Рефетека.ру / Математика

Курсовая работа: Вивчення поняття "символ О"

Курсова робота: ;


Зміст


Введення

Розділ 1. Символ О

1.1 Основні визначення, приклади

1.2 Основні співвідношення

1.3 Рішення задач

Розділ 2. Додаток символу О

2.1 Асимптотичне рішення трансцендентних рівнянь дійсного змінного

2.2 Асимптотичне рішення інтегралів

2.3 Асимптотичне обчислення суми ряду

Література


Введення


Слово асимптотика має грецьке походження й буквально означає "ніколи що не з'єднуються". Вивчаючи конічні перетини, давньогрецькі математики розглядали, зокрема, гіперболи, такі, як графік функції Вивчення поняття "символ О",


Вивчення поняття "символ О"


Які мають прямі y = x і y = -x своїми "асимптотами". При Вивчення поняття "символ О" крива наближається до асимптотам, але ніколи не стикається з ними. У наші дні слово "асимптотика" використовується в більше широкому змісті для позначення будь-якої наближеної величини, що стає усе більше точної в міру наближення деякого параметра до граничного значення.

Точні рішення, якщо їх вдається одержати, - це чудово: остаточна відповідь викликає почуття глибокого задоволення. Але й наближене значення іноді виявляється в ціні.

В 1894 році Пауль Бахман придумав позначення для асимптотичного аналізу. У наступні роки його популярності сприяли Едмунд Ландау й ін. Ми зустрічаємо це позначення у формулах на зразок:


Вивчення поняття "символ О",(1.1)

яка говорить нам, що n-е гармонійне число дорівнює натуральному логарифму n плюс константа Ейлера плюс деяка величина, що становить "О велике від 1 на n". Ця остання величина точно не визначена, однак, який би вона не була, позначення "О" дозволяє затверджувати, що вона не перевершує константу, помножену на 1/n.

Величину О(1/n) можна вважати малої, якщо тільки нас не цікавлять величини, що відрізняються від 1/n лише постійним множником.

Додаток символу О можна зустріти в різних областях математики, а також і у фізику. Наприклад, у книзі Панченкова А.Н. "Асимптотичні методи в екстремальних задачах механіки" розглядається застосування асимптотичних методів у рішенні задач аеродинаміки.

Ціль курсової роботи: вивчити поняття "Символ О" і показати його застосування.

Задачі:

1. Вивчити поняття "Символ О", дати визначення.

2. Вивчити й довести основні співвідношення.

3. Показати застосування символу О при рішенні задач.

4. Знайти застосування символу О в різних областях математики.

На підставі поставлених цілей і задач кваліфікаційна робота розбита на дві глави.

Розділ 1 "Символ О" складається із трьох параграфів. У першому параграфі розглядаються основні визначення, приводяться приклади; у другому - формулюються твердження, приводяться їхні докази; третій параграф присвячений рішенню задач.

Розділ 2 "Додатка символу О" висвітлює застосування символу О, а саме, при рішенні трансцендентних рівнянь, при обчисленні інтегралів, при знаходженні суми рядів.


Розділ 1. Символ О.


1.1 Основні визначення, приклади


Визначення 1:

f(n) = O(g(n)) для всіх n О N (1.1.1) означає, що існує така константа З, що Вивчення поняття "символ О" для всіх n О N; (1.1.2), а якщо позначення O(g(n)) використано усередині формули, то воно позначає функцію f(n), що задовольняє (1.1.2). Значення функції f(n) невідомі, але ми знаємо, що вони не занадто великі.

Символ "О" включає невизначену константу С, кожне входження О може мати на увазі різні З, але кожна із цих констант не залежить від n.

Приклад 1: ми знаємо, що сума квадратів перших n натуральних чисел дорівнює


n = Вивчення поняття "символ О".


Можна записати n = О(n3),

тому що


Вивчення поняття "символ О"


для всіх цілих n. Можна одержати більше точну формулу

n = Вивчення поняття "символ О"О(n2), тому що


Вивчення поняття "символ О"


для всіх цілих n. Можна також недбало відкинути частина інформації й записати n = О(n10).

Визначення О не змушує нас давати найкращу оцінку.

Розглянемо приклад, коли змінна n – не целочисленна.

