Рефетека.ру / Математика

Контрольная работа: Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Контрольна робота

З дисципліни: Теорія ймовірностей та математична статистика


Прізвище,ім’я, по-батькові студента

Данiщук Мирослава Евгенiївна

Прізвище та ініціали викладача

Степахно Ірина Василівна


Київ 2009 рік

Зміст


Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Завдання 4

Завдання 5

Завдання 6

Завдання 7

Список використаної літератури

Завдання 1


В ящику 50 куль: 36 жовтих і 14 синіх. З ящика навмання виймають одну кулю. Визначити ймовірність того, що ця куля:

а) жовта; б) синя.

Розв’язання:

Ймовірність того, що з ящика наймання виймають жовту кулю становить відношення кількості жовтих кульок до загального числа кульок:


а) Рч = 36/50 = 0,72


Ймовірність того, що з ящика наймання виймають синю кулю становить відношення кількості синіх кульок до загального числа кульок:


б) Рс = 14/50 = 0,28.


Відповідь: а) 0,72; б) 0,28.


Завдання 2


Імовірність несплати податку для кожного з n підприємців становить p. Визначити ймовірність того, що не сплатять податки не менше m1 і не більше m2 підприємців.

n=300; p=0,05; m1=25; m2=60

n=500; p=0,05; m1=10; m2=250

Розв’язання:

Якщо випадкова величина попадає в інтервал Теорія ймовірності та її застосування в економіці.

Позначимо шукану імовірність Рn (m).

Ми доведемо що має місце наступна формула Бернуллі:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Позначимо через Вm складна подія, що полягає в тому, що в n досвідах подія А відбулося точно m раз. Запис Теорія ймовірності та її застосування в економіці буде означати, що в першому досвіді подія А відбулося, у другі і третьому - не відбулися і т.п. Тому що досвіди проводяться при незмінних умовах, те


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Подія Вm можна представити у виді суми всіляких подій зазначеного виду, причому в кожнім доданку буква А без риси зустрічається точно m раз. Доданки в цій сумі несумісні й імовірність кожного доданка дорівнює Теорія ймовірності та її застосування в економіці Щоб підрахувати кількість доданків, помітимо, що їх стільки, скільки є способів для вибору m місць для букви А без риси. Але m місць з n для букви А можна вибрати Теорія ймовірності та її застосування в економіці способами. Отже,


Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Завдання 3


Задано ряд розподілу добового попиту на певний продукт Х. Знайти числові характеристики цієї дискретної випадкової величини:

А) математичне сподівання М (Х);

Б) дисперсію D (X);

В) середнє квадратичне відхилення σ Х.


Х 1 3 5 7 11
p 0,10 0,15 0,42 0,25 0,08

Розв’язання.

а) Математичне сподівання величини визначається як:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Запишемо результати в таблиці.

Х 1 3 5 7 11
P 0,10 0,15 0,42 0,25 0,08
Х*Р 0,10 0,45 2,10 1,75 0,88

Теорія ймовірності та її застосування в економіці


б) Дисперсія визначається як:

Х 1 3 5 7 11
Р (Х) 0,10 0,15 0,42 0,25 0,08
Х - М (Х) -4,28 -2,28 -0,28 1,72 5,72
(Х - М (Х)) 2 18,32 5, 20 0,08 2,96 32,72
P (Х) * (Х - М (Х)) 2 1,83 0,78 0,03 0,74 2,62

Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.

D (Х) =6,00.

в) середнє квадратичне відхилення δх знаходиться як корінь квадратний з дисперсії.


Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Завдання 4


Знаючи, що випадкова величина Х підпорядковується біноміальному закону розподілу з параметрами n, p, записати ряд розподілу цієї величини і знайти основні числові характеристики:

А) математичне сподівання М (Х);

Б) дисперсію D (X);

В) середнє квадратичне відхилення σ Х. n=3; p=0,5

Розв’язання.

Біноміальний закон розподілу описується наступним виразом:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Підставивши значення параметрів, отримаємо:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Запишемо ряд розподілу цієї величини:


Таблиця 1

m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pn (m)

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Таблиця 2

Х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pn (Х) 1.29E-01 9.68E-03 4.84E-04 1.82E-05 5.45E-07 1.36E-08 2.92E-10 5.47E-12 9.12E-14 1.37E-15

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Рис.1. Графік біноміального розподілу


а) Математичне сподівання величини визначається як:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Запишемо результати в таблиці 3.


