Рефетека.ру / Математика

Курсовая работа: Теорема Гурвица и ее приложение

Содержание


Введение

Биография А. Гурвица

Вспомогательные определения

Теорема Ферма

Вопрос Гурвица

Теорема Гурвица

Приложение теоремы Гурвица

Заключение

Список используемой литературы

Введение


Предметом исследования данной курсовой работы являются различные системы «чисел», которые можно построить, исходя из действительных чисел, путем добавления рядя «мнимых единиц». Классический пример такой системы – это система комплексных чисел.

Одно из важнейших свойств комплексных чисел выражается тождеством Теорема Гурвица и ее приложение. Если обозначить Теорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложение, то данное тождество перепишется в виде Теорема Гурвица и ее приложение. прочитанное справа налево это тождество звучит так: «Произведение суммы двух квадратов на сумму двух квадратов есть снова сумма двух квадратов».

Существуют ли подобные тождества с большим, чем 2, числом квадратов? Как описать такие тождества?

Цель моей курсовой работы ответить на эти вопросы. Вопросы совсем не простые; в течение многих лет занимали умы математиков. Исчерпывающий ответ был получен в XIX веке немецким математиком А.Гурвицем. Он сформулировал интересную теорему, доказательство которой будет проведено позже.

1. Биография А. Гурвица


Адольф Гурвиц (26 марта 1859, Хильдесхайм — 18 ноября 1919, Цюрих) — немецкий математик. Родился в семье с еврейскими корнями. Его отец, Соломон Гурвиц, работал в машиностроительной отрасли; мать Эльза умерла, когда Адольфу было всего три года.

В гимназии, куда он поступил в 1868 году, ему преподавал математику Герман Шуберт. Заметив и оценив талант в юном Адольфе, Шуберт убедил его отца помочь сыну с получением дальнейшего образования в университете.

Гурвиц поступил в университет Мюнхена в 1877 году. В течение первого года обучения он посещал лекции Феликса Клейна. Адольф Гурвиц обладал исключительным математическим талантом. Вот что написал профессор Ф.Клейн отцу Адольфа о будущем его сына накануне защиты Гурвицем диссертации: «Прежде всего, я хочу подчеркнуть, что с тех пор, как я тут работаю, я не встречал молодого человека, который мог бы сравниться по специфическому математическому таланту с Вашим сыном. Ему, без сомнения, уготована блестящая научная карьера, уверенность в которой подкрепляется тем фактом, что его дар счастливо сочетается с замечательными человеческими чертами. Единственной опасностью остается его здоровье. Вероятно, Ваш сын уже давно ослаб из-за чрезмерного напряжения в его занятиях. Позвольте мне заверить Вас, что никто не будет так счастлив, как я, если здоровье Вашего сына полностью восстановится. Мне необходима его бескомпромиссная поддержка в моих последних исследованиях». [2]

Через год Гурвиц переезжает в Берлин, где в местном университете посещает лекции Куммера, Кронекера, Вейерштрасса. Заканчивает обучение в Лейпциге (1880).

Преподавательскую карьеру начал в Кёнигсбергском университете, где в 1884 году стал профессором. В этом же году женился на Иде Самуэль, у них было трое детей.

С 1892 года А. Гурвиц - профессор Политехнической школы в Цюрихе. Среди его студентов в Цюрихе были Давид Гильберт и Альберт Эйнштейн.

Его основные труды — по математическому анализу, теории функций, алгебре и теории чисел. В теории функций комплексного переменного известны теоремы Гурвица. Широкое применение нашел его критерий отрицательности действительных частей корней алгебраических уравнений (критерий Гурвица). Сделал также значительный вклад в геометрию. Гурвиц написал классическую двухтомную монографию по теории аналитических и эллиптических функций. Одним из первых он глубоко исследовал римановы многообразия и их приложения к теории алгебраических кривых. Решил изопериметрическую проблему.

