Рефетека.ру / Математика

Курсовая работа: Межа послідовності. Теорема Штольца

Курсова робота

Межа послідовності. Теорема Штольца

Зміст


Введення

1.Межа послідовності

2.Властивості збіжних послідовностей

3.Приклади знаходження меж послідовності

4.Теорема «Штольца»

5.Приклади на застосування теореми Штольца

Висновок

Список літератури

Введення


Одним з основних розділів курсу математичного аналізу є розділ, що вивчає теорію межі послідовності й межі функції. Дана теорія є значимою для вивчення багатьох інших розділів математичного аналізу, а також інших дисциплін математики.

Метою даної курсової роботи є доказ теореми Штольца. У роботі докладно розглянуті наступні аспекти: поняття межі послідовності, характерні приклади обчислення меж послідовності з докладним розбором рішення, теорема Штольца й приклади її застосування.

Тема даної курсової роботи «Межа послідовності. Теорема Штольца». Для того щоб поглибитися у вивчення даного питання, для початку, згадаємо деякі визначення, твердження й теореми з початкового вивчення математичного аналізу, впритул дотичні основний проблеми порушеної в курсовій роботі.

У фізику й в інших науках про природу зустрічалася множина різних величин: час, довжина, об'єм, вага й т.п. Кожна з них, залежно від обставин, то приймала різні значення, те лише одне.

У математику, однак, ми відволікаємося від фізичного змісту розглянутої величини, цікавлячись лише числом, яким вона виражається фізичний зміст величини, знову здобуває важливість, лише, коли займаються додатками математики. Таким чином, для нас змінна величина (або коротше – змінна) є відверненою або числовою змінною. Її позначають яким-небудь символом (буквою, наприклад, х), якому приписують числові значення.

Змінна вважається заданої, якщо вказана множина Х={х} Постійну величину (коротше – постійну) зручно розглядати як окремий випадок змінної; він відповідає припущенню, що множина Х={х} складається з одного елемента.

Перейдемо до встановлення поняття числової послідовності.

Визначення: якщо кожному n є N, поставлено у відповідність xn є N, те говорять, що


Межа послідовності. Теорема Штольца (1)


утворять числову послідовність.

Межа послідовності. Теорема Штольцачлени послідовності

Межа послідовності. Теорема Штольцазагальний член послідовності

Уведене визначення має на увазі, що будь-яка числова послідовність повинна бути нескінченна, але не означає, що всі члени повинні бути різні числа.

Числова послідовність уважається заданої, якщо зазначено закон, по якому можна знайти будь-який член послідовності.

Члени або елементи послідовності (1) занумеровані всіма натуральними числами в порядку зростання номерів. При n+1 > n-1 член Межа послідовності. Теорема Штольца треба за членом Межа послідовності. Теорема Штольца (Межа послідовності. Теорема Штольца передує Межа послідовності. Теорема Штольца), незалежно від того, чи буде саме число Межа послідовності. Теорема Штольца більше, менше або навіть дорівнює числу Межа послідовності. Теорема Штольца.

Визначення: Змінну x, що приймає деяку послідовність (1) значень, ми – випливаючи Мере (Ch. Meray) – будемо називати варіантою.

У шкільному курсі математики можна зустріти змінні саме такого типу, типу варіанти.

Наприклад, послідовність виду


Межа послідовності. Теорема Штольца


(арифметична) або виду

Межа послідовності. Теорема Штольца


(геометрична прогресія)

Змінний член тієї або іншої прогресії є варіанта.

У зв'язку з визначенням довжини окружності звичайно розглядається периметр правильного вписаного в окружність багатокутника, одержуваного із шестикутника послідовним подвоєнням числа сторін. Таким чином, ця варіанта приймає послідовність значень:


Межа послідовності. Теорема Штольца

Межа послідовності. Теорема Штольца


Згадаємо ще про десяткове наближення (по недоліку) до Межа послідовності. Теорема Штольца, із всі зростаючою точністю. Воно приймає послідовність значень:


Межа послідовності. Теорема Штольца


і також представляє варіанту.

Змінну x, що пробігає послідовність (1), часто позначають через Межа послідовності. Теорема Штольца, ототожнюючи її зі змінним («загальним») членом цієї послідовності.

Іноді варіанта xп задається тим, що вказує безпосередньо вираження для xп; так, у випадку арифметичної або геометричної прогресії маємо, відповідно, xп =а+(n-1) d або xп =aqn-1. Користуючись цим вираженням, можна відразу обчислювати будь-яке значення варіанти по заданому його номері, не обчислюючи попередніх значень.

