Рефотека.ру / Математика

Контрольная работа: Вычисление интегралов

Введение


Нахождение производной f’ (x) или дифференциала df=f’ (x) dx функции f(x) является основной задачей дифференциального исчисления. В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F’ (х)=f(x) или F(x)=F’ (x) dx=f(x) dx. Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т.д.

Курс математического анализа содержит разнообразный материал, однако, одним из его центральных разделов является определенный интеграл. Интегрирование многих видов функций подчас представляет собой одну из труднейших проблем математического анализа.

Вычисление определенного интеграла имеет не только теоретический интерес. К его вычислению сводятся иногда задачи, связанные с практической деятельностью человека.

Также понятие определенного интеграла широко используется в физике.


1. Нахождение площади криволинейной трапеции


Криволинейной трапецией называется фигура, расположенная в прямоугольной системе координат и ограниченная осью абсцисс, прямыми х = а и х = b и кривой Вычисление интегралов, причем Вычисление интеграловнеотрицательна на отрезке Вычисление интегралов. Приближенно площадь криволинейной трапеции можно найти так:

разделить отрезок Вычисление интеграловоси абсцисс на n равных отрезков;

провести через точки деления отрезки, перпендикулярные к оси абсцисс, до пересечения с кривой Вычисление интегралов;

заменить получившиеся столбики прямоугольниками с основанием Вычисление интегралови высотой, равной значению функции f в левом конце каждого отрезка;

найти сумму площадей этих прямоугольников.

Но можно найти площадь криволинейной иначе: по формуле Ньютона-Лейбница. Для доказательства формулы, носящей их имена, докажем, что площадь криволинейной трапеции равна Вычисление интегралов, где – любая из первообразных функции Вычисление интегралов, график которой ограничивает криволинейную трапецию.

Вычисление площади криволинейной трапеции записывается так:

находится любая из первообразных Вычисление интеграловфункции Вычисление интегралов.

записывается Вычисление интегралов. Вычисление интегралов- это формула Ньютона-Лейбница.


2. Нахождение площади криволинейного сектора


Вычисление интегралов

1

Площадь криволинейного сектора.

Рассмотрим кривую ρ = ρ (φ) в полярной системе координат, где ρ (φ) – непрерывная и неотрицательная на [α; β] функция. Фигура, ограниченная кривой ρ (φ) и лучами φ = α, φ = β, называется криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора равна


Вычисление интегралов


3. Нахождение длины дуги кривой


Прямоугольные координаты

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a ≤ x ≤ b. (рис 2) [7]

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.

Применим схему I (метод сумм).

Точками XВычисление интегралов = a, XВычисление интегралов, …, XВычисление интегралов = b (XВычисление интегралов ≤ XВычисление интегралов≤ … ≤ XВычисление интегралов) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки MВычисление интегралов = A, MВычисление интегралов, …, MВычисление интегралов = B на кривой AB. Проведем хорды MВычисление интеграловMВычисление интегралов, MВычисление интеграловMВычисление интегралов, …, MВычисление интеграловMВычисление интегралов, длины которых обозначим соответственно через ΔLВычисление интегралов, ΔLВычисление интегралов, …, ΔLВычисление интегралов.


Вычисление интеграловВычисление интегралов


Получим ломанную MВычисление интеграловMВычисление интеграловMВычисление интегралов … MВычисление интеграловMВычисление интегралов, длина которой равна LВычисление интегралов = ΔLВычисление интегралов+ ΔLВычисление интегралов+ … + ΔLВычисление интегралов = Вычисление интегралов ΔLВычисление интегралов.

Длину хорды (или звена ломанной) ΔLВычисление интегралов можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ΔXВычисление интегралов и ΔYВычисление интегралов:


ΔLВычисление интегралов = Вычисление интегралов, где ΔXВычисление интегралов = XВычисление интегралов – XВычисление интегралов, ΔYВычисление интегралов = f(XВычисление интегралов) – f(XВычисление интегралов).


