Реферат: Операции на графах

Реферат: Операции на графах

Похожие работы:

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра информатики

РЕФЕРАТ

На тему:

«Операции на графах»

МИНСК, 2008

Операции на графах позволяют образовывать новые графы из нескольких более простых. В этом параграфе будут рассмотрены операции на графах без параллельных ребер (дуг).

Объединение графов.

Пусть G1(X1,E1) и G2(X2,E2) – произвольные графы. Объединением G1ИG2 графов G1 и G2 называется граф с множеством вершин X1ИX2, и с множеством ребер (дуг) E1ИE2.

Рассмотрим операцию на примере графов G1(X1,E1) и G2(X2,E2), приведенных на рис. 4.1. Множества вершин первого и второго графов соответственно равны X1 = {x1, x2, x3} и X2 = {x2, x3, x4}, а множество вершин результирующего графа определится как X = X1ИX2 = {x1, x2, x3, x4}. Аналогично определяем множества дуг графа:

E1 = {(x1, x2), (x1, x3), (x2, x1), (x3, x3)}. E2 = {(x2, x4), (x3, x2), (x4, x2)}.

E = {(x1, x2), (x1, x3), (x2, x1), (x3, x3), (x2, x4), (x3, x2), (x4, x2)}.

Результирующий граф G(X,E) = G1(X1,E1)ИG2(X2,E2) также приведен на рис. 1.

Операции на графах

Операция объединения обладает следующими свойствами, которые следуют из определения операции и свойств операций на множествах:

G1ИG2 = G2ИG1 – свойство коммутативности;

G1И(G2ИG3) = (G1ИG2)ИG3 – свойство ассоциативности.

Операция объединения графов может быть выполнена в матричной форме. Для графов с одним и тем же множеством вершин справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть G1 и G2 – два графа (ориентированные или не ориентированные одновременно) с одним и тем же множеством вершин X, и пусть A1 и A2 – матрицы смежности вершин этих графов. Тогда матрицей смежности вершин графа G1ИG2 является матрица A = A1ИA2, образованная поэлементным логическим сложением матриц A1 и A2.

Рассмотрим выполнение операции объединения графов, множества вершин которых не совпадают. Пусть G1(X1,E1) и G2(X2,E2) – графы без параллельных ребер и множества X1 и X2 вершин этих графов не совпадают. Пусть A1 и A2 – матрицы смежности их вершин графов. Для таких графов операция объединения может быть выполнена следующим образом.

В соответствии с определением операции объединения графов найдем множество вершин результирующего графа как X1ИX2. Построим вспомогательные графы G’1 и G’2, множества вершин которых есть множество X1ИX2, а множество ребер (дуг) определяется множествами E1 для графа G’1 и E2 для графа G’2. Очевидно, что матрицы A’1 и A’2 смежности вершин этих графов могут быть получены из матриц A1 и A2 путем добавления в них дополнительных столбцов и строк с нулевыми элементами.

Применив к графам G’1 и G’2 теорему 4.1, найдем матрицу смежности вершин графа G’1ИG’2 как A’1ИA’2. Очевидно, что полученной матрице смежности вершин соответствует граф, множество вершин которого равно X1ИX2, а множество ребер определяется, как E1ИE2, что соответствует операции объединения графов.

Пример 1. Выполнить в матричной форме операцию объединения графов G1 и G2, представленных на рис. 1.

Составим матрицы смежности вершин графов.

			x1	x2	x3				x2	x3	x4
		x1	0	1	1			x2	0	0	1
A1	=	x2	1	0	0	A2	=	x3	1	0	0
		x3	0	0	1			x4	0	1	0

Множество вершин результирующего графа X1ИX2 = {x1, x2, x3, x4}. Составим матрицы смежности вершин вспомогательных графов G’1 и G’2.

			x1	x2	x3	x4				x1	x2	x3	x4
		x1	0	1	1	0			x1	0	0	0	0
A’1	=	x2	1	0	0	0	A’2	=	x2	0	0	0	1
		x3	0	0	1	0			x3	0	1	0	0
		x4	0	0	0	0			x4	0	0	1	0

Матрица A = A’1ИA’2 имеет вид

Полученная матрица смежности вершин A’1 И A’2 соответствует графу G1ИG2, изображенному на рис.1.

