Рефетека.ру / Математика

Лабораторная работа: Экономико-математические методы и модели

Методически указания и контрольные задания для студентов

очной и заочной формы обучения.


г. Ставрополь 2007г.


Настоящее пособие предназначено для студентов экономических специальностей. Учебный план изучения курса рассчитан на 75 часов и предусматривает выполнение контрольной работы для заочной формы обучения.

В пособии приведены решения задач по темам, соответствующим учебному плану, даны необходимые методические указания и приведены задания для контрольной работы. Это пособие может быть использовано студентами очного и заочного отделения для самостоятельной работы и подготовки к зачёту.

Введение

В настоящее время процессы принятия решений в экономике опираются на достаточно широкий круг экономико-математических методов и моделей. Ни одно серьёзное решение, затрагивающее управление деятельностью отраслей и предприятий, распределения ресурсов, изучение рыночной конъюнктуры, прогнозирование, планирование и т.п., не осуществляется без предварительного математического исследования конкретного процесса или его частей.

В этой связи изучение дисциплины «Экономико-математические методы и модели» направлено как на формирование у студентов понимания роли современной математики в экономике, так и на изучение наиболее важных экономико-математических методов исследования моделей и задач оптимизации.

Задачи данной дисциплины состоят в изучении математических методов СЭП, применения базовых методов математического моделирования СЭП при решении оптимизационных задач и выработке навыков решения трудоёмких прикладных экономико-математических задач с помощью компьютерных технологий.

Цель изучения данной дисциплины – подготовка специалиста экономического профиля к сознательному использованию математических методов исследования СЭП на основе соответствующих базовых моделей.

Изучение дисциплины предусматривает сочетание лекций, практических занятий и самостоятельную работу студентов. На лекциях излагается содержание дисциплины, проводится анализ основных математических понятий и методов. Практические занятия ориентированны на выработку у студентов умения и навыков решения типовых экономических задач. Руководствуясь принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением её прикладной экономической направленности, автором предлагаются наиболее экономически значимые задачи, представляющие самостоятельный интерес и дающие возможность относительно продуктивно освоить алгоритм их решения при отсутствии учебника.

После изучения дисциплины «Экономико-математические методы и модели» студент должен:

иметь представление о методах системного анализа и управления СЭП;

знать основные понятия, определения и базовые математические методы, используемые для построения моделей СЭП;

уметь проводить расчёты и делать оценки параметров для базовых математических моделей СЭП;

уметь решать прикладные экономико-математические задачи, опираясь на базовые знания по математике, соответствующие Государственному образовательному стандарту.


Общие методические указания

Для более полного, уверенного освоения студентами навыков решения задач по дисциплине «Экономико-математические методы и модели» предлагаются данные методические указания. Автор руководствовался общими целеполагающими принципами изучения данной дисциплины, а также принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов для понимания значимости построения и исследования математических моделей в экономике.

Приведённые методические указания могут быть использованы при проведении самостоятельных и контрольных работ, собеседований при сдаче зачёта.

При выполнении контрольной работы студентам заочного отделения необходимо руководствоваться следующими указаниями:

- на обложке указываются фамилия и инициалы студента, полный шифр специальности, группа, дата регистрации, фамилия и инициалы преподавателя-рецензента;

- решение всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными; вычисления и чертежи – полными и аккуратными.

- для удобства рецензирования рекомендуется оставлять поля;

- номер контрольной работы соответствует последней цифре его учебного шифра.

Контрольная работа предоставляется в деканат не позднее 10 дней до начала сессии. При сдаче зачёта студент должен дать пояснения к решённым заданиям.


Рекомендуемая литература:

Исследование операций в экономике: Учеб. пособ. / под ред. Н.Ш.Кремера./ – М.: ЮНИТИ, 2000. - 407 с.

Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов / Кремер Н.Ш. и др.; под ред. проф. Н.Ш.Кремера – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2005. – 423 с.

Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособ. М..: Высшая школа, 1986. - 319 с.

Морозов В.В., Сухарев А.Т., Фёдоров В.В. Исследование операций в примерах и задачах.: Учеб. пособие. М.: Высшая школа, 1986. – 287 с.

Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. Учеб. пособие для студентов втузов. – М.: Высшая школа, 2001. – 208 с.

Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник.2-е изд. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «Дело и Сервис», 1999. – 368 с.

Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. – Спб: Питер, 2002. – 176 с.

Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов /В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др., Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. -391 с.

Глоссарий терминов.

Аддитивность - свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значе­ний величин, соответствующих его частям при любом разбие­нии объекта на части. Характеристика системы аддитивна, если она равна сумме тех же характеристик для всех составляющих систему подсистем и элементов.

Адекватность модели - ее соответствие моделируемому объекту или процессу. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам мо­дели, которые для исследования считаются существенными.

Аппроксимация - приближенное выражение сложной функции с помощью более простых, что часто значительно упрощает реше­ние задачи.

Вариантные прогнозы - прогнозы, основанные на сопоставлении различных вариантов возможного развития экономики при раз­ных предположениях относительно того, как будет развиваться техника, какие будут приниматься экономические меры и т. д.

