Рефетека.ру / Математика

Учебное пособие: Определенный интеграл

Содержание


Лекция 1. Определенный интеграл

1. Понятие определенного интеграла

2. Геометрический смысл определенного интеграла

3. Основные свойства определенного интеграла

4. Формула Ньютона–Лейбница

5. Замена переменной в определенном интеграле

6. Интегрирование по частям

Лекция 2. Применение определенных интегралов. несобственные интегралы

1. Площадь криволинейной трапеции

2. Объем тела вращения

3. Длина дуги плоской кривой

4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

5. Несобственные интегралы от неограниченных функций

Литература


Лекция 1. Определенный интеграл


Понятие определенного интеграла


Пусть функция Определенный интеграл определена на отрезке Определенный интеграл, Определенный интеграл. Выполним следующие операции:

разобьем отрезок Определенный интеграл точками Определенный интеграл на n частичных отрезков Определенный интеграл;

в каждом из частичных отрезков Определенный интеграл, Определенный интеграл выберем произвольную точку Определенный интеграл и вычислим значение функции в этой точке: Определенный интеграл;

найдем произведения Определенный интеграл, где Определенный интеграл – длина частичного отрезка Определенный интеграл, Определенный интеграл;

составим сумму


Определенный интеграл, (1)


которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке[а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма Определенный интеграл представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки Определенный интеграл, а высоты равны Определенный интеграл соответственно (рис. 1). Обозначим через Определенный интеграл длину наибольшего частичного отрезка Определенный интеграл;

найдем предел интегральной суммы, когда Определенный интеграл.


Определенный интеграл

Рис. 1


Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка Определенный интеграл на частичные отрезки, ни от выбора точек Определенный интеграл в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл и обозначается Определенный интеграл.

Таким образом, Определенный интеграл.

В этом случае функция Определенный интеграл называется интегрируемой на Определенный интеграл. Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, Определенный интеграл – подынтегральной функцией, Определенный интеграл – подынтегральным выражением, Определенный интеграл – переменной интегрирования; отрезок Определенный интеграл называется промежутком интегрирования.

Теорема 1. Если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл, то она интегрируема на этом отрезке.


Геометрический смысл определенного интеграла


Пусть на отрезке Определенный интеграл задана непрерывная неотрицательная функция Определенный интеграл. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).


Определенный интеграл

Рис. 2

Определенный интеграл Определенный интеграл от неотрицательной функции Определенный интеграл с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции Определенный интеграл, слева и справа – отрезками прямых Определенный интеграл и Определенный интеграл, снизу – отрезком Определенный интеграл оси Ох.


3. Основные свойства определенного интеграла


Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: Определенный интеграл.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: Определенный интеграл

Если Определенный интеграл, то, по определению, полагаем Определенный интеграл

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: Определенный интеграл

Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:


Определенный интеграл.


Если функция Определенный интеграл интегрируема на Определенный интеграл и Определенный интеграл, то


Определенный интеграл.


(теорема о среднем). Если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл, то на этом отрезке существует точка Определенный интеграл, такая, что Определенный интеграл.


4. Формула Ньютона–Лейбница


Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Теорема 2. Если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл и Определенный интеграл – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

Определенный интеграл, (2)


которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность Определенный интеграл принято записывать следующим образом:


Определенный интеграл,


где символОпределенный интеграл называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:


Определенный интеграл.


Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную Определенный интеграл для подынтегральной функции Определенный интеграл; на втором – находится разность Определенный интеграл значений этой первообразной на концах отрезка Определенный интеграл.

Пример 1. Вычислить интеграл Определенный интеграл.

Решение. Для подынтегральной функции Определенный интеграл произвольная первообразная имеет вид Определенный интеграл. Так как в формуле Ньютона-Лейбни-ца можно использовать любую первообразную, то для вычисления ин-
теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: Определенный интеграл. Тогда Определенный интеграл.

Пример 2. Вычислить интеграл Определенный интеграл.

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:


Определенный интеграл.


