Рефетека.ру / Педагогика

Статья: Послушные шарики, или еще раз о развитии логического мышления

Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики (“Математическая энциклопедия”).

Всякая математическая теория представляет собой множество предложений, над которыми производятся действия (операции), в результате которых снова получаются предложения.

Если нет логических операций — нет математической логики, да и вообще математики; если ученик не совершает этих операций, то вряд ли приходится говорить о развитии логического мышления.

В начальной школе в первую очередь именно через решение задач ребенок учится рассуждать, т. е. строить предложения с помощью слов и словосочетаний: неверно, что — логическая операция, называемая отрицанием; и — конъ­юнкция; или — дизъюнкция; если…, то… — импликация; тогда и только тогда, когда — эквиваленция. Мы не будем давать определения, поскольку учителя знакомы с этими операциями из курсов математики педагогических университетов (институтов) и педколледжей (училищ).

1. Две классические задачи

1. В трех одинаковых коробках лежат по два шарика: в одной — два черных, в другой — два белых, в третьей — белый и черный. На каждой коробке есть табличка: на одной изображены два белых шарика, на другой — два черных, на третьей — белый и черный. Но известно, что содержимое каждой коробки не соответствует табличке. Как вынув только один шарик только из одной коробки, переставить таблички на коробках в соответствии с их содержимым?

Послушные шарики, или еще раз о развитии логического мышления

Решение

Пронумеруем коробки как на рис. 1.

В коробке 3 находятся либо два белых шарика, либо два черных. Достанем из нее шарик. Допустим, он оказался белым (рис. 2).

Послушные шарики, или еще раз о развитии логического мышления

Следовательно, в коробке 3 — два белых шарика (рис. 3).

Послушные шарики, или еще раз о развитии логического мышления

Поскольку в коробке 1 не может быть ни двух черных шариков (по условию надпись не соответствует действительности), ни двух белых (они в коробке 3), то там — черный и белый (рис. 4):

Послушные шарики, или еще раз о развитии логического мышления

Ответ изображен на рис. 5.

Послушные шарики, или еще раз о развитии логического мышления

Если бы из коробки 3 при первой попытке мы вытащили черный шарик, то ответ был бы таким (рис. 6):

Послушные шарики, или еще раз о развитии логического мышления

Подчеркнем, что при рассуждениях мы пользовались словами “неверно, что в коробке такие-то шары” (отрицание), “если достанем белый шар, то…” (импликация) и т. д. Таким образом, ребенок, сам того не подозревая, совершает логические операции над высказываниями.

2. У меня в трех коробках лежали гвозди, винты и гайки. На каждой коробке было написано, что в ней лежит. Однажды мой младший брат пересыпал содержимое коробок так, что надпись на каждой коробке перестала соответствовать ее содержимому. Хорошо еще, что он не перепутал их между собой: гвозди остались лежать отдельно от гаек и винтов и т. д. Можно ли, открыв одну из коробок, определить, что лежит в каждой из коробок?

Решение

Послушные шарики, или еще раз о развитии логического мышления

Во-первых, для простоты обсуждения, гвозди, винты и гайки обозначим кружочками разных цветов (рис. 7). Во-вторых, заметим, что начинать рассуждения можно с любой коробки. Приведем один из вариантов, а другие — предоставим ученикам.

Откроем коробку 1. Допустим, там оказались гайки (рис. 8; а могли быть и винты: рассуждения проводились бы аналогично).

Послушные шарики, или еще раз о развитии логического мышления

В коробке 2 винтов быть не может по условию, следовательно, винты — в коробке 3 (рис. 9).

Послушные шарики, или еще раз о развитии логического мышления

Ну, а во второй коробке — гвозди.

2. Шариковый сериал

Имеются два непрозрачных ящика. В них находятся один черный и один белый шарик:

” либо по одному в каждом ящике,

” либо в одном ящике два шарика.

На ящиках есть надписи, по которым надо определить (если возможно), где какой шарик находится.

Указывается также, являются ли надписи истинными или ложными.