Приклад 2:


Вивчення поняття "символ О",


де х – речовинне число.

Тут уже не можна сказати, що S(x) = O(x3), тому що відношення Вивчення поняття "символ О" необмежено росте при х®0. Не можна також сказати, що S(x) = O(x), тому що відношення Вивчення поняття "символ О" необмежено росте, коли х прагне до нескінченності. Виходить, ми не можемо використовувати символ "О" для оцінки S(x).

Ця дилема дозволяється завдяки тому, що на змінні, використовувані із О, звичайно накладаються які-небудь обмеження. Якщо, наприклад, ми поставимо умову, що Вивчення поняття "символ О", або що Вивчення поняття "символ О", де e - довільна позитивна константа, або що х – ціле число, то ми зможемо записати S(x) = O(x3). Якщо ж накладена умова Вивчення поняття "символ О" або Вивчення поняття "символ О", де з – довільна позитивна константа, то в цьому випадку S(x) = O(x). "О велике" залежить від контексту, від обмежень на використовувані змінні.

Ці обмеження часто задаються у вигляді граничних співвідношень.

Визначення 2: співвідношення f(n) = O(g(n)) при n®Ґ означає, що існують дві константи С и n0, такі, що


Вивчення поняття "символ О"при всіх n і n0.(1.1.3)


Зауваження 1: Значення С и n0 можуть бути різними для різних О, але вони не залежать від n.

Визначення 3: запис f(х) = O(g(х)) при х®0 означає, що існують дві константи С и e, такі, що


Вивчення поняття "символ О",якщо тільки Вивчення поняття "символ О".(1.1.4)


Тепер О представляє невизначену функцію й одну або дві невизначені константи, що залежать від контексту.

Зауваження 2: запис Вивчення поняття "символ О" коректний, але в цій рівності не можна міняти місцями праву й ліву частини. У противному випадку ми можемо прийти до безглуздих висновків, на зразок n = n2, виходячи з вірних тотожностей n = О(n2) і n2 = О(n2).

Працюючи із символом "О" ми маємо справу з однобічними рівностями. Права частина рівняння містить не більше інформації, чим ліва, і фактично може містити менше інформації; права частина є "огрубінням" лівої.

Якщо говорити строго формально, то запис O(g(n)) позначає не якусь одну функцію f(n), а відразу множина функцій f(n), таких, що Вивчення поняття "символ О" для деякої константи С. Звичайна формула g(n), що не включає символ О, позначає множину, що містить одну функцію f(n) = g(n). Якщо S і T суть множини функцій від n, то запис S + T позначає множину всіх функцій виду f(n) + g(n), де f(n)ОS і g(n)ОT; інші позначення начебто S – T, ST, S/T, Вивчення поняття "символ О", е, ln S визначаються аналогічно. Тоді "рівність" між двома такими множинами функцій є теоретико-множинне включення; знак "=" у дійсності означає "(".

Приклад 3: "Рівняння" Вивчення поняття "символ О" означає, що S1 Н S2, де S1 є множину всіх функцій виду Вивчення поняття "символ О", для яких найдеться константа З1, така, що Вивчення поняття "символ О", а S2 є множина всіх функцій Вивчення поняття "символ О", для яких найдеться константа З2, така, що Вивчення поняття "символ О".

Можна строго довести це "рівність", якщо взяти довільний елемент із лівої частини й показати, що він належить правій частині: нехай Вивчення поняття "символ О" таке, що Вивчення поняття "символ О", варто довести, що існує така константа З2, що Вивчення поняття "символ О". Константа Вивчення поняття "символ О" вирішує проблему, тому що Вивчення поняття "символ О" для всіх цілих n.

Зауваження 3: Якщо у формулі використовується трохи змінних, то символ О представляє множину функцій від двох або більше змінних, а не тільки від однієї. В область визначення кожної функції входять всі змінні, які в даному контексті "вільні" для зміни.

Отут є деяка тонкість через те, що змінні можуть мати сенс лише в частині вираження, якщо вони зв'язані знайомий ( або подібним.

