Рефетека.ру / Математика

Реферат: Випадкова величина

1 Випадкова величина. Функція розподілу випадкової величини


Зіставимо кожну елементарну подію конкретного випробування з деяким числом. Наприклад, розглянемо випробування, що полягає в підкиданні монети. Маємо простір елементарних подій – множину з двох можливих рівно ймовірних наслідків випробування: w1 – випадання "решки" та w2 – випадання герба. Введемо до розгляду функцію x= f(w), що визначається за формулами: f(w1)=0, f(w2)=1. Це – числова функція (випадкова величина), яка залежить від випадку. Позначимо її через Випадкова величина:


Випадкова величина


Для значень, яких у результаті випробувань може рівно ймовірно набувати функція Випадкова величина, застосуємо символи Випадкова величина та Випадкова величина. Відповідно з нашою угодою, вони дорівнюють


Випадкова величина і Випадкова величина


У загальному випадку задовільної випадкової величини позначатимемо її однією з грецьких літер x,h,..., а значення, яких вона набуває літерами латинської абетки: х, y,..... Відповідність між цими значеннями та ймовірностями, з якими їх набуває така функція Випадкова величина, зручно задати у вигляді табл. 1, що називається законом розподілу дискретної випадкової величини:


Таблиця 1

Випадкова величина

Випадкова величина

Випадкова величина

Випадкова величина

...

Випадкова величина

Випадкова величина

Випадкова величина

Випадкова величина

Випадкова величина

...

Випадкова величина


У випадку зазначеної конкретної випадкової величини, пов’язаної з випадінням сторін підкинутої монети, табл. 1 конкретизується у вигляді табл. 2:


Таблиця 2

Випадкова величина

0

1

Випадкова величина

1/2

1/2


Цю закономірність можна також наочно представити на площині xOy, розмістивши на горизонтальній осі значення Випадкова величина і Випадкова величина, а на вертикальній осі, що доцільно було перемістити з її традиційного положення – відповідні їм ймовірності (рис. 1). При цьому графік функції Випадкова величина складається тільки з двох точок (Випадкова величина,Випадкова величина) і (Випадкова величина,Випадкова величина). В інших точках горизонтальної осі функція Випадкова величина взагалі принципово не визначена.

Ще більш наочно закон розподілу дискретної випадкової величини зображається специфічною функцією


Випадкова величина


що називається функцією розподілу випадкової величини Випадкова величина.


Випадкова величина

Рисунок 1


У відповідності з її визначенням, вона дає в точці x ймовірність того, що випадкова величина розташована на осі Ox зліва від цієї точки x. Зокрема, для випадкової величини, заданої законом розподілу в табл. 2, ця функція має складний вигляд із різними представленнями на різних інтервалах


Випадкова величина


На рис. 2 наведено її графік з двома неусувними розривами 1-го роду.


Випадкова величина

Рисунок 2


Розглянемо ще один приклад введення випадкової величини. Нехай є мішень – круг радіуса а, влучення до якого гарантовано. Як випадкову величину, що позначимо як Випадкова величина, візьмемо відстань від центра мішені до точки влучення. Ймовірність того, що ця випадкова величина набуває різних значень r від нуля до а, обчислюється за формулою геометричної ймовірност:


Випадкова величина


При цьому функція розподілу


Випадкова величина


графік якої зображено на рис. 3, має вигляд

Випадкова величина


Випадкова величина

Рисунок 3


Модифікуємо попередній приклад: нехай всередині круга радіуса а, влучення до якого гарантовано, проведено два концентричні кола (рис. 4) з радіусами a/3 і 2a/ В залежності від відстані точки влучення від центра мішені стрілець одержує 10, 5 чи 1 бал, відповідно.


Випадкова величина

Рисунок 4


За випадкову величину, що позначимо як Випадкова величина, візьмемо тепер кількість очок, набраних при пострілі по мішені. Її можливі значення: 10, 5, 1. Обчислимо ймовірності випадків прийняття цих значень величиною Випадкова величина


Випадкова величина,

Випадкова величина,

Випадкова величина


При цьому закон розподілу випадкової величини Випадкова величина має вигляд табл. 3:


Таблиця 3

Випадкова величина

1 5 10

Випадкова величина

5/9 1/3 1/9

За цим законом розподілу випадкової величини Випадкова величина знаходимо функцію її розподілу та будуємо її графік (рис. 5).


Випадкова величина


Випадкова величина

Рисунок 5

Властивості функції розподілу:

1. F(x) – неубутна функція. Дійсно, якщо x1<x2 (рис. 6).


Випадкова величина

Рисунок 6


F(x2)=P(x<x2)=P(x<x1)+P(x1<x<x2)>P(x<x1)=F(x1); F(x1)<F(x2);

2. F(+Ґ)=1; F(-Ґ)=0; F(+Ґ)=P(x<Ґ)=1;

P(-Ґ<x<Ґ)=1; F(-Ґ)=0;

P(aЈx<b)=P(x<b) - P(x<a)=Fx(b) - Fx(a).


Якщо функція розподілу в деякій точці x=а має неусувний розрив 1-го роду – стрибок на величину р, (рис. 7) то Р(x=а)=р.


Випадкова величина

Рисунок 7


Дійсно, розглянемо [а, b), b® a+0.


P(x=а)=Випадкова величина.


Найбільш важливими типами випадкових величин є дискретні і неперервні випадкові величини, які будуть розглянуті більш докладно.


2 Дискретна випадкова величина


Випадкова величина називається дискретною, якщо її можливі значення можна перенумерувати.