Условия задач и ответы представим в виде таблицы. И — истинно, Л — ложно. Запись “Обе И” означает, что надписи на каждом ящике правдивы.



Ящик 1

Ящик 2

Истинность

надписей

Ответ

1 Здесь Здесь нет шариков

Обе И

В ящике 1 и черный, и бе­лый шарики
2 Здесь нет шариков Здесь оба шарика

Обе Л

Возможны варианты (решение после табл.)
3 Здесь Здесь

Обе Л

В ящике 1 — белый шарик, в ящике 2 — чер­­ный
4 Здесь не Здесь не

Обе И

В ящике 1 — черный шарик, в ящике 2 — белый
5 Здесь не Здесь не

Обе Л

В ящике 1 — белый шарик, в ящике 2 — черный
6

Здесь или

здесь

Здесь

Обе И

В ящике 1 — белый шарик, в ящике 2 — черный
7

Здесь или

здесь

Здесь

Обе Л

В ящике 1 — черный шарик, в ящике 2 — белый
8

Здесь и

здесь

Здесь

Первая — И,

Вторая — Л

В ящике 1 — оба шарика, в ящике 2 — пусто

Решение

1. Поскольку надписи истинны, то в ящике 2 шариков нет. Следовательно, они оба в ящике 1.

Внимание. Надпись на ящике 1 “здесь черный” не означает, что там не может быть белого шарика. Ведь утверждение “директор моей школы живет в Беларуси” не означает, что в стране не живу я…

2. Так как надпись на ящике 2 неверна, то возможны варианты:

а) в ящике 2 нет шариков вообще, следовательно, в ящике 1 — и белый, и черный шарики;

б) если неверно утверждение “здесь оба шарика”, то верным может быть утверждение “здесь белый шарик” или “здесь черный шарик” (т. е. один из шариков находится в ящике 2), значит в ящике 1 тоже один шарик.

Информация для учителя. В этой задаче мы имеем дело с одним из законов де Моргана: Послушные шарики, или еще раз о развитии логического мышления, который звучит так: отрицание конъюнкции двух высказываний эквивалентно дизъюнкции отрицаний каждого из данных высказываний. Напомним также, что дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний. Применительно к нашей задаче: утверждение “неверно, что в ящике 2 лежат оба шарика” равносильно утверждению “неверно, что в ящике лежит черный шарик, или неверно, что в ящике лежит белый шарик”. Отсюда и получаются вышеописанные варианты а) и б).

Решения остальных задач предоставляем учителю.


Таким образом, ученик “проходит” через логические операции, хотя, естественно, и не знает их строгих определений (на интуитивном уровне), следовательно, его логическое мышление развивается. Учитель же знает законы логики и может корректировать рассуждения ребенка, если они ошибочны.


А. Щан — старший преподаватель кафедры математики и методики ее преподавания БГПУ

Похожие работы:

  1. • Развитие логического мышления младших школьников ...
  2. • Арифметические задачи как средство развития у детей ...
  3. • Развитие логического мышления учащихся при ...
  4. • Развитие логического мышления младших школьников при ...
  5. • Развитие мышления младшего школьника с нарушенным ...
  6. • Развитие логического мышления на уроках ...
  7. • Словесно-логическое мышление успевающих и ...
  8. • Влияние сказки на развитие словесно-логического ...
  9. • Развитие логического мышления у дошкольника
  10. • Решение задач на построение в курсе геометрии ...
  11. • Развитие элементов логического мышления ...
  12. • Психологические особенности младших школьников
  13. • Развитие логического мышления у учащихся на ...
  14. • Взаимосвязь развития мышления с памятью и речью у ...
  15. • Роль текстовых задач в развитии логического мышления младших ...
  16. • Коррекция мышления трудовой деятельностью у детей с ...
  17. • Логико-математические игры в работе со старшими ...
  18. • Выявление логического аспекта мышления на основе двух ...
  19. • Психолого-педагогический анализ процесса развития ...
Рефетека ру refoteka@gmail.com