ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Институт транспортной техники и организации производства

(ИТТОП)

Кафедра: «Локомотивы и локомотивное хозяйство»

Курсовой проект

на тему:

«Статистические методы обработки выборочных данных наблюдений или экспериментов»

Выполнил: студент Краснов М.А.

группы ТЛТ-451

Принял: Пузанков А.Д.

Москва 2009

СОДЕРЖАНИЕ

ПЕРВИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ АНАЛИЗИРУЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ И РАСЧЕТ ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИК

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И РАСЧЕТ ЕГО ПАРАМЕТРОВ ПРИ ПОМОЩИ МЕТОДА МОМЕНТОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Первичный анализ экспериментальных данных

Запишем полученные значения в вариационный ряд в возрастающем порядке:

Таблица 1.

16,4	21,6	35,46	38,76	39,84	40,65	44,25	46,73	47,62	50,25
50,25	51,02	51,8	55,22	55,25	55,55	61,73	63,3	64,93	67,56
68,5	68,5	71,94	73	73,53	73,53	74,07	77,52	78,12	78,74
78,74	80,64	85,47	86,2	87,72	90,1	92,6	94,34	95,24	96,15
99,01	99,01	106,4	108,6	116,28	133,3	135,13	137	144,93	149,25
153,84	161,3	166,7	172,4	172,4	175,44	178,6	178,6	185,18	192,3
208,33	212,76	227,27	232,56	238,1	243,9	256,41	277,8	277,8	285,7
285,71	285,71	322,6	322,6	344,83	370,4	370,4	370,4	384,6	420,6
526,3	555,55	588,23	943,4

xmax = 943,4; xmin = 16,4

Результат последних двух измерений вызывает сомнения. Поэтому выполняем проверку:

Величину выборочного среднего находим из соотношения:

(1)

Корень квадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком, называется среднеквадратическим отклонением и рассчитывается по формуле:

(2)

Упрощённая проверка сомнительного результата на брак выполняется из условия:

Таким образом, по упрощенной проверке результат сомнительного измерения браком являются последнее одно значение, отбрасываем их и пересчитываем и :

Проверяем по упрощённой проверки:

Таким образом, по упрощенной проверке результат сомнительного измерения браком являются последние два значения, отбрасываем их и пересчитываем и :

Таким образом, по упрощенной проверке результат сомнительного измерения браком являются последнее одно значение, отбрасываем их и пересчитываем и :

Таким образом, по упрощенной проверке результат сомнительного измерения не является браком.

Так же выполним подобную проверку с помощью критерия Ирвина:

Таким образом, по расчётам обеих проверок результат последнего сомнительного измерения не является браком.

Из этого следует, что нужно произвести повторный расчёт, но уже без данного измерения:

2. Построение эмпирической плотности распределения случайной анализируемой величины и расчёт её характеристик

Определяем размах имеющихся данных, т.е. разности между наибольшим и наименьшим выборочным значениями (R = Xmax – Xmin):

Выбор числа интервалов группировки k при числе наблюдений n<100 – ориентировочное значение интервалов можно рассчитать с использованием формулы Хайнхольда и Гаеде:

Тогда ширина интервала:

Результат подсчёта частот и характеристик эмпирического распределения

Таблица 2.

Границы интервала группировки	Ср.знач. интерв.	Распределение данных	fi	U	U*f	U^2*f
16,4…61,31	38,86	////////////////	16	-1	-16	16
61,31…106,22	83,77	//////////////////////////	26	0	0	0
106,22…151,13	128,68	////////	8	1	8	8
151,13…196,04	173,59	//////////	10	2	20	40
196,04…240,96	218,50	/////	5	3	15	45
240,96…285,87	263,41	/////	5	4	20	80
285,87…330,78	308,32	////	4	5	20	100
330,78…375,69	353,23	////	4	6	24	144
375,69…420,60	398,14	//	2	7	14	98
ИТОГО			80		105	531

Принимаем «ложный нуль» x0=83,77 и обозначаем нулем тот интервал, которому соответствует максимальная частота (f=26). Далее, для интервалов, следующих к наименьшему наблюдаемому значению вписываем -1, -2 … и 1, 2, … для интервалов, следующих к наибольшему значению наблюдаемой величины.

Выборочное среднее х и среднеквадратическое отклонение Sx рассчитываем, используя следующие выражения:

(3)

Для построения гистограммы, приведённой на рис.1, по оси абсцисс в выбранном масштабе отмечаем границы интервалов. Левая ось размечается масштабом частот, а на правую, в случае необходимости, можно нанести шкалу относительных частот. На чистом поле гистограммы указываются значения: числа данных; среднего арифметического; среднеквадратического отклонения.