Для периметра правильного вписаного багатокутника таке загальне вираження можливо лише, якщо ввести число π; взагалі периметр рm правильного вписаного m-косинця дається формулою


Межа послідовності. Теорема Штольца

1.Межа послідовності


Визначення 1: Числова послідовність {хп} називається обмеженої зверху (знизу), якщо існує таке число М (т), що для будь-якого елемента цієї послідовності має місце нерівність Межа послідовності. Теорема Штольца, при цьому число М (т) називають верхньою (нижньої) гранню.

Визначення 2: Числова послідовність {хп} називається обмеженої, якщо вона обмежена й зверху, і знизу, тобто існують М, т, що для будь-якого Межа послідовності. Теорема Штольца

Позначимо А = max {|M|, |m|}, тоді очевидно, що числова послідовність буде обмежена, якщо для кожного Межа послідовності. Теорема Штольца виконується рівність |xn|≤А, остання нерівність є умова обмеженості числової послідовності.

Визначення 3: числова послідовність Межа послідовності. Теорема Штольца називається нескінченно великою послідовністю, якщо для будь-якого А>0, можна вказати такий номер N, що для всіх n>N виконується |Межа послідовності. Теорема Штольца |>A.


Межа послідовності. Теорема Штольца


Визначення 4: числова послідовність {αn} називається нескінченно малою послідовністю, якщо для кожного наперед заданого ε > 0, можна вказати такий номер N(ε), що для будь-якого n > N(ε) буде виконуватися нерівність | αn | < ε.


Межа послідовності. Теорема Штольца


Визначення 5: числова послідовність {хп} називається збіжної, якщо існує таке число а, що послідовність {хп – а} є нескінченно малою послідовністю. При цьому саме а – межа вихідної числової послідовності.

Із цього визначення треба, що все безконечно малі послідовності є збіжними й межу цих послідовностей = 0.

У зв'язку з тим, що поняття збіжної послідовності вв'язано з поняттям нескінченно малої послідовності, то визначення збіжної послідовності можна дати в іншій формі:

Визначення 6: числова послідовність {хп} називається збіжної до числа а, якщо для будь-якого як завгодно малого Межа послідовності. Теорема Штольца найдеться такий Межа послідовності. Теорема Штольца, що для всіх n > N виконується нерівність Межа послідовності. Теорема Штольца


Межа послідовності. Теорема ШтольцаМежа послідовності. Теорема Штольца при Межа послідовності. Теорема Штольца,

Межа послідовності. Теорема Штольца


а - межа послідовності


Так як Межа послідовності. Теорема Штольцарівносильне Межа послідовності. Теорема Штольца, а це означає приналежність інтервалу хn є (a – ε; a+ ?) або, що т же саме, належить ? - околиці крапки а. Тоді ми можемо дати ще одне визначення збіжної числової послідовності.

Визначення 7: числова послідовність {хп} називається збіжної, якщо існує така крапка а, що в будь-який досить малої ε - околиці цієї крапки перебуває як завгодно елементів цієї послідовності, починаючи з деякого номера N.

Зауваження: відповідно до визначень (5) і (6), якщо а – межа послідовності {хп}, те xп – а є елементом нескінченно малої послідовності, тобто xп – а = αn, де αn – елемент нескінченно малої послідовності. Отже, xп = а +αn, і тоді ми в праві затверджувати, що якщо числова послідовність {хп} сходиться, то її завжди можна представити у вигляді суми своєї межі й елемента нескінченно малої послідовності.

Вірно й зворотне твердження: якщо будь-який елемент послідовності {хп} можна представити у вигляді суми постійного числа й елемента нескінченно малої послідовності, те це постійна і є межа даної послідовності.


2.Властивості збіжних послідовностей


Теорема 1:

Усяка збіжна послідовність має тільки одну межу.

Доказ:

Припустимо, що послідовність {xn} має дві межі (а ≠ b)

xn → a, отже xn = a + αn, де αn елемент нескінченно малої послідовності;

xn → b, отже xn = b + βn, де βn елемент нескінченно малої послідовності;

Оцінимо різницю даних рівностей 0 = a – b + (αn - βn),

позначимо αn - βn = γn, γn – елемент нескінченно малої послідовності,

отже, γn = b – a,

а це означає, що всі елементи нескінченно малої послідовності рівні тому самому числу b - a, і тоді b - a = 0 по властивості нескінченно малої послідовності,

отже, b = a,

отже, послідовність не може мати двох різних меж.

Теорема 2:

Якщо всі елементи послідовності {xn} рівні З (постійної), то межа послідовності {xn}, теж дорівнює С.

Доказ:

З визначення межі, треба, З = З + 0.

Теорема 3:

Якщо послідовності {xn} і {уn} сходяться, то й послідовність {xn + уn} також сходиться і її межа дорівнює сумі її що складаються (меж).

Доказ:

xn → a, отже xn = a + αn

уn → b, отже уn = b + βn

xn + уn = а + b + (αn + βn)

позначимо αn - βn = γn, отже xn + уn = а + b + γn, γn елемент нескінченно малої послідовності;

отже,


Межа послідовності. Теорема Штольца


Наслідок: різниця двох збіжних послідовностей є послідовність збіжна, і її межа дорівнює різниці їхніх меж.