5. Замена переменной в определенном интеграле


Теорема 3. Пусть функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл. Тогда, если: 1) функция Определенный интеграл и ее производная Определенный интеграл непрерывны при Определенный интеграл; 2) множеством значений функции Определенный интеграл при Определенный интеграл является отрезок Определенный интеграл; 3) Определенный интеграл, Определенный интеграл, то справедлива формула


Определенный интеграл, (3)


которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования Определенный интеграл и Определенный интеграл (для этого надо решить относительно переменной t уравнения Определенный интеграл и Определенный интеграл)).

На практике часто вместо подстановки Определенный интеграл используют подстановку Определенный интеграл. В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: Определенный интеграл, Определенный интеграл.

Пример 3. Вычислить интеграл Определенный интеграл

Решение. Введем новую переменную по формуле Определенный интеграл. Определим Определенный интеграл и Определенный интеграл. Возведя в квадрат обе части равенства Определенный интеграл, получим Определенный интеграл, откуда Определенный интеграл Определенный интеграл. Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулуОпределенный интеграл подставим старые пределы Определенный интеграл и Определенный интеграл. Получим: Определенный интеграл, откуда Определенный интеграл и, следовательно, Определенный интеграл; Определенный интеграл, откуда Определенный интеграл и, следовательно, Определенный интеграл. Таким образом:


Определенный интеграл
Определенный интеграл.

Пример 4. Вычислить интеграл Определенный интеграл.

Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим Определенный интеграл, откуда Определенный интеграл Определенный интеграл, Определенный интеграл. Найдем новые пределы интегрирования: если Определенный интеграл, то Определенный интеграл; если Определенный интеграл, то Определенный интеграл. Значит, Определенный интеграл. Следовательно:


Определенный интеграл

Определенный интеграл

Определенный интеграл.


Пример 5. Вычислить интеграл Определенный интеграл.

Решение. Положим Определенный интеграл, тогда Определенный интеграл, откуда Определенный интеграл. Находим новые пределы интегрирования: Определенный интеграл; Определенный интеграл. Имеем: Определенный интеграл. Следовательно:


Определенный интеграл

Определенный интеграл.


Интегрирование по частям


Теорема 4. Пусть функции Определенный интеграл и Определенный интеграл имеют непрерывные производные на отрезке Определенный интеграл. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:


Определенный интеграл. (4)


Доказательство

Так как Определенный интеграл, то функция Определенный интеграл является первообразной для функции Определенный интеграл. Тогда по формуле Ньютона–Лейбница получаем


Определенный интеграл,


откуда


Определенный интеграл.


Пример 6. Вычислить Определенный интеграл.

Решение. Положим Определенный интеграл, отсюда Определенный интеграл. По формуле (4) находим

Определенный интеграл
Определенный интеграл.

Пример 7. Вычислить Определенный интеграл.

Решение. Пусть Определенный интеграл, тогда Определенный интеграл. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем


Определенный интеграл
Определенный интеграл.

Пример 8. Вычислить Определенный интеграл.

Решение. Полагая Определенный интеграл, определяем Определенный интеграл. Следовательно:


Определенный интеграл

Определенный интеграл[к полученному интегра-лу снова применяем формулу интегрирования по частям: Определенный интеграл; следовательно: Определенный интеграл] = Определенный интеграл = Определенный интеграл

Определенный интеграл.


Лекция 2. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы


Площадь криволинейной трапеции


Пусть функция Определенный интеграл неотрицательна и непрерывна на отрезке Определенный интеграл. Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью Определенный интеграл, слева и справа – прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл (см. рис. 2) вычисляется по формуле


Определенный интеграл. (5)


Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией Определенный интеграл и осью Определенный интеграл.

Решение. Графиком функции Определенный интеграл является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью Определенный интеграл (прямой Определенный интеграл). Для этого решаем систему уравнений


Определенный интеграл


Получаем: Определенный интеграл, откуда Определенный интеграл, Определенный интеграл; следовательно, Определенный интеграл, Определенный интеграл.


Определенный интеграл

Рис. 3


Площадь фигуры находим по формуле (5):


Определенный интеграл

Определенный интегралОпределенный интеграл (кв. ед.).


Если функция Определенный интеграл неположительна и непрерывна на отрезке Определенный интеграл, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью Определенный интеграл, слева и справа – прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл, вычисляется по формуле


Определенный интеграл. (6)


В случае если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:

Определенный интеграл. (7)


Определенный интеграл

Рис. 4


Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Определенный интеграл и графиком функции Определенный интеграл при Определенный интеграл.


