Рефетека.ру / Педагогика

Дипломная работа: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Содержание


Введение

§ 1. Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа

1.1. «Алгебра, 8», авт. А. Г. Мордкович

1.2. «Алгебра и начала анализа, 10-11», авт. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др..

1.3. «Алгебра и начала анализа, 10-11», авт. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др..

1.4. «Алгебра и начала анализа, 10-11», авт. М. И. Башмаков.

1.5. «Алгебра и начала анализа, 10-11», авт. А. Г. Мордкович.

1.6. «Сборник задач по алгебре, 8-9», авт. М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич.

1.7. «Алгебра и математический анализ, 11», авт. Н. Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд.

§ 2. Методика изучения иррациональных уравнений

2.1. Теоретические основы решения уравнений

2.1.1. Основные понятия, относящиеся к уравнениям

2.1.2. Наиболее важные приемы преобразования уравнений

2.2. Методы решения иррациональных уравнений

2.2.1. Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств

2.2.2. Метод уединения радикала

2.2.3. Метод введения новой переменной.

2.2.4. Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений

2.2.5. Умножение обеих частей уравнения на функцию.

2.2.6. Решение иррациональных уравнений с использованием свойств входящих в них функций

3. Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений

§ 3. Методика решения иррациональных неравенств

3.1. Теоретические основы решения иррациональных неравенств

3.2. Методы решения иррациональных неравенств

3.2.1. Метод сведения к эквивалентной системе или совокупности рациональных неравенств

3.2.2. Умножение обеих частей неравенства на функцию

3.2.3. Метод введения новой переменной

3.2.4. Решение иррациональных неравенств с использованием свойств входящих в них функций

§ 4. Опытное преподавание

Заключение

Список библиографии

Приложение А

Приложение Б

Приложение В


Введение


Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Одним из сложных разделов алгебры, изучаемых в школьной программе, являются иррациональные уравнения и неравенства, так как в школе им уделяют достаточно мало внимания.

Трудности при изучении данного вида уравнений и неравенств связаны со следующими их особенностями:

в большинстве случаев отсутствие четкого алгоритма решения иррациональных уравнений и неравенств;

при решении уравнений и неравенств данного вида приходится делать преобразования, приводящие к уравнениям (и неравенствам), не равносильным данному, вследствие чего чаще всего возникают ошибки, которые обычно связаны с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения.

Опыт показывает, что учащиеся в недостаточной степени овладевают умением решать иррациональные уравнения и неравенства, часто допускают ошибки при их решении. Однако задачи по теме «Иррациональные уравнения и неравенства» встречаются на вступительных экзаменах, и они довольно часто становятся «камнем преткновения».

Выше изложенное обусловило проблему исследования: обучение школьников решению иррациональных уравнений и неравенств, используя при этом основные методы решения иррациональных уравнений различных видов.

Объектом исследования является процесс обучения алгебре в 7-9 классах и алгебре и началам анализа в 10-11 классах.

Предметом исследования являются различные виды иррациональных уравнений и неравенств и методы их решения.

Целью работы является разработка методики изучения учащимися иррациональных уравнений и неравенств в школе.

Гипотеза исследования: освоение умения различать основные виды иррациональных уравнений и неравенств, умения применять необходимые приемы и методы их решения позволит учащимся решать иррациональные уравнения и неравенства на сознательной основе, выбирать наиболее рациональный способ решения, применять разные способы решения, в том числе те, которые не рассмотрены в школьных учебниках.

Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:

проанализировать действующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявления представленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств;

изучить стандарты образования по данной теме;

изучить статьи и учебно-методическую литературу по данной теме;

подобрать теоретический материал, связанный с равносильностью уравнений и неравенств, равносильностью преобразований, методами решения иррациональных уравнений и неравенств;

рассмотреть основные методы и приемы решения различных иррациональных уравнений и неравенств;

подобрать примеры решения иррациональных уравнений и неравенств для демонстрации излагаемой теории;

разработать

осуществить опытное преподавание.

§ 1. Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа


При изучении любой новой темы в основном курсе школы встает проблема изложения данной темы в школьных учебниках. Пропедевтикой изучения раздела иррациональных уравнений и неравенств в школе является введение понятие арифметического корня и, соответственно, рассмотрение его свойств.

Проанализируем в каких классах вводится данное понятие разными авторами учебников. Алимов Ш. А. в учебнике «Алгебра. 9класс» вводит понятие арифметического корня натуральной степени, а также свойства арифметического корня. Макарычев Н. Г. же разделяет понятия квадратного корня и корня Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики-ой степени. В учебнике «Алгебра. 8 класс» классе вводится понятие арифметического квадратного корня и, соответственно, рассматриваются его свойства. В учебнике «Алгебра. 9 класс» вводятся понятия корня Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики-ой степени, арифметического корня Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики-ой степени и рассматриваются свойства арифметического корня Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики-ой степени. Колмогоров А. Н. в учебнике «Алгебра. 10 класс» вводит понятия корня Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики-ой степени, арифметического корня Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики-ой степени и рассматривает свойства арифметического корня Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики-ой степени перед изучением иррациональных уравнений. Мордкович А. Г. в учебнике «Алгебра. 8 класс» вводит понятие квадратного корня и его свойства. Кроме того, в этом же учебнике есть отдельный параграф, посвященный иррациональным уравнениям.


1.1. «Алгебра, 8», авт. А. Г. Мордкович [27], [28]


Данное учебное пособие состоит из двух частей: учебника и задачника.

В I части данного учебного пособия материал, посвященный иррациональным уравнениям, изложен в главе «Квадратные уравнения» в параграфе «Иррациональные уравнения». Параграф начинается с определения иррационального уравнения. Далее рассматривается решение иррационального уравнения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики по определению квадратного корня из чего выводится метод решения иррациональных уравнений – метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Затем данный метод демонстрируется на примерах решения иррациональных уравнений вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Найденные корни проверяются подстановкой в исходное уравнение, при этом обращено внимание на те случаи, когда могут появиться посторонние корни. Автор подчеркивает, что проверка – обязательный этап решения иррационального уравнения. Далее приводится решение уравнения вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики методом введения новой переменной Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Параграф завершается беседой о равносильных и неравносильных преобразованиях: дается определение равносильных уравнений, перечисляются и демонстрируются на примерах равносильные и неравносильные преобразования.

Система задач во II части данного учебного пособия достаточно разнообразна. В №№ 1011-1014 необходимо решить иррациональные уравнения вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – линейное, квадратное или дробно-рациональное выражение. В № 1015 чтобы решить уравнение необходимо сначала уединить радикал. В № 1016 для решения предложены уравнения вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. №№ 10017-1020 –упражнения для решения методом замены иррациональных уравнений вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. В №№ 1023, 1024 необходимо выяснить, равносильны ли уравнения. В №№ 1021, 1022, 1025-1027 нужно решить уравнения вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, где выражения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикимогут быть как линейными так и квадратными, а в №№ 1028-1031 – уравнения вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

№№ 1032, 1033 – упражнения повышенной трудности для решения иррациональных уравнений методом замены.

Теперь проанализируем действующие учебники по алгебре и началам математического анализа для 10-11 классов, чтобы выяснить, как в них представлены методы решения иррациональных уравнений и неравенств.


1.2. «Алгебра и начала анализа, 10-11», авт. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др. [13].


Материал по данной теме изложен в IV главе «Показательная и логарифмическая функции», как пункт «Иррациональные уравнения» параграфа «Обобщение понятия степени». Автор рекомендует рассматривать решение иррациональных уравнений в теме «Уравнения, неравенства, системы», где систематизируются сведения об уравнениях.

В пункте «Иррациональные уравнения» дается понятие иррационального уравнения, приводится несколько примеров простейших иррациональных уравнений вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, которые решаются с помощью возведения обеих частей уравнения в квадрат. Найденные корни проверяются подстановкой в исходное уравнение, при этом обращено внимание на те случаи, когда могут появиться посторонние корни. Показано, что кроме возведения в квадрат иррациональные уравнения удобно решать, используя равносильный переход от уравнения к системе, состоящей из уравнения и неравенства. Рассмотрен пример иррационального уравнения, содержащего корень третьей степени. Для того чтобы «избавиться от радикала», обе части такого уравнения возводятся в куб.

После пункта приведены упражнения для закрепления умений решать иррациональные уравнения. В №№417-420 предложены простейшие уравнения вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, решить которые можно с помощью возведения обеих частей уравнения либо в квадрат, либо в куб, а также используя равносильные переходы. Такие задачи, по мнению авторов учебника необходимо уметь решать для получения удовлетворительной оценки. Задачи же в №№422-425 чуть сложнее. Здесь уравнения содержат корни выше третьей степени.

Иррациональным неравенствам в данном пункте внимания не уделено.

В заключительной главе учебника «Задачи на повторение» помещены практические упражнения для повторения курса. Здесь в параграфе «Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств» иррациональным уравнениям и неравенствам посвящен пункт «Иррациональные уравнения и неравенства». То есть, не смотря на то, что в основной части учебника иррациональным неравенствам внимания не уделено, автор включает в задания для повторения такие неравенства.


1.3. «Алгебра и начала анализа, 10-11», авт. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. [1].


В данном учебнике нет материала, посвященного иррациональным уравнениям и неравенствам. Лишь в конце ученика помещены упражнения для итогового повторения курса алгебры. Здесь есть только один номер для решения простейших иррациональных уравнений (№801). Упражнений для решения иррациональных неравенств нет.

Это можно объяснить тем, что, по мнению автора, умение решать иррациональные неравенства не является обязательным для учащихся и соответствующая тема может быть предложена для изучения самостоятельно или на факультативных занятиях. [14] Поэтому в учебнике предложены задачи для внеклассной работы, где встречаются иррациональные уравнения (№№934, 947) и неравенства (№942).


1.4. «Алгебра и начала анализа, 10-11», авт. М. И. Башмаков [2].


В данном учебном пособии иррациональные уравнения и неравенства рассматриваются в заключительной VI главе «Уравнения и неравенства». Глава предназначена для систематизации и обобщения сведений об уравнениях, неравенствах и системах уравнений. В начале главы помещена вводная беседа, которая состоит из трех пунктов.

