Рефетека.ру / Физика

Курсовая работа: Течение Пуазейля

Оглавление


1. Постановка задачи

2. Уравнение неразрывности

3. Уравнение движения вязкой жидкости в форме Навье-Стокса

4. Установившееся ламинарное течение между параллельным плоскостями

5. Течение Куэтта

6. Течение Пуазейля

7. Общий случай течения между параллельными стенками

8. Пример задачи

Список используемой литературы


1. Постановка задачи


Ламинарные течения, некоторые из которых рассмотрены в данном курсовом проекте, встречаются в разнообразных технических задачах, в частности, в зазорах и малых полостях машин. В особенности при течении таких вязких жидкостей как масло, нефть, различные жидкости для гидропередач образуются устойчивые ламинарные течения, для описания которых надежной базой могут послужить уравнения Навье–Стокса. Течение Гартмана, подобное течению Пуазейля, применяется, к примеру, в МГД-насосах. В этом случае рассматривается плоское стационарное течение электропроводящей жидкости между двумя изолированными пластинами в поперечном магнитном поле.

Задача данного курсового проекта – рассмотрение и нахождение основных характеристик плоского стационарного ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости при параболическом распределении скоростей (течения Пуазейля).


2. Уравнение неразрывности


Течение ПуазейляТечение ПуазейляЗакон сохранения массы для движущейся произвольным образом жидкости выражается уравнением неразрывности или сплошности, которое является одним из фундаментальных уравнений гидромеханики. Для его вывода проведем в жидкости фиксированную в пространстве замкнутую поверхность S, ограничивающую объем W, и выделим на ней элементарную площадку dS. Через n обозначим единичный вектор внешней к S нормали. Тогда произведение сVndS будет представлять собой массу, вытекающую из объема W или поступившую в него за единицу времени, в зависимости от направления скорости на площадке dS. Так как n внешняя нормаль, то Vп > 0 на тех площадках dS, где жидкость вытекает из объема W, и Vп < 0 на той части поверхности S, через которую она втекает в этот объем. Следовательно, интеграл Течение Пуазейля представляет собой разность масс жидкости, вытекшей из объема и поступившей в него за единицу времени.

Это изменение массы можно подсчитать и иным способом. Для этого выделим элементарный объем dW. Масса жидкости в этом объеме может изменяться из-за неодинаковости притока и оттока. Секундное изменение массы в объеме dW будет равно Течение Пуазейля а секундное изменение массы в объеме W выразится интегралом Течение Пуазейля.

Получившиеся выражения можно приравнять, так как они дают одну и ту же величину. При этом следует учесть, что первый интеграл положителен, если через поверхность S вытекает жидкости больше, чем втекает, а второй при этом же условии – отрицателен, так как ввиду сплошности течения в рассматриваемом в рассматриваемом случае плотность уменьшается во времени ∂с∂t<0Течение Пуазейля.


Течение Пуазейля (1)


По теореме Остроградского – Гаусса:


Течение Пуазейля


В векторном анализе сумма частных производных от проекций вектора по одноименным координатам называется дивергенцией или расхождением вектора. В данном случае


Течение Пуазейля


поэтому уравнение (1) можно переписать в виде


Течение Пуазейля


Так как объем W произвольный, подынтегральная функция равна нулю, т.е.


Течение Пуазейля (2)


Уравнение (2) является уравнением неразрывности в дифференциальной форме для произвольного движения сжимаемой жидкости. Соотношение (1) можно рассматривать как интегральную форму уравнения неразрывности.

Если будем рассматривать условие сохранения массы движущегося жидкого объема, то придем также к уравнению (2), которому в этом случае можно придать иной вид.

Поскольку с = с (x, y, z, t) и при движении жидкого объема х = х(t),

у = у (t), z = z (t), то


Течение Пуазейля

Течение Пуазейля

Течение Пуазейля


т. е. уравнение (2) будет иметь вид


Течение Пуазейля

или

Течение Пуазейля(3)


где dс/dt — полная производная плотности.