Приклад 4:


Вивчення поняття "символ О",


ціле n і 0.(1.1.5)

Вираження k2 + O(k) у лівій частині відповідає множині всіх функцій від двох змінних виду k2 + f(k, n), для яких найдеться константа З, така, що Вивчення поняття "символ О" для 0 Ј k Ј n. Сума таких множин функцій для 0 Ј k Ј n є множину всіх функцій g(n) виду


Вивчення поняття "символ О",


де f задовольняє сформульованій умові. Оскільки


Вивчення поняття "символ О"


те всі такі функції g(n) належать правій частині (1.1.5); отже, (1.1.5) справедливо.


1.2 Основні співвідношення


Співвідношення 1: Вивчення поняття "символ О"якщо Вивчення поняття "символ О".(1.2.1)

Доказ:

Нехай Вивчення поняття "символ О", тоді Вивчення поняття "символ О" по властивості ступеня й модуля. Вивчення поняття "символ О", де З = 1. А по визначенню (1.1.2) символи Об це й означає, що Вивчення поняття "символ О"при Вивчення поняття "символ О". Співвідношення 1 доведене.

Співвідношення 2: Вивчення поняття "символ О".(1.2.2)

Доказ:

Покажемо строго відповідно до теоретико-множинного визначення символу О, що ліва частина є підмножиною правої частини.

Будь-яка функція з лівої частини має вигляд a(n) + b(n), і існують константи m0, B, n0, C, такі, що


Вивчення поняття "символ О"и.Вивчення поняття "символ О"


Отже, функція в лівій частині


Вивчення поняття "символ О"


А, виходить, по визначенню символу О ліва частина належить правій частині. Співвідношення 2 доведене.

Співвідношення 3: f(n) = O(f(n));(1.2.3)

Доказ:

Для будь-якої функції f(n) вірна нерівність Вивчення поняття "символ О". Вивчення поняття "символ О", де З = 1. По визначенню символу О (1.1.2) це й означає, що f(n) = O(f(n)). Співвідношення 3 доведене.

Співвідношення 4: O(f(n))O(g(n)) = O(f(n)g(n));(1.2.4)

Доказ:

Покажемо відповідно до теоретико-множинного визначення символу О, що ліва частина є підмножиною правої частини.

У лівій частині функції мають вигляд a(n) Ч b(n), такі, що існують константи В, З, n0, m0, що


Вивчення поняття "символ О"і

Вивчення поняття "символ О".

Тоді Вивчення поняття "символ О"для будь-якого n і max(n0, m0,). Значить ліва частина належить правій частині, а, отже, є підмножиною правої частини по визначенню символу О. Співвідношення 6 доведене.

Співвідношення 5: O(O(f(n))) = O(f(n));(1.2.5)

Доказ:

Покажемо, що ліва частина є підмножиною правої частини.

Функція з лівої частини має вигляд a(n) такий, що існують позитивні константи З, В, n0, m0 такі, що


Вивчення поняття "символ О"


Отже, по визначенню ліва частина є підмножиною правої частини. Співвідношення 5 доведене.

Співвідношення 6: С Ч O(f(n)) = O(f(n)),якщо З – константа;(1.2.6)

Доказ:

Існує така константа В, що Вивчення поняття "символ О", по визначенню (1.1.1) З = О(1). Тоді З Ч O(f(n)) = О(1) Ч O(f(n)) = (по 1.2.4) = O(f(n)).

Співвідношення доведене.

Співвідношення 7: O(f(n)g(n)) = f(n)O(g(n)).(1.2.7)

Доказ:

Покажемо, що ліва частина є підмножиною правої частини.

У лівій частині функції мають вигляд a(n), такі, що існують константи З, n0, що


Вивчення поняття "символ О".


По визначенню символу О ми одержуємо вірну рівність (1.2.7). Співвідношення 7 доведене.

Співвідношення 8: O(f(n)2) = O(f(n))2.(1.2.8)

Доказ:

O(f(n)2) = O(f(n) · f(n)) = (по 1.2.7) = f(n) · O(f(n)) = (по 1.2.3) = О(f(n)) · O(f(n)) = O(f(n))2

Співвідношення доведене.

Співвідношення 9: е(f(n)) = 1 + O(f(n)), якщо f(n) = О(1)(1.2.9)

Доказ:


е(f(n)) = еg(n), де Вивчення поняття "символ О".


Так як. f(n) = О(1), тобто


Вивчення поняття "символ О", теВивчення поняття "символ О" .