В пункте «Уравнение» вводятся такие понятия как уравнение, неизвестные, корень уравнения, подробно рассказывается, что значит решить уравнение с одним или двумя неизвестными, что означает найти корни уравнения, приведены некоторые рекомендации о форме записи ответа при решении уравнений с одним или двумя неизвестными.

В пункте «Равносильность» выясняется, когда одно уравнение является следствием другого, вводится понятие равносильных уравнений. Автор подробно останавливается на некоторых полезных преобразованиях уравнений:

Перенос членов из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Переход к совокупности уравнений.

Переход к системе уравнений.

Все равносильные переходы представлены в виде схем и рассмотрены на примерах.

В следующем пункте «Неравенство» приведены примеры верных и неверных числовых неравенств, основные правила преобразования неравенств, при этом используются знаки следствия и равносильности. Вводятся такие понятия как ОДЗ неравенства, решение неравенства, равносильные неравенства, выясняется, когда одно неравенство является следствием другого.

§1 «Уравнения с одним неизвестным» состоит из трех пунктов: «Общие приемы», «Примеры решения уравнений» и «Приближенные методы вычисления корней». В первом пункте перечислены стандартные уравнения, которые были изучены ранее. Основным шагом в решении уравнения является преобразование уравнения к одному из стандартных. Приведены некоторые наиболее употребительные приемы, общие для всех типов уравнений:

Разложение на множители.

Введение нового неизвестного.

Графический метод.

Отметим, что во втором пункте на ряду со стандартными уравнениями рассматривается решения только одного простейшего иррационального уравнения с помощью равносильного перехода к системе.

В третьем пункте кратко рассказывается о таких методах приближенного вычисления корней как метод половинного деления, метод хорд и касательных.

§ 2 «Неравенства с одним неизвестным» состоит из двух пунктов: «Общие приемы» и «Примеры решения неравенств». В первом пункте демонстрируется два приема решения неравенств: разложение на множители и метод замены неизвестного.

Во втором пункте на примерах показана техника решения неравенств с помощью переходов, сохраняющих равносильность. Отметим, что на ряду со стандартными неравенствами рассматривается решение только одного простейшего иррационального неравенства.

В конце главы помещены задания для решения иррациональных уравнений №17, для решения иррациональных неравенств – №21, в котором есть задание со звездочкой, то есть относящееся к разделу «трудные задачи».

Иррациональным уравнениям и неравенствам в главе уделено недостаточно внимания: приведены решения с помощью переходов, сохраняющих равносильность одного простейшего иррационального уравнения и одного неравенства.

Цель данной главы – обобщить имеющиеся у учащихся знаний об уравнениях, неравенствах и системах уравнений, поэтому здесь подробно не рассматриваются конкретные виды уравнений, а лишь повторяются сведения об изученных видах уравнений и методах их решения. [14]

1.5. «Алгебра и начала анализа, 10-11», авт. А. Г. Мордкович [10], [11].


Данное учебное пособие состоит из двух частей: учебника и задачника.

В I части данного учебного пособия материал, касающийся иррациональных уравнений и неравенств, изучается в последней VIII главе «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств», завершающей изучение школьного курса алгебры и начал математического анализа. Здесь уравнения и неравенства рассматриваются с самых общих позиций. Это, с одной стороны, своеобразное подведение итогов и, с другой стороны, некоторое расширение и углубление знаний.

В первых трех параграфах этой главы подведены итоги изучения в школе уравнений, неравенств. Использованы следующие термины:

равносильность уравнений, равносильность неравенств;

следствие уравнения, следствие неравенства;

равносильное преобразование уравнения, неравенства;

посторонние корни (для уравнений);

проверка корней (для уравнений).

Сформулированы теоремы:

о равносильности уравнений;

о равносильности неравенств.

Даны ответы на четыре главных вопроса, связанных с решением уравнений:

как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием;

какие преобразования переводят данное уравнение в уравнение-следствие;

как сделать проверку, если она сопряжена со значительными трудностями в вычислениях;

в каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Перечислены возможные причины расширения области определения уравнения, одна из которых – освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней четной степени; указаны причины, по которым может произойти потеря корней при решении уравнений.

Выделены четыре общих метода решения уравнений:

замена уравнения h(f(x))=h(g(x)) уравнением f(x)=g(x);

метод разложения на множители;

метод введения новых переменных;

функционально-графический метод.

Что касается иррациональных уравнений, то им в данном учебном пособии уделено достаточно большое внимание.

На примере иррационального уравнения показано как решение любого уравнения осуществляется в три этапа: технический, анализ решения, проверка.

Также на примере иррационального уравнения показано, как сделать проверку, если проверка корней с помощью их подстановки в исходное уравнение сопряжена со значительными вычислительными трудностями.

Метод замены уравнения h(f(x))=h(g(x)) уравнением f(x)=g(x) применятся при решении иррациональных уравнений для перехода от уравнения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики к уравнению Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Метод введения новой переменной также разобран и на примере решения иррационального уравнения.

Отдельный пункт посвящен иррациональным неравенствам. Здесь с теоретическим обоснованием рассматривается решение неравенств вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. В первом случае иррациональное неравенство заменяется равносильной системой неравенств Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики во втором – равносильной совокупностью систем неравенств Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Система задач во II части данного учебного пособия изложена в той же последовательности, что и соответствующий материал в I части. В § 55 «Равносильность уравнений» изложены различные типы заданий на равносильность и следствие уравнений, в том числе и иррациональных. В § 56 «Общие методы решения уравнений» помещены задания для использования четырех методов, изложенных в I части данного учебного пособия, для решения уравнений. Все задачи в соответствии с ними разбиты на четыре блока, в каждом из которых встречаются иррациональные уравнения. В § 57 «Решение неравенств с одной переменной» изложены различные типы заданий на равносильность и следствие неравенств, в том числе и иррациональных.

В № 1673 нужно решить простейшие иррациональные уравнения. №№1674, 1675, 1712-1719 – упражнения выше среднего уровня для решения иррациональных уравнений, №№1790, 1791 – неравенств. № 1792 – упражнение повышенной трудности для решения иррациональных неравенств.

Много заданий, в которых требуется решить «смешанное» уравнение или неравенство, то есть логарифмическое, показательное или тригонометрическое уравнение или неравенство, в которое входят и иррациональные выражения. Среди этих заданий есть задания как базового, так и повышенного уровня.

В I части учебника много внимание уделено равносильности уравнений и неравенств, достаточно строго рассмотрены общие методы решения уравнений, с оговоркой о потере корней и приобретении посторонних. II часть учебника отличается обилием и разнообразием задач. Достаточно много задач на равносильность и следствие уравнений и неравенств.


1.6. «Сборник задач по алгебре, 8-9», авт. М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич [5].


Данная книга представляет собой сборник задач по курсу алгебры, предназначенный для учащихся 8-9 классов с углубленным изучением математики.

В начале параграфа «Степень с рациональным показателем» помещен справочный материал теоретического характера, посвященный иррациональным уравнениям и неравенствам. Описаны такие пути решения иррациональных уравнений, как:

возведение обеих частей уравнения в натуральную степень с последующей проверкой найденных корней;

переход к равносильным системам, в которых учитывается область определения уравнения и требование того, что бы были неотрицательными обе части уравнения, возводимые в четную степень.

При решении иррациональных неравенств либо используется метод интервалов, либо с помощью равносильных преобразований заменяется данное иррациональное неравенство системой (или совокупностью систем) рациональных неравенств.

В параграфе рассмотрено три способа решения иррационального уравнения вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики:

переход к равносильной системе;

введение новой переменной;

использование свойства монотонности функций.

Среди упражнений, помещенных в данном параграфе, есть упражнения для закрепления умений и навыков решать иррациональные уравнения и неравенства. В №№115-117 необходимо доказать, что уравнение не имеет решения, в №№118-119 – ответить на вопрос: равносильны ли уравнения. №№120-144 предлагаются для решения иррациональных уравнений, №№145-155 – для решения неравенств описанными выше способами.


1.7. «Алгебра и математический анализ, 11», авт. Н. Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд [4].


Данное учебное пособие представляет собой продолжение книги «Алгебра и начала анализа» для 10 класса и предназначено как для общеобразовательной школы, так и классов и школ с углубленным изучением курса математики.

Иррациональные уравнения и неравенства изучаются в параграфе «Степенная функция. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства» VIII главы «Показательная, логарифмическая и степенные функции».

Пункт «Иррациональные уравнения» начинается с определения иррационального уравнения и примеров таких уравнений. Далее сформулирована и доказана теорема о равносильных уравнениях, на которой основано решение иррациональных уравнений. Из теоремы следует, что если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могут появиться посторонние корни. Поэтому, чтобы не было необходимости подставлять найденные корни в данное уравнение, сформулировано еще два утверждения о равносильном переходе от уравнений вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики к системам, состоящим из уравнения и неравенства. Далее на примерах решения иррациональных уравнений демонстрируются данные равносильные переходы. Также автор рекомендует перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень «уединить радикал», то есть представить уравнение в виде Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Далее данный метод применяется для решения иррациональных уравнений

После данного пункта помещены упражнения для закрепления умений решать иррациональные уравнения описанными выше методами – №216. В №215 необходимо доказать, что данные иррациональные уравнения не имеют решений.

В следующем пункте «Иррациональные неравенства» сформулированы приемы решения иррациональных неравенств вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики с помощью равносильного перехода к системе неравенств в первом случае и совокупности систем неравенств – во втором. Рассматривается решение иррационального неравенства вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики с помощью равносильного перехода к неравенству Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Решение каждого из видов неравенств демонстрируется на примерах.

После данного пункта помещены упражнения (№217) для закрепления умения решать иррациональные неравенства с помощью равносильных переходов, описанных выше.

Все утверждения, сформулированные в данном учебном пособии, изложены со строгим обоснованием. Описан полезный метод при решении иррациональных уравнений – метод «уединения радикала». Не смотря на то, что учебник не отличается обилием упражнений, предлагаемые задания разнообразны, различной степени сложности

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

В учебнике [1] материала по методам решения иррациональных уравнений нет. В учебниках [13] и [4] материала по теории способов решения иррациональных уравнений достаточно. В большом объеме теория по общим методам решения рассмотрена учебнике [2] и [10].