В 1898 году Гурвиц поставил такую задачу: описать все тройки натуральных чисел (r,s,n), для которых возможна формула вида:


Теорема Гурвица и ее приложение


В этой формуле все Теорема Гурвица и ее приложение- билинейные комбинации переменных Теорема Гурвица и ее приложение и Теорема Гурвица и ее приложение. Примеры формул такого вида можно получить, исходя из правила умножения комплексных чисел, кватернионов или октав. Задача Гурвица открыта до сих пор, хотя многие выдающиеся математики пытались ее решить, и созданный ими топологический аппарат (характеристические классы, вещественная К-теория) оказался полезным во многих других областях математики. Сам Гурвиц и, независимо, Радон, полностью описали случай s = n=r.


2. Вспомогательные определения


Комплексные числа- числа вида х + iy, где х и у — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица (число, квадрат которого равен —1); х называют действительной частью, а у — мнимой частью.

Размерность пространства: векторное пространство Теорема Гурвица и ее приложение над полем F называется Теорема Гурвица и ее приложение-мерным, если в нем существуют Теорема Гурвица и ее приложение линейно независимых векторов, а любые Теорема Гурвица и ее приложение векторов уже являются линейно зависимыми. При этом число Теорема Гурвица и ее приложение называется размерностью пространства Теорема Гурвица и ее приложение. Размерность пространства Теорема Гурвица и ее приложение обычно обозначают символом Теорема Гурвица и ее приложение.

n-мерное Евклидово пространство над полем F: Вещественное векторное пространство Теорема Гурвица и ее приложение называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два требования:

Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства Теорема Гурвица и ее приложение и Теорема Гурвица и ее приложение ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов (и обозначаемое символом Теорема Гурвица и ее приложение).

Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:


Теорема Гурвица и ее приложение (коммутативность или симметрия);

Теорема Гурвица и ее приложение (дистрибутивность скалярного произведения относительно сложения);

Теорема Гурвица и ее приложение Теорема Гурвица и ее приложение;

Теорема Гурвица и ее приложение, если Теорема Гурвица и ее приложение; Теорема Гурвица и ее приложение, если Теорема Гурвица и ее приложение.


Подпространство- такое подмножество пространства L, которое само является пространством.

Ортонормированный базис: Говорят, что Теорема Гурвица и ее приложение элементов Теорема Гурвица и ее приложение Теорема Гурвица и ее приложение-мерного евклидова пространства Теорема Гурвица и ее приложение образуют ортонормированный базис этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е. если


Теорема Гурвица и ее приложение


Билинейное отображение: Пусть L-линейное пространство над полем Р. Тогда отображение Теорема Гурвица и ее приложение называется билинейным, если


Теорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложение

Теорема Гурвица и ее приложение


Сюръективное отображение- отображение Теорема Гурвица и ее приложение, которое каждому элементу из Теорема Гурвица и ее приложение сопоставляет, по крайней мере, один прообраз, т.е. Теорема Гурвица и ее приложение.

Ядро: Пусть Теорема Гурвица и ее приложение - гомоморфизм кольца R в кольцо S. Множество Теорема Гурвица и ее приложение, где 0’-нуль в S, -ядро.

Обратимая матрица-матрица, для которой существует обратная матрица.

Невырожденная матрица - квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля.

Симметричная матрица - матрица является симметричной, если она совпадает со своей транспонированной матрицей (т.е. A = A'). Другими словами, нижний треугольник квадратной матрицы является "зеркальным отражением" верхнего треугольника.

Характеристика поля - пусть P-поле. Если существует такое целое положительное n, что для каждого Теорема Гурвица и ее приложение выполняется равенство n·r=0, то наименьшее из таких чисел n называется характеристикой поля P. Обозначение - char P.

Кососимметричная матрица- квадратная матрица А над полем P характеристики Теорема Гурвица и ее приложение такая, чтоТеорема Гурвица и ее приложение, где Теорема Гурвица и ее приложение — транспонированная матрица.

Линейная независимость системы векторов: Система векторов Теорема Гурвица и ее приложение называется линейно независимой, если существует только тривиальная линейная комбинация данных векторов равная нулевому вектору.