Вивчення поняття "символ О"


Вивчення поняття "символ О". Значить е(f(n)) = 1 + O(f(n)).

Співвідношення доведене.

Співвідношення 10: Якщо сума Вивчення поняття "символ О" сходиться абсолютно для деякого комплексного числа z = z0, те


Вивчення поняття "символ О".


Доказ:

Дане співвідношення очевидно, оскільки

Вивчення поняття "символ О".


Співвідношення доведене.

Зауваження 4: Зокрема, S(z) = O(1) при z ® 0 і S(1/n) = O(1) при n ® Ґ при тім тільки умові, що S(z) сходиться хоча б для одного ненульового значення z. Ми можемо використовувати цей принцип для того, щоб, відкинувши хвіст статечного ряду, починаючи з будь-якого зручного місця, оцінити цей хвіст через О. Так, наприклад, не тільки S(z) = O(1), але й

S(z) = a0 + O(z), S(z) = a0 + a1z + O(z2),

і т.д., оскільки


Вивчення поняття "символ О",


а остання сума, як і сама S(z), абсолютно сходиться при z = z0 і є О(1).

У таблиці №1 наведені самі корисні асимптотичні формули [2], половина з яких отримана шляхом відкидання членів статечного ряду відповідно до цього правила.


Таблиця №1 Асимптотичні апроксимації, справедливі при n ® Ґ і z ® 0

Вивчення поняття "символ О"(1.2.10)

Вивчення поняття "символ О" (1.2.11)

Вивчення поняття "символ О" (1.2.12)

Вивчення поняття "символ О" (1.2.13)

Вивчення поняття "символ О" (1.2.14)

Вивчення поняття "символ О"(1.2.15)


Асимптотичні формули для Hn, n! не є початковими відрізками збіжних рядів; якщо необмежено продовжити ці формули, те отримані ряди будуть розходитися при всіх n.

Говорять, що асимптотична апроксимація має абсолютну погрішність O(g(n)), якщо вона має вигляд f(n) + O(g(n)), де f(n) не включає О. Апроксимація виду f(n)(1 + O(g(n))) має відносну погрішність O(g(n)), якщо f(n) не включає О. Наприклад, апроксимація Hn у таблиці №1 має абсолютну погрішність O(n-6); апроксимація n! - відносну погрішність O(n-4). (Права частина (1.2.11) не така, як потрібно, - f(n)(1 + O(n-4)), але її можна переписати як


Вивчення поняття "символ О".


Абсолютна погрішність цієї апроксимації є O(nn-3.5e-n). Абсолютна погрішність співвідноситься із числом вірних десяткових цифр праворуч від десяткової крапки, які зберігаються після відкидання члена О; відносна погрішність пов'язана із числом вірних "значущих цифр".


1.3 Рішення задач


Задача 1. Що невірно в наступних міркуваннях? Оскільки n = O(n) і 2n = O(n) і так далі, те містимо, що Вивчення поняття "символ О"?

Рішення:

Заміна kn на O(n) має на увазі різні Із для різних k; а потрібно, щоб усе О мали загальну константу. У дійсності, у цьому випадку потрібно, щоб О позначало множину функцій двох змінних, k і n. Правильно буде записати


Вивчення поняття "символ О".


Задача 2. Доведіть або спростуйте: О(f(n) + g(n)) = f(n) + O(g(n)), якщо f(n) і g(n) позитивні для всіх nОN.

Рішення:

Твердження невірне.

Нехай f(n) = n2, а g(n) = 1. Знайдемо таку функцію j(n), яка б належала лівій множині, але не належала б правій множині, тобто ($З1) ("n) [j(n) Ј C1(n2 + 1)] і ("З2) ($nіn0) [j(n) > n2 + C2].

Візьмемо j(n) = 2n2.

1). Нехай З1 = 3, тоді ("nіn0) 2n2 Ј 3(n2 + 1). Значить функція j(n) належить лівій множині.

2). ("З2) ($n>Вивчення поняття "символ О" ) 2n2 > n2 + C2. Значить функція j(n) не належить правій множині.

Задача 3. Доведіть або спростуйте: cos O(x) = 1 + O(x2) для всіх речовинних х.