Пересечение графов

Пусть G1(X1,E1) и G2(X2,E2) – произвольные графы. Пересечением G1ЗG2 графов G1 и G2 называется граф с множеством вершин X1ЗX2 с множеством ребер (дуг) E = E1ЗE2

Операция пересечения обладает следующими свойствами, которые следуют из определения операции и свойств операций на множествах:

G1ЗG2 = G2ЗG1– свойство коммутативности;

G1З (G2ЗG3) = (G1ЗG2) З G3 – свойство ассоциативности.

Для того чтобы операция пересечения была всеобъемлющей, необходимо ввести понятие пустого графа. Граф G(X,E) называется пустым, если множество X вершин графа является пустым (X=Ж). Заметим, что в этом случае и множество E ребер (дуг) графа также пустое множество (E=Ж). Пустой граф обозначается символом Ж. Такой граф может быть получен в результате выполнения операции пересечения графов, у которых X1ЗX2=Ж. В этом случае говорят о непересекающихся графах.

Рассмотрим выполнение операции пересечения графов, изображенных на рис. 2. Для нахождения множества вершин результирующего графа запишем множества вершин исходных графов и выполним над этими множествами операцию пересечения:

X1 = {x1, x2, x3}; X2 = {x1, x2, x3, x4};

X = X1ЗX2 = {x1, x2, x3}.

Аналогично определяем множество E дуг результирующего графа:

E1 = {(x1, x2), (x1, x3), (x2, x1), (x2, x3), (x3, x2)};

E2 = {(x1, x3), (x2, x1), (x2, x3), (x2, x4), (x3, x1)};

E = E1ЗE2 = {(x1, x3), (x2, x1)}.

Графы G1(X1,E1), G2(X2,E2) и их пересечение приведены на рис 4.2.

Операции на графах

Операция пересечения графов может быть выполнена в матричной форме.

Теорема 2. Пусть G1 и G2 – два графа (ориентированные или неориентированные одновременно) с одним и тем же множеством вершин X, и пусть A1 и A2 – матрицы смежности вершин этих графов. Тогда матрицей смежности вершин графа G1ЗG2 является матрица A = A1ЗA2 образованная поэлементным логически умножением матриц A1 и A2.

Рассмотрим выполнение операции пересечения для графов с несовпадающим множеством вершин.

Пусть G1(X1,E1) и G2(X2,E2) – графы без параллельных ребер, множества X1 и X2 вершин графов не совпадают, а A1 и A2 – матрицы смежности вершин графов. Для таких графов операция пересечения может быть выполнена так.

В соответствии с определением операции пересечения графов найдем множество вершин результирующего графа как X1ЗX2. Построим вспомогательные графы G’1 и G’2, множества вершин которых есть множество X1ЗX2, а множество ребер (дуг) определяется множествами E’1 и E’2 всех ребер (дуг), инцидентных этим вершинам. Очевидно, что матрицы A’1 и A’2 смежности вершин этих графов могут быть получены из матриц A1 и A2 путем удаления из них столбцов и строк, соответствующих вершинам, не вошедшим во множество X1ЗX2.

Применив к графам G’1 и G’2 теорему 2, найдем матрицу смежности вершин графа G’1ЗG’2 как A’1ЗA’2. Очевидно, что полученной матрице смежности вершин соответствует граф, множество вершин которого равно X1ЗX2, а множество ребер определяется, как E1ЗE2, что соответствует операции пересечения графов.

Пример 2. Выполнить в матричной форме операцию пересечения графов G1 и G2, представленных на рис. 2.

Составим матрицы смежности вершин исходных графов.

			x1	x2	x3				x1	x2	x3	x4
		x1	0	1	1			x1	0	0	0	1
A1	=	x2	1	0	1	A2	=	x2	1	0	1	1
		x3	0	1	0			x3	1	0	0	0
								x4	0	0	0	0

Находим множество вершин X результирующего графа.

X = X1ЗX2 = {x1, x2, x3}.