Рис.1

Помимо гистограммы эмпирические данные измерений случайной величины могут быть представлены в виде кумулятивной кривой функции распределения вероятностей. Для этого данные, представленные в табл.1., должны быть дополнены частостями (см. табл.2.).

Частость находим из соотношения:

Таблица частот f и частостей ω.

Таблица 3.

Границы интервала группировки	Частота,fi	Частость, ω i	Накопленная частость, ω н
16,4…61,31	16	0,20	0,20
61,31…106,22	26	0,33	0,53
106,22…151,13	8	0,10	0,63
151,13…196,04	10	0,13	0,75
196,04…240,96	5	0,06	0,81
240,96…285,87	5	0,06	0,88
285,87…330,78	4	0,05	0,93
330,78…375,69	4	0,05	0,98
375,69…420,60	2	0,03	1,00
ИТОГО	80	1

Рис. 2

3. Определение вида закона распределения случайной величины и расчёт его параметров при помощи метода моментов

Экспоненциальный (нормальный) закон распределения

Параметр закона распределения:

Таблица 4

№	xi 103 км	fi шт	λ*xi	e-λ*xi	φ(xi) 10-6	fi’ шт
1	38,86	16	0,270	0,763	0,531	19,08	0,50
2	83,77	26	0,583	0,558	0,388	13,96	10,39
3	128,68	8	0,895	0,408	0,284	10,21	0,48
4	173,59	10	1,208	0,299	0,208	7,47	0,86
5	218,50	5	1,520	0,219	0,152	5,47	0,04
6	263,41	5	1,833	0,160	0,111	4,00	0,25
7	308,32	4	2,145	0,117	0,081	2,93	0,39
8	353,23	4	2,458	0,086	0,060	2,14	1,62
9	398,14	2	2,770	0,063	0,044	1,57	0,12
ИТОГО:		80					14,64

Рис. 4

Нормальный закон распределения двухпараметрический, число степеней свободы υ = 7 и = 14,067.

Так как χ2 > χ0,052, то гипотеза о принадлежности эмпирической выборки значений, экспоненциальному закону распределения отвергается

Распределение Вейбулла - Гнеденко

Величина выборочного коэффициента вариации:

По данным приложения таблица П1,2:

Таблица 5

№	Xi 103 км	fi шт	xi/a	a* φ(xi)	φ(xi) 10-6	fi’ шт
1	38,86	16	0,246	0,6944	4,4017	15,81	0,00
2	83,77	26	0,531	0,7197	4,5618	16,39	5,63
3	128,68	8	0,816	0,6085	3,8567	13,86	2,48
4	173,59	10	1,100	0,4637	2,9393	10,56	0,03
5	218,50	5	1,385	0,3293	2,0870	7,50	0,83
6	263,41	5	1,670	0,2213	1,4029	5,04	0,00
7	308,32	4	1,954	0,1422	0,9014	3,24	0,18
8	353,23	4	2,239	0,0879	0,5570	2,00	2,00
9	398,14	2	2,524	0,0525	0,3325	1,19	0,54
ИТОГО:		80				75,60	11,69

Рис. 5

Нормальный закон распределения двухпараметрический, число степеней свободы υ = 6 и = 12,592.

Так как χ2 > χ0,052, то эмпирическая выборка значений пренадлежит закону распределения Вейбулла - Гнеденко

Нормальный (Гауссовский) закон распределения

Таблица 6

№	Xi 103 км	fi	ti	φ(ti) 10-2	φ(xi)	fi’ щт
1	38,86	16	-1,025	0,231	0,101	8,09	7,72
2	83,77	26	-0,586	0,328	0,144	11,52	18,18
3	128,68	8	-0,147	0,386	0,169	13,53	2,26
4	173,59	10	0,292	0,374	0,164	13,11	0,74
5	218,50	5	0,731	0,298	0,131	10,48	2,86
6	263,41	5	1,169	0,197	0,086	6,91	0,53
7	308,32	4	1,608	0,107	0,047	3,75	0,02
8	353,23	4	2,047	0,048	0,021	1,68	3,18
9	398,14	2	2,486	0,018	0,008	0,62	3,04
ИТОГО:		80				69,71	38,54

Рис. 6

Нормальный закон распределения двухпараметрический, число степеней свободы υ = 6 и = 12.592.