Векторная оптимизация - решение задач математического программи­рования, в которых критерий оптимальности представляет собой вектор, компонентами которого являются в свою очередь различ­ные несводимые друг к другу критерии оптимальности подсистем, входящих в данную систему, например критерии разных социаль­ных групп в социально-экономическом планировании.

Верификация имитационной модели - проверка соответствия ее по­ведения предположениям экспериментатора.

Вероятностная модель - модель, которая в отличие от детерминиро­ванной модели содержит случайные элементы. Таким образом, при задании на входе модели некоторой совокупности значе­ний, на ёе выходе могут получаться различающиеся между со­бой результаты в зависимости от действия случайного фактора.

Взаимозаменяемость ресурсов — возможность использования разных ресурсов для достижения оптимума. Именно этим обусловлена проблема выбора: там, где нет заменяемости, нет и выбора, и тогда фундаментальное понятие оптимальности теряет смысл.

Генетический прогноз («поисковый») — прогноз, показывающий, к каким состояниям придет прогнозируемый объект в заданное время при определенных начальных условиях.

Глобальное моделирование или моделирование глобального разви­тия — область исследований, посвященная разработке моделей наиболее масштабных социальных, экономических и экологиче­ских процессов, охватывающих земной шар.

Градиентные методы решения задач математического программиро­вания - методы, основанные на поиске экстремума (максимума или минимума) функции путем последовательного перехода к нему с помощью градиента этой функции.

Декомпозиционные методы решения оптимальных задач - основан­ные на рациональном расчленении сложной задачи и решении отдельных подзадач с последующим согласованием частых ре­шений для получения общего оптимального решения.

Дескриптивная модель - модель, предназначенная для описания и объяснения наблюдаемых фактов или прогноза поведения объ­ектов - в отличие от нормативных моделей, предназначенных для нахождения желательного состояния объекта (например, оптимального).

Детерминированная модель - аналитическое представление законо­мерности, операции и т. п., при которых для данной совокупно­сти входных значений на выходе системы может быть получен единственный результат. Такая модель может отображать как вероятностную систему (тогда она является некоторым ее упро­щением), так и детерминированную систему.

Детерминированная система - такая система, выходы которой (ре­зультаты действия, конечные состояния и т.п.) однозначно оп­ределяются оказанными на нее управляющими воздействиями.

Динамическая система - всякая система, которая изменяется во времени (в отличие от статической системы). Математически это принято выражать через переменные (координаты), изме­няющиеся во времени. Процесс изменения характеризуется тра­екторией (т. е. наборами координат, каждая из которых является функцией времени).

Динамические модели межотраслевого баланса - частный случай ди­намических моделей экономики, основаны на принципе межотраслевого баланса, в который дополнительно вводятся урав­нения, характеризующие изменения отраслевых связей во вре­мени.

Итеративные (итерационные) методы решения задач - заключаются в том, что вычислительный процесс начинают с некоторого пробного (произвольного) допустимого решения, а затем при­меняют алгоритм, обеспечивающий последовательное улучше­ние этого решения.

Итерация - повторное применение математической операции (с из­мененными данными) при решении вычислительных задач для постепенною приближения к нужному результату. Итеративные расчеты на ЭВМ характерны для решения экономических (осо­бенно оптимизационных и балансовых) задач. Чем меньше тре­буется пересчетов, тем быстрее сходится алгоритм.

Коэффициенты прямых затрат (технологические коэффициенты) в межотраслевом балансе - средние величины непосредственных затрат продукции одной отрасли (в качестве средств производ­ства) на выпуск единицы продукции другой отрасли. Они могут быть выражены в натуральной форме (кВт/ч и т. д.) или стоимо­стной (руб.).

Критерий оптимальности - показатель, выражающий меру экономи­ческого эффекта принимаемого хозяйственного решения для сравнительной оценки возможных решений (альтернатив) и вы­бора наилучшего из них (например, максимум прибыли, минимум трудовых затрат, кратчайшее время дости­жения цели и т. д.)

Коэффициенты полных материальных затрат в межотраслевом балан­се - средние затраты i-го продукта на производство конечного продукта j по всей цепи сопряженных производств. Таким обра­зом, они складываются из прямых затрат каждой отрасли на данный продукт и косвенных затрат.

Коэффициенты прямых затрат (технологические коэффициенты) в межотраслевом балансе - средние величины непосредственных затрат продукции одной отрасли (в качестве средств производ­ства) на выпуск единицы продукции другой отрасли. Они могут быть выражены в натуральной форме (кВт/ч и т. д.) или стоимо­стной (руб.).

Математическое программирование (оптимальное программирова­ние) — область математики, объединяющая различные матема­тические методы и дисциплины: линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирова­ние, выпуклое программирование и др. Общая задача матема­тического программирования состоит в нахождении оптималь­ного (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

Матричные модели - модели, построенные в виде таблиц (матриц). Они отображают соотношения между затратами на производст­во и его результатами, нормативы затрат, производственную и экономическую структуру хозяйства. Применяются в межотрас­левом балансе, матричном плане предприятия и др.

Машинная имитация - экспериментальный метод изучения объекта с помощью электронных вычислитель­ных машин, Процесс имитации заключается в следующем: сна­чала строится математическая модель изучаемого объекта (имитационная модель), затем эта модель преобразуется в программу работы ЭВМ.