В каждом учебнике рассмотрены два основных способа решения: возведение обеих частей уравнения в степень, с последующей подстановкой полученных корней в исходное уравнение, а также решение уравнений с помощью равносильных переходов к системе, состоящей из уравнения и неравенства. В учебниках [2] и [10] рассмотрены такие общие методы решения уравнений как метод разложения на множители, метод введения новых переменных, функционально-графический метод; некоторые из них продемонстрированы на примерах решения иррационального уравнения.

В учебниках [1] и [13] не рассмотрено решение иррациональных неравенств. В учебнике [2] материала по решению иррациональных неравенств не достаточно. В учебниках [4] и [10] подробно и с теоретическим обоснованием рассмотрено решение иррациональных неравенств вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики с помощью равносильного перехода к системе (или совокупности систем). Только в учебнике [4] рассматривается решение иррационального неравенства вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Наиболее большой объем упражнений для решения иррациональных уравнений и неравенств представлен в учебниках [11] и [5]. В учебнике [4] упражнений немного, но они разнообразны.

§ 2. Методика изучения иррациональных уравнений


2.1. Теоретические основы решения уравнений


2.1.1. Основные понятия, относящиеся к уравнениям

Равенство вида

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, (1)

где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – некоторые функции, называют уравнением с одним неизвестным x (с одной переменной x). Это равенство может оказаться верным при одних значениях x и неверным при других значениях x.

Число a называется корнем (или решением) уравнения (1), если обе части уравнения (1) определены при Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и равенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики является верным. Следовательно, каждый корень уравнения (1) принадлежит множеству, которое является пересечением (общей частью) областей определения функций Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и называется областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения (1).

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Если в условиях задачи не указано, на каком множестве нужно решить уравнение, то решение следует искать в ОДЗ этого уравнения.

В процессе решения часто приходится преобразовывать уравнение, заменяя его более простым (с точки зрения нахождения корней). Есть одно правило, которое не следует забывать при преобразовании уравнений: нельзя выполнять преобразования, которые могут привести к потере корней.

Назовем преобразование уравнения (1) допустимым, если при этом преобразовании не происходит потери корней, то есть получается уравнение

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, (2)

которое либо имеет те же корни, что и уравнение (1), либо, кроме всех корней уравнения (1), имеет хотя бы один корень, не являющийся корнем уравнения (1), посторонний для уравнения (1) корень. В связи с этим используют следующие понятия.

Уравнение (2) называется следствием уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

Уравнения (1) и (2) называются равносильными (эквивалентными), если каждое из этих уравнений является следствием другого. Иными словами, уравнения (1) и (2) равносильны, если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2) и наоборот, каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1). Уравнения, не имеющие корней, считаются равносильными.

Если уравнения (1) и (2) равносильны, то пишут

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или (1)Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики(2),

а если уравнение (2) является следствием уравнения (1), то пишут

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или (1)Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики(2).

Отметим, что если исходное уравнение с помощью допустимых преобразований заменено другим, причем в процессе преобразования хотя бы один раз уравнение заменялось неравносильным ему следствием, то проверка найденных корней путем подстановки в исходное уравнение является обязательной.

Если же при каждом преобразовании уравнение заменялось равносильным, то проверка не нужна (не следует путать проверку с контролем вычислений).

Рассмотрим еще одно понятие, связанное с решением уравнений. Будем говорить, что уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, (3)

если выполнены следующие условия:

каждый корень уравнения (1) является корнем, по крайней мере, одного из уравнений (3);

любой корень каждого из уравнений (3) является корнем уравнения (1).

Если указанные условия выполнены, то множество корней уравнения (1) является объединением множеств корней уравнений (3).

Если уравнение записано в виде

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, (4)

то каждое решение этого уравнения является решением, по крайней мере, одного из уравнений

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (5)

Однако нельзя утверждать, что любой корень каждого из уравнений (5) есть корень уравнения (4).

Например, если Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – корень уравнения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, но число 3 не является корнем уравнения (4), так как функция Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики не определена при Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Таким образом, в общем случае нельзя утверждать, что уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5). Чтобы решить уравнение (4), достаточно найти корни уравнений Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, а затем отбросить те, которые не входят в ОДЗ уравнения (4), то есть не принадлежат множеству, на котором определены функции Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. В ОДЗ уравнения (4) это уравнение равносильно совокупности уравнений (5). Справедливо более общее утверждение: если функция Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики определена при всех x таких, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, а функция Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики определена при всех x таких, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5). [18]


2.1.2. Наиболее важные приемы преобразования уравнений

Все преобразования уравнений можно разделить на два типа: [15]

Равносильные, то есть преобразования, после применения любых из которых получится уравнение, равносильное исходному.

Неравносильные, то есть преобразования, после применения которых может произойти потеря или приобретение посторонних корней.

Рассмотрим некоторые виды преобразований уравнений и проанализируем, к каким типам они относятся.

Перенос членов уравнения из одной части в другую, то есть переход от уравнения

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (1)

к уравнению

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. (2)

Указанное преобразование приводит к равносильному уравнению, то есть (1)Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики(2).

В частности, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Заметим, что здесь речь идет только о переносе членов уравнения из одной его части в другую без последующего приведения подобных членов (если таковые имеются). [18]

Приведение подобных членов, то есть переход от уравнения

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (3)

к уравнению

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. (4)

Справедливо следующее утверждение: для любых функций Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики уравнение (4) является следствием уравнения (3), то есть (3)Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики(4).

Переход от уравнения (3) к уравнению (4) является допустимым преобразованием, при котором потеря корней невозможна, но могут появиться посторонние корни.

Таким образом, при приведении подобных членов, а также при отбрасывании одинаковых слагаемых в левой и правой частях уравнения получается уравнение, являющееся следствием исходного уравнения. [18]

Например, если в уравнении

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

вычеркнуть в левой и правой его частях слагаемое Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то получится уравнение

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,

являющееся следствием исходного: второе уравнение имеет корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, а первое – единственный корень Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Отметим еще, что если ОДЗ уравнения (4) содержится в области определения функции Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то уравнения (3) и (4) равносильны.

Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию, то есть переход от уравнения (4) к уравнению

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. (5)

Справедливы следующие утверждения:

если ОДЗ уравнения (4), то есть пересечение областей определения функций Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, содержится в области определения функции Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то уравнение (5) является следствием уравнения (4);

если функция Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики определена и отлична от нуля в ОДЗ уравнения (4), то уравнения (4) и (5) равносильны. [18]

Заметим, что в общем случае переход от уравнения (5) к уравнению (4) недопустим, так как это может привести к потере корней.

При решении уравнений вида (5) обычно заменяют его равносильным уравнением

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,

затем находят все корни уравнений

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

и, наконец, проверяют, какие из этих корней удовлетворяют уравнению (5).

Возведение обеих частей уравнения в натуральную степень, то есть переход от уравнения

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (6)

к уравнению

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. (7)

Справедливы следующие утверждения:

при любом Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики уравнение (7) является следствием уравнения (6);

если Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (n – нечетное число), то уравнения (6) и (7) равносильны;

если Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (n – четное число), то уравнение (7) равносильно уравнению

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, (8)

а уравнение (8) равносильно совокупности уравнений

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. (9)

В частности, уравнение

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (10)

равносильно совокупности уравнений (9). [18]

Следовательно, исходя из утверждений 1 и 2, возведение обеих частей уравнения в нечетную степень и извлечение из обеих частей уравнения корня нечетной степени является равносильным преобразованием.

Исходя из утверждения 1 и 3, возведение обеих частей уравнения в четную степень и извлечение из обеих частей уравнения корня четной степени является неравносильным преобразованием, при этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

Применение формулы Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики при Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики является равносильным преобразованием, при Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – неравносильным. [15], [18]

Преобразования уравнений, рассмотренные в пунктах 3, 4 и 5 будут продемонстрированы на примерах ниже.


2.2. Методы решения иррациональных уравнений


В работе будем придерживаться следующего определения иррационального уравнения:

Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.

Прежде чем приступить к решению сложных уравнений учащиеся должны научиться решать простейшие иррациональные уравнения. К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.

Главный способ избавиться от корня и получить рациональное уравнение – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее «освобождение» от радикалов по формуле Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. [6]

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному. [6]

При возведении уравнения в четную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного. Поэтому возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней. Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в четную степень чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат.

Так как могут появиться посторонние корни, то необходимо делать проверку, подставляя найденные значения неизвестной только в первоначальное уравнение, а не в какие-то промежуточные.

Рассмотрим применение данного метода для решения иррациональных уравнений вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. [7]

Пример 1. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и получим Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, откуда следует, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Проверка. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Это неверное числовое равенство, значит, число Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики не является корнем данного уравнения.

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Это верное числовое равенство, значит, число Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики является корнем данного уравнения.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 2. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. После возведения в квадрат получаем уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, откуда следует что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Проверка. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Это верное числовое равенство, значит, число Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики является корнем данного уравнения.

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Это неверное числовое равенство, значит, число Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики не является корнем данного уравнения.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.


2.2.1. Метод сведения к эквивалентной системе уравнений и неравенств

Проверка, осуществляемая подстановкой найденного решения в исходное уравнение, может быть легко реализована, если проверяемые корни – «хорошие» числа, а для «громоздких» корней проверка может быть сопряжена со значительными вычислительными трудностями. Поэтому каждый образованный школьник должен уметь решать иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований, так как, выполняя равносильные преобразования, можно не опасаться ни потери корней, ни приобретения посторонних решений. [17]

Аккуратное возведение в четную степень уравнения вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики состоит в переходе к равносильной ему системе:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики в этой системе выражает условие, при котором уравнение можно возводить в четную степень, отсекает посторонние решения и позволяет обходиться без проверки. [17]

Школьники довольно часто добавляют к этой системе неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Однако этого делать не нужно и даже опасно, поскольку условие Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики автоматически выполняется для корней уравнения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, в правой части которого стоит неотрицательное выражение. [9]

Пример 3. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Это уравнение равносильно системе

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получим корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Полезно запомнить схему решения еще одного вида иррациональных уравнений Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Такое уравнение равносильно каждой из двух систем

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Поскольку после возведения в четную степень получаем уравнение-следствие Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Мы должны, решив его, выяснить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ исходного уравнения, то есть выполняется ли неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики). На практике из этих систем выбирают для решения ту, в которой неравенство проще. [9]

Пример 4. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Это уравнение равносильно системе

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получим корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Однако при этих значениях x не выполняется неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, и потому данное уравнение не имеет корней.