3. Теорема Ферма


Какие целые числа можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел? Это один из самых старых вопросов теории чисел, восходящий, по крайней мере, к Диофанту. Полный ответ на данный вопрос дал Пьер де Ферма (французский математик, 17 августа 1601 — 12 января 1665). Напишем первые несколько целых чисел, представимых в виде суммы квадратов

0; 1; 2; 4; 5; 8; 9; 10; 13; 16; 17; 18; 20; 25; 26; 29; 32; 34; 36; 37; 40; 41; 45;

49; 50; 52; 53; 58; 61; 64; 65; 68; 72; 73; 74; 80; 81; 82; 85; 89; 90; 97; 98; 100

Можно сделать несколько экспериментальных выводов. Во-первых, не каждое число представимо в виде суммы двух квадратов. Например, 3, 6, 11, 12 не представляются в таком виде. Более того, можно заметить, что ни одно число вида 4к+3 не представляются в виде суммы двух квадратов (при целом к). Во-вторых, если каждое из двух чисел является суммой квадратов, то таково и их произведение. Можно сделать и другие заключения.

Остановимся более детально на втором заключении и попробуем обосновать его. Справедлива формула


Теорема Гурвица и ее приложение (1)


Действительно,


Теорема Гурвица и ее приложение и Теорема Гурвица и ее приложение

Теорема Гурвица и ее приложение


Из этой формулы, в частности, вытекает, что если каждое из чисел a и b можно представить как сумму квадратов двух целых чисел, то их произведение тоже представимо в таком виде. Формула (1) является простым следствием коммутативного, ассоциативного и дистрибутивного законов.

Формула (1) важна для теории чисел. В следующих разделах мы обсудим ее теоретико-числовые приложения, а также и другие аналогичные формулы, важные для теории чисел.

Теорема 1 (Ферма): Для того чтобы нечётное простое число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на 4 давало в остатке 1.

Доказательство: Доказательство принадлежит Жозе́фу Луи́ Лагра́нжу (25 января 1736, Турин — 10 апреля 1813, Париж, французский математик).

Оно опирается на следующую лемму Вильсона: если p - простое число, то число (p-1)!+1 делится на p.

Чтобы не отвлекаться на доказательство этого вспомогательного факта, продемонстрируем лишь основную идею этого доказательства на примере простого числа 13. Для любого числа x: 2 Теорема Гурвица и ее приложениеx Теорема Гурвица и ее приложение11, найдется такое число y: 2 Теорема Гурвица и ее приложениеy Теорема Гурвица и ее приложение11, что x*y при делении на 13 дает в остатке 1. Действительно, (13-1)!=12!=(2* 7)(3* 9)(4* 10)(5* 8)(6* 11)* 12, и при этом все произведения в скобках при делении на 13 дают в остатке 1, а значит, 12! при делении на 13 даст в остатке 12, откуда (для выбранного нами числа 13) следует утверждение леммы Вильсона. Обобщение, приведенной выше идеи, приводит к доказательству леммы Вильсона и в общем случае.

Из леммы Вильсона извлечем такое следствие: если p=4n+1, где n - натуральное число, то ((2n)!)Теорема Гурвица и ее приложение+1 делится на p. Действительно, из леммы Вильсона следует, что (4n)!+1 делится на p, и теперь необходимое утверждение вытекает из следующей выкладки:


(4n)!+1=(2n)!(2n+1)*...*(4n)+1=(2n)!(p-2n)(p-(2n-1))*...*(p-1)+1=(2n)!*

*(-1)2n(2n)!+pk+1Теорема Гурвица и ее приложение ((2n)!)Теорема Гурвица и ее приложение+1(mod p).


Обозначим (2n)! через N. Мы доказали, что N2 Теорема Гурвица и ее приложение -1(mod p).