Межотраслевой баланс (МОБ) - каркасная модель экономики, таб­лица, в которой показываются многообразные натуральные и стоимостные связи в народном хозяйстве. Анализ МОБ дает ком­плексную характеристику процесса формирования и использова­ния совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе.

Объективно обусловленные (оптимальные) оценки - одно из основ­ных понятий линейного программирования. Это оценки про­дуктов, ресурсов, работ, вытекающие из условий решаемой оптимизационной задачи. Их называют также двойственными оценками, разрешающими множителями, множителями Лагранжа и целым рядом других терминов.

Ограничения модели - запись условий, в которых действительны расчеты, использующие эту модель. Обычно представляя собою систему уравнений и неравенств, они в совокупности определя­ют область допустимых решений (допустимое множество). Рас­пространены линейные и нелинейные ограничения (на графике первые изображаются прямыми, вторые — кривыми линиями).

Определенность в системе - ситуация, когда имеется точная инфор­мация о возможных состояниях системы в случае принятия тех или иных решений.

Оптимальное планирование - комплекс методов, позволяющих вы­брать из многих возможных (альтернативных) вариантов плана или программы один оптимальный вариант, т. е. наилучший с точки зрения заданного критерия оптимальности и определен­ных ограничений.

Оптимальное программирование - применение в экономике методов математического программирования.

Оптимальное управление - основное понятие математической тео­рии оптимальных процессов (принадлежащей разделу математики под тем же названием: оптимальное управление); означает выбор таких управляющих параметров, которые обеспечивали бы наилучшее, с точки зрения заданного критерия, протекание процесса, или, иначе, наилучшее поведение системы, ее разви­тие к цели по оптимальной траектории.

Оптимизационная задача - экономико-математическая задача, цель которой состоит в нахождении наилучшего (с точки зрения ка­кого-то критерия) распределения наличных ресурсов. Решается с помощью оптимизационной модели методами математическо­го программирования.

Оптимизация - 1) процесс нахождения экстремума функции, т. е. выбор наилучшего варианта из множества возможных; 2) про­цесс приведения системы в наилучшее (оптимальное) состояние. Очередь — в теории массового обслуживания — последовательность требований или заявок, которые, заставая систему обслужива­ния занятой, не выбывают, а ожидают ее освобождения (затем они обслуживаются в том или ином порядке). Очередью можно назвать также и совокупность ожидающих (простаивающих) ка­налов или средств обслуживания.

Пассивный (безусловный) статистический прогноз - прогноз разви­тия, основанный на изучении статистических данных за про­шлый период и переносе выявленных закономерностей на буду­щее. При этом внешние факторы, воздействующие на систему, принимаются неизменными и считается, что ее развитие осно­вывается только на собственных, внутренних тенденциях.

Предельные и приростные величины в экономике. Предельная вели­чина характеризует не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение. Поскольку в экономике боль­шинство процессов (например, рост производства или измене­ние его эффективности) являются функциями ряда аргументов (факторов), то предельные величины здесь обычно выступают как частные производные процесса по каждому из факторов.

Прогнозирование - система научных исследований качественного и количественного характера, направленных на выяснение тен­денций развития народного хозяйства и поиск оптимальных пу­тей достижения целей этого развития.

Прогнозирование спроса - исследование будущего (возможного) спроса на товары и услуги в целях лучшего обоснования соот­ветствующих производственных планов. Прогнозирование под­разделяется на краткосрочное (конъюнктурное), среднесрочное и долгосрочное.

Производственная функция - экономико-математическое уравне­ние, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с ве­личинами продукции (выпуска). Математически производственные функции (ПФ) могут быть представлены в различных фор­мах — от столь простых, как линейная зависимость результата производства от одного исследуемого фактора, до весьма слож­ных систем уравнений, включающих рекуррентные соотноше­ния, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени. Широко распространены мультипли­кативные формы ПФ.

Равновесие - состояние экономической системы, которое характе­ризуется равенством спроса и предложения всех ресурсов.

Регрессия - зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины или нескольких вели­чин. Распределение этих значений называется условным распределением у при дан­ном х. Множественная регрессия в определенных условиях по­зволяет исследовать влияние причинных факторов.

Рекурсия - в общем смысле вычисление функции по определенно­му алгоритму. Примерами таких алгоритмов являются рекур­рентные формулы, выводящие вычисление заданного члена по­следовательности (чаще всего числовой) из вычисления не­скольких предыдущих ее членов.

Статистическое моделирование - способ исследования процессов повеления вероятностных систем в условиях, когда неизвестны внутренние взаимодействия в этих системах.

Стохастическая имитация — вид машинной имитации, отличающий­ся от детерминированной тем, что включает в модель в том или ином виде случайные возмущения, отражающие вероятностный характер моделируемой системы.

Устойчивость решения — обычно, говоря об устойчивости решения задачи, имеют в виду, что малые изменения каких-либо характе­ристик, например, начальных условий, ограничений или целе­вого функционала, не приводят к качественному изменению ре­шения.

Целевая функция в экстремальных задачах - функция, минимум или максимум которой нужно найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум целевой функции и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые k нему приводят, мы тем самым находим оптимальное решение задачи.