Рішення:

Якщо функція g(x) належить лівій частині так, що g(x) = cos y для деякого y, причому Вивчення поняття "символ О" для деякої константи З, то g(x) = cos y = 1 - 2sin2 (y/2) Ј 1 = 1 + 0 Ч х2. Значить існує така константа В, що g(x) Ј 1 + В Ч х2. Отже, множина з лівої частини втримується в правій частині, і формула вірна.

Задача 4. Доведіть, що Вивчення поняття "символ О".

Рішення:

Перетворимо ліву частину в такий спосіб:


Вивчення поняття "символ О".


Помітимо, що Вивчення поняття "символ О", тоді Вивчення поняття "символ О", де З – константа, тоді можна записати по визначенню символу О, що Вивчення поняття "символ О". Використовуючи це для перетвореної рівності, одержуємо, що


Вивчення поняття "символ О" = (по 1.2.4)

Вивчення поняття "символ О"


Що й було потрібно довести.

Задача 5. Обчислите Вивчення поняття "символ О" при nОN.

Рішення:


Вивчення поняття "символ О"

Вивчення поняття "символ О" (по 1.2.6)

Вивчення поняття "символ О" (по 1.2.3)

Вивчення поняття "символ О"(по 1.2.4)

Вивчення поняття "символ О" (по 1.2.2)

Вивчення поняття "символ О"

Вивчення поняття "символ О"


Задача 6. Обчислите (n + 2 + O(n-1))n з відносною погрішністю O(n-1), при n®Ґ.

Рішення:


Вивчення поняття "символ О"

Вивчення поняття "символ О" (по 1.2.3 і 1.2.4)

Вивчення поняття "символ О"


При n®Ґ k = (2n-1 + O(n-2)) ® 0, тоді ln (1 + k) ® 0. Тоді при n®Ґ ln (1 + k) = k.


Вивчення поняття "символ О"Вивчення поняття "символ О" (по 1.2.9)

Вивчення поняття "символ О".


Задача 7. Доведіть, що Вивчення поняття "символ О", при nОN, n®Ґ.

Рішення:

Покажемо, що Вивчення поняття "символ О".(*)

По визначенню Вивчення поняття "символ О" - функція аn така, що Вивчення поняття "символ О".

Одержуємо, що Вивчення поняття "символ О", значить Вивчення поняття "символ О".

Тепер доведемо, що Вивчення поняття "символ О":


Вивчення поняття "символ О"= (по 1.2.4 і 1.2.6) = Вивчення поняття "символ О" = (по (*)) =

Вивчення поняття "символ О" (по 1.2.6) = Вивчення поняття "символ О"(по 1.2.9) =

Вивчення поняття "символ О" (по 1.2.6) =Вивчення поняття "символ О" .


Розділ 2. Додаток символу О


2.1 Асимптотичне рішення трансцендентних рівнянь: дійсного змінного


Приклад 1.

Розглянемо рівняння


x +th x = u,


де u - дійсний параметр, Вивчення поняття "символ О" - гіперболічний тангенс [6], Вивчення поняття "символ О", х і th x – безперервні, строго зростаючі функції на всій числовій прямій.

Знайдемо асимптотичне наближення для кореня:

1). Функція u(x) = x +th x безперервна й строго монотонна на R. По теоремі О безперервність зворотної функції, існує зворотна до неї функція х(і), безперервна й строго монотонна на Еи = R.

Тому що при х®Ґ і(х)®Ґ, те при 鮥 х(і)®Ґ.

Нехай і®Ґ, тоді х®Ґ і Вивчення поняття "символ О".

Виходить, х(і) ~ і, при 鮥. Це перше асимптотичне наближення для кореня.

2). Приведемо рівняння до виду:


x = і - th x.


Вивчення поняття "символ О"+З, де З – деяка константа. По визначенню символу О thx = 1+O(1).

x = і – 1 + О(1) - це друге асимптотичне наближення кореня.

3). Доведемо, що е-2х = О(е-2і):(2.1.1)

підставимо друге асимптотичне наближення кореня


е-2х = е-2(і – 1 + О(1)) = е-2і Ч е2Ч еО(1) = (по 1.2.3 і 1.2.9) = е2 О(е-2і) (1 + О(1))Ч=

(по 1.2.3) = е2 О(е-2і) (2О(1)) = (по 1.2.6 і 1.2.4) = О(е-2і).