Ответ. Корней нет.


2.2.2. Метод уединения радикала

При решении иррациональных уравнений полезно перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень «уединить радикал», то есть представить уравнение в виде Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Тогда после возведения обеих частей уравнения в n-ую степень радикал справа исчезнет. [4]

Пример 5. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Решение. Метод уединения радикала приводит к уравнению Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Это уравнение равносильно системе

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Решая первое уравнение этой системы, получим корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, но условие Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики выполняется только для Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 6. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Уединив первый радикал, получаем уравнение

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,

равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Последнее уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, приходим к уравнению

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Это уравнение является следствием уравнения исходного уравнения и имеет корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Первый корень удовлетворяет исходному уравнению, а второй – не удовлетворяет.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.


2.2.3. Метод введения новой переменной.

Мощным средством решения иррациональных уравнений является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную. В ряде случаев удачно введенные новые неизвестные иногда позволяют получить решение быстрее и проще; иногда же без замены решить задачу вообще невозможно. [6], [17]

Пример 7. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Положив Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получим существенно более простое иррациональное уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Возведем обе части уравнения в квадрат: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Далее последовательно получаем:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики;

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики;

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики;

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики;

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики показывает, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – корень уравнения, а Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – посторонний корень.

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то есть квадратное уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, решив которое находим два корня: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение превращается в квадратное.

Пример 8. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Перепишем уравнение так: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Видно, что если ввести новую переменную Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то уравнение примет вид Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, откуда Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Теперь задача сводится к решению уравнения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и уравнения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Первое из этих решений не имеет, а из второго получаем Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Отметим, что «бездумное» применение в Примере 8 метода «уединения радикала» и возведение в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, решение которого представляет собой в общем случае чрезвычайно сложную задачу.

Пример 9. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Введем новую переменную

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,

откуда учитывая ограничение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получаем Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Решая уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получаем корень Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Как показывает проверка, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Иногда посредством некоторой подстановки удается привести иррациональное уравнение к рациональному виду, как рассмотренных Примерах 8, 9. В таком случае говорят, что эта подстановка рационализирует рассматриваемое иррациональное уравнение, и называют ее рационализирующей., основанный на применении рационализирующих подстановок, называется способом рационализации.

Со всеми учащимися на уроке этот способ решения иррациональных уравнений разбирать не нужно, но он может быть рассмотрен в рамках факультативных или кружковых занятий по математике с учащимися, проявляющих повышенный интерес к математике.


2.2.4. Метод сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений

Уравнения вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (здесь a, b, c, d – некоторые числа, m, n – натуральные числа) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений. [17]

Пример 16. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Введем новые переменные

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Тогда исходное уравнение принимает вид: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Полученное уравнение обладает одним существенным недостатком: в нем две неизвестных. Но заметим, что величины y и z не являются независимыми переменными – они зависят одна от другой посредством старой переменной x. Выразим x через y и z: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Теперь, можно заметить, что если первое уравнение умножить на два и затем вычесть из него второе, то переменная x исключается, и остается связь только между y и z

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

В результате получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных y и z

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Решая эту систему методом подстановки, приходим к уравнению Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, корнями которого являются числа Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Корень Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики посторонний, поскольку Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Осталось решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, откуда находим Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 17. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. [6]

Решение. Возведение обеих частей этого уравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то исходное уравнение переписывается так: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики в четвертую степень и заметим, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Итак, надо решить систему уравнений

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

она имеет два (действительных) решения: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики; Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

и систему

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

первая из них дает Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, вторая дает Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Не всегда после введения новых переменных удается исключить неизвестную x, как это было в рассмотренных Примерах 15, 16. Однако, как можно убедиться из следующего примера, переход от уравнения к системе может помочь и в таком случае. [17]

Пример 18. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Введем новые переменные

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

По стандартной схеме получим следующую систему уравнений:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

откуда следует, что

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Так как Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то y и z должны удовлетворять системе

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Возведем оба уравнения этой системы в квадрат, после чего, сложив их, получаем уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Также возведем равенства Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики в квадрат и заметим, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Получаем следующую систему уравнений:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

из которой получаем уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Заметим, что это уравнение имеет корень Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Тогда, разделив многочлен на Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получаем разложение левой части уравнения на множители

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Отсюда следует, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – единственное решение этого уравнения. После проверки записываем это решение в ответ.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

2.2.5. Умножение обеих частей уравнения на функцию.

Иногда иррациональное уравнение удается решить довольно быстро, если обе его части умножить на удачно подобранную функцию. Конечно, при умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию могут появиться посторонние решения, ими могут оказаться нули самой этой функции. Поэтому предлагаемый метод требует обязательного исследования получающихся значений. [6]

Пример 19. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Умножим обе части уравнения на одну и ту же функцию Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Выражение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики называется сопряженным для выражения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Цель такого умножения ясна: использовать тот факт, что произведение двух сопряженных выражений уже не содержит радикалов.

В результате этого умножения и очевидных преобразований приходим к уравнению

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,

которое равносильно совокупности уравнений

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Уединив первый радикал второго уравнения совокупности, возведем его в квадрат и получим

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики пусто. Следовательно, уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики решений не имеет. Значит, уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики имеет единственный корень Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Подстановка в исходное уравнение показывает, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – корень.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Впрочем, здесь можно было обойтись и без подстановки: функция Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики нигде в нуль не обращается, и поэтому умножение обеих частей уравнения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики на эту функцию не приводит к появлению посторонних решений.

Пример 20. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. [9]

Решение. Умножим обе части уравнения на функцию Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. После преобразований получим уравнение

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Оно имеет два корня: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Проверка показывает, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – посторонний корень (нетрудно видеть, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – корень функции Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики). Таким образом, уравнение имеет единственный корень Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.


2.2.6. Решение иррациональных уравнений с использованием свойств входящих в них функций

В школьном курсе математики изучаются свойства многих элементарных функций. Их иногда с успехом можно применять и при решении иррациональных уравнений. Рассмотрим несколько примеров.

Использование монотонности функции.

Если уравнение имеет вид

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики возрастает (убывает), или

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики «встречно монотонны», т.е. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики возрастает, а Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики убывает и наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня. Если удается заметить это или привести уравнение к такому виду и при этом нетрудно угадать корень, то он и будет решением данного уравнения. [9]

Пример 21. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Это уравнение можно попытаться решить возведением в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени. Попробуем угадать корень. Это сделать нетрудно: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Теперь заметим, что левая часть уравнения – возрастающая функция, а правая – убывающая. Но это значит, что больше одного корня такое уравнение иметь не может. Итак, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – единственный корень.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 22. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Традиционный метод решения уравнений такого вида хорошо известен. Впрочем, легко заметить, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – корень. Левая часть уравнения задает возрастающую функцию, правая – константу. Следовательно, данное уравнение может иметь не более одного корня. Итак, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – единственный корень.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.


Пример 23. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Опять-таки имеем стандартное иррациональное уравнение. Тем не менее, не будем спешить возводить в квадрат. Так, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, значит Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (функция Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики возрастающая), и левая часть исходного уравнения не меньше 2. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

Пример 24. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Поскольку Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и функция Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики возрастающая, то Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Следовательно, левая часть данного неравенства области определения принимает только отрицательные значения, то есть исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: Корней нет.

Пример 25. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Как и в предыдущих примерах, несложно обнаружить, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – корень. ОДЗ исходного уравнения – промежуток Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Но теперь уже, в отличие от ранее рассмотренных задач, левая часть уравнения не задает монотонную функцию. Однако снова легко заметить, что на Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики указанная функция возрастает, причем корень Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики принадлежит этому промежутку. Значит, на Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики данное уравнение имеет единственный корень. Осталось исследовать поведение функции Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики на отрезке Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Очевидно, что при Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, а Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Следовательно, на Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики исходное уравнение корней не имеет.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Использование ОДЗ

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.


Пример 26. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, одновременно удовлетворяющих условиям Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то есть ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, то есть уравнение не имеет корней.

Ответ: Корней нет.

Пример 27. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Конечно, это иррациональное уравнение можно решить путем традиционного возведения обеих частей в квадрат. Однако, найдя ОДЗ этого уравнения, приходим к выводу, что ОДЗ исходного уравнения – одноэлементное множество {2}. Подставив Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики в данное уравнение, приходим к выводу, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – корень исходного уравнения.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Использование графиков функций

При решении уравнений или неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей в одной и той же системе координат. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ еще надо обосновать.

Пример 28. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.


Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики
Решение. ОДЗ данного уравнения есть все Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики из промежутка Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Эскизы графиков функций Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики представлены на рисунке 1.

Проведем прямую Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Из рисунка следует, что график функции Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики лежит не ниже этой прямой, а график функции Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики не выше. При этом эти графики касаются прямой Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики имеем Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, а Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. При этом Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики только для Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, а Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики только для Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Это означает, что исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: Корней нет.

Пример 29. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Эскизы графиков функций Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикипредставлены на рисунке 2.


Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики
Легко проверяется, что точка Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики является точкой пересечения графиков функций Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то есть Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – решение уравнения. Проведем прямую Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Из рисунка следует, что она расположена между графиками функций Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Это наблюдение и помогает доказать, что других решений данное уравнение не имеет.

Для этого докажем, что для Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики из промежутка Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики справедливы неравенства Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, а для промежутка Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики справедливы неравенства Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Очевидно, что неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики справедливо для Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, а неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики для Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Решим неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Это неравенство равносильно неравенству Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, которое можно переписать в виде Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Решениями этого неравенства являются все Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Точно также показывается, что решениями неравенства Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики являются все Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Следовательно, требуемое утверждение доказано, и исходное уравнение имеет единственный корень Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Кроме рассмотренных типов иррациональных уравнений существуют еще и уравнения смешанного типа. К этой группе относятся иррациональные уравнения, содержащие кроме знака радикала и другие выражения (логарифмическое, показательное, тригонометрическое), а также знак модуля и параметр. Уравнения данного типа также чаще всего включаются в задания ЕГЭ и программу вступительных экзаменов в ВУЗы.