Составим матрицы смежности вершин вспомогательных графов G’1 и G’2.

			x1	x2	x3				x1	x2	x3
		x1	0	1	1			x1	0	0	0
A’1	=	x2	1	0	1	A’2	=	x2	1	0	1
		x3	0	1	0			x3	1	0	0

Найдем матрицу смежности вершин A = A1 З A2

			x1	x2	x3
		x1	0	0	0
A’1ЗA’2	=	x2	1	0	1
		x3	0	0	0

Полученная матрица смежности вершин A’1 З A’2 соответствует графу G1ЗG2, изображенному на рис.2.

Композиция графов

Пусть G1(X,E1) и G2(X,E2) — два графа с одним и тем же множеством вершин X. Композицией G1(G2) графов G1 и G2 называется граф с множеством вершин E, в котором существует дуга (xi,xj) тогда и только тогда, когда существует дуга (xi,xk), принадлежащая множеству E1, и дуга (xk,xj), принадлежащая множеству E2.

Рассмотрим выполнение операции композиции G1(G2) на графах, изображенных на рис.3. Для рассмотрения операции составим таблицу, в первом столбце которой указываются ребра (xi, xk), принадлежащие графу G1, во втором — ребра (xk, xj), принадлежащие графу G3, а в третьем — результирующее ребро (xi, xj) для графа G1(G2).

G1	G2	G1(G2)
(x1,x2)	(x2,x1) (x2,x3)	(x1,x1) (x1,x3)
(x1,x3)	(x3,x3)	(x1,x3)
(x2,x1)	(x1,x1) (x1,x3)	(x2,x1) (x2,x3)

Заметим, что дуга (x1,x3) результирующего графа в таблице встречается дважды. Однако, поскольку рассматриваются графы без параллельных ребер (дуг), то в множестве E результирующего графа дуга (x1,x3) учитывается только один раз, т.е. E = {(x1,x1), (x1,x3), (x2,x1), (x2,x3)}

На рис. 3 изображены графы G1 и G2 и их композиции G1(G2). На этом же рисунке изображен граф G2(G1). Рекомендуется самостоятельно построить граф G2(G1) и убедиться, что графы G1(G2) и G2(G1) не изоморфны.

Операции на графах

Пусть А1 и A2 – матрицы смежности вершин графов G1(X,E1) и G(X,E2) соответственно. Рассмотрим матрицу A12 элементы aij которой вычисляется так:

aij = Ъa1ikЩa2kj (1)

k=1

где a1ik и a2kj – элементы матрицы смежности вершин первого и второго графов соответственно. Элемент aij равен 1, если в результирующем графе G1(G2) существует дуга, исходящая из вершины xi и заходящая xj, и нулю – в противном случае.

Пример 3. Выполнить операцию композиции для графов, представленных на рис. 3.

Составим матрицы смежности вершин графов:

			x1	x2	x3				x1	x2	x3
		x1	0	1	1			x1	1	0	1
A1	=	x2	1	0	0	A2	=	x2	1	0	1
		x3	0	0	0			x3	0	0	1

Вычислив элементы матрицы согласно (1), получаем:

			x1	x2	x3				x1	x2	x3
		x1	1	0	2			x1	0	1	1
A12	=	x2	1	0	1	A21	=	x2	0	1	1
		x3	0	0	0			x3	0	0	0

Нетрудно убедиться, что полученным матрицам смежности вершин соответствуют графы G1(G2) и G2(G1), представленные на рис. 3.

Декартово произведение графов. Пусть G1(X,E1) и G2(Y,E2) — два графа. Декартовым произведением G1(X,E1)ґG2(Y,E2) графов G1(X,E1) и G2(X,E2) называется граф с множеством вершин XґY, в котором дуга (ребро), идущая из вершины (xiyj) в (xkyl), существует тогда и только тогда когда существует дуга (xixk), принадлежащая множеству дуг E1 и j = l или когда существует дуга (yj,yl), принадлежащая множеству E2 и i = k.

Выполнение операции декартова произведения рассмотрим на примере графов, изображенных на рис. 4. Множество вершин Z результирующего графа определяется как декартово произведение множеств XґY. Множество Z содержит следующие элементы: z1=(x1y1), z2=(x1y2), z3=(x1y3), z4=(x2y1), z5=(x2y2), z6=(x2y3).