Теперь рассмотрим все пары целых чисел (m,s), такие что 0 Теорема Гурвица и ее приложениеm Теорема Гурвица и ее приложение[Теорема Гурвица и ее приложение ], 0 Теорема Гурвица и ее приложениеs Теорема Гурвица и ее приложение[Теорема Гурвица и ее приложение], через [Теорема Гурвица и ее приложение] обозначена целая часть числа - наибольшее целое число, не превосходящее Теорема Гурвица и ее приложение. Число таких пар ([Теорема Гурвица и ее приложение]+1)>p2. Значит, по крайней мере, для двух различных пар (Теорема Гурвица и ее приложение) и (Теорема Гурвица и ее приложение)остатки от деления Теорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложение на p одинаковы, т. е. число a+Nb, где a=mТеорема Гурвица и ее приложение-m2, b=sТеорема Гурвица и ее приложение-s2, будет делиться на p. При этом |a|Теорема Гурвица и ее приложение[Теорема Гурвица и ее приложение], |b| Теорема Гурвица и ее приложение[Теорема Гурвица и ее приложение]. Но тогда число aТеорема Гурвица и ее приложение-NТеорема Гурвица и ее приложение bТеорема Гурвица и ее приложение=(a+Nb)(a-Nb) делится на p, и значит, учитывая, что N2 Теорема Гурвица и ее приложение(mod p), получим, что aТеорема Гурвица и ее приложение+b2 делится на p, т. е. aТеорема Гурвица и ее приложение+bТеорема Гурвица и ее приложение=rp где r - натуральное число (rТеорема Гурвица и ее приложение0, иначе пары были бы одинаковы). С другой стороны, aТеорема Гурвица и ее приложение+b2 Теорема Гурвица и ее приложение[Теорема Гурвица и ее приложение]Теорема Гурвица и ее приложение<2p, т. е. r=1, и значит, aТеорема Гурвица и ее приложение+bТеорема Гурвица и ее приложение=p. Теорема доказана.

Пример 1:


Теорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложение


Вопрос о представлении чисел в виде суммы двух квадратов исчерпывается следующим утверждением: Для того чтобы целое рациональное число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы простые числа вида 4n+3 входили в разложение этого числа на простые сомножители в четных степенях. [3]

4. Вопрос Гурвица


Вернемся к формулам с суммами квадратов. Теперь нас интересует такая алгебраическая задача: какие формулы с суммами квадратов можно написать для случая многих переменных? Сформулируем эту задачу более точно. Рассмотрим формулу вида


Теорема Гурвица и ее приложение (2),


в которой все Теорема Гурвица и ее приложение- билинейные комбинации переменных Теорема Гурвица и ее приложение и Теорема Гурвица и ее приложение. Билинейные комбинации-выражения вида Теорема Гурвица и ее приложение и т.д., а также суммы таких выражений, взятых с произвольными действительными коэффициентами. Формулу (2) будем называть формулой типа (r,s,n).

Существует формула типа (4, 4, 4). Это связано со знаменитой алгеброй кватернионов, построенной Уильямом Роуэном Гамильтоном (1806—1865, ирландский математик).


Теорема Гурвица и ее приложение, где

Теорема Гурвица и ее приложение,

Теорема Гурвица и ее приложение,

Теорема Гурвица и ее приложение

Теорема Гурвица и ее приложение,

Теорема Гурвица и ее приложениеТеорема Гурвица и ее приложениеТеорема Гурвица и ее приложениеТеорема Гурвица и ее приложениеТеорема Гурвица и ее приложениеТеорема Гурвица и ее приложениеТеорема Гурвица и ее приложениеТеорема Гурвица и ее приложение1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Теорема Гурвица и ее приложение 0 -1 0 0 ,Теорема Гурвица и ее приложение= 1 0 0 0 , Теорема Гурвица и ее приложение0 0 0 -1 , Теорема Гурвица и ее приложение 0 0 1 0

0 0 -1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1 0 0

0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 1 0 0 1 0 0 0


Комплексные числа удобно отождествлять с точками плоскости, поскольку они имеют две координаты – вещественную часть и мнимую. По аналогии с комплексными числами, Гамильтон долго пытался построить «трехмерные числа», т.е. наделить точки трехмерного пространства естественными операциями сложения и умножения, удовлетворяющими некоторым естественным свойствам. Однако, ему это не удалось. Более того, в некотором естественном смысле, таких «хороших» операций не существует. Все же поиски были не бесполезны. В результате своих поисков Гамильтон наткнулся на замечательную и естественную конструкцию «четырехмерных» чисел – кватернионов.