Со всеми учащимися на уроке такие уравнения разбирать не нужно, но они могут быть рассмотрены в рамках факультативных или кружковых занятий по математике с учащимися, повышенный интерес к математике. Примеры решения уравнений смешанного типа помещены в приложении А.


3. Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений


При решении иррациональных уравнений и неравенств часто приходится применять тождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, эти действия иногда столь же небезопасны, как уже рассмотренное возведение в четную степень, – могут приобретаться или теряться решения. [17]

Рассмотрим несколько ситуаций, в которых эти проблемы наступают, и научимся их распознать и предотвращать.

I. Пример 30. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. При первом же взгляде на это уравнение возникает мысль избавиться от корня с помощью «преобразования» Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Но это неверно, так как при отрицательных значениях x оказывалось бы, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Здесь необходимо применить формулу Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Уравнение теперь легко решается

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Рассмотрим «обратное» преобразование.

Пример 31. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Здесь применима формула

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Только необходимо задуматься о безопасности ее применения. Нетрудно видеть, что ее левая и правая части имеют разные области определения и что это равенство верно лишь при условии Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Поэтому исходное уравнение равносильно системе

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Решая уравнение этой системы, получим корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Второй корень не удовлетворяет совокупности неравенств системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

II. Следующее опасное преобразование при решении иррациональных уравнений, определяется формулой

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Если пользоваться этой формулой слева направо, расширяется ОДЗ и можно приобрести посторонние решения. Действительно, в левой части обе функции Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики должны быть неотрицательны; а в правой неотрицательным должно быть их произведение. [17]

Пример 32. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и произведем приведение подобных членов, перенос слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. В результате получим уравнение

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,

являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,

которое приводится к виду

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Замечание. При возведении уравнения в квадрат учащиеся нередко в уравнении типа Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики из Примера 32 производят перемножение подкоренных выражений, то есть вместо такого уравнения пишут уравнение

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Такое «склеивание» не приводит к ошибкам, поскольку такое уравнение является следствием уравнения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения. Поэтому в рассмотренном выше примере можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения, то есть уединить один радикал. Тогда в левой части уравнения останется один радикал, и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональное выражение. [3]

Рассмотрим пример, где реализуется проблема с использованием формулы Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 33. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Попробуем решить это уравнение разложением на множители

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Заметим, что при этом действии оказалось потерянным решение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, так как оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики не имеет смысла при Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Поэтому это уравнение лучше решать обычным возведением в квадрат

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Решая уравнение этой системы, получим корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Оба корня удовлетворяют неравенству системы

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Вывод. Есть два пути. Или аккуратно возводить уравнение в квадрат, или безошибочно определять, какие решения могли быть потеряны, и проверить, не случилось ли этого на самом деле.

III. Существует еще более опасное действие – сокращение на общий множитель. [17]

Пример 34. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Неверное рассуждение: Сократим обе части уравнения на Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получим

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Нет ничего более опасного и неправильного, чем это действие. Во-первых, подходящее решение исходного уравнения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики было потеряно; во-вторых, было приобретено два посторонних решения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Получается, что новое уравнение не имеет ничего общего с исходным! Приведем правильное решение.

Решение. Перенесем все члены в левую часть уравнения и разложим ее на множители

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Это уравнение равносильно системе

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

которая имеет единственное решение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

§ 3. Методика решения иррациональных неравенств


Иррациональные неравенства – довольно сложный раздел школьного курса математики, а если учесть, что на его изучение отведено крайне мало времени, то становится ясно, что учащиеся как правило это раздел не усваивают. Даже у тех учащихся, что успешно решают иррациональные уравнения, часто возникают проблемы при решении иррациональных неравенств. Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь, как правило, исключена возможность проверки, поэтому надо стараться делать все преобразования равносильными.


3.1. Теоретические основы решения иррациональных неравенств


Если в любом иррациональном уравнении заменить знак равенства на один из знаков неравенства: >, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, <, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то получим иррациональное неравенство. [19] Поэтому под иррациональным неравенством будем понимать неравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня. [16]

Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень.

Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, то есть найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.

При решении иррациональных неравенств следует запомнить правило: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству. [16]

Но если при решении уравнений в результате возведения четную степень мы могли получить посторонние корни (которые, как правило легко проверить) и не могли потерять корни, то корни неравенства при бездумном возведении в четную степень могут одновременно и теряться, и приобретаться. [8]

Например, возведя в квадрат:

верное неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, мы получим верное неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики;

верное неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, мы получим неверное неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики;

неверное неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, мы получим верное неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики;

неверное неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, мы получим неверное неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств.

Однако верно основное используемое здесь утверждение: если обе части неравенства возводят в четную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны. [16]


3.2. Методы решения иррациональных неравенств


3.2.1. Метод сведения к эквивалентной системе или совокупности рациональных неравенств

Основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств. [17]

Наиболее простые иррациональные неравенства имеют вид:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики;

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики;

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Иррациональное неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики равносильно системе неравенств

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. (1)

Первое неравенство в системе (1) является результатом возведения исходного неравенства в степень, второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, а третье неравенство системы выражает условие, при котором это неравенство можно возводить в квадрат.

Иррациональное неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики равносильно совокупности двух систем неравенств

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. (2)

Обратимся к первой системе схемы (2). Первое неравенство этой системы является результатом возведения исходного неравенства в квадрат, второе – условие, при котором это можно делать.

Вторая система схемы (2) соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, и возводить в квадрат нельзя. Но в этом и нет необходимости: левая часть исходного неравенства – арифметический корень – неотрицательна при всех x, при которых она определена. Поэтому исходное неравенство выполняется при всех x, при которых существует левая часть. Первое неравенство второй системы и есть условие существования левой части.

Иррациональное неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики равносильно системе неравенств

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. (3)

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны при всех x, при которых они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первое неравенство в системе (3) является результатом возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, понятно, что неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики выполняется при этом автоматически.

Схемы (1)–(3) – наш основной инструмент при решении иррациональных неравенств, к ним сводится решение практически любой задачи. Разберем несколько примеров. [8]

Пример 1. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Поэтому неравенство решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Пример 2. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Как и в предыдущем примере, заметим, что правая часть данного неравенства отрицательна, а левая часть исходного неравенства неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Это означает, что левая часть больше правой части при всех значениях x, удовлетворяющих условию Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 3. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. В соответствии со схемой (1) решения неравенств этого типа, запишем равносильную ему систему рациональных неравенств

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Условие Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики выполнено при всех x, и нет необходимости добавлять его к выписанной системе.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 4. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Это неравенство решается при помощи схемы (2). В данном случае Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, поэтому можно сразу записать неравенство, равносильное исходному

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 5. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Это неравенство может быть решено при помощи схемы (1). Система, равносильная исходному неравенству, имеет вид

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 6. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Данное неравенство можно решать с помощью схемы (2). Оно равносильно совокупности двух систем

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 7. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Согласно схеме (3), данное неравенство равносильно системе

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Рассмотрим решение иррациональных неравенств следующего вида

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Поскольку Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то должны выполнятся условия Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (соответственно Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики). На множестве, где эти условия выполняются, данное неравенство равносильно неравенству

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

(соответственно неравенству Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики), которое сводится к разобранным выше типам неравенств. [4]

Пример 8. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Решение исходного неравенства является общей частью решений всех неравенств системы, то есть имеет вид Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Теперь перейдем к решению более сложных задач, стараясь свести их решение к стандартным ситуациям – к простейшим неравенствам, рассмотренным выше. Приемы сведения во многом аналогичны приемам, применяемым при решении иррациональных уравнений.

Если в неравенстве встречаются два квадратных радикала, обычно приходится неравенство возводить в квадрат дважды, обеспечивая при этом необходимые для этой операции условия.

Пример 9. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Перенесем второй радикал в правую часть, чтобы обе части неравенства стали неотрицательными, и его можно было возвести в квадрат:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Мы пришли к простейшему стандартному неравенству, которое согласно схеме (1) равносильно системе:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Замечание. При получении неравенства Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики мы не выписывали допустимые значения неизвестного, так как там фигурировал Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, который существует при Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, но при этих значениях Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики существует и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 10. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Начнем с отыскания допустимых значений неизвестного:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Заметим, что для избавления от радикала достаточно возвести данное неравенство в квадрат. Но для этого необходимо, чтобы обе части его были неотрицательны, что выполняется лишь при выполнении условия Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (так как все остальные выражения, входящие в неравенство, неотрицательны). Но при этом условии можно умножить данное неравенство на положительное выражение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Итак, если Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, данное неравенство преобразуется и решается так:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики В том случае, когда Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, данное неравенство будет выполняться, так как его отрицательная левая часть станет меньше положительной правой.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Замечание. При решении последней задачи мы фактически получили такие новые схемы, легко выводимые из схем (1) и (2):

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (4)

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (5)

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Если в правой части подобного неравенства стоит не единица, а любое другое число кроме нуля, можно естественно, поделить на него обе части неравенства и, в зависимости от знака этого числа, перейти к неравенствам из схем (4) или (5).


3.2.2. Умножение обеих частей неравенства на функцию

Выражения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики называются сопряженными друг другу. Заметим, что их произведение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики уже не содержит корней из Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Поэтому в ряде задач вместо возведения в квадрат, приводящего к слишком громоздким выражениям, разумнее умножить обе части неравенства на выражение, сопряженное одной из них.

Пример 11. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Найдем ОДЗ:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Умножим обе части данного неравенства на выражение, сопряженное его левой части и, очевидно, положительное в ОДЗ:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиДальнейшее решение зависит, очевидно, от знака общего множителя левой и правой частей полученного неравенства Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиЕсли он меньше нуля, то есть Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, сократив на этот отрицательный множитель, переходим к неравенству:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,

из которого находим прямым возведением в квадрат (ведь обе части этого неравенства положительны) Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Во втором случае, если общий множитель положителен (то есть при Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики), после сокращения на него получаем неравенство

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,

из которого прямым возведением в квадрат (ведь обе части этого неравенства положительны) получаем, что оно справедливо при Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Осталось указать, что в третьем возможном случае – если общий множитель равен нулю, – неравенство не выполняется: мы получаем тогда Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, что неверно.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.