Нехай х1,х2,…,хn – можливі значення дискретної випадкової величини в порядку зростання.

Випадкові події [x=x1], [x=x2], …[x=xn] утворять повну систему елементарних подій. При цьому


Випадкова величина, Випадкова величина


Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати таблицею (табл. 1) чи геометрично – точками на площині (xi, pi); або ламаною, що з'єднує ці точки та називається багатокутником розподілу (рис. 8):


Випадкова величина

Рисунок 8


Цьому закону розподілу є відповідною функція розподілу Випадкова величина


Fx(x)=P(x<x)=Випадкова величина

або

Випадкова величина

де

Випадкова величина


Її графік наведено на рис. 9


Випадкова величина

Рисунок 9


Як видно з рис. 9, функція розподілу дискретної випадкової величини є кусково неперервною. У точці хi вона зростає на величину Випадкова величина. При цьому


Випадкова величина.


3 Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин


Біноміальний розподіл. Розглядається серія з n випробувань, у кожному з яких подія А відбувається або не відбувається. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні постійна і не залежить від результатів інших випробувань. Це схема Бернуллі:


Р(А)=р; Випадкова величина.


Як випадкову величину, яку позначимо Випадкова величина, розглянемо кількість появ події А у n випробуваннях. Не важко перевірити, що ймовірність появи події Випадкова величина визначається формулою Бернуллі у вигляді


Випадкова величина; (1)


де Випадкова величина – кількість сполучень з Випадкова величина елементів по Випадкова величина (1).

Відповідний цїй формулі закон розподілу випадкової величини називається біноміальним, тому що його коефіцієнти збігаються з коефіцієнтами членів розкладання бінома Ньютона (p+q)n (табл. 4).


Таблиця 4

xn 0 1 k n
pn qn npqn-1

Випадкова величина

pn

Розподіл Пуассона. Якщо в біноміальному розподілі випадкової величини кількість випробувань Випадкова величина і наслідків Випадкова величина дуже велика, знаходження ймовірностей за формулою Бернуллі (1) стає обтяжливим у зв’язку з необхідністю обчислення факторіалів великого порядку. У цьому випадку було отримано наслідки формули Бернуллі, один з яких полягає у наступному.

Нехай кількість випробувань Випадкова величина необмежено зростає, але так, щоб її добуток на ймовірність появи події A в кожному випробуванні, тобто Випадкова величина, залишався скінченою величиною порядку одиниці. Це передбачає дуже мале значення ймовірності Випадкова величина, отже розглядаються дуже рідкі події та дуже довгі серії випробувань. При формалізації відзначених умов у формулі Бернуллі (1) можна перейти до границі Випадкова величина


Випадкова величина


або остаточно отримати формулу Пуассона для ймовірності появи Випадкова величина разів дуже рідкої події A у практично нескінченних випробуваннях


Випадкова величина


Розподіл випадкової величина Випадкова величина за цією формулою називається законом Пуассона (законом рідкісних подій). Число l називається параметром розподілу. Цей закон можна подати у вигляді:


Таблиця 5

x 0 1 k
p e-l le-l

Випадкова величина


Розглянемо типову задачу, що приводить до розподілу Пуассона. Нехай подія А означає відмову складного пристрою протягом малого проміжку часу. Причиною відмови є вихід з ладу будь-якої деталі. Режим роботи пристрою не змінюється з часом, відмова окремих деталей відбувається незалежно одна від одної, причому за одиницю часу "в середньому" відбувається l відмовлень.

При цих допущеннях з великим ступенем точності виконуються такі умови:

1. Ймовірність появи відмови на проміжку часу (0, Т) така сама, як і на задовільному проміжку довжиною T (t,t+T).

2. Появи відмовлень на проміжках часу, що не перекриваються, незалежні.

Ймовірність появи відмовлення за нескінченно малий проміжок часу визначається за формулою:


р(А)=l Dt+o(Dt), Dt®0.


4. Імовірність появи більше однієї відмови є о(Dt), Dt®0.

Розіб'ємо інтервал (t,t+T) на n рівних частин Випадкова величина.

Розглядатимемо реєстрацію відмови як окреме випробування


Випадкова величина

При цьому приходимо до розподілу Пуассона для кількості відмовлень за час Т


Випадкова величина


Геометричний закон розподілу. Проводиться серія випробувань до першої появи події А. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р і не залежить від інших випробувань.

Як випадкову величину Випадкова величина розглядатимемо кількість проведених випробувань, необхідних для першої появи події А. Очевидно, що закон розподілу цієї випадкової величини можна подати таблицею:


Таблиця 6

x 1 2 3 k
P P qp q2p qk-1p

Похожие работы:

  1. • Математична обробка результатів вимірів
  2. • Розрахунок типових задач з математичної статистики
  3. • Математична статистика
  4. • Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей
  5. • Числові характеристики системи випадкових величин та їх ...
  6. • Критерій відношення правдоподібності для великих ...
  7. • Випадковий процес в математиці
  8. • Застосування методу Монте-Карло для кратних ...
  9. • Системи випадкових величин
  10. • Застосування неперервних випадкових величин в економіці
  11. • Система кількісних оцінок ступеня ризику
  12. • Випадкові процеси та одновимірні закони розподілу ...
  13. • Статистичні гіпотези та їх перевірка
  14. • Розробка імовірнісної моделі криптографічних ...
  15. • Систематичний відбір
  16. • Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів
  17. • Теорія ймовірностей та математична статистика
  18. • Граничні теореми теорії ймовірностей
  19. • Статистичне моделювання сітьового графіка побудови ...
Рефетека ру refoteka@gmail.com