Шкалы — системы чисел или иных элементов, принятых для оцен­ки или измерения каких-либо величин. Шкалы используются для оценки и выявления связей и отношений между элементами систем. Особенно широко их применение для оценки величин, выступающих в роли критериев качества функционирования систем, в частности, критериев оптимальности при решении экономико-математических задач.

Практическое занятие.

Тема. Методы линейной алгебры в экономическом анализе.

Цель. Решение экономических задач с элементами моделирования, опирающиеся на базовую основу линейной алгебры.

1. Справочный материал.

Понятие матрицы часто используется в практической деятельности, например, данные о выпуске продукции нескольких видов в каждом квартале года или нормы затрат нескольких видов ресурсов на производство продукции нескольких типов и т.д. удобно записывать в виде матрицы.


Задача 1. В некоторой отрасли m заводов выпускают n видов продукции. Матрица Экономико-математические методы и модели задаёт объёмы продукции на каждом заводе в первом квартале, матрица Экономико-математические методы и модели - соответственно во втором; (аij, вij) – объёмы продукции j –го типа на i –м заводе в 1-м и 2-м кварталах соответственно:

Экономико-математические методы и модели; Экономико-математические методы и модели.

Найти:

а) объёмы продукции;

б) прирост объёмов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам;

в) стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах), если Экономико-математические методы и моделиλ – курс доллара по отношению к рублю.

Решение:

а) Объёмы продукции за полугодие определяются суммой матриц, т.е. С=А+В=Экономико-математические методы и модели, где сij – объём продукции j-го типа, произведённый за полугодие i-м заводом.

б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц, т.е.

Д=В-А= Экономико-математические методы и модели. Отрицательные элементы показывают, что на данном заводе объём производства уменьшился, положительные – увеличился, нулевые – не изменился.

в) Произведение λC= λ(А+В) даёт выражение стоимости объёмов производства за квартал в долларах по каждому заводу и каждому предприятию.


Задача 2. Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i-го товара на производство единицы продукции j-го типа заданы матрицей затрат Экономико-математические методы и модели. Пусть за определённый отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа Экономико-математические методы и модели, записанное матрицей Экономико-математические методы и модели.

Определить S – матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени, если

Экономико-математические методы и модели, Экономико-математические методы и модели. Решение. Матрица полных затрат ресурсов S определяется как произведение матриц, т.е. S=AX.

Экономико-математические методы и модели, т.е за данный период времени будет израсходовано 930 ед. ресурса 1-го вида, 960 ед. ресурса 2-го вида, 450 ед. ресурса 3-го вида, 630 ед. ресурса 4-го вида.


Задача 3. Завод производит двигатели, которые могут либо сразу потребовать дополнительной регулировки (в 40% случаев), либо сразу могут быть использованы (в 60% случаев). Как показывают статистические исследования, те двигатели, которые изначально требовали регулировки, потребуют дополнительной регулировки через месяц в 65% случаев, а в 35% случаев через месяц будут работать хорошо. Те же двигатели, которые не требовали первоначальной регулировки, потребуют её через месяц в 20% случаев и продолжат хорошо работать в 80% случаев. Какова доля двигателей, которые будут работать хорошо или потребуют регулировки через 2 месяца после выпуска? Через 3 месяца?

Решение.

В момент после выпуска доля хороших двигателей составляет 0,6, а доля требующих регулировки – 0,4. Через месяц доля хороших составит: 0,6.0,8+0,4.0,35=0,62. Доля требующих регулировки: 0,6.0,2+0,4.0,65=0,38. введём строку состояния Xt в момент t; Xt=(x1t; x2t), где x1t – доля хороших двигателей, x2t – доля двигателей, требующих регулировки в момент t.

Матрица перехода Экономико-математические методы и модели, где Экономико-математические методы и модели- доля двигателей, которые в настоящее время находятся в состоянии Экономико-математические методы и модели ( 1- «хороший», 2- «требует регулировки»), а через месяц – в состоянии Экономико-математические методы и модели.

Очевидно, что для матрицы перехода сумма элементов каждой строки равна 1, все элементы неотрицательны.

Очевидно, Экономико-математические методы и модели =(0,6 0,4), Экономико-математические методы и модели.

Тогда через месяц Экономико-математические методы и моделиЭкономико-математические методы и модели,

через 2 месяца Экономико-математические методы и модели; через 3 месяца Экономико-математические методы и модели.

Найдём матрицы Экономико-математические методы и модели;

Экономико-математические методы и модели.

Отметим, что если Экономико-математические методы и модели- матрица перехода, то Экономико-математические методы и модели- тоже матрица перехода при любом натуральном t. Теперь

Экономико-математические методы и модели Экономико-математические методы и моделиЭкономико-математические методы и модели,

Экономико-математические методы и модели.

Очевидно, Экономико-математические методы и модели.


Задача 3. Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн. усл. ед. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений: а) в минувшем году; б) в текущем году?

Решение.

Пусть Экономико-математические методы и модели и Экономико-математические методы и модели- прибыли первого и второго отделений в минувшем году. тогда условие задачи можно записать в виде системы: Экономико-математические методы и моделиРешив систему, получим Экономико-математические методы и модели Экономико-математические методы и модели Следователь, а) прибыль в минувшем году первого отделения -4 млн. усл. ед., а второго – 8 млн. усл. ед.; б) прибыль в этом году первого отделения 1,7.4=6,8 млн. усл. ед., второго 1,4.8=11,2 млн. усл. ед.