3.2.3. Метод введения новой переменной

Для решения иррациональных неравенств, так же как и для решения иррациональных уравнений, с успехом может применяться метод введения новой переменной.

Иногда удается иррациональную функцию, входящую в неравенство, заменить новой переменной таким образом, что относительно этой переменной неравенство становится рациональным. [24]

Пример 12. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Перепишем исходное уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Сделаем замену Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Тогда получим

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Таким образом, для определения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики получаем совокупность неравенств

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 13. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Введем новую переменную Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Тогда Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и для переменной t получаем рациональное неравенство

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Осталось сделать обратную замену и найти Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.


3.2.4. Решение иррациональных неравенств с использованием свойств входящих в них функций

Использование монотонности функции

Пусть на промежутке Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики задана возрастающая функция Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и требуется решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики). Если Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – корень уравнения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, причем Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то решения данного неравенства – весь промежуток Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (соответственно промежуток Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики). Единственность корня следует из монотонности Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Понятно, что если требуется решить нестрогое неравенство, то при том же рассуждении в ответ войдет и число Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, а если функция задана на замкнутом или полуоткрытом промежутке, то в ответ войдут соответствующие концы промежутка. [26]

Пример 14. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Заметим, что левая часть данного неравенства – возрастающая функция (обозначим ее через Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики). При Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики левая часть равна правой. Учтем ОДЗ исходного неравенства Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и рассмотрим его на промежутке Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Имеем Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то есть данное неравенство выполняется. При Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики по той же причине (из-за возрастания функции Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики) Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то есть данное неравенство не выполняется. Так как исследование проведено при всех допустимых значениях Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, решение закончено.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Использование ОДЗ

Пример 15. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. ОДЗ этого неравенства есть все Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, удовлетворяющие условию Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Ясно, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики не является решением данного неравенства. Для Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики из промежутка Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики имеем Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, а Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Следовательно, все Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики из промежутка Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики являются решениями данного неравенства.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 16. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. ОДЗ этого неравенства есть все Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики из промежутка Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Разобьем это множество на два промежутка Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Для Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики из промежутка Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики имеем Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Следовательно, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики на этом промежутке, и поэтому исходное неравенство не имеет решений на этом промежутке.

Пусть Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики принадлежит промежутку Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, тогда Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Следовательно, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики для таких Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, и, значит, на этом промежутке исходное неравенство также не имеет решений.

Ответ: Корней нет.

Использование графиков функций

Пример 17. Решить неравенство Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.


Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики
Решение. ОДЗ этого неравенства есть все Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики из промежутка Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Эскизы графиков функций Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики представлены на рисунке 3. Из рисунка следует, что для все Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики из ОДЗ данное неравенство справедливо.

Докажем это. Для каждого Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики из промежутка Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики имеем Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, а для каждого такого Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики имеем Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Значит, для каждого Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики имеем Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Следовательно, решениями исходного неравенства будут все Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики из промежутка Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики


§ 4. Опытное преподавание


Опытное преподавание применяется для объективной и достоверной проверки гипотезы и предполагает одновременное использование целого ряда методов, например, наблюдение, диагностирующие контрольные работы, беседа и другие.

Одной из задач опытного преподавания являлась проверка эффективности разработанного факультативного курса по изучению иррациональных уравнений, как предусмотренных школьной программой, так и не встречающихся в школьном курсе математики. Курс рассчитан на систематизацию методов решения иррациональных уравнений. Необходимо рассмотреть основные виды иррациональных уравнений наиболее часто встречаемых на выпускных и вступительных экзаменах.

Цели факультативных занятий:

Познакомить учащихся с некоторыми методами решения иррациональных уравнений.

Показать применение различных методов при решении уравнений одного вида.

Формировать умение видеть рациональный метод для решения конкретных видов уравнений.

Формировать логическое мышление.

Формировать настойчивость, целеустремленность, трудолюбие через решение сложных задач.

Развивать математическую речь с присущей ей краткостью, точностью и лаконичностью.

Подготовить учащихся к поступлению в ВУЗы.

Знания и умения, которыми должны владеть учащиеся перед изучением факультативного курса по теме «Иррациональные уравнения и методы их решения»:

Владеть основными понятиями, относящимися к уравнениям и неравенствам: корень уравнения, ОДЗ уравнения, знать, что значит решить уравнение.

Владеть определениями понятий арифметического квадратного корня и арифметического корня Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики-ой степени.

Знать свойства арифметического квадратного корня и свойства арифметического корня Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики-ой степени.

Уметь решать простейшие иррациональные уравнения.

Уметь решать простейшие тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения.

Уметь решать линейные и квадратные уравнения.

Кроме того, учащиеся должны иметь представление об общих методах решения уравнений: метод замены, метод разложения на множители, функционально-графический метод.

Цель курса: исследование возможности изучения дополнительно к учебному плану некоторых типов иррациональных уравнений, углубления уже имеющихся знаний по решению иррациональных уравнений.

Этапы курса:

Разработка программы факультативных занятий «Иррациональные уравнения и методы их решения» для учащихся 11 класса.

Проведение диагностирующей контрольной работы №1.

Проведение разработанной программы факультативных занятий.

Проведение диагностирующей контрольной работы №2.

Анализ полученных результатов опытной работы.

Этап №1

Разработка программы факультативных занятий «Иррациональные уравнения и методы их решения» для учащихся 11 класса.

Факультативные занятия были разработаны на основе анализа математической, методической и учебной литературы.

Этап №2

Проведение диагностирующей контрольной работы №1.

Контрольная работа была проведена перед проведением факультативных занятий с учениками 11а класса школы №37 города Кирова. Ее основная задача: определить уровень подготовки, знаний и умений по теме «Иррациональные уравнения».

Учащимся было предложено 8 заданий, которые было необходимо выполнить в течение 1 часа. В классе 25 человек. Содержание диагностирующей контрольной работы №1 представлено в приложении Б.

Задания 1-3 –с выбором ответа, задания 4-7 – с кратким ответом, задание 8 – с развернутым ответом.

Результаты диагностирующей контрольной работы №1 отображены в таблице №1:


№ задания

1

2

3

4

5

6

7

8

Кол-во человек, решивших задание 18 17 18 10 7 6 3 0
Доля человек, решивших задание в процентах 72% 68% 72% 40% 28% 24% 12% 0%

Этап №3

Проведение разработанной программы факультативных занятий.

Разработанные задания проводились 2 раза в неделю. Всего было проведено 6 занятий по 2 часа.

Основные задачи проведения факультативных занятий:

проверить правильность отбора содержания и системы упражнений;

выявить тот материал, который вызывает у учащихся наибольшие затруднения;

определить эффективность усвоения материала посредством текущей проверки;

выявить заинтересованность учащихся в изучении данной темы.

Этап №4

Проведение диагностирующей контрольной работы №2.

Контрольная работа была проведена после проведения факультативных занятий разработанной программы. Задача: выявление знаний и умений решать иррациональные уравнения.

Учащимся было предложено 8 заданий, которые было необходимо выполнить в течении 1 часа. Содержание диагностирующей контрольной работы №1 представлено в приложении Б.

Тематика заданий та же, что и в контрольной работе №1.


Результаты диагностирующей контрольной работы №2 отображены в таблице №2:


№ задания

1

2

3

4

5

6

7

8

Кол-во человек, решивших задание 24 23 24 17 11 10 5 3
Доля человек, решивших задание в процентах 96% 92% 96% 68% 44% 40% 20% 12%

Этап №5

Анализ полученных результатов опытной работы.

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики
На основании таблиц №1 и №2 можно построить диаграмму, отображающую сравнение результатов контрольных работ, проведенных перед посещением учащимися факультативных занятий и после их посещения.

Как видно из диаграммы, перед проведением факультативных занятий уровень знаний учащихся был средним, а после проведения занятий он повысился. Положительная тенденция заметна: учащиеся научились решать простейшие иррациональные уравнения и справились с заданиями 1-3, значительно лучше стало умение решать более сложные уравнения. Так как 8-ое задание относится к высокому уровню сложности, с ним справилось лишь 3 человека. Учащиеся лучше стали владеть методом введения новых переменных при решении иррациональных уравнений. Трудным показался материал, связанный с рационализирующими подстановками при решении иррациональных уравнений.


Программа факультативных занятий на тему «Иррациональные уравнения и методы их решения»

Ниже предлагается программа факультативных занятий на тему «Иррациональные уравнения и методы их решения». Курс лучше изучать в 11 классе, так как уравнения такого вида содержатся в заданиях ЕГЭ и на вступительных экзаменах в ВУЗы. Программа рассчитана на 16 часов. Занятия проводятся по 2 часа.

Занятие №1

Тема: Равносильные и неравносильные преобразования уравнений.

Цели:

Познакомить учащихся с понятием равносильных уравнений.

Показать, когда одно уравнение является следствием другого.

Сформулировать теоремы о равносильности уравнений.

Познакомить учащихся с равносильными и неравносильными преобразованиями уравнений.

Краткое содержание: Определение равносильности уравнений, следствия уравнений, понятие постороннего корня уравнения, перечисление и демонстрация на примерах равносильных и неравносильных преобразований уравнений.

Литература для учителя:

Литература для ученика:

Занятие №2, №3

Тема: Решение простейших иррациональных уравнений

Цели:

Отработать у учащихся умение решать простейшие иррациональные уравнения вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Закрепить изученный ранее материал.

Подготовить учащихся к изучению нового материала.

Краткое содержание: Определение иррационального уравнения, решение простейших иррациональных уравнений вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой полученных корней, а также методом сведения к равносильной системе уравнений и неравенств. Метод уединения радикала.

Литература для учителя:

Литература для ученика:

Занятие №4

Тема: Решение иррациональных уравнений методом замены.

Цель: Научить учащихся решать иррациональные уравнения методом замены.