Для установившегося движения сжимаемой жидкости ∂с/∂t = 0 и. следовательно, из уравнения (2) получаем


Течение Пуазейля(4)


Для любого движения несжимаемой жидкости с = const и, следовательно


Течение Пуазейля(5)


3. Уравнение движения вязкой жидкости в форме Навье-Стокса


Уравнение движения жидкости в напряжениях:


Течение Пуазейля

Течение Пуазейля (6)

Течение Пуазейля


Согласно закону Ньютона вязкостные напряжения при прямолинейном движении жидкости пропорциональны скоростям угловых деформаций. Обобщением этого факта на случай произвольного движения является гипотеза о том, что касательные напряжения, а также зависящие от ориентации площадок части нормальных напряжений пропорциональны соответствующим скоростям деформаций. Иными словами, предполагается во всех случаях движения жидкости линейная связь между вязкостными напряжениями и скоростями деформаций. При этом коэффициент пропорциональности в формулах, выражающих эту связь, должен быть динамический коэффициент вязкости м. Воспользовавшись гипотезой, что в точке жидкости Течение Пуазейля (она косвенно подтверждается на практике), можно написать выражения для нормальных и касательных напряжений в вязкой жидкости:


Течение Пуазейля

Течение Пуазейля

Течение Пуазейля

Течение Пуазейля(7)

Течение Пуазейля

Течение Пуазейля


Внося в уравнение (6) выражения (7), получим


Течение Пуазейля

Течение Пуазейля

Течение Пуазейля


Группируя члены со вторыми производными, деля на с и используя оператор Лапласа, запишем:


Течение Пуазейля

Течение Пуазейля (8)

Течение Пуазейля


Эти уравнения называются уравнениями Навье — Стокса; их используют для описания движений вязких сжимаемых жидкостей и газов.

Уравнения движения невязких жидкостей и газов легко получить из уравнений Навье — Стокса как частный случай при м=const; для несжимаемых жидкостей следует принять с = const.

Система уравнений Навье — Стокса незамкнута, так как содержит шесть неизвестных: Vx, Vy, Vz, р, с и м. Еще одним уравнением, связывающим эти неизвестные, является уравнение неразрывности (3).

В качестве уравнений, замыкающих систему, используют уравнения состояния среды и зависимости вязкости от параметров состояния. Во многих случаях приходится применять также другие термодинамические соотношения.

Для несжимаемой жидкости div V = 0, получим выражения, напрямую следующие из системы (8)


Течение Пуазейля

Течение Пуазейля

Течение Пуазейля


В векторной форме уравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости примет вид:


Течение ПуазейляТечение Пуазейля(9)


4. Установившееся ламинарное течение между параллельным плоскостями


Пусть вязкая жидкость течет в канале, образованном двумя параллельными стенками, одна из которых движется в своей плоскости с постоянной скоростью Течение Пуазейля (см. рисунок).

Течение ПуазейляТечение ПуазейляТечение Пуазейля

а – схема течения; б – распределение скоростей при отсутствии градиента давления (течение Куэтта); в – распределение скоростей в случае неподвижных граничных плоскостей (течение в плоском канале).

Размер канала по направлению нормали к плоскости чертежа (вдоль оси z) считаем достаточно большим, чтобы можно было не учитывать влияние стенок, параллельных плоскости хОу. Кроме того, допускаем, что движение вызвано не только перемещением одной из стенок канала, но и перепадом (или градиентом) давления по направлению оси х. Влиянием массовых сил пренебрегаем, т.к. число Фруда мало из-за малости h, а линии тока считаем прямыми, параллельными оси х.

Тогда исходные условия задачи выражаем в виде:


Течение Пуазейля


Из уравнения неразрывности сразу заключим, что Течение Пуазейля а поскольку это будет выполнено во всех точках, то и Течение Пуазейля Ввиду отсутствия движения вдоль оси z все производные по этой координате также обратятся в нуль, и уравнение Навье-Стокса в проекции на ось z можно не писать.

Тогда система уравнений движения сведется к двум уравнениям:


Течение Пуазейля


Первое получается из проекции уравнения Навье-Стокса на координатную ось x, а второе из этих уравнений свидетельствует, что давление зависит только от х, т.е. p(y)=p(z)=0, и так как Течение Пуазейля то можно перейти от частных производных к полным:


Течение Пуазейля

Обозначим Течение Пуазейля, проинтегрируем это уравнение дважды, получим:

Течение Пуазейля


Так как в соответствии с рисунком и принятыми допущениями давление зависит только от координаты x. Для отыскания постоянных интегрирования Течение Пуазейляи Течение Пуазейля используем граничные условия:


Течение Пуазейля

Течение Пуазейля


Таким образом закон распределения скоростей в плоском канале запишется в виде:


Течение Пуазейля


Течение Пуазейля(10)

5. Течение Куэтта


Течение Куэтта – безградиентное течение Течение Пуазейля В этом случае единственной причиной движения служит перемещение пластины. Течение характеризуется линейным законом распределения скоростей (рис. б).