2. Задания для самостоятельной работы.


2.1. Три завода выпускают четыре вида продукции. Необходимо: а) найти матрицу выпуска продукции за квартал, если заданы матрицы помесячных выпусков А1, А2, А3; б) найти матрицы приростов выпуска продукции за каждый месяц В1 и В2 и проанализировать результаты:


Экономико-математические методы и модели; Экономико-математические методы и модели; Экономико-математические методы и модели.


2.2. Предприятие производит мебель трёх видов и продаёт её в четырёх регионах. Матрица Экономико-математические методы и модели задаёт цену реализации единицы мебели i-го типа в j-м регионе. Определить выручку предприятия в каждом регионе, если реализация мебели за месяц задана матрицей Экономико-математические методы и модели.


2.3. По условию задачи 2 определить:1) полные затраты ресурсов 3-х видов на производство месячной продукции, если заданы нормы затрат матрицей Экономико-математические методы и моделии объём выпуска каждого из двух типов продукции Экономико-математические методы и модели;

2) стоимость всех затраченных ресурсов, если задана стоимость единиц каждого ресурса Экономико-математические методы и модели.


2.4. В ремонтную мастерскую поступают телефонные аппараты, 70 % которых требуют малого ремонта, 20 % - среднего ремонта, 10% - сложного ремонта. Статистически установлено, что 10% аппаратов прошедших малый ремонт, через год требуют малого ремонта, 60% - среднего, 30% -сложного ремонта. Из аппаратов, прошедших средний ремонт, 20% требуют через год малого ремонта, 50% - среднего, 30% - сложного ремонта. Из аппаратов, прошедших сложный ремонт, через год 60% требуют малого ремонта, 40% - среднего. Найти доли из отремонтированных в начале года аппаратов, которые будут требовать ремонта того или иного вида: через 1 год; 2 года;3 года.


Практическое занятие.

Тема. Методы математического анализа для построения моделей СЭП.

Цель. Решение экономических задач с элементами моделирования, в которых применяются методы математического анализа.


1. Справочный материал.

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определённому алгоритму с помощью рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наиболее часто используемые в экономике следующие функции:

Функция полезности (функция предпочтения) – зависимость результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

Функция выпуска – зависимость объёма производства от наличия или потребления ресурсов.

Функция издержек – зависимость издержек производства от объёма продукции.

Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объёма спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Учитывая, что экономические явления и процессы обуславливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций выделяют мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающих его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторов переменных на зависимую переменную, и в частности, аддитивные функции, представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факторов, так и при одновременном их воздействии.

Кроме геометрического и механического существует ещё и экономический смысл производной. Во-первых, производная объема произведенной продукции по времени Экономико-математические методы и моделиесть производительность труда в момент Экономико-математические методы и модели. Во-вторых, существует ещё одно понятие, характеризующее экономический смысл производной. Если издержки производства y рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x, Экономико-математические методы и модели- прирост продукции, Экономико-математические методы и модели- приращение издержек производства, а Экономико-математические методы и модели - среднее приращение издержек производства на единицу продукции, тогда производная равная Экономико-математические методы и модели выражает предельные издержки производства и характеризует приближённо дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) x и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырьё, топливо ит.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность и др.предельные величины.

Предельные величины характеризуют не состояние, а процесс, то есть изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Следует учесть, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчётов и прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных ит.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно предельные величины.

Для исследования экономических процессов и решения прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Эластичностью функции Экономико-математические методы и моделиназывается предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при Экономико-математические методы и модели:

Экономико-математические методы и модели. (1)

Эластичность функции показывает приближённо, на сколько процентов изменится функция y=f(x) при изменении независимой переменной x на 1%. Это мера реагирования одной переменной величины на изменение другой.

Отметим свойства эластичности функции.

1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной x на темп изменения функции Экономико-математические методы и модели, т.е. Экономико-математические методы и модели.

2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций: Экономико-математические методы и модели, Экономико-математические методы и модели.

Эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Например, эластичность спроса y относительно цены x – коэффициент, определяемый по формуле (1) и показывающий приближённо, на сколько процентов изменится спрос (объем потребления) при изменении цены (или дохода) на 1%.

Если эластичность спроса (по абсолютной величине) Экономико-математические методы и модели, то спрос считают эластичным, если Экономико-математические методы и модели- нейтральным, если Экономико-математические методы и модели - неэластичным относительно цены (или дохода).

В практической деятельности часто приходится сталкиваться с такими задачам, которые рационально решать методами математического анализа. Это задачи на нахождение объёма продукции при известном значении прибыли, определении уровня потребления товаров при известном доходе, определение момента времени рентабельности производства, определение размеров вклада при известных начальных вложениях и т.п.