Краткое содержание: Применение метода замены в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение. Решение иррациональных уравнений методом сведения к эквивалентным системам рациональных уравнений при помощи введения двух вспомогательных неизвестных.

Литература для учителя:

Литература для ученика:

Занятие №5

Тема: Применение рационализирующих подстановок при решении иррациональных уравнений.

Цель: Научить учащихся решать иррациональные уравнения при помощи рационализирующих подстановок.

Краткое содержание: Рассмотрение рационализации некоторых выражений, содержащих радикалы, с помощью рационализирующих подстановок и применение этих подстановок при решении иррациональных уравнений.

Литература для учителя:

Литература для ученика:

Занятие №6

Тема: Решение иррациональных уравнений функционально-графическим методом.

Цель: Научить учащихся решать иррациональные уравнения и неравенства, используя свойства входящих в них функций.

Краткое содержание: Использование ОДЗ, монотонности, графиков функций при решении иррациональных уравнений.

Литература для учителя:

Литература для ученика:

Занятие №7

Тема: Обобщение и систематизация методов решения иррациональных уравнений.

Цель:

Показать учащимся, что иррациональные уравнения можно решать не одним методом.

Систематизировать методы решения иррациональных уравнений.

Научить выбирать наиболее рациональный способ решения.

Краткое содержание: Рассмотрение различных методов решения на примере одного иррационального уравнения вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Литература для учителя:

Литература для ученика:

Занятие №8

Тема: Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля или параметр. Решение уравнений смешанного типа.

Цель: Показать учащимся как решаются уравнения смешанного типа и уравнения, содержащие знак модуля и параметр.

Краткое содержание: Решение иррациональных уравнений с параметром и модулем, а также иррациональные уравнения, содержащие логарифмические, показательные или тригонометрические выражения.

Литература для учителя:

Литература для ученика:

Заключение


В данной работе сделана попытка разработать методику обучения решению иррациональных уравнений и неравенств в школе.

При проведении исследования были решены следующие задачи:

Проанализированы действующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявления представленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

в средней школе недостаточное внимание уделяется методам решения различных иррациональных уравнений, в основном программой предусмотрено формирование у учащихся решать простейшие иррациональные уравнения и неравенства;

в учебнике [1] материала, посвященного методам решения иррациональных уравнений нет. В остальных учебниках рассмотрены два основных способа решения: возведение обеих частей уравнения в степень, с последующей подстановкой полученных корней в исходное уравнение, а также решение уравнений с помощью равносильных преобразований;

очень мало материала по методам решения иррациональных неравенств;

среди предлагаемых заданий в учебниках много однотипных;

Изучена учебно-методическая литература по данной теме;

Рассмотрены основные методы и приемы решения различных иррациональных уравнений и неравенств;

Рассмотрены ситуации, связанные с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения, показано, как распознавать и предотвращать их;

Подобраны примеры решения иррациональных уравнений и неравенств для демонстрации излагаемого теоретического материала;

Разработана

Список библиографии


Алимов Ш. А. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / Ш. А. Алимов – М.: Просвещение, 1993. – 254 с.

Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / М. И. Башмаков – М.: Просвещение, 1992. – 351 с.

Болтянский В. Г. Математика: лекции, задачи, решения [Текст] / В. Г. Болтянский – Литва: Альфа, 1996. – 637 с.

Виленкин Н. Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса [Текст]: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин – М.: Просвещение, 1998. – 288 с.

Галицкий М. Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов [Текст]: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики М. Л. Галицкий – М.: Просвещение, 1999. – 271с.

Григорьев А. М. Иррациональные уравнения [Текст] / А. М. Григорьев // Квант. – 1972. – №1. – С. 46-49.

Денищева Л. О. Готовимся к единому государственному экзамену. Математика. [Текст] / Л. О. Денищева – М.: Дрофа, 2004. – 120 с.

Егоров А. Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. – 2002. – №15. – С. 13-14.

Егоров А. Иррациональные уравнения [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября – 2002. – №5. – С. 9-13.

Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.

Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.

Мордкович А. Г. Кто-то теряет, кто-то находит [Текст] / А. Г. Мордкович // Квант – 1970. – №5. – С. 48-51.

Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа [Текст]: учебник для 10-11 класса средней школы / А. Н. Колмогоров – М.: Просвещение, 1991. – 320 с.

Кузнецова Г. М. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 классы [Текст] / Г. М. Кузнецова – М.: Дрофа, 2004 – 320 с.

Потапов М. Как решать уравнения без ОДЗ [Текст] / М. Потапов // Математика. Первое сентября – 2003. – №21. – С. 42-43.

Соболь Б. В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике [Текст] / Б. В. Соболь – Ростов на Дону: Феникс, 2003. – 352 с.

Черкасов О. Ю. Математика [Текст]: справочник для старшеклассников и поступающих в вузы / О. Ю. Черкасов – М.: АСТ-ПРЕСС, 2001. – 576 с.

Шабунин М. Лекции для абитуриентов. Лекция 1. [Текст] / М. Шабунин // Математика. Первое сентября – 1996. – №24. – С. 24.

Шувалова Э. З. Повторим математику [Текст]: учебное пособие для поступающих в вузы / Э. З. Шувалова – М.: Высшая школа, 1974. – 519 с.

Моденов В. П. Решение иррациональных уравнений [Текст] / В. П. Моденов // Математика в школе – 1970. – №6. – С. 32-35.

Горнштейн П. И. Экзамен по математике и его подводные рифы [Текст] / П. И. Горнштейн – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998, – 236 с.

http://www.courier.com.ru

http://www.5ballov.ru.

Шарова Л. И. Уравнения и неравенства [Текст]: пособие для подготовительных отделений / Л. И. Шарова – Киев: Вища школа, 1981. – 280 с.

Олейних…

Егоров А. Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. – 2002. – №17. – С. 13-14.

Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.

Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2003. – 239 с.


Приложение А


Решение иррациональных уравнений смешанного типа

Для каждого вида уравнений и неравенств, в том числе и иррациональных, можно составить уравнение или неравенство «с модулем» и «с параметром».

Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля

Простейшие уравнения с модулем имеют вид: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики; будем их решать на основании определения модуля сведением к совокупности систем.

Пример 1. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Будем решать каждую из систем по отдельности.

Решение первой системы:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Последняя система не имеет корней, так как дискриминант уравнения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики меньше нуля.

Решение второй системы:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 2. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Решение. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Будем решать каждую из систем по отдельности.

Решение первой системы:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики пусто. Следовательно, первая система совокупности корней не имеет.

Решение второй системы:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Иррациональные уравнения, содержащие параметр

Уравнение вида Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики называется иррациональным с параметром относительно неизвестного Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, если одна или обе его части содержат выражения, иррациональные относительно Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Как и раньше, будем находить только действительные корни.

Трудно указать какой-нибудь общий и вместе с тем достаточно простой способ решения иррациональных уравнений, содержащих параметр.

Проиллюстрируем некоторые способы решения на примерах.

Пример 3. Для каждого действительного значения параметра Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики решить уравнение

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Исходное уравнение равносильно смешанной системе

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

При Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики эта система решений не имеет.

При Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики получим решение

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Теперь необходимо найти те значения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, при которых эта система имеет решение:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Ответ: при Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – корней нет;

при Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Для решения иррационального уравнения иногда удобно ввести вспомогательную неизвестную величину. При этом получаем квадратное уравнение с параметром, которое нужно решить в пределах некоторого ограниченного множества значений нового неизвестного.

Пример 4. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Область определения данного уравнения:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Так как Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Сделаем замену Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, тогда Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и исходное уравнение можно записать в виде системы

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

которая равносильна системе

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Корни уравнения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики должны удовлетворять первому условию последней системы, то есть необходимо решить систему

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Итак, при Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики исходное уравнение имеет единственный корень Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Отсюда при Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики имеем

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Ответ: при Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики;

при Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – корней нет.

Иррациональные показательные уравнения

Пример 5. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Перепишем уравнение так:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,

Приведем все степени к одному основанию 7:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Сделаем замену Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, тогда получаем уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, корнями которого являются Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Сделаем обратную замену:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – уравнение не имеет решений.

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 6. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Приведем все степени к одному основанию:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

откуда получаем уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики которое равносильно уравнению:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Иррациональные логарифмические уравнения

Пример 7. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Преобразуем данное уравнение:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Пример 8. Решить уравнение

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Решение. Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Уравнение этой системы равносильно совокупности уравнений:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Последнее уравнение этой совокупности равносильно уравнению:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Из неравенства системы Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики следует, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Следовательно, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – посторонний корень.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики


Сколько корней имеет уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики?


Сколько корней имеет уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики?

Приложение Б


Диагностирующая контрольная работа №1

Сколько корней имеет уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики?

А. ни одного Б. один В. два Г. четыре

Решите уравнениеМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, укажите корень уравнения (или сумма корней, если их несколько).

А. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Б. 1 В. 2 Г. корней нет

Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (или сумма корней, если их несколько).

А. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Б. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

В. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Г. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Решите уравнениеМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, укажите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько).

Решите уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, укажите корень уравнения.

Решите уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, укажите корень уравнения (если корень не единственный, то наибольший)

Решите уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, укажите корень уравнения.

Решите уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Диагностирующая контрольная работа №2

Сколько корней имеет уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики?

А. четыре Б. два В. один Г. ни одного

Решите уравнениеМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, укажите корень уравнения (или сумма корней, если их несколько).

А. 4 Б. 1

В. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Г. корней нет

Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (или сумма корней, если их несколько).

А. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Б. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

В. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Г. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Решите уравнениеМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, укажите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько).

Решите уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, укажите корень уравнения.

Решите уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, укажите корень уравнения (если корень не единственный, то наибольший).

Решите уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, укажите корень уравнения.

Решите уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответы и решение заданий диагностирующей контрольной работы №1

А.

А.

Б.