Розкладемо th x у ряд [6], зручний при більших х:


th x = 1 – 2е-2х + 2е-4х – 2е-6х +…(х > 0)


Тоді по теоремі [3]:(2.1.2)

якщо ряд Вивчення поняття "символ О" сходиться при Вивчення поняття "символ О", тоді для фіксованого n Вивчення поняття "символ О" у будь-якому колі Вивчення поняття "символ О", де Вивчення поняття "символ О". Ряд – 2е-2х + 2е-4х – 2е-6х +…сходиться при х > 0, тобто Вивчення поняття "символ О" і його сума дорівнює th x - 1. Виходить, по теоремі: th x - 1 = О(е-2х), тобто th x=О(е-2х)+1. Тоді x = і - th x = і – 1 + О(е-2х) = (по 2.1.1) = і – 1 + О(О(е-2і)) = (по 1.2.5) = і – 1 + О(е-2і). Таким чином, x = і – 1 + О(е-2і) - цей третє асимптотичне наближення кореня.

4). Доведемо, що е-2х = е-2і+2 + О(е-4і):(2.1.3) підставимо третє асимптотичне наближення кореня


Вивчення поняття "символ О"(по 1.2.9)

Вивчення поняття "символ О"

Вивчення поняття "символ О"(по 1.2.6)Вивчення поняття "символ О"

(по 1.2.3 і 1.2.4) Вивчення поняття "символ О".

Ряд 2е-4х – 2е-6х + 2е-8х – 2е-10х +…сходиться при х > 0, тобто Вивчення поняття "символ О" і його сума дорівнює th x – 1 + 2е-2х. Виходить, по теоремі: th x – 1 + 2е-2х = О(е-4х), тобто th x=О(е-4х)+1 - 2е-2х.

Тоді


x = і - th x = і – 1 + 2е-2х + О(е-4х) = (по 2.1.3) =

= і – 1 + 2(е-2і+2 + О(е-4і)) + О(е-4х) = (по 1.2.6) =

= і – 1 + 2е-2і+2 + О(е-4і) + О(е-2х Ч е-2х) = (по 2.1.1) =

= і – 1 + 2е-2і+2 + О(е-4і) + О(О(е-2і) Ч О(е-2і)) = (по 1.2.4) =

= і – 1 + 2е-2і+2 + О(е-4і) + О(О(е-4і)) = (по 1.2.5) =

= і – 1 + 2е-2і+2 + О(е-4і) + О(е-4і) = і – 1 + 2е-2і+2 + 2О(е-4і) = (по 1.2.6) =

= і – 1 + 2е-2і+2 + О(е-4і).


Таким чином, x = і – 1 + 2е-2і+2 + О(е-4і) - цей четверте асимптотичне наближення кореня.

Продовжуючи цей процес, одержимо послідовність наближень із помилками, асимптотичний порядок яких постійно убуває. Збіжність цієї послідовності при необмеженому зростанні числа кроків на основі проведених міркувань побачити важко, але чисельні можливості цього процесу можна оцінити, взявши, наприклад, і = 5:


1) х = 5;

2) х = і – 1 + О(1) = 5 – 1 = 4; (не враховуємо помилку О(1))

3) x = і – 1 + О(е-2і) = 5 – 1 = 4; (не враховуємо помилку О(е-2і))

4) x = і – 1 + 2е-2і+2 + О(е-4і) = 5 – 1 + 0,000670925…=4,000670925..... (не враховуємо помилку О(е-4і))


Точне значення, отримане стандартними чисельними методами, дорівнює 4,0006698...

Приклад 2.

Знайдемо більших позитивних корінь рівняння


x tg x = 1


Це рівняння можна звернути в такий спосіб:


Вивчення поняття "символ О",


де n – ціле число, а арктангенс приймає значення в інтервалі Вивчення поняття "символ О", знаходимо, що x ~ np при (n → Ґ).

Якщо x > 1, то [6]


Вивчення поняття "символ О"


1). По теоремі (2.1.2)


Вивчення поняття "символ О".

Вивчення поняття "символ О".

2). Вивчення поняття "символ О"


По теоремі (2.1.2)

Вивчення поняття "символ О". Тоді Вивчення поняття "символ О".