Таблиця 3

Х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pn (Х) 1.29E-01 9.68E-03 4.84E-04 1.82E-05 5.45E-07 1.36E-08 2.92E-10 5.47E-12 9.12E-14 1.37E-15
ХP (Х) 1.29E-01 1.94E-02 1.45E-03 7.26E-05 2.72E-06 8.17E-08 2.04E-09 4.38E-11 8.21E-13 1.37E-14

Теорія ймовірності та її застосування в економіці


б) Дисперсія визначається як:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Таблиця 4

Х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Сума
Х-M (Х) 0.850 1.850 2.850 3.850 4.850 5.850 6.850 7.850 8.850 9.850 53.500
(Х-M (Х)) 2 0.723 3.423 8.123 14.823 23.523 34.223 46.923 61.623 78.323 97.023 368.725
Pn (Х) 0.129 0.010 4.84E-04 1.82E-05 5.45E-07 1.36E-08 2.92E-10 5.47E-12 9.12E-14 1.37E-15 0.139
(Х-M (Х)) 2P (m) 0.093 0.033 3.93E-03 2.69E-04 1.28E-05 4.66E-07 1.37E-08 3.37E-10 7.14E-12 1.33E-13 0.131

Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.


D (Х) =0,131.


в) середнє квадратичне відхилення δх знаходиться як корінь квадратний з дисперсії.


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Завдання 5


Побудувати графік функції щільності розподілу неперервної випадкової величини Х, яка має нормальний закон розподілу з математичним сподіванням М (Х) =а і проходить через задані точки.

a=5


x 1 2 4 5
f (x) 0,033 0,081 0,081 0,033

a=2


x 0,5 1 3 3,5
f (x) 0,13 0,24 0,24 0,13

Розв’язання.

а) М (Х) =5.

Нормальний закон розподілу описується формулою:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Знайдемо середньоквадратичне відхилення.

Дисперсія визначається як:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці,


де М (Х) - математичне сподівання.

Математичне сподівання обчислюється за формулою:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Допоміжні розрахунки представлені в таблиці 5.


Таблиця 5

Допоміжні розрахунки






Сума

x 1 2 4 5 12,00
f (x) 0,033 0,081 0,081 0,033 0,228

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

16,000 9,000 1,000 0,000 26,000

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

0,528 0,729 0,081 0,000 5,928

Отже, D (X) = 5,928


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Підставивши значення у вираз для ймовірності, отримаємо:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


б) М (Х) =2.

Допоміжні розрахунки представлені в таблиці 6.


Таблиця 6

Допоміжні розрахунки






Сума
x 0,5 1 3 3,5 8,00
f (x) 0,13 0,24 0,24 0,13 0,74

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

2,25 1 1 2,25 6,50

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

0,29 0,24 0,24 0,29 1,07

Отже, D (X) = 1,07.


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Підставивши значення у вираз для ймовірності, отримаємо:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Завдання 6


Задано вибірку, яка характеризує місячний прибуток підприємців (у тисячах гривень).

скласти варіаційний ряд вибірки.

побудувати гістограму та полігон частот, розбивши інтервал на чотири-шість рівних підінтервалів.

обчислити моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду.

Розв’язання.

Складемо варіаційний ряд.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
73 68 70 65 73 71 66 69 78 70 67 67 67 76 71 72 68 74 73 70

Побудуємо інтервальний ряд (4 інтервали) з рівними інтервалами. Ширина інтервалу ряду визначається співвідношенням:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці,


де Теорія ймовірності та її застосування в економіціі Теорія ймовірності та її застосування в економіці - відповідно максимальне та мінімальне значення реалізацій випадкових величин.


Теорія ймовірності та її застосування в економіці; Теорія ймовірності та її застосування в економіці; n = 4.

Теорія ймовірності та її застосування в економіці.

Таблиця 7

І ІІ ІІІ ІV
65,00 - 68,25 68,25 - 71,50 71,50 - 74,75 74,75 - 78,00
65 66 67 67 67 68 68 69 70 70 70 71 71 72 73 73 73 74 76 78
f=7 6 5 2
S=7 13 18 20

Побудуємо гістограму розподілу.


Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Рис.1. Гістограма розподілу


Побудуємо полігон частот як лінію, що сполучає середини інтервалів


Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Рис.2. Полігон частот


3) Обчислимо моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду.

Мода Мо - найпоширеніше значення ознаки, тобто варіанта, яка в ряду розподілу має найбільшу частоту.

Мода визначається, як:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці,


де хо та h - відповідно нижня межа та ширина модального інтервалу;

Теорія ймовірності та її застосування в економіці - частоти модального, передмодального та післямодального інтервалу.

З таблиці 2.1 найбільше число реалізацій величини з інтервалу 65,00 - 68,25. Це модальний інтервал, ширина якого h=3,25, нижня межа xo=65,00, частота fmo=7, передмодальна частота fmo-1=0, післямодальна частота fmo+1=6. Маємо:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Медіана Ме - це варіанта, яка припадає на середину упорядкованого ряду розподілу і ділить його дві рівні за обсягом частини:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці,


де fme - частота медіанного інтервалу;

Sfme-1 - кумулятивна частота передмедіанного інтервалу:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


В інтервальному ряду медіанним буде значення ознаки, для якої кумулятивна частота перевищує або дорівнює половині обсягу сукупності.

Кумулятивна частота Sme3 = 13, Sme2-1 = 7, fme = 6, хо = 68,25, h=3,25.

Підставивши у (2.2), маємо:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Середнє арифметичне Теорія ймовірності та її застосування в економіці обчислюється за формулою:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Дисперсія обчислюється за формулою:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Тому знайдемо спочатку середній квадрат значень.


Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Ексцес Ek характеризує крутизну кривої розподілу.


Теорія ймовірності та її застосування в економіці,


де Теорія ймовірності та її застосування в економіці - центральний момент четвертого порядку.

У нашому випадку:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Отже, крива розподілу має лівосторонній нахил.

Результати обчислень наведені у табл.8.


Таблиця 8


65,00 - 68,25 68,25 - 71,50 71,50 - 74,75 74,75 - 78,00 Сума
x 66.63 69.88 73.13 76.38 286.00
x2 4 438.89 4 882.52 5 347.27 5 833.14 20 501.81
f 7 6 5 2 20.00
S 7 13 18 20 58.00
dj 0.35 0.30 0.25 0.10 1.00
xjdj 23.32 20.96 18.28 7.64 70.20
xj2dj 1 553.61 1 464.75 1 336.82 583.31 4 938.50
(xcp-m) 3 -45.69 -0.03 25.03 235.46 214.76
(xcp-m) 3dj -15.99 -0.01 6.26 23.55 13.80
(xcp-m) 4 163.34 0.01 73.20 1 453.94 1 690.50
(xcp-m) 4dj 57.17 0.00 18.30 145.39 220.87

Завдання 7

Перевірити, чи справджується статистична гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності за даними вибірки:


xi 2 5 9 11 12 15 18 19 21
mi 1 2 3 8 19 18 16 13 9

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Рис.1.


Нормальний розподіл задається функцією:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Розрахуємо значення середньоквадратичного відхилення (таблиця 9.1).


Теорія ймовірності та її застосування в економіці.


Таблиця 9.1

xi 2 5 9 11 12 15 18 19 21 Всього
mi 1 2 3 8 19 18 16 13 9 89
0,01 0,02 0,03 0,09 0,21 0, 20 0,18 0,15 0,10 1,00
Σхірі 0,02 0,11 0,30 0,99 2,56 3,03 3,24 2,78 2,12 15,16
(хі - хср) -13,16 -10,16 -6,16 -4,16 -3,16 -0,16 2,84 3,84 5,84 -24,42
(хі - хср) 2 173,11 103,17 37,91 17,28 9,97 0,02 8,08 14,77 34,14 398,46

За методом χ2-критерію узгодженості Пірсона порівнюється з критичним значенням відносна сума квадратів відхилень дослідного числа попадань в кожний інтервал hk від теоретичного їх числа fpk, де pk -ймовірність попадання величини х в k-й інтервал.