Теорема 4:

Якщо послідовності {xn} і {уn} сходяться, то й послідовність {xn * уn} також сходиться і її межа дорівнює добутку її множників (меж).

Доказ:

xn → a, отже xn = a + αn

уn → b, отже уn = b + βn

xn * уn = (а + αn)*(b + βn)=аb+(а βn + bαn + αn βn)

позначимо γn = а βn + bαn + αn βn, де γn елемент нескінченно малої послідовності, виходить

xn * уn = ab+ γn,

отже,

Межа послідовності. Теорема Штольца


Теорема 5:

Якщо послідовності {xn} і {уn} сходяться до чисел а й b відповідно, і якщо b ≠ 0, межа частки Межа послідовності. Теорема Штольца існує, кінцевий і дорівнює частці меж.

Доказ:

Так як послідовність {уn} сходиться до b, те по визначенню збіжної послідовності, для будь-якого ε > 0, найдеться N(ε), такий що для всіх n > N, буде виконаються нерівність |b – yn|< ε.

Тоді поклавши Межа послідовності. Теорема Штольца, бачимо, що


Межа послідовності. Теорема Штольца,


звідки треба


Межа послідовності. Теорема Штольца


отже


Межа послідовності. Теорема Штольца.


Так як, відповідно до умови b ≠ 0, то з останньої нерівності треба, що для всіх n > N елементи послідовності {уn} не рівні 0, значить саме із цього номера N можна визначити послідовність Межа послідовності. Теорема Штольца


xn = a + αn

уn = b + βn, отже

Межа послідовності. Теорема Штольца

позначимо γn = αпb – aβn, γn елемент нескінченно малої послідовності.


Межа послідовності. Теорема Штольца,


а тоді з останньої рівності, треба


Межа послідовності. Теорема Штольца,


звідки


Межа послідовності. Теорема Штольца


3.Приклади знаходження меж послідовності


Числова послідовність задана загальним членом xп, розглянемо його:


Межа послідовності. Теорема Штольца

Межа послідовності. Теорема Штольца

Межа послідовності. Теорема Штольца

Межа послідовності. Теорема Штольца

Межа послідовності. Теорема ШтольцаМежа послідовності. Теорема Штольца


при знаходженні такої межі говорять, що будемо розкривати невизначеність виду Межа послідовності. Теорема Штольца.

Межа послідовності. Теорема Штольцапри знаходженні такої межі, говорять, що будемо розкривати невизначеність виду Межа послідовності. Теорема Штольца.

Для розкриття невизначеності Межа послідовності. Теорема Штольца ділимо чисельник і знаменник на найбільший ступінь n.


Межа послідовності. Теорема Штольца

Межа послідовності. Теорема Штольца

Межа послідовності. Теорема Штольца


Таким чином, має місце правило:

Межа відносини двох багаточленів дорівнює нескінченності, якщо ступінь чисельника більше ступеня знаменника, нулю, якщо ступінь чисельника менше ступеня знаменника й відношенню коефіцієнтів при старших членах, якщо ступеня чисельника й знаменника рівні.

Для спрощення задачі знаходження межі послідовності, вищевказаного виду, ми вдаємося до допомоги теореми Штольца.

4.Теорема Штольца


Для визначення меж невизначених виражень Межа послідовності. Теорема Штольца типу Межа послідовності. Теорема Штольцачасто буває корисна наступна теорема, що належить Штольцу (O. Stolz).

Межа послідовності. Теорема ШтольцаТеорема: Нехай варіанта , причому – хоча б починаючи з деякого місця – зі зростанням п і уп зростає: тобто уп+1 > yn. Тоді


Межа послідовності. Теорема Штольца


якщо тільки існує межа праворуч (кінцевий або навіть нескінченний).

Доказ: Допустимо спочатку, що ця межа дорівнює кінцевому числу L:


Межа послідовності. Теорема Штольца


Тоді по будь-якому заданому Межа послідовності. Теорема Штольца найдеться такий номер N, що для n > N буде


Межа послідовності. Теорема Штольца


або


Межа послідовності. Теорема Штольца.


Виходить, яке б n > N не взяти, всього дробу

Межа послідовності. Теорема Штольца


лежать між цими границями. Тому що знаменники їх, через зростання уп разом з номером п, позитивні, то між тими ж границями втримується й дріб


Межа послідовності. Теорема Штольца


чисельник якої є сума всіх чисельників, написаних вище дробів, а знаменник - сума всіх знаменників. Отже, при n > N


Межа послідовності. Теорема Штольца


запишемо тотожність


Межа послідовності. Теорема Штольца


звідки


Межа послідовності. Теорема Штольца.