Операции на графах Определим множество дуг результирующего графа. Для этого выделим группы вершин множества Z, компоненты которых совпадают. В рассматриваемом примере пять таких групп: две группы с совпадающими компонентами из множества X, и три группы, имеющие совпадающие компоненты из Y. Рассмотрим группу вершин результирующего графа, которые имеют общую компоненту x1: z1=(x1y1), z2=(x1y1), z3=(x1y3). Согласно определению операции декартова произведения графов, множество дуг между этими вершинами определяется связями между вершинами множества Y. Таким образом, дуга (y1,y1) в графе G2 определяет наличие дуги (z1,z1) в результирующем графе. Для удобства рассмотрения всех дуг результирующего графа составим таблицу, в первом столбце которой перечисляются вершины с совпадающими компонентами, во втором – дуги между несовпадающими компонентами, а в третьем и четвертом – дуги в результирующем графе.

№ п.п.	Группы вершин с совпадающими компонентами	Дуги для несовпадающих компонент	Дуга (xiyj)®(xkyl)	Дуга (za,zb)
1	z1=(x1y1), z2=(x1y2), z3=(x1y3)	(y1,y1) (y1,y2) (y2,y3) (y3,y1)	(x1y1)®(x1y1) (x1y1)®(x1y2) (x1y2)®(x1y3) (x1y3)®(x1y1)	(z1,z1) (z1,z2) (z2,z3) (z3,z1)
2	z4=(x2y1), z5=(x2y2), z6=(x2y3)	(y1,y1) (y1,y2) (y2,y3) (y3,y1)	(x2y1)®(x2y1) (x2y1)®(x2y2) (x2y2)®(x2y3) (x2y3)®(x2y1)	(z4,z4) (z4,z5) (z5,z6) (z6,z4)
3	z1=(x1y1), z4=(x2y1)	(x1,x2) (x2,x1)	(x1y1)®(x2y1) (x2y1)®(x1y1)	(z1,z4) (z4,z1)
4	z2=(x1y2), z5=(x2y2)	(x1,x2) (x2,x1)	(x1y2)®(x2y2) (x1y2)®(x1y2)	(z2,z5) (z5,z2)
5	Z3=(x1y3), z6=(x2y3)	(x1,x2) (x2,x1)	(x1y3)®(x2y3) (x2y3)®(x1y3)	(z3,z6) (z6,z3)

Граф G1ґ G2 изображен на рис. 4.

Операция декартова произведения обладает следующими свойствами.

1. G1ґG2 = G2ґG1

2. G1ґ(G2ґG3) = (G1ґG2)ґG3.

Операция декартова произведения графов может быть выполнена в матричной форме.

Пусть G1(X,E1) и G2(Y,E2) – два графа, имеющие nx и ny вершин соответственно. Результирующий граф G1ґG2 имеет nxЧny вершин, а его матрица смежности вершин - квадратная матрица размером (nxЧny)ґ (nx Чny). Обозначим через aab = a(ij)(kl) элемент матрицы смежности вершин, указывающий на наличие дуги (ребра), соединяющей вершину za=(xiyj) c zb=(xkyl). Согласно определению операции этот элемент может быть вычислен при помощи матриц смежности вершин исходных графов следующим образом:

aab = a(ij)(kl) = KikЧa2,jl Ъ KjlЧa1,ik, (2)

где a1,ik, a2,jl – элементы матрицы смежности вершин графов G1 и G2 соответственно;

Kik – символ Кронекера, равный 1, если i=k, и нулю, если i№k .

Пример 4. Выполнить операцию декартова произведения на графах, приведенных на рис. 4.