Кватернионом называется выражение вида


Теорема Гурвица и ее приложение,


в котором i, j, k – формальные символы, не являющиеся действительными числами. Эти символы удовлетворяют следующим соотношениям:


Теорема Гурвица и ее приложение Теорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложение


Первая серия соотношений состоит в том, что каждое из чисел i, j, k является мнимой единицей. Вторая серия соотношений содержит 2 вещи. Первая – мнимые единицы i, j, k антикоммутируют. Кроме этого, вторая серия соотношений выражает произведение любых двух мнимых единиц из трех указанных через эти же самые мнимые единицы. Как складывать и перемножать произвольные кватернионы? Для этого нужно воспользоваться правилами умножения мнимых единиц i, j, k, а также всеми обычными законами сложения и обычным законом дистрибутивности. Например,


Теорема Гурвица и ее приложение

Теорема Гурвица и ее приложение


Теорема 2: Умножение кватернионов ассоциативно, т.е. для любых трех кватернионов Теорема Гурвица и ее приложение выполнено равенство Теорема Гурвица и ее приложение

Кватернион Теорема Гурвица и ее приложение называется сопряжённым к Теорема Гурвица и ее приложение.

Так же, как и для комплексных чисел,


Теорема Гурвица и ее приложение


называется модулем q (или нормой q).

Теорема 3: Для любой пары кватернионов Теорема Гурвица и ее приложение выполнено соотношение


Теорема Гурвица и ее приложение


Доказательство:


Теорема Гурвица и ее приложение


Эту формулу можно интерпретировать как формулу типа (4, 4, 4) для произведения сумм квадратов.

Формула типа (8, 8, 8) была найдена в 1845 году английским математиком А.Кэли.

А. Гурвиц в 1898 году поставил следующий вопрос, который до сих пор является открытым: Для каких целых чисел r, n, s существует формула типа (r, s, n) для произведения сумм квадратов?

Этот вопрос имеет несколько вариантов. В формуле типа (r, s, n) сумма квадратов r переменных, умноженная на сумму квадратов s переменных, представляется в виде суммы квадратов n билинейных форм от этих двух групп переменных. Однако коэффициенты в этих билинейных формах могут быть целыми, вещественными, комплексными и т.п. Ни в одной из этих ситуаций, на вопрос Гурвица не найдено полного ответа. Кажется, что ответ должен зависеть от выбора коэффициентов. Для всех известных примеров формул с комплексными коэффициентами, существуют формулы того же типа с вещественными и даже целыми коэффициентами.


5. Теорема Гурвица


Рассмотрим n-мерное Евклидово пространство Теорема Гурвица и ее приложение. Если Теорема Гурвица и ее приложение, то его длиной называют число Теорема Гурвица и ее приложение. Естественно поставить

Вопрос 1. Для каких n существует билинейное отображение Теорема Гурвица и ее приложение такое, что Теорема Гурвица и ее приложение для любых Теорема Гурвица и ее приложение?

Заметим, что, если выполнено это условие Теорема Гурвица и ее приложение, то Теорема Гурвица и ее приложение-алгебра без делителей нуля (т.к. Теорема Гурвица и ее приложение и либо а=0, либо b=0). Более того, если Теорема Гурвица и ее приложение, то для любого и разрешимо уравнение Теорема Гурвица и ее приложение и Теорема Гурвица и ее приложение. Т.к. отображения Теорема Гурвица и ее приложение и Теорема Гурвица и ее приложение имеют нулевые ядра и следовательно являются сюръективными (т.е.Теорема Гурвица и ее приложение является телом, вообще говоря неассоциативным и некоммутативным). Если Теорема Гурвица и ее приложениеортонормированный базис Теорема Гурвица и ее приложение, то Теорема Гурвица и ее приложение и если Теорема Гурвица и ее приложение, то Теорема Гурвица и ее приложение, где Теорема Гурвица и ее приложение и условие Теорема Гурвица и ее приложение эквивалентно следующему вопросу.

Вопрос 2: Для каких n существует тождество Теорема Гурвица и ее приложение, где Теорема Гурвица и ее приложение-любые действительные числа, Теорема Гурвица и ее приложение и матрицы Теорема Гурвица и ее приложение являются постоянными, т.е. не зависят от Теорема Гурвица и ее приложение?