Уединив первый радикал, получаем уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, равносильное исходному. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнениеМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Последнее уравнение равносильно системе Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получим корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Первый корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Введем новую переменную Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, тогда Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, причем Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, откуда учитывая ограничение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получаем Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Решая уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получаем корень Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Как показывает проверка, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Введем новую переменную Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Решая первое уравнение этой системы, получим корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Второй корень не удовлетворяет неравенству системы. Решая уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получаем корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. В ответе нужно указать наибольший из корней. Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Будем решать каждую из систем по отдельности. Решение первой системы: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики пусто. Следовательно, первая система совокупности корней не имеет. Решение второй системы: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получим корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Введем новые переменные Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Тогда исходное уравнение принимает вид: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики в третью степень и заметим, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Итак, надо решить систему уравнений Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики она имеет два (действительных) решения: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики; Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и систему Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики первая из них дает Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, вторая дает Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.


Ответы и решение заданий диагностирующей контрольной работы №2

Б.

В.

Г.

Уединив первый радикал, получаем уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, равносильное исходному. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнениеМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Последнее уравнение равносильно системе Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получим корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Оба корня удовлетворяют неравенству системы и, следовательно, являются корнями исходного уравнения. В ответе нужно указать произведение корней. Ответ: 48.

Введем новую переменную Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, тогда Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, причем Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, откуда учитывая ограничение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получаем Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Решая уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получаем корень Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Как показывает проверка, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Введем новую переменную Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получим корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Первый корень не удовлетворяет неравенству системы. Решая уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получаем корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. В ответе нужно указать наибольший из корней. Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Будем решать каждую из систем по отдельности. Решение первой системы: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получим корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Решение второй системы: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получим корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Оба корня не удовлетворяют неравенству системы и, следовательно, являются посторонними корнями исходного уравнения. Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Введем новые переменные Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Тогда исходное уравнение принимает вид: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики в четвертую степень и заметим, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Итак, надо решить систему уравнений Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики она имеет два (действительных) решения: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики; Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и систему Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики первая из них дает Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, вторая дает Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Как показывает проверка, оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Приложение В


Разработка факультативного занятия на тему «Способ рационализации при решении иррациональных уравнений»

Ход занятия

Иногда посредством некоторой подстановки удается привести иррациональное уравнение к рациональному виду. В таком случае говорят, что эта подстановка рационализирует рассматриваемое иррациональное уравнение, и называют ее рационализирующей.

Способ решения иррациональных уравнений, основанный на применении рационализирующих подстановок, назовем способом рационализации.

Применяя рационализирующую подстановку, необходимо следить за тем, чтобы область определения нового рационального уравнения, получаемого в результате этой подстановки, соответствовала области определения данного иррационального уравнения. Только при этом условии рационализирующая подстановка приведет рассматриваемое иррациональное уравнение к рациональному уравнению, которое всюду в области его определения эквивалентно данному.

Рассмотрим рационализацию некоторых выражений, содержащих радикалы, с помощью рационализирующих подстановок и применение этих подстановок при решении иррациональных уравнений.

Рационализация выражения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Выражение вида

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, (1)

где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики обозначает рациональную функцию, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – постоянные, а Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – любое целое положительное число, рационализируется подстановкой

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. (2)

Действительно, возводя обе части равенства (2) в Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики-ую степень, получим Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, откуда Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, причем функция Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики рациональна. Следовательно,

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Поскольку рациональная функция от рациональной функции представляет собой также рациональную функцию, то выражение, стоящее в правой части последнего равенства, является рациональным.

Пример 1. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. ОДЗ рассматриваемого уравнения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Рационализирующей подстановкой Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики это уравнение приводится к эквивалентной ему смешанной системе

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

или (сокращая дробь на Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики) системе

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Решением последней будет Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Воспользовавшись подстановкой, получим Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Рациональность дробно-линейных иррациональностей

Аналогично предыдущему доказывается, что функция вида

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, (3)

где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – некоторые постоянные, а Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – любое целое положительное число (дробно-линейная иррациональность), может быть при условии Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики приведена к рациональному виду подстановкой

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (4)

Иррациональная функция

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (5)

рационализируется при помощи подстановки

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (6)

где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – наименьшее общее кратное показателей радикалов Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, …

Пример 2. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Будем искать корни данного уравнения в области Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (очевидно, что числа Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики не являются его корнями). Разделим обе части уравнения на Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Полученное уравнение в рассматриваемой области с помощью рационализирующей подстановки

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

сводится к смешанной системе

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

эквивалентной ему в этой области. Определив решения этой системы Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и воспользовавшись подстановкой, находим корни исходного уравнения.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Рационализация биноминальных выражений

Можно доказать, что выражение

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, (7)

где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – постоянные, а показатели степеней Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – некоторые рациональные числа, допускает рационализирующие подстановки только в трех случаях, когда оказывается целым одно из чисел Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

В этих случаях возможны следующие подстановки:

Если Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – целое, то Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – наименьшее общее кратное знаменателей чисел Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Если Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – целое, то Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – знаменатель числа Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Если Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – целое, то Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – знаменатель числа Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Существование указанных трех рационализирующих подстановок доказывает возможность приведения к рациональному виду уравнений Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики в первом случае и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики во втором и третьем случаях.

Пример 3. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. Так как Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – не является корнем уравнения, разделим обе его части на Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Выделяется биномиальное выражение:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Имеет место третий случай рационализации (Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – целое число). Следовательно, будем применять подстановку Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, так что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Теперь с помощью подстановки Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и найденного значения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики получаем

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

и исходное иррациональное уравнение приводится к рациональному Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Определив корни этого уравнения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и воспользовавшись подстановкой, находим Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Рационализация квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера

Квадратичной иррациональностью назовем функцию вида

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, (9)

где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – некоторые постоянные. Покажем, что это выражение всегда рационализируется одной из так называемых подстановок Эйлера. При этом мы, конечно, будем считать, что квадратный трёхчлен Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики неотрицателен и не имеет равных корней (в противном случае корень можно заменить рациональным выражением).

Сначала рассмотрим случай, когда дискриминант Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. В этом случае знак квадратного трёхчлена Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики совпадает со знаком Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, и поскольку этот трёхчлен положителен (в силу условия Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики равенство трёхчлена нулю невозможно), то Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Таким образом, мы можем сделать следующую подстановку:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

(или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики) (10)

Подстановку (10) иногда называют первой подстановкой Эйлера. Докажем, что эта подстановка рационализирует функцию (9) в рассматриваемом случае. Возводя в квадрат обе части равенства

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

(заметим, что Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики), получим Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, так что

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

где функции Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикирациональные. Таким образом,

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

В правой части полученного равенства стоит рациональная функция.

Рассмотрим теперь случай, когда дискриминант Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то есть квадратный трехчлен Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики имеет (различные) действительные корни Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Следовательно,

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Аналогично предыдущему доказывается, что в этом случае функция (9) рационализируется посредством подстановки:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, (11)

называемой часто второй подстановкой Эйлера.

Замечание 1. Рационализирующая подстановка (11) справедлива при условии Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Следовательно, применяя эту подстановку при решении иррационального уравнения, необходимо проверить, не является ли значение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики корнем данного уравнения (иначе возможна потеря этого корня).

Замечание 2. Если Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то в этом случае можно положить

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

(или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики) (12)

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 4. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. В данном уравнении дискриминант квадратного трехчлена положителен, корни его Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Найдем другие корни подстановкой

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Применяя эту подстановку, необходимо проверить, не является ли значение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики корнем данного уравнения. Итак, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики – корень данного уравнения.

Возводя в квадрат обе части равенства Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, получим Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, откуда Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Теперь подставим это значение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики в исходное уравнение и последовательно получаем:

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиМетодика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

и исходное уравнение сводится к уравнению Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Это уравнение имеет единственный действительный корень Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, тогда Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Итак, исходное уравнение имеет два корня: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответ: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Рационализация с помощью тригонометрических подстановок

Иногда подходящей заменой неизвестной иррациональное уравнение можно свести к тригонометрическому уравнению. При этом полезными могут оказаться следующие замены переменной. [17]

Если в уравнение входит радикал Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то можно сделать замену Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Если в уравнение входит радикал Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то можно сделать замену Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиtg t, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики ctg t, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Если в уравнение входит радикал Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, то можно сделать замену Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Проиллюстрируем использование этих замен на следующих примерах.

Пример 5. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. В данное уравнение входит выражение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, поэтому в соответствии с пунктом 2, сделаем замену

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математикиtg t, где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Тогда выражение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, входящее в уравнение, можно преобразовать

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

и исходное уравнение можно записать в виде

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Поскольку Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики не равен нулю при рассматриваемых значениях t, то полученное уравнение равносильно уравнению

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решая это уравнение, находим два возможных значения

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Из всех корней этих уравнений промежутку Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики принадлежит единственное значение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Поэтому соответствующее значение x равно

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Пример 6. Решить уравнение Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решение. В этом уравнении x по ОДЗ может принимать только значения из отрезка Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, что приводит к мысли совершить замену

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, где Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

В результате такой замены приходим к уравнению

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Учтем, что

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики и Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,

получим уравнение

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

В силу ограничения Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики выполнено Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, поэтому приходим к уравнению

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики,

которое, пользуясь формулой приведения, сведем к стандартному виду

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Решая последнее уравнение, находим

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики или Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Условию Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики удовлетворяют лишь три значения

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Поэтому

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Ответ. Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики, Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

В заключение нужно отметить, что способ рационализации успешно может быть применён также для рационализации иррациональных неравенств, для вычисления и преобразования иррациональных выражений и так далее.

Похожие работы:

  1. • Методика решения иррациональных уравнений и ...
  2. • Решение уравнений и неравенств с использованием ...
  3. • Показательно-степенные уравнения и неравенства
  4. • Методика изучения неравенств
  5. • Иррациональные уравнения и неравенства
  6. •  ... уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал ...
  7. • Элективный курс по алгебре для 9-го класса на тему ...
  8. • Нестандартные методы решения уравнений и неравенств
  9. • Самостоятельная работа как средство обучения решению ...
  10. • Методика изучения функций в школьном курсе математики
  11. • Уравнения и неравенства с модулем на ...
  12. • Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 ...
  13. • Иррациональные уравнения и неравенства
  14. • Иррациональные уравнения
  15. • Методика обучения решению сюжетных задач в курсе ...
  16. • Комплекс упражнений, направленных на формирование ...
  17. • Методика преподавание темы Обыкновенные дроби в школьном ...
  18. • Применение тригонометрической подстановки для ...
  19. • Применение алгоритмического метода при изучении ...
Рефетека ру refoteka@gmail.com