Составим матрицы смежности вершин исходных графов.

			x1	x2				y1	y2	y3
		x1	0	1			y1	1	1	0
A1	=	x2	1	0	A2	=	y2	0	0	1
							y3	1	0	0

Для построения матрицы смежности результирующего графа воспользуемся соотношением (2). В этом соотношении первое слагаемое KikЧa2,jl указывает на наличие дуг для вершин, у которых совпадают компоненты из множества X. Для пояснения сказанного, рассмотрим вспомогательную матрицу Axy, в которой элементы, для которых Kik = 1, помечены символом X. Эти элементы принимают значения, равные значениям соответствующих элементов матрицы A2 смежности вершин графа G2, так, как это показано для матрицы A*.

			x1y1	x1y2	x1y3	x2y1	x2y2	x2y3
		x1y1	XЪY	X	X	Y	0	0
		x1y2	X	XЪY	X	0	Y	0
Axy	=	X1y3	X	X	XЪY	0	0	Y
		X2y1	Y	0	0	XЪY	X	X
		X2y2	0	Y	0	X	XЪY	X
		X2y3	0	0	Y	X	X	XЪY

			x1y1	x1y2	x1y3	x2y1	x2y2	x2y3
		x1y1	a1,11Ъ a2,11	a2,12	a2,13	a1,12
		x1y2	a2,21	a1,11Ъa2,22	a2,11		a1,12
A*	=	x1y3	a2,31	A2,32	a1,11Ъa2,33	0	0	a1,12
		x2y1	a1,21	0	0	a1,22Ъa2,11	a2,12	a2,13
		x2y2	0	a1,21	0	a2,21	a1,22Ъa2,22	a2,23
		x2y3	0	0	a1,21	a2,31	a2,32	a1,22Ъ a2,33

Второе слагаемое KjlЧa1,ik соотношения (2) указывает на наличие дуг для групп вершин, у которых совпадают компоненты из множества Y. В матрице Axy элементы, для которых Kjl = 1 помечены символом Y. Эти элементы принимают значения, равные значениям соответствующих элементов матрицы A1 смежности вершин графа G1, так, как это показано для матрицы A*.

Заметим, что в матрицах Axy и A* на главной диагонали располагаются элементы, равные логической сумме значений элементов матриц смежности вершин обоих графов. Это определяется тем, что на главной диагонали расположены элементы, для которых Kik = Kjl = 1.

Таким образом, матрица смежности вершин результирующего графа принимает вид:

			x1y1	x1y2	x1y3	x2y1	x2y2	x2y3
		x1y1	1	1	0	1	0	0
		x1y2	0	0	1	0	1	0
A	=	x1y3	1	0	0	0	0	1
		x2y1	1	0	0	1	1	0
		x2y2	0	1	0	0	0	1
		x2y3	0	0	1	1	0	0

Нетрудно убедиться, что полученной матрице смежности вершин соответствует граф G1ґG2, представленный на рис. 4

Операция произведения графов. Пусть G1(X,E1) и G2(Y,E2) - два графа. Произведением G1ЧG2 графов G1 и G2 называется граф с множеством вершин XґY, а дуга из вершины (xi,yj) в вершину (xk,yl) существует тогда и только тогда, когда существуют дуги (xi,xk) О E1 и (yj,yl) О E2.

Выполнение операции произведения рассмотрим на примере графов, изображенных на рис. 5. Множество вершин Z результирующего графа определяется как декартово произведение множеств XґY. Множество Z содержит следующие элементы: z1=(x1y1), z2=(x1y2), z3=(x1y3), z4=(x2y1), z5=(x2y2), z6=(x2y3).

Определим множество дуг результирующего графа. Для удобства рассмотрения составим таблицу, в первом столбце которой указываются дуги графа G1, во втором – дуги графа G2, а в третьем и четвертом – дуги результирующего графа.

(x1,y1)®(x2,y1)

(za, zb)

(x1,x2)

(y1,y1)

(y1,y2)

(y2,y3)

(y3,y2)

(x1,y1)®(x2,y1)

(x1,y1)®(x2,y2)

(x1,y2)®(x2,y3)

(x1,y3)®(x2,y2)

(z1,z4)

(z1,z5)

(z2,z6)

(z3,z5)

(x2,x1)

(y1,y1)

(y1,y2)

(y2,y3)

(y3,y2)

(x2,y1)®(x1,y1)

(x2,y1)®(x1,y2)

(x2,y2)®(x1,y3)

(x2,y3)®(x1,y2)

(z4,z1)

(z4,z2)

(z5,z3)

(z6,z2)

Результирующий граф G1ЧG2 изображен на рис.5.