Другий доданок праворуч, як ми бачили вище, при n > N стає < Межа послідовності. Теорема Штольца.

Перший же доданок, через те, що, також буде < Межа послідовності. Теорема Штольца, скажемо, для n > N’. Якщо при цьому взяти N’ > N, то для n > N’ очевидно


Межа послідовності. Теорема Штольца,


що й доводить наше твердження.

Випадок нескінченної межі приводиться до вище розглянутого. Нехай, наприклад,


Межа послідовності. Теорема Штольца


Звідси, насамперед, випливає, що (для досить більших n)


Межа послідовності. Теорема Штольца


отже, разом з уn і Межа послідовності. Теорема Штольца, причому варіанта хп зростає зі зростанням номера п. У такому випадку, доведену теорему можна застосувати до зворотного відношення Межа послідовності. Теорема Штольца:


Межа послідовності. Теорема Штольца


(тому що тут межа вже кінцева), звідки й треба, що

Межа послідовності. Теорема Штольца,


що й було потрібно довести.


5. Приклади на застосування теореми "Штольца"

1. Обчислити Межа послідовності. Теорема Штольца

Установимо одну допоміжну нерівність (нерівність Як. Бернуллі):

якщо п - натуральне число, більше одиниці, і ?>1, те


Межа послідовності. Теорема Штольца (*)


Дійсно, поклавши ? =1+?, де ? > 0, по формулі Бінома Ньютона будемо мати:


Межа послідовності. Теорема Штольца


тому що ненаписані члени позитивні, те


Межа послідовності. Теорема Штольца,


що рівносильне нерівності (*).

так само й у нашій задачі, поклавши а = 1+?, так що ? > 0, маємо по формулі Бінома Ньютона


Межа послідовності. Теорема Штольца.

Тому що для n > 2, мабуть, Межа послідовності. Теорема Штольца, те остаточно,


Межа послідовності. Теорема Штольца


При k = 1, одержуємо відразу


Межа послідовності. Теорема Штольца


так що


Межа послідовності. Теорема Штольца


Тому що цей результат вірний при будь-якому а > 1, те, взявши k > 1, можемо затверджувати (принаймні, для досить більших n)


Межа послідовності. Теорема Штольца


так що


Межа послідовності. Теорема Штольца (а > 1).


Доведений, таким чином, для k = 1, цей результат тим більш буде вірний і для k < 1.

Цей результат за допомогою теореми Штольца виходить відразу

Межа послідовності. Теорема Штольца


2. Застосуємо теорему Штольца до доказу наступної цікавої пропозиції (Коші):

Якщо варіанта ап має межа (кінцева або нескінченний), то та ж межа має й варіанта


Межа послідовності. Теорема Штольца


(«середнє арифметичне» перших п значень варіанти ап).

Дійсно, думаючи по теоремі Штольца


Межа послідовності. Теорема Штольца


маємо:

Межа послідовності. Теорема Штольца

Наприклад, якщо ми знаємо, що Межа послідовності. Теорема Штольца, те й


Межа послідовності. Теорема Штольца


3. Розглянемо тепер варіанту (уважаючи до - натурального)


Межа послідовності. Теорема Штольца,

яка представляє невизначеність виду Межа послідовності. Теорема Штольца.

Думаючи в теоремі Штольца


Межа послідовності. Теорема Штольца


будемо мати


Межа послідовності. Теорема Штольца


АЛЕ Межа послідовності. Теорема Штольца

так що Межа послідовності. Теорема Штольца


використовуючи наступне твердження


Межа послідовності. Теорема Штольца

Межа послідовності. Теорема Штольца,

Межа послідовності. Теорема Штольца


Другий множник тут має кінцева межа Межа послідовності. Теорема Штольца. Якщо ступеня багаточленів рівні k = l, то межа відносини багаточленів дорівнює межі відносини коефіцієнтів при старших ступенях багаточленів.

Якщо k < l, то розглянуте відношення прагне до Межа послідовності. Теорема Штольца

Якщо k > l, то розглянуте відношення прагне до Межа послідовності. Теорема Штольца

у підсумку ми одержуємо


Межа послідовності. Теорема Штольца

Висновок


У даній роботі ми розглянули теорему Штольца і її застосування на практиці. Розглянуті приклади показують, що дана теорема в достатній мері полегшує процес знаходження меж невизначених виражень Межа послідовності. Теорема Штольца, допомагаючи обчислити шукану межу, не прибігаючи до допоміжних нерівностей.

Список літератури


1. Г.М. Фихтенгольц. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К., 2004

2. Б.П. Демидович. Збірник задач і вправ по математичному аналізі. - К., 2001

3. Л.Д. Кудрявцев. Курс математичного аналізу, т. 1. - К., 1998.

Рефетека ру refoteka@gmail.com