По теореме Лагранжа о конечном приращении функции


ΔYВычисление интегралов = Вычисление интегралов(CВычисление интегралов) ΔXВычисление интегралов, где CВычисление интегралов Вычисление интегралов (XВычисление интегралов, XВычисление интегралов).


Поэтому


ΔLВычисление интегралов = Вычисление интегралов = Вычисление интегралов,

а длина всей ломанной MВычисление интеграловMВычисление интеграловMВычисление интегралов … MВычисление интеграловMВычисление интегралов равна


LВычисление интегралов = Вычисление интегралов ΔLВычисление интегралов = Вычисление интеграловВычисление интегралов.


Длина кривой AB, по определению, равна


L = Вычисление интеграловLВычисление интегралов = Вычисление интеграловВычисление интегралов ΔLВычисление интегралов.


Заметим, что при ΔLВычисление интегралов Вычисление интегралов 0 также и ΔXВычисление интегралов Вычисление интегралов 0 (ΔLВычисление интегралов = Вычисление интегралов и следовательно | ΔXВычисление интегралов | < ΔLВычисление интегралов). Функция Вычисление интегралов непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция fВычисление интегралов (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы LВычисление интегралов=Вычисление интеграловΔLВычисление интегралов= Вычисление интеграловВычисление интегралов, кода max ΔXВычисление интегралов Вычисление интегралов 0:


L = Вычисление интеграловВычисление интеграловВычисление интегралов = Вычисление интеграловВычисление интеграловdx.

Таким образом, L = Вычисление интеграловВычисление интеграловdx.


Пример: Найти длину окружности радиуса R. (рис 3)

Вычисление интегралов


Вычисление интегралов


Найдем ј часть ее длины от точки (0; R) до точки (R; 0). Так как


y = Вычисление интегралов, јL = Вычисление интегралов Вычисление интеграловdx = R arcsinВычисление интеграловВычисление интегралов = R Вычисление интегралов.


Значит L = 2Вычисление интеграловR.

Полярные координаты

Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(Вычисление интегралов), Вычисление интегралов. Предположим, что r(Вычисление интегралов) и rВычисление интегралов(Вычисление интегралов) непрерывны на отрезке [Вычисление интегралов].

Если в равенствах x = r cosВычисление интегралов, y = r sinВычисление интегралов, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол Вычисление интегралов, то кривую AB можно задать параметрически


Вычисление интегралов


Тогда


Вычисление интегралов


Поэтому


Вычисление интегралов= Вычисление интегралов = Вычисление интегралов


Применяя формулу L = Вычисление интеграловВычисление интегралов,

получаем L = Вычисление интеграловВычисление интегралов

Вычисление интегралов


Вычисление интегралов


Пример: Найти длину кардиоиды r = a (1 + cosВычисление интегралов). (рис. 4)

Решение: Кардиоида r = a (1 + cosВычисление интегралов) симметрична относительно полярной оси. Найдем половину (рис 4) длины кардиоиды:


Ѕ L =Вычисление интеграловВычисление интегралов=aВычисление интеграловВычисление интегралов=a Вычисление интеграловВычисление интегралов = 2a Вычисление интеграловcosВычисление интегралов dВычисление интегралов = 4a sinВычисление интеграловВычисление интегралов = 4a.


4. Нахождение объема тел


Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

Пусть требуется найти объем V тела (рис 5), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox:S = S(x), a≤ x≤ b [5]

Применим схему II (метод дифференциала).


Вычисление интеграловВычисление интегралов


Через произвольную точку x Вычисление интегралов [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении x. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от x, т.е. v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой

«элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + Δx, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.

3. Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b:

V = Вычисление интеграловS(x) dx

Формула объема тела по площади параллельных сечений

Пример: Найти объем эллипсоида Вычисление интегралов (рис 6) [5]


Вычисление интеграловВычисление интегралов


Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (-a≤ x≤ b.), получим эллипс


Вычисление интегралов


Площадь этого эллипса равна S(x) = Вычисление интеграловbc (1 – Вычисление интегралов). Поэтому, по формуле имеем


V = Вычисление интеграловbcВычисление интегралов(1 – Вычисление интегралов) dx = Вычисление интеграловВычисление интеграловabc.