Операции на графах

Операция произведения обладает следующими свойствами.

1. G1ЧG2 = G2ЧG1.

2. G1Ч(G2ЧG3) = (G1ЧG2)ЧG3.

Рассмотрим выполнение операции произведения графов в матричной форме.

Пусть G1(X,E1) и G2(Y,E2) – два графа, имеющие nx и ny вершин соответственно. Результирующий граф G1ЧG2 имеет nxЧny вершин, а его матрица смежности вершин - квадратная матрица размером (nxЧny)ґ (nx Чny). Обозначим через aab = a(ij)(kl) элемент матрицы смежности вершин, указывающий на наличие дуги (ребра), соединяющей вершину za=(xiyj) c zb=(xkyl). Этот элемент может быть вычислен при помощи матриц смежности вершин исходных графов следующим образом:

aab =a(ij)(kl) = a1,ik Щ a2,jl, (3)

де a1,ik, a1,ik – элементы матрицы смежности вершин графов G1 и G2 соответственно.

Пример 5. Выполнить операцию произведения на графах, приведенных на рис. 5.

Составим матрицы смежности вершин исходных графов.

			x1	x2				y1	y2	y3
		x1	0	1			y1	1	1	0
A1	=	x2	1	0	A2	=	y2	0	0	1
							y3	0	1	0

Построим матрицу A смежности вершин результирующего графа, каждый элемент которой вычисляется согласно соотношению (4.3).

			x1y1	x1y2	x1y3	x2y1	x2y2	x2y3
		x1y1	a1,11Щ a2,11	a1,11Щa2,12	a1,11Щ a2,13	a1,12Щa2,11	a1,12Щ a2,12	a1,12Щ a2,13
		x1y2	a1,11Щ a2,21	a1,11Щ a2,22	a1,11Щ a2,23	a1,12Щ a2,21	a1,12Щ a2,22	a1,12Щ a2,23
A	=	x1y3	a1,11Щ a2,21	a1,11Щ a2,22	a1,11Щ a2,23	a1,12Щ a2,31	a1,12Щ a2,32	a1,12Щ a2,33
		x2y1	a1,21Щ a2,11	a1,21Щ a2,12	a1,21Щ a2,13	a1,22Щ a2,11	a1,22Щ a2,12	a1,22Щ a2,13
		x2y2	a1,21Щ a2,21	a1,21Щ a2,22	a1,21Щ a2,23	a1,12Щ a2,21	a1,12Щ a2,22	A1,12Щ a2,23
		x2y3	a1,21Щ a2,31	a1,21Щ a2,32	a1,21Щ a2,33	a1,22Щ a2,31	a1,12Щ a2,32	A1,12Щ a2,33

Для удобства рассмотрения разделим матрицу A на четыре квадратные подматрицы. Заметим, что каждая подматрица может быть получена путем логического элементов матрицы умножения A2 на один из элементов a1,ij матрицы A1. С учетом этого матрицу A можно представить так:

			x1y1	x1y2	x1y3	x2y1	x2y2	x2y3
		x1y1	a1,11ЩA2			a1,12ЩA2
		x1y2
A	=	x1y3
		x2y1	a1,21ЩA2			a1,22ЩA2
		x2y2
		x2y3

Таким образом, матрица смежности вершин графа G1ЧG2 имеет вид:

			x1y1	x1y2	x1y3	x2y1	x2y2	x2y3
		x1y1	0	0	0	1	1	0
		x1y2	0	0	0	0	0	1
A	=	x1y3	0	0	0	0	1	0
		x2y1	1	1	0	0	0	0
		x2y2	0	0	1	0	0	0
		x2y3	0	1	0	0	0	0

Нетрудно убедиться, что полученной матрице смежности вершин соответствует граф G1ЧG2, представленный на рис. 5.

ЛИТЕРАТУРА

Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика: Учебник для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 744 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып XIX).

Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика.– М.: Наука, Физматлит, 2000.– 544 с.– ISBN 5-02-015238-2.

Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: Учеб. для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 496 с. (Сер. Математика в техническом университете; вып. XXI, заключительный).

A = A’1ИA’2