Течение Пуазейля


Касательное (вязкое) напряжение Течение Пуазейля будет постоянным по толщине слоя, а величина удельного расхода, т.е. расхода через живое течение S=h·1, увлекаемого движущейся пластиной, равна:

Течение Пуазейля


6. Течение Пуазейля


Это случай напорного течения в плоском канале с параболическим распределением скоростей (рис. в). В соответствии с уравнением (10) получим:


Течение Пуазейля (11)


Максимальная скорость на оси (при y=h/2) ввиду параболического распределения скоростей:


Течение Пуазейля (12)


Разделив (11) на (12), получим закон распределения скорости


Течение Пуазейля


Нетрудно вычислить и другие характеристики течения. Касательное напряжение


Течение Пуазейля


На стенках, т.е при y=0 и при y=h, принимает максимальные значения


Течение Пуазейля


А на оси при y=h/2 обращается в нуль. Как видно из этих формул, имеет место линейный закон распределения касательных напряжений по толщине слоя


Течение Пуазейля


Удельный расход жидкости определится формулой


Течение Пуазейля


Средняя скорость


Течение Пуазейля (13)


Средняя скорость будет в полтора раза меньше максимальной.

Проинтегрировав (13) по х, в предположении, что при х=0 давление р=р0*, получаем искомую разность давления:


Течение Пуазейля


Нетрудно также вычислить интенсивность вихревой составляющей движения. Поскольку в данном случае Vy=Vz=0 и Vx=V, то


Течение Пуазейля

Течение Пуазейля

Течение Пуазейля


Учитывая, что dp/dx<0, мы получи:

при y < h/2, щz < 0, т.е. частицы вращаются по часовой стрелке;

при y > h/2, щz > 0, т.е. частицы вращаются против часовой стрелки (рис. в).

Таким образом, рассматриваемый поток является завихренным во всех точках, упорядоченные вихревые линии представляют собой прямые, нормальные плоскости течения.


7. Общий случай течения между параллельными стенками


Для этого случая характерно Течение Пуазейля

Распределение скоростей определяется уравнением (10), где градиент давления dp/dx может быть как отрицательным, так и положительным. В первом случае давление падает в направлении скорости пластины V0, во втором – возрастает. Наличие положительного градиента давления может вызывать возвратные течения. Уравнение (10) удобно представить в безразмерной форме


Течение Пуазейля


которая графически изображается семейством кривых с одним параметром

Течение Пуазейля


Безразмерные профили скоростей для общего случая течения между параллельными стенками.


8. Пример задачи


Рассмотрим течение Пуазейля применительно к МГД-генератору.

Магнитогидродинамический генератор, МГД-генератор — энергетическая установка, в которой энергия рабочего тела (жидкой или газообразной электропроводящей среды), движущегося в магнитном поле, преобразуется непосредственно в электрическую энергию. Скорость движения вязкой среды может быть как дозвуковой, так и сверхзвуковой, выберем скорость равную Vmax =300 м/c. Пусть длина линейного канала будет равна 10 метров[4]. Расстояние между обкладками, в которых протекает плазма, равно 1 метр[4]. Максимальное значение вязкости плазмы примем 3·10-4 Па·Чс=8,3·10-8Па·с [5].

Подставляя данные в формулу для разности давлений, учитывая, что средняя скорость в полтора раза меньше максимальной, получим:


Течение Пуазейля

Течение Пуазейля


Такова потеря давления при прохождении рабочего тела через линейный канал МГД-генератора.


Список используемой литературы


Бекнев В.С., Панков О.М., Янсон Р.А. – М.: Машиностроение, 1973г. – 389 с.

Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. – М.: Машиностроение, 1978г. – 458 с.

Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. – М.: Машиностроение, 1987г. – 438 с.

http://ru-patent.info/21/20-24/2123228.html

http://ligis.ru/effects/science/83/index.htm

Рефетека ру refoteka@gmail.com