Задача 1. Издержки y (в руб.) на изготовление партии деталей определяются по формуле Экономико-математические методы и моделиЭкономико-математические методы и моделиЭкономико-математические методы и моделиЭкономико-математические методы и модели, где Экономико-математические методы и модели - объём партии. Для первого варианта технологического процесса Экономико-математические методы и модели. Для второго варианта известно, что Экономико-математические методы и модели(руб.) при Экономико-математические методы и модели(дет.) и Экономико-математические методы и модели(руб.) при Экономико-математические методы и модели (дет.). Провести оценку двух вариантов технологического процесса и найти себестоимость продукции для обоих вариантов при Экономико-математические методы и модели(дет.)

Решение.

Для второго варианта определяем параметры Экономико-математические методы и моделии Экономико-математические методы и моделииз системы уравнений:

Экономико-математические методы и модели откуда Экономико-математические методы и модели и Экономико-математические методы и модели, т.е. Экономико-математические методы и модели.

Точка (х0,y0) пересечения двух прямых находится из системы их уравнений:

Экономико-математические методы и моделиЭкономико-математические методы и модели откуда Экономико-математические методы и модели, Экономико-математические методы и модели.Очевидно, при объёме партии Экономико-математические методы и модели выгоднее второй вариант технологического процесса, при Экономико-математические методы и модели - первый вариант. Себестоимость продукции (руб.) при Экономико-математические методы и моделипо первому варианту составляет Экономико-математические методы и модели, а по второму - Экономико-математические методы и модели.


Задача 2. Постоянные издержки Экономико-математические методы и модели составляют 125 тыс.руб. в месяц, а переменные издержки Экономико-математические методы и модели- 700 руб. за каждую единицу продукции. Цена единицы продукции 1200 руб. Найти объём продукции Экономико-математические методы и модели, при котором прибыль равна: а) нулю (точка безубыточности); б) 105 тыс.руб. в месяц.

Решение:

а) Издержки производства Экономико-математические методы и модели единиц продукции составят: Экономико-математические методы и модели(тыс.руб.). Совокупный доход (выручка) от реализации этой продукции Экономико-математические методы и модели, а прибыль Экономико-математические методы и модели(тыс.руб.). Точка безубыточности, в которой Экономико-математические методы и модели, равна Экономико-математические методы и модели(ед.).

б) Прибыль Экономико-математические методы и модели(тыс.руб.), т.е. Экономико-математические методы и модели при Экономико-математические методы и модели(ед.).


Задача 3. Продолжительность выполнения Экономико-математические методы и модели (мин.) при повторных операциях связана с числом Экономико-математические методы и модели этих операций зависимостью Экономико-математические методы и модели. Вычислить, сколько минут выполняется работа при 50 операциях, если известно, что при Экономико-математические методы и модели Экономико-математические методы и модели, а при Экономико-математические методы и модели Экономико-математические методы и модели.

Решение. Найдём параметры Экономико-математические методы и моделии Экономико-математические методы и модели, учитывая, что Экономико-математические методы и модели, Экономико-математические методы и модели. Получаем систему: Экономико-математические методы и модели решая которую найдём Экономико-математические методы и модели, Экономико-математические методы и модели.

Итак, Экономико-математические методы и модели при Экономико-математические методы и модели, Экономико-математические методы и модели(мин.)


Задача 4. Объём продукции u, произведённый бригадой рабочих, может быть описан уравнением Экономико-математические методы и модели(ед.), Экономико-математические методы и модели, где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп её изменения через час после начала работы и за час до её окончания.

Решение. Производительность труда выражается производной Экономико-математические методы и модели (ед./час), а скорость и темп изменения производительности – соответственно производной Экономико-математические методы и моделии логарифмической производной Экономико-математические методы и модели: Экономико-математические методы и модели(ед./ч2),

Экономико-математические методы и модели (ед./ч).

В заданные моменты времени Экономико-математические методы и модели и Экономико-математические методы и модели соответственно имеем: z(t)=112,5 (ед./ч), z’(t)=-20(ед./ч2), Tz(7)=-0,24 (ед./ч).

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака z’(t) и Tz(t) с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы.


Задача 5. Опытным путём установлены функции спроса Экономико-математические методы и модели и предложения Экономико-математические методы и модели, где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p – цена товара.

Найти: а) равновесную цену, т.е.цену при которой спрос равен предложению;

б) эластичность спроса и предложения для этой цены;

в) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.

Решение. а) Равновесная цена находится из условия q=s, тогда Экономико-математические методы и модели, откуда p=2, т.е равновесная цена 2 ден.ед.

б) Найдём эластичность по спросу и предложению по формуле (1)

Экономико-математические методы и модели.

Экономико-математические методы и модели; Экономико-математические методы и модели. Для равновесной цены p=2 имеем Экономико-математические методы и модели; Экономико-математические методы и модели. Так как полученные значения эластичностей по абсолютной величине меньше 1, то и спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведёт к резкому изменению спроса и предложения. Так, при увеличении цены p на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.

в) При увеличении цены p на 5% от равновесной спрос уменьшится на 5.0,3=1,5%, следовательно, доход возрастёт на 3,5%.


Задача 6. Зависимость между издержками производства y и объёмом выпускаемой продукции x выражается функцией Экономико-математические методы и модели(ден.ед.). Определить средние и предельные издержки при объёме продукции 10 ед.