Так как χ2 > χ0,052, то гипотеза о принадлежности эмпирической выборки значений, нормальному (Гауссовскому) закону распределения отвергается

Логарифмически - нормальный закон распределения

Значения средне-выборочное и средне-квадратичное:

Таблица 7

№	Xi 103 км	fi	ti	φ(ti)	φ(xi)	fi’ щт
1	38,86	16	-1,481	0,133	4,808	17,28	0,094
2	83,77	26	-0,404	0,367	6,155	22,12	0,682
3	128,68	8	0,198	0,391	4,263	15,32	3,494
4	173,59	10	0,618	0,329	2,663	9,57	0,019
5	218,50	5	0,941	0,256	1,645	5,91	0,140
6	263,41	5	1,203	0,193	1,030	3,70	0,455
7	308,32	4	1,423	0,144	0,659	2,37	1,126
8	353,23	4	1,614	0,108	0,430	1,55	3,892
9	398,14	2	1,782	0,081	0,287	1,03	0,908
ИТОГО:		80					10,81

Рис. 7

Нормальный закон распределения двухпараметрический, число степеней свободы υ = 6 и = 12.592.

Так как χ2 < χ0,052, то эмпирическая выборка значений принадлежит логарифмически-нормальному закону распределения

4. Определение вида теоретического закона распределения случайной величины графическими методами

Расчёт координат эмпирических точек заданной выборки

Таблица 8.

№ п/п	Среднее значение интервала xi , 103 км	fi , шт	Σ fi	F(x)= Σ fi/n+1
1	38,86	16	16	0,198
2	83,77	26	42	0,519
3	128,68	8	50	0,617
4	173,59	10	60	0,741
5	218,50	5	65	0,802
6	263,41	5	70	0,864
7	308,32	4	74	0,914
8	353,23	4	78	0,963
9	398,14	2	80	0,988

Используя полученные в табл.4. данные, строим вероятностную сетку и выполняем проверку согласованности.

Выбор масштаба построения вероятностной сетки:

ширина графика (ось абсцисс) А = 140 мм ;

высота графика (ось ординат) Н = 180 мм .

Нормальный закон распределения

Масштаб значений оси абсцисс устанавливается на основе выражения:

Таблица 9

P = F(x)	0,5	0,6	0,7	0,8	0,8413	0,85	0,903
y = Q-1(P)	0	0,25	0,52	0,85	1	1,05	1,3
Ky (P), мм	0	7,5	15,6	25,5	30	31,5	39
P = F(x)	0,96	0,971	0,98	0,991	0,9953	0,997	0,9987
y = Q-1(P)	1,75	1,9	2,05	2,35	2,6	2,75	3
Ky(P), мм	52,5	57	61,5	70,5	78	82,5	90

Лгарифмически - нормальный закон распределения

Масштаб значений оси абсцисс устанавливается на основе выражения:

Таблица 10

№	Границы интервала	xi 103 км
1	418,78…475,69	38,86	456,01	0,198
2	475,69…499,40	83,77	489,15	0,519
3	499,40…514,62	128,68	507,68	0,617
4	514,62…525,85	173,59	520,60	0,741
5	525,85…534,75	218,50	530,52	0,802
6	534,75…542,12	263,41	538,59	0,864
7	542,12…548,42	308,32	545,38	0,914
8	548,42…553,91	353,23	551,25	0,963
9	553,91…558,78	398,14	556,42	0,988

Экспоненциальный (нормальный) закон распределения

Таблица 11

P = F(x)	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7
Ky (P), мм	0,0	3,2	6,7	10,7	15,3	20,8	27,5	36,1
P = F(x)	0,8	0,9	0,95	0,97	0,98	0,99	0,995	0,9975
Ky(P), мм	48,3	69,1	89,9	105,2	117,4	138,2	158,9	179,7

Распределение Вейбулла – Гнеденко

Таблица 12

P = F(x)	0,03	0,04	0,06	0,1	0,2	0,3	0,4
y = Q-1(P)	-3,5	-3,2	-2,8	-2,25	-1,5	-1,03	-0,7
Ky (P), мм	-118,8	-108,6	-95,0	-76,4	-50,9	-35,0	-23,8
P = F(x)	0,5	0,632	0,78	0,9	0,97	0,955	0,999
y = Q-1(P)	-0,36	0,00	0,41	0,83	1,25	1,66	1,93
Ky(P), мм	-12,2	0,00	13,9	28,2	42,4	56,3	65,5