Рефетека.ру / Математика

Статья: Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n

Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей n.


Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.

Ферма (потом Эйлер) доказывали эту теорему для частного случая n = 4 способом бесконечного спуска с помощью формул древних индусов: x= aТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n- bТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n, y=2ab, z= aТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n+ bТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n.

Другие формулы: x = Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n + b, y = Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n + a, z = Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n + a + b (1).

В (1) a и b любые взаимно простые положительные целые числа, одно из них – чётное, другое – нечётное. Пусть a – чётное, b – нечётное: a=2cТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n, b=dТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n, откуда Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n=2cd.

После подстановки значений a и b в (1) получим:

X = d(2c+d); Y= 2c(c+d); Z= 2c(c+d)+ dТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n (2),

где c и d любые целые положительные числа; c,d и их суммы взаимно просты;

X,Y,Z – взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора. Если определены и целы c и d, то определены и целы все три числа X,Y,Z.

Предположим, что уравнение Ферма xТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n+ yТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= zТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n имеет тройку целых положительных решений x,y,z при нечётном целом положительном значении показателя n, n>2. Запишем это уравнение следующим образом:

(xТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n)Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n+ (yТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n)Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= (zТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n)Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n (4).

Так как рассматривается возможность существования целых решений уравнений Ферма и (4) , то должно выполняться следующее условие:

xТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= X; yТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= Y; zТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= Z; где X,Y,Z из (2) (5).

Чтобы числа x,y,z были целыми, из всех трёх чисел X,Y,Z должны извлекаться целочисленные корни степени n (n – нечётное положительное целое число):

x =Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= (Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n)Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n; y =Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= (Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n)Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n; z =Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n.

Для упрощения достаточно рассмотреть два целых числа Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n и Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n ( n – нечётное ):

Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n = Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n и Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n.

Подкоренные выражения содержат сомножители не имеющие общих делителей, кроме 1, поэтому каждый сомножитель должен являться целым числом в степени n:

d = gТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n; 2 c = hТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n, следовательно, Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n = Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n; Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n.

Так как x,Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n – целые, x – по условию, а Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n – из-за нечётн. n, то gТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n+ hТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= kТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n, где k – целое.

Тройка решений g,h,k удовлетворяет уравнению Ферма, но все три числа меньше числа x первой тройки решений, потому что наибольшее число k из g,h,k меньше Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n, так как Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n=gТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n, а Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n<x, так как x=(Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n)Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n. Число k заведомо меньше числа z.

Повторим те же рассуждения для второй тройки решений g,h,k, начиная с (4):

(gТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n)Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n+ (hТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n)Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= (kТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n)Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n; g =Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n=(Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n)Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n; h =Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n=(Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n)Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n; k =Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n.

Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n = Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n и Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n.

d = pТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n; 2 c = qТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n, следовательно, Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n = Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n; Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n.

pТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n+ qТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n= rТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n, где r – целое число. Все три числа p,q,r меньше числа Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n из второй тройки решений и r<k. Таким же образом получается 4-я тройка решений, 5-я и т.д. до Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n.

При данных конечных целых положительных числах x,y,z не может существовать бес-конечной последовательности уменьшающихся целых положительных троек решений. Ряд натуральных чисел конечен. Отсюда целых положительных троек решений для целых положительных нечётных (и всех простых) значений показателя n (n>2) не существует.

Для чётных n=2m не кратных 4: (xТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n)Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n+(yТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n)Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n=(zТеорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n)Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n, m – нечётное. Если нет целых троек решений для показателя m, то их нет и для 2m (это показал Эйлер). Для n=4 и n=4k (k=1,2,3…) уже доказано, что целых положительных троек решений не существует.


А. Ф. Горбатов

Рефетека ру refoteka@gmail.com