Решение. Функция средних издержек выражается соотношением Экономико-математические методы и модели; при x=10 средние издержки (на единицу продукции) равны Экономико-математические методы и модели(ден. ед.). Функция предельных издержек выражается производной Экономико-математические методы и модели; при x=10 предельные издержки составят Экономико-математические методы и модели (ден.ед.). Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден.ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства (объёме выпускаемой продукции 10 ед.) , составляют 35 ден.ед.


Задача 7. Выяснить, чему равны предельные и средние полные затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1?

Решение. Пусть полные затраты предприятия y выражаются функцией Экономико-математические методы и модели, где x – объём выпускаемой продукции. Тогда средние затраты y1 на производство единицы продукции Экономико-математические методы и модели. Эластичность частного двух функции равна разности их эластичностей, т.е. Экономико-математические методы и модели.

По условию Экономико-математические методы и модели, следовательно, Экономико-математические методы и модели. Это означает, что с изменением объёма продукции Экономико-математические методы и моделисредние затраты на единицу продукции не меняются, т.е.Экономико-математические методы и модели, откуда Экономико-математические методы и модели.

предельные издержки предприятия определяются производной Экономико-математические методы и модели. Итак, Экономико-математические методы и модели т.е предельные издержки равны средним издержкам(полученное утверждение справедливо только для линейных функций издержек).


2. Задания для самостоятельной работы.


2.1. Издержки перевозки Экономико-математические методы и модели двумя видами транспорта выражаются уравнениями:Экономико-математические методы и модели и Экономико-математические методы и модели, где Экономико-математические методы и модели - расстояния в сотнях километров, Экономико-математические методы и модели- транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?

2.2. Зная, что изменение объёма производства Экономико-математические методы и модели с изменением производительности труда Экономико-математические методы и модели происходит по прямой линии, составить её уравнение, если при Экономико-математические методы и модели=3 Экономико-математические методы и модели=185, а при Экономико-математические методы и модели=5 Экономико-математические методы и модели=305. Определить объём производства при Экономико-математические методы и модели=20.

2.3. Предприятие купило автомобиль стоимостью 150 тыс.руб. Ежегодная норма амортизации составляет 9%. Полагая зависимость стоимости автомобиля от времени линейной, найти стоимость автомобиля через 4,5 года.

2.4. Зависимость уровня потребления Экономико-математические методы и модели некоторого вида товаров от уровня дохода семьи Экономико-математические методы и модели выражается формулой: Экономико-математические методы и модели. Найти уровень потребления товаров при уровне дохода семьи 158 ден.ед. Известно, что при Экономико-математические методы и модели=50 Экономико-математические методы и модели=0; Экономико-математические методы и модели=74 Экономико-математические методы и модели=0,8; Экономико-математические методы и модели=326 Экономико-математические методы и модели=2,3.

2.5. Банк выплачивает ежегодно 5% годовых (сложный процент). Определить: а) размер вклада через 3 года, если первоначальный вклад составил 10 тыс. руб.; б) размер первоначального вклада, при котором через 4 года вклад (вместе с процентными деньгами) составит 10 000 руб.

Указание. Размер вклада Экономико-математические методы и моделичерез t лет определяется по формуле Экономико-математические методы и модели, где p-процентная ставка за год, Q0 –первоначальный вклад.

2.6. Затраты на производство продукции Экономико-математические методы и модели(тыс.руб.) выражаются уравнением Экономико-математические методы и модели, где Экономико-математические методы и модели -количество месяцев. Доход от реализации продукции выражается уравнением Экономико-математические методы и модели. Начиная с какого месяца производство будет рентабельным?

2.7. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y (тыс. руб.) и выпуском продукции x (млрд.руб.) выражается функцией Экономико-математические методы и модели. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млрд.руб.


Практическое занятие.

Тема. Предельный анализ экономических процессов.

Цель. Рассмотреть применение математических методов для нахождения предельных величин в оптимизационных задачах.

1.Справочный материал.

Функция издержек С(х) определяет затраты, необходимые для производства x единиц данного продукта. Прибыль Экономико-математические методы и модели, где D(x)- доход от производства x единиц продукта.

Средние издержки A(x) при производстве x единиц продукта есть Экономико-математические методы и модели.Предельные издержки Экономико-математические методы и модели.

Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение x единиц продукта, при котором прибыль P(x) оказывается наибольшей.

Задача 1. Функция издержек имеет вид Экономико-математические методы и модели. На начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки A(x). В дальнейшем на товар устанавливается цена, равная 4 усл.ед. за единицу. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск?

Решение. Средние издержки Экономико-математические методы и модели принимают минимальное значение при x=10. Предельные издержки Экономико-математические методы и модели. При установившейся цене Экономико-математические методы и модели оптимальное значение P(x) выпуска задаётся условием максимизации прибыли: Экономико-математические методы и модели, т.е. 4=M(x), откуда Экономико-математические методы и модели. Таким образом, производство следует увеличить на 10 единиц.

Задача 2. Определить оптимальное для производителя значение выпуска x0, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p=14 , если известен вид функции издержек Экономико-математические методы и модели.

Решение. По формуле прибыли получаем, Экономико-математические методы и модели.

Находим производную прибыли по объёму: Экономико-математические методы и модели, тогда Экономико-математические методы и модели Экономико-математические методы и моделихопт=2.

Задача 3. Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу р=10,5 и функция издержек имеет вид Экономико-математические методы и модели.