В 1989 году Гурвиц доказал, что представлять произведение целых чисел в виде сумм квадратов целых чисел можно только для множителей, состоящих из сумм двух, четырех и восьми квадратов.

Теорема 4: Вопросы 1-2 имеют решение только при n=1,2,4,8.

Доказательство: Будем считать, что Теорема Гурвица и ее приложение. Положим Теорема Гурвица и ее приложение,Теорема Гурвица и ее приложение. Тогда равенство Теорема Гурвица и ее приложение=Теорема Гурвица и ее приложение, где Теорема Гурвица и ее приложениепереписывается в виде


Теорема Гурвица и ее приложение=Теорема Гурвица и ее приложение.


Фиксируем Теорема Гурвица и ее приложение и рассмотрим левую и правую части многочлена от Теорема Гурвица и ее приложение.Тогда


Теорема Гурвица и ее приложение,

Теорема Гурвица и ее приложение

Теорема Гурвица и ее приложение,Теорема Гурвица и ее приложение


Если Теорема Гурвица и ее приложение, то предыдущие равенства равносильны Теорема Гурвица и ее приложение. Перепишем Теорема Гурвица и ее приложение, где Теорема Гурвица и ее приложение(т.е. Теорема Гурвица и ее приложение не зависит от Теорема Гурвица и ее приложение). Тогда из равенства Теорема Гурвица и ее приложение следует эквивалентное равенство Теорема Гурвица и ее приложение, сравнивая коэффициенты при Теорема Гурвица и ее приложение , последнее влечет за собой Теорема Гурвица и ее приложение, i=1,2,..,n и ,следовательно, Теорема Гурвица и ее приложение. Положим Теорема Гурвица и ее приложение. Тогда предыдущее равенство можно переписать в виде:


Теорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложение

*Теорема Гурвица и ее приложение.


Сравнивая коэффициенты при Теорема Гурвица и ее приложение, получим, что Теорема Гурвица и ее приложение,Теорема Гурвица и ее приложение Теорема Гурвица и ее приложение,Теорема Гурвица и ее приложение. Получим Теорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложениеТеорема Гурвица и ее приложение или Теорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложениеТеорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложение. Покажем, что существование таких матриц Теорема Гурвица и ее приложение влечет за собой, что n=2,4,8.

Теорема Гурвица и ее приложение-кососимметричная и невырожденная. Значит n-четное число. В частности Теорема Гурвица и ее приложение

Породим этими матрицами подалгебру


Теорема Гурвица и ее приложение


Матрица вида Теорема Гурвица и ее приложение, где Теорема Гурвица и ее приложение является системой K . Их число равно Теорема Гурвица и ее приложение. Покажем, что, по меньшей мере, Теорема Гурвица и ее приложение из них линейно независимы. Для этого сначала заметим, что Теорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложение удовлетворяет


Теорема Гурвица и ее приложение=

=Теорема Гурвица и ее приложение


В частности М - симметричная тогда и только тогда, когда Теорема Гурвица и ее приложение, либо Теорема Гурвица и ее приложение. Если существует соотношение Теорема Гурвица и ее приложение, где Теорема Гурвица и ее приложение-слева от Теорема Гурвица и ее приложение, то можно считать, что все Теорема Гурвица и ее приложение и все собственные подмножества Теорема Гурвица и ее приложениеявляются линейно независимыми. Тогда, умножая на Теорема Гурвица и ее приложение, получим соотношение вида: Теорема Гурвица и ее приложение. При этом все Теорема Гурвица и ее приложение являются симметричными (ввиду линейной независимости Теорема Гурвица и ее приложение).

Пусть Теорема Гурвица и ее приложение вовлекает наименьшее число факторов r . Тогда


Теорема Гурвица и ее приложение.


Если Теорема Гурвица и ее приложение и Теорема Гурвица и ее приложение, то выберем Теорема Гурвица и ее приложение и умножим левую и правые части на Теорема Гурвица и ее приложение. Получим, что Теорема Гурвица и ее приложение. Т.к. Теорема Гурвица и ее приложение-кососимметричная, а Теорема Гурвица и ее приложение-симметричная, то получили противоречие.

Если Теорема Гурвица и ее приложение