Определенный интеграл

Рис. 5


Решение. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей Определенный интеграл и Определенный интеграл. Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему Определенный интеграл Получим Определенный интеграл, Определенный интеграл. Следовательно:


Определенный интеграл Определенный интеграл;

Определенный интеграл

Определенный интеграл.


Таким образом, площадь Определенный интеграл заштрихованной фигуры равна


Определенный интеграл (кв. ед.).


Определенный интеграл

Рис. 6


Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке Определенный интеграл функций Определенный интеграл и Определенный интеграл,
а слева и справа – прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл (рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле


Определенный интеграл. (8)


Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Определенный интеграл и Определенный интеграл.

Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений Определенный интеграл находим Определенный интеграл, Определенный интеграл; следовательно, Определенный интеграл, Определенный интеграл. На отрезке Определенный интеграл имеем: Определенный интеграл. Значит, в формуле (8) в качестве Определенный интеграл возьмем x, а в качестве Определенный интегралОпределенный интеграл. Получим:


Определенный интеграл Определенный интеграл Определенный интеграл (кв. ед.).


Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.


Определенный интеграл

Рис. 7


Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Определенный интеграл, Определенный интеграл Определенный интеграл, Определенный интеграл.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью Определенный интеграл, слева и справа – прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл, сверху – графиками функций Определенный интеграл и Определенный интеграл. Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой Определенный интеграл на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий Определенный интеграл и Определенный интеграл). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):


Определенный интеграл (кв. ед.); Определенный интеграл (кв. ед.). Следовательно:

Определенный интеграл (кв. ед.).

Определенный интеграл

Рис. 8


Определенный интегралОпределенный интеграл

Рис. 9


В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл, осью Определенный интеграл и непрерывной на Определенный интеграл кривой Определенный интеграл (рис. 9), то ее площадь находится по формуле


Определенный интеграл.


Объем тела вращения


Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке Определенный интеграл функции Определенный интеграл, осью Определенный интеграл, прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл, вращается вокруг оси Определенный интеграл (рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле


Определенный интеграл. (9)


Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Определенный интеграл криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой Определенный интеграл, прямыми Определенный интеграл, Определенный интеграл и осью Определенный интеграл.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 11).

Из условия задачи следует, что Определенный интеграл, Определенный интеграл. По формуле (9) получаем


Определенный интеграл
Определенный интеграл.


Определенный интеграл

Рис. 10

Определенный интеграл

Рис. 11


Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d, осью Оу и графиком непрерывной на отрезке Определенный интеграл функции Определенный интеграл (рис. 12), определяется по формуле


Определенный интеграл. (10)


Определенный интегралОпределенный интеграл

Рис. 12


Пример 14. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х2 = 4у, у = 4, х = 0 (рис. 13).

Решение. В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: Определенный интеграл, Определенный интеграл. По формуле (10) получаем:


Определенный интеграл.


Определенный интеграл

Рис. 13


Длина дуги плоской кривой


Пусть кривая Определенный интеграл, заданная уравнением Определенный интеграл, где Определенный интеграл, лежит в плоскости Определенный интеграл (рис. 14).


Определенный интеграл

Рис. 14

Определение. Под длиной дуги Определенный интеграл понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

Если функция Определенный интеграл и ее производная Определенный интеграл непрерывны на отрезке Определенный интеграл, то длина дуги кривой Определенный интеграл вычисляется по формуле


Определенный интеграл. (11)


Пример 15. Вычислить длину дуги кривой Определенный интеграл, заключенной между точками, для которых Определенный интеграл.

Решение. Из условия задачи имеем Определенный интеграл. По формуле (11) получаем:


Определенный интеграл

Определенный интеграл

Определенный интегралОпределенный интеграл.


Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования


При введении понятия определённого интеграла Определенный интеграл предполагалось, что выполняются следующие два условия:

а) пределы интегрирования а и Определенный интеграл являются конечными;

б) подынтегральная функция Определенный интеграл ограничена на отрезке Определенный интеграл.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.

Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Определение. Пусть функция Определенный интеграл определена и непрерывна на промежутке Определенный интеграл, тогда


Определенный интеграл (12)


называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом I рода).

Если Определенный интеграл существует и конечен, то несобственный интеграл Определенный интеграл называется сходящимся; если данный предел не существует или равен Определенный интеграл, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Геометрически несобственный интеграл Определенный интеграл от неотрицательной функции Определенный интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции Определенный интеграл, снизу – осью Определенный интеграл, слева – отрезком прямой Определенный интеграл и неограниченной справа (рис. 15).

Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.


Определенный интеграл

Рис. 15


Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:


Определенный интеграл. (13)


Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:


Определенный интеграл, (14)


где с – любая точка интервала Определенный интеграл. Интеграл Определенный интеграл сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).

Пример 16. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

а) Определенный интеграл; б)Определенный интеграл; в) Определенный интеграл; г) Определенный интеграл.

Решение. а) Определенный интеграл Определенный интеграл, следовательно, данный интеграл расходится;

б) Определенный интеграл

Определенный интеграл. Так как при Определенный интеграл предел Определенный интеграл не существует, то интеграл Определенный интеграл расходится;

в) Определенный интеграл

Определенный интеграл Значит, несобственный интеграл Определенный интеграл сходится и его значение равно Определенный интеграл;

г) Определенный интеграл = [выделим в знаменателе полный квадрат: Определенный интеграл] = Определенный интеграл [замена: Определенный интеграл

Определенный интеграл] = Определенный интеграл

Определенный интегралОпределенный интеграл

Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно Определенный интеграл.


Несобственные интегралы от неограниченных функций


Пусть функция Определенный интеграл непрерывна на конечном промежутке Определенный интеграл, но не ограничена на этом промежутке.

Определение. Несобственным интегралом Определенный интеграл от функции у=f(x) на промежутке Определенный интеграл называется предел Определенный интеграл, т.е.


Определенный интеграл. (15)


Если предел, стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции Определенный интеграл непрерывной, но не ограниченной на промежутке Определенный интеграл:


Определенный интеграл. (16)

Если функция Определенный интеграл не ограничена при Определенный интеграл, где Определенный интеграл, и непрерывна при Определенный интеграл и Определенный интеграл, то несобственный интеграл от функции у=f(x) на отрезке Определенный интеграл обозначается Определенный интеграл и определяется равенством


Определенный интеграл. (17)


Несобственный интеграл (17) называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (17).
В противном случае данный интеграл называется расходящимся.

Пример 17. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

а) Определенный интеграл; б) Определенный интеграл.


Решение: а) данный интеграл является интегралом от неограниченной функции (подынтегральная функция Определенный интеграл не определена в точке Определенный интеграл, при Определенный интеграл эта функция неограниченно возрастает).

По определению имеем

Определенный интеграл[замена: Определенный интеграл Определенный интеграл] = Определенный интеграл Определенный интеграл, следовательно, данный интеграл сходится.

б) по определению


Определенный интеграл
Определенный интегралОпределенный интеграл.

Значит, данный интеграл является расходящимся.


Литература


1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. I. – М.: Наука, 1982. – 616 с.

2. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.

3. Гусак А.А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

5. Яблонский А.И., Кузнецов А.В., Шилкина Е.И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.

Похожие работы:

  1. • Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и ...
  2. • Численное интегрирование определённых интегралов
  3. • Интеграл и его свойства
  4. • Вычисление определенного интеграла
  5. • Вычисление определенного интеграла методом трапеций
  6. • Методы интегрирования
  7. • Некоторые приложения определенного интеграла в ...
  8. • Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников
  9. • Приближенное вычисление определенных интегралов
  10. • Приближенное вычисление определенных интегралов
  11. • Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних ...
  12. • Вычисление определенного интеграла методами трапеций и ...
  13. •  ... формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла
  14. • Разработка программы расчета определенного интеграла по ...
  15. • Физические модели при изучении интеграла в курсе ...
  16. • Приближенное вычисление значений определенного ...
  17. • Интеграл Лебега-Стилтьеса
  18. • Несобственные интегралы
  19. • Вычисление интегралов
Рефетека ру refoteka@gmail.com