Вивчення поняття "символ О".

3). Вивчення поняття "символ О"


По теоремі (2.1.2)


Вивчення поняття "символ О". Тоді Вивчення поняття "символ О".

Вивчення поняття "символ О".


І так далі.


2.2 Асимптотичне рішення інтегралів


Приклад 1. Обчислити Вивчення поняття "символ О" при х > 1.

Розкладемо в ряд [6]:


Вивчення поняття "символ О"

По теоремі (2.1.2)

Вивчення поняття "символ О", тобто Вивчення поняття "символ О".

Вивчення поняття "символ О"


Приклад 2. Обчислити Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot; при e®+0, Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;, А(х) - східчаста функція: А(х) = 0 при х < 0, А(х) = Аk, k Ј x < k + 1, Аk = а1 + а2 +…+аk , аk = k -1 . Причому Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;.

Скористаємося асимптотичною формулою [4]


Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;,


де g - постійна Ейлера Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;. Уведемо функцію Г(х) = lnx + g.


Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;

Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;.

Останній інтеграл має порядок О(e ln e) при e®+0, а передостанній – дорівнює -g/2, так що


Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;.

S(e) = I + J, де

Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;.


Оцінимо інтеграл J. Нехай Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;, тоді " k і 1


Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;.


Ологарифмуємо Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;, одержимо Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;.

Значить Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;

Отже,


Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;.


Одержуємо, що


Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;.

2.3 Асимптотичне обчислення суми ряду


При знаходженні суми ряду нерідко використовується формула підсумовування Ейлера [2]:


Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;

де Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;


Вk – числа Бернуллі, Вm({x}) – багаточлен Бернуллі.

Вk = (-1)k b2k. [6]

Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;. Коефіцієнти bk обчислюються, використовуючи теорему О одиничність розкладання функції в статечної ряд:


Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;


шляхом дорівнюючи коефіцієнтів:

коефіцієнт при х: b0 = 1,

коефіцієнт при хk:


Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;

Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;


Приклад 1. Знайти Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;.

По 1.2.10 Нk = ln k + O(1). Тоді


Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;.

Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;


Застосуємо формулу підсумовування Ейлера:


Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;

Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;

Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;

Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;

Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;.


Приклад 2. Знайти Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;

Застосуємо формулу підсумовування Ейлера:


Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;

Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;

Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;


Приклад 3. Знайти асимптотику при n ® Ґ суми Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;

Члени цієї суми швидко ростуть із ростом номера, так що головний член асимптотики дорівнює останньому члену суми: S(n) ~ n!, n ® Ґ. Дійсно,


Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;


Отже,


Вивчення поняття &amp;quot;символ О&amp;quot;


Література


1. Брейн, Н.Г. Асимптотичні методи в аналізі. – К., 2006

2. Грехем, Р. Конкретна математика. Основи інформатики. – К.,2004

3. Олвер, Ф. Введення в асимптотичні методи й спеціальні функції. – К., 2004

4. Панченков, О.М. Асимптотичні методи в екстремальних задачах механіки. – К., 2004

5. Федорюк, М.В. Асимптотика: інтеграли й ряди. – К., 2005

6. Фихтенгольц, Г.М. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К., 2000

Похожие работы:

  1. • Позиционные системы счисления
  2. • Формування маркетингової стратегії ЗАТ "Оболонь"
  3. • "Звезды прелестные" в поэзии Пушкина и его современников
  4. • Охрана труда при работе на компьютере
  5. • Краткий курс истории Московского троллейбуса
  6. • Технология HTML
  7. • Публий Теренций Афр
  8. • Решения задачи планирования производства симплекс ...
  9. • Словник слів іншомовного пожодження економічного ...
  10. • Латинский язык: Практические задания для студентов заочного ...
  11. • Проект концептуального анализа развития туризма в ...
  12. • Основы латинского языка
  13. • Основы здорового образа жизни студента. Физическая культура в ...
  14. • Меркантилизм и доктрина А. Смита
  15. • "Звезды прелестные" в поэзии Пушкина и его современников
  16. • "Звезды прелестные" в поэзии Пушкина и его современников
  17. • Способы отрицания в современном немецком языке
  18. • Исследование уровня безопасности операционной системы Linux
  19. • Восточные славяне в древности
  20. • Changes and specimens of the English language
Рефетека ру refoteka@gmail.com