Решение. Находим значение прибыли Экономико-математические методы и модели.

Производная прибыли по объёму имеет вид: Экономико-математические методы и модели. Тогда Экономико-математические методы и модели, Экономико-математические методы и модели. Экономико-математические методы и модели.


2. Задания для самостоятельной работы.

2.1 Определить оптимальное для производителя значение выпуска x0, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p=8 и известен вид функции издержек Экономико-математические методы и модели.

2.2 Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма-производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p =40 и известен вид функции издержек Экономико-математические методы и модели.

2.3 При производстве монополией x единиц товара за единицу Экономико-математические методы и модели. Определить оптимальное для монополии значение выпуска x0 (предполагается что весь произведённый товар реализуется), если издержки имеют вид Экономико-математические методы и модели.

2.4 Функция издержек имеет вид Экономико-математические методы и модели. Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти максимальное значение прибыли, которое может получить производитель.

2.5 На начальном этапе производства фирма минимизирует средние издержки, причём функция издержек имеет вид Экономико-математические методы и модели. В дальнейшем цена на единицу товара устанавливается равной р=37. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск? На сколько при этом изменятся средние издержки?


Задания для контрольной работы.

Задача 1.

Даны зависимости спроса D(p) и предложения S(p) от цены.

Найдите: 1) равновесную цену и выручку при равновесной цене;

2) цену, при которой выручка максимальна и саму эту

максимальную выручку.

Построить график зависимостей.


Задача 2.

Рассматривается рынок с тремя участниками, у каждого из которых одна и та же функция полезности Экономико-математические методы и моделиЭкономико-математические методы и моделиЭкономико-математические методы и модели. Пусть начальное имущество 1-го, 2-го и 3-го участников заданы векторами, а цены на рынке таковы р=1, р=2, р=3.

Проверить: 1) равновесно ли положение;

2) выполняется ли закон Вальраса об избыточном спросе:

P.I(p)=0

Задача 3.

Пусть модель Леонтьева задана матрицей А.

Найти объем производства, обеспечивающий вектор потребления У.


№ варианта 1 задание 2 задание 3 задание
1

D=1000-10p

S=100+10p

(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)

Экономико-математические методы и модели

2

D=800-10p

S=200+10p

(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)

Экономико-математические методы и модели

3

D=1000-20p

S=70+10p

(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)

Экономико-математические методы и модели

4

D=400-20p

S=70+10p

(4,2,3), (2,5,4), (3,4,7)

Экономико-математические методы и модели

5

D=600-8p

S=120+8p

(5,2,3), (2,5,4,), (5,4,5)

Экономико-математические методы и модели

6

D=400-5p

S=100+5p

(6,2,3), (2,3,6), (3,6,5)

Экономико-математические методы и модели

7

D=500-5p

S=50+5p

(4,2,3), (4,3,4), (4,4,5)

Экономико-математические методы и модели

8

D=200-10p

S=35+5p

(4,2,3), (5,3,4), (6,4,2)

Экономико-математические методы и модели

9

D=500-10p

S=50+5p

(3,2,3), (4,3,4), (3,5,2)

Экономико-математические методы и модели

10

D=300-4p

S=60+4p

(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)

Экономико-математические методы и модели

11

D=600-8p

S=120+8p

(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)

Экономико-математические методы и модели

12

D=400-5p

S=100+5p

(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)

Экономико-математические методы и модели

13

D=1000-10p

S=100+10p

(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)

Экономико-математические методы и модели

14

D=1000-20p

S=70+10p

(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)

Экономико-математические методы и модели

15

D=800-10p

S=200+10p

(4,2,3), (2,5,4), (3,4,7)

Экономико-математические методы и модели

16

D=400-20p

S=70+10p

(4,2,3), (4,3,4),

(4,4,5)

Экономико-математические методы и модели

17

D=500-5p

S=50+5p

(3,2,3), (4,3,4),

(3,5,2)

Экономико-математические методы и модели

18

D=200-10p

S=35+5p

(3,2,3), (2,4,6),

(6,4,6)

Экономико-математические методы и модели

19

D=300-4p

S=60+4p

(2,2,3), (2,4,5),

(6,6,6)

Экономико-математические методы и модели


Похожие работы:

  1. • Экономико-математические методы и модели
  2. • Экономико-математические методы и прикладные модели
  3. • Конспект лекций по курсу ЭММ (Экономико-математические методы ...
  4. • Детерминированные экономико-математические модели и ...
  5. • Применение экономико-математических методов в ...
  6. • История ЭММ
  7. • Математическое моделирование ...
  8. • Оптимизация производственной структуры ...
  9. • Методика математического моделирования специализации ...
  10. • Советская школа выработки управленческих решений
  11. • Научная полемика в исследовании систем управления
  12. •  ... задач на основе методов и моделей линейного ...
  13. • История развития экономико-математического моделирования
  14. • Экономико-математическое моделирование и прогнозирование ...
  15. • Экономико-статистическое ...
  16. • Применение новейших экономико-математических методов для ...
  17. • Оптимальные методы в совершенствовании ...
  18. • Разработка динамических моделей для транспортно ...
  19. • Экономико-математическое моделирование
Рефетека ру refoteka@gmail.com