Теоретичний розподіл можна вважати правдоподібним при рівня значущості α, якщо буде виконуватись нерівність:


Теорія ймовірності та її застосування в економіці,


де Теорія ймовірності та її застосування в економіці-квантиль χ2-критерію розподілу Пірсона, що відповідає значенню параметра f=k-3;


pj=F (bk - ak) =Теорія ймовірності та її застосування в економіці -


теоретичне значення попадання параметру в к-й інтервал

Параметри теоретичного розподілу вибираємо, виходячи з принципу максимальної правдоподібності: Теорія ймовірності та її застосування в економіці.


Таблиця 9.2

Результати обчислень перевірки гіпотези про нормальний розподіл

k Значення pk fj (fj-npk) /npk
1 2 0,425 1 0,177
2 5 0, 193 2 1,077
3 9 0,092 3 2,619
4 11 0,073 8 8,971
5 12 0,067 19 22,579
6 15 0,060 18 18,997
7 18 0,066 16 12,523
8 19 0,071 13 8,651
9 21 0,088 9 3,856
Сума 112 1,134 89 79,451

Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Рис.1. Емпіричні дані розподілу


Теорія ймовірності та її застосування в економіці=Теорія ймовірності та її застосування в економіці=Теорія ймовірності та її застосування в економіці= 10,48773.


Оскільки 79,45 > 10,4873, то гіпотеза про нормальний закон розподілу не справджується.

Список використаної літератури


Дідиченко М.П. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навчальний посібник для студентів економічних спеціальностей. - Харків, 1996. - 208 с.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособ. для студ. вузов. - 7. изд., стереотип. - М.: Высшая школа, 2001. - 479 с.

Задорожня Т.М., Коляда Ю.В., Мамонова Г.В. Збірник задач з теорії ймовірності та математичної статистики (для студентів економічних спеціальностей): Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / Державна податкова адміністрація України; Академія держ. податкової служби України. - Ірпінь: Академія ДПС України, 2001. - 76 с.

Колемаев В.А. Теория вероятностей в примерах и задачах. Учеб. пособие. - М.: ГУУ, 2001. - 87 с.

Малайчук В.П., Петренко О.М., Рожковський В.Ф. Основи теорії ймовірності і математичної статистики: Навч. посібник / Дніпропетровський національний ун-т. - Д.: РВВ ДНУ, 2001. - 163 с.

Салтыкова О.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие / Восточный ин-т экономики, гуманитарных наук, управления и права. - Уфа: Восточный университет, 2001. - 77 с.

Тимченко Л.С. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навчально-методичний посібник для самостійної роботи студентів економічних спеціальностей. Харків: ХДПУ, 1999. - 140 с.

Трошин Л.И. Теория вероятностей: Учеб. - практ. пособие / Государственный комитет РФ по статистике; Межотраслевой ин-т повышения квалификации руководящих работников и специалистов в области учета и статистики - М.: МИПК учета и статистики, 2001. - 232 с.

Фетисова Т.М., Тарасова О.Ю., Потапов В.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие по решению задач / Южно-Уральский гос. ун-т. Златоустовский филиал. Кафедра высшей математики №3. - Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2000. - 82 с.

Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студ. естеств. спец. вузов. - Минск: Новое знание, 2000. - 206 с.

Филиппенко В.И. Элементы теории вероятностей: Учеб. пособие по курсу "Теория вероятностей" / Криворожский гос. педагогический ин-т. - Кривой Рог, 1993. - 40 с.

Похожие работы:

  1. • Дослідження розвитку теорії ймовірності
  2. • Теорія ймовірностей та математична статистика
  3. • Предмет вивчення теорії ймовірностей
  4. • Основні поняття теорії ймовірностей
  5. • Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей
  6. • Напрямки теорії ймовірностей та математичні дії ...
  7. • Граничні теореми теорії ймовірностей
  8. • Порівняння поглядів та концепцій Г. Кана та А ...
  9. • Теорія ймовірностей та математична статистика
  10. • Основні поняття теорії ймовірностей
  11. • Використання інтегралів в економіці
  12. • Конкуренція, форми конкуренції, її місце та роль в ...
  13. • Вибірковий метод та його значення для вивчення ...
  14. • Випадкові події
  15. • Економічна роль держави в ринковій економіці
  16. • Технологічне забезпечення точності геометричних параметрів ...
  17. • Математична обробка результатів вимірів
  18. • Схема Бернуллі
  19. • Застосування неперервних випадкових величин в економіці
Рефетека ру refoteka@gmail.com