Объём тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ≥ 0, отрезком а ≤ х ≤ b и прямыми х = а и х = b (рис 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно, S(x)=Вычисление интеграловyВычисление интегралов.

Применяя формулу

V = Вычисление интеграловS(x) dx


объема тела по площади параллельных сечений, получаем


Вычисление интегралов


Вычисление интегралов


VВычисление интегралов = Вычисление интеграловВычисление интеграловyВычисление интеграловdx.


Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = Вычисление интегралов(x) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c <

d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой


V = Вычисление интеграловS(x) dx,


равен


V =Вычисление интеграловВычисление интеграловxВычисление интеграловdy.

Пример: Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями у = Вычисление интегралов, x = 0, у = 2Вычисление интегралов вокруг оси Оу. [5]

Решение: По формуле


V =Вычисление интеграловВычисление интеграловxВычисление интеграловdy.


находим:


VВычисление интегралов = Вычисление интеграловВычисление интегралов2ydy = Вычисление интеграловyВычисление интеграловВычисление интегралов = 8Вычисление интегралов.


5. Нахождение площади поверхности тел вращения


Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(х) ≥ 0, где х Вычисление интегралов [а; b], а функция у = f(х) и ее производная у' = f'(х) непрерывны на этом отрезке.

Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис 8).

Применим схему II (метод дифференциала).

Через произвольную точку х Вычисление интегралов [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом у – f(х). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от х, т.е. s = s(х) (s(а) = 0 и s(b) = S).

Дадим аргументу х приращение Δх = dх. Через точку х + dх Вычисление интегралов [а; b] также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s = s(х) получит приращение Δs, изображенного на рисунке в виде «пояска».

Вычисление интегралов


Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у + dу. Площадь его боковой поверхности равна: = 2Вычисление интеграловydl + Вычисление интеграловdydl.

Отбрасывая произведение dу d1 как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем ds = 2Вычисление интеграловуdl, или, так как d1 = Вычисление интеграловdx.

Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем


SВычисление интегралов= 2Вычисление интеграловВычисление интеграловyВычисление интеграловdx.


Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), tВычисление интегралов≤ t Вычисление интегралов≤ tВычисление интегралов, то формула для площади поверхности вращения принимает вид


SВычисление интегралов = 2Вычисление интеграловdt.


Пример: Найти площадь поверхности шара радиуса R. [5]

Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y = Вычисление интегралов, – R ≤ x ≤ R, вокруг оси Ox. По формуле SВычисление интегралов= 2Вычисление интеграловВычисление интеграловyВычисление интеграловdx находим


S=2Вычисление интегралов = Вычисление интегралов


6. Нахождение работы переменной силы


Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (а <bЬ), находится по формуле


A = Вычисление интегралов


Пример:

Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м? [5]

Решение:

По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т.е. F = kх, где k – коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k 0,01, откуда k = 10000; следовательно, F =10000х.

Искомая работа на основании формулы

A = Вычисление интегралов


равна


A = Вычисление интегралов


Вычисление интегралов


Вычисление интегралов


Пример:

Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты Н м и радиусом основания R м (рис 13). [5]

Решение:

Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р • Н. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.

Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат.

1) Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной х (0 ≤ х ≤ Н), есть функция от х, т.е. А = А(х), где (0 ≤ х ≤ Н) (A(0) = 0, A(H) = А0).

2) Находим главную часть приращения ΔA при изменении х на величину Δх = dx, т.е. находим дифференциал dА функции А(х).

Ввиду малости dх считаем, что «элементарный» слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара). Тогда dА = dрх, где dр – вес этого слоя; он равен gВычисление интегралов АV, где g – ускорение свободного падения, Вычисление интегралов – плотность жидкости, dv – объем «элементарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т.е. dр = gВычисление интегралов. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен Вычисление интегралов, где dx – высота цилиндра (слоя), Вычисление интегралов – площадь его основания, т.е. dv = Вычисление интегралов.

Таким образом, dр = Вычисление интегралов. и Вычисление интегралов

3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим


AВычисление интегралов


8. Вычисление интегралов с помощью пакета MathCAD


При решении некоторых прикладных задач требуется использовать операцию символического интегрирования. При этом программа MathCad может пригодиться как на начальном этапе (хорошо знать ответ заранее или знать, что он существует), так и на заключительном этапе (хорошо проверить полученный результат с использованием ответа из другого источника или решения другого человека).

При решении большого количества задач можно заметить некоторые особенности решения задач при помощи программы MathCad. Попытаемся понять на нескольких примерах, как работает эта программа, проанализируем решения, полученные с её помощью и сравним эти решения с решениями, полученными другими способами.

Основные проблемы при использовании программы MathCad заключаются в следующем:

а) программа даёт ответ не в виде привычных элементарных функций, а виде специальных функций, известных далеко не всем;

б) в некоторых случаях «отказывается» давать ответ, хотя решение у задачи имеется;

в) иногда невозможно воспользоваться полученным результатом из-за его громоздкости;

г) решает задачу не полностью и не делает анализа решения.

Для того чтобы решить эти проблемы, необходимо использовать сильные и слабые стороны программы.

С её помощью легко и просто вычислять интегралы от дробно-рациональных функций. Поэтому рекомендуется использовать метод замены переменной, т.е. предварительно подготовить интеграл для решения. Для этих целей могут быть использованы подстановки, разобранные выше. Также следует иметь в виду, что полученные результаты необходимо исследовать на совпадение областей определения исходной функции и полученного результата. Кроме этого, некоторые полученные решения требуют дополнительного исследования.

Программа MathCad освобождает обучаемого или исследователя от рутинной работы, но не может освободить его от дополнительного анализа как при постановке задачи, так и при получении каких-либо результатов.

Выводы

В данной работе были рассмотрены основные положения, связанные с изучением приложений определённого интеграла в курсе математики.

– был проведен анализ теоретической основы решения интегралов;

– материал был подвергнут систематизации и обобщению.

В процессе выполнения курсовой работы были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики.


Заключение


Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности. Так в процессе выполнения курсовой работы нами были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список наук, которые используют интегральный метод для поиска устанавливаемой величины при решении конкретной задачи, и установлении теоретических фактов.

Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл – это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.

Из всего выше сказанного понятно, почему знакомство с определенным интегралом происходит еще в рамках средней общеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения.


Литература


1. Волков Е.А. Численные методы. М., Наука, 1988.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Интеграл-Пресс, 2004. Т. 1.

3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., Высшая школа, 1990.

4. Давыдова Т.В. и др. Математика: Методические рекомендации и задания по курсовым работам. Смоленск. ВУ ВПВО, 2000 г. 59 с.

5. Иванов А.А. Математика. Пособие по лабораторным работам в MathCAD'e. Изд. академии, 2004.

Похожие работы:

  1. • Вычисление интегралов методом Монте-Карло
  2. • Вычисление интеграла фукции f (x) (методом Симпсона WinWord)
  3. • Численные методы вычисления интегралов
  4. • Вычисление определенного интеграла
  5. • Вычисление определённых интегралов
  6. • Вычисление интегралов методом Монте-Карло
  7. • Вычисление интеграла
  8. • Вычисление интеграла с помощью метода трапеций на компьютере
  9. • Приближенное вычисление определенных интегралов
  10. • Приближенное вычисление определенных интегралов
  11. • Кубатурные формулы для вычисления интеграла ...
  12. • Вычисление интеграла по поверхности
  13. • Вычисление определенного интеграла методами трапеций и ...
  14. • Вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса (теория и ...
  15. • Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников
  16. • Вычисление определенного интеграла методом трапеций и ...
  17. • Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления ...
  18. • Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы
  19. • Физические модели при изучении интеграла в курсе ...
Смотреть все похожие работы
Рефетека ру refoteka@gmail.com