения /14/ имеем:

Аx - X2=2VХ /15/

Отсюда:

V= /16/

Из уравнений /13/ и /16/ имеем:

U= /17/

Из уравнений /8/, /9/, /16/ и /17/ имеем:

B = /18/

C = /19/

Из уравнений / 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа Аx на число X, т.е. число X должно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа Аx. Другими словами, число Аx должно быть, например, равно:

Ax = (abc) x, /20/

где: a, b, c - простые или составные целые положительные числа.

При этом должно быть, например:

X=сm; X2=c2m. /21/

В любым случае должно соблюдаться соотношение: 2m ≤ x.

Из уравнений / 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел A и X: оба числа должны быть четными или оба нечетными.

Из уравнений / 18/, /19/ и /20/ следует:

В= /22/

C= /23/

Обозначим:

P = /24/

Q = /25/

Тогда:

B = /26/

С = /27/

Из уравнений /24/ и /25/ имеем:

Q = /28/

Таким образом, из уравнений /27/ и /28/ следует:

С = /29/

Из анализа уравнений /26/ и /29/ следует, что поскольку разность между числами Q и P равна всего лишь:

Q - P = P + 1 - P = 1, /30/

то, по меньшей мере, одно из чисел В или С является дробным числом.

Допустим, что число В - целое число.

ПРИМЕР: c=5; P = 612 = 3721; y = 4; m=2; 2m=4.

По формуле /25/ имеем:

B = =

Тогда:

при z=3: С = = - дробное число.

при z=4: С = = - дробное число.

при z=5: С = = - дробное число.

при z=6: С = = - дробное число.

Очевидно, что если

(dm) 2 = d2m, то (dm + 1) 2 ≠ e2m,

где: d - целое число;

e - целое число.

Таким образом, если допустить, что В - целое число, то С - дробное число.

Следовательно, гипотеза Биля не имеет решения в целых положительных числах.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Если в уравнении /1/ гипотезы Биля принять, что показатели степени равны между собой, т.е. x = y = z = n, то оно преобразуется в уравнение великой теоремы Ферма:

Аn +Вn= Сn /31/

Тогда уравнения /2/, /6/ - /11/, /16/ - /20/ примут вид:

Аn = Сn - Вn/32/

Вn =V2 /33/

Сn =U2 /34/

В = /35/

С = /36/

Аn = Сn - Вn = U2-V2 /37/

Аn = (U-V) ∙(U+V) /38/

V= /39/

U= /40/

B = /41/

C = /42/

Пусть: An = (abc) n, /43/

где: a, b, c - простые или составные целые положительные числа.

При этом должно быть, например:

X=сm; X2=c2m. /44/

В любом случае должно соблюдаться соотношение: 2m ≤ n.

Из уравнений / 41/ и /42/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел A и X: оба числа должны быть четными или оба нечетными.

Из уравнений / 41/, /42/ и /43/ следует:

В= /45/

C= /46/

Обозначим:

P = /47/

Q = /48/

Тогда:

B = /49/

С = /50/

Из уравнений /47/ и /48/ имеем:

Q = /51/

Таким образом, из уравнений /50/ и /51/ следует:

С = /52/

Из анализа уравнений /49/ и /52/ следует, что поскольку разность между числами Q и P равна всего лишь:

Q - P = P + 1 - P = 1, /53/

то, по меньшей мере, одно из чисел В или С является дробным числом.

Допустим, что число В - целое число.

ПРИМЕР: c=5; P = 612 = 3721; n =2m = 4; m=2.

По формуле /49/ имеем:

B = =

Тогда:

С = = - дробное число.

Очевидно, что если (dm) 2 = d2m, то (dm + 1) 2 ≠ e2m,

где: d - целое число; e - целое число.

Таким образом, если допустить, что число В - целое число, то С - дробное число.

Следовательно, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

Если в уравнении /1/ гипотезы Биля принять, что показатели степени равны между собой и равны: x = y = z = 2, то оно преобразуется в уравнение теоремы Пифагора:

А2 +В2= С2 /54/

Тогда уравнения /2/, /6/ - /11/, /16/ и /17/ примут вид:

А2 = С2 - В2/55/

В2 =V2 /56/

С2 =U2 /57/

В == V /58/

С == U /59/

А2 = С2 - В2 = U2-V2 /60/

А2 = (U-V) ∙(U+V) /61/

B = V = /62/

C = U = /63/

По уравнениям /62/ и /63/ и заданному значению числа A определяются пары чисел B и С, которые с числом A образуют тройки пифагоровых чисел.

ПРИМЕРЫ

Пример 1: А=3∙5=15; n=2; М=3.

В=Х=; С=Y=

А2=С2-В2=392-362=225; А= или: А2 +В2=152+362=1521=392= С2

Пример 2: А=3∙5=15; n=2; М=5.

В=Х=; С=Y=

А2 =С2-В2=252-202=225=152 или: А2+В2=152+202=625=252= С2

Пример 3: А=2∙3∙13=78; n=2; М=2∙13=26.

В=Х=; С=Y=

А2=С2-В2=1302-1042=6084=782, или: А2 + В2=782+1042=16900=1302= С2

Пример 4: А=2∙3∙13=78; n=2; М=2∙3=6.

В=Х=; С=Y=

А2=С2-В2=5102-5042=6084=782, или: А2 + В2=782+5042=260100=5102= С2

Таким образом, из уравнения /60/ следует, что любое целое положительное число в квадрате всегда равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых положительных чисел.

ВЫВОДЫ

Из анализа гипотезы Биля, великой теоремы Ферма и теоремы Пифагора следует, что в основе их лежит одно и тоже уравнение:

Аx +Вy= Сz

При этом:

в уравнении гипотезы Биля показатели степени x, y, z больше 2 и не равны между собой;

в уравнении великой теоремы Ферма показатели степени x, y, z больше 2 и равны между собой: x= y= z = n;

в уравнении теоремы Пифагора показатели степени x, y, z равны между собой и равны: x= y= z = n=2.

Таким образом:

уравнение теоремы Пифагора является частным вариантом уравнения великой теоремы Ферма;

уравнение великой теоремы Ферма является частным вариантом уравнения гипотезы Биля.

Доказательства гипотезы Биля, великой теоремы Ферма и теоремы Пифагора выполнены одним методом: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Тот факт, что использованный метод доказательства теоремы Пифагора дает возможность для любого числа А находить пары пифагоровых чисел В и С, позволяет сделать вывод, что и доказательства гипотезы Биля и великой теоремы Ферма, выполненные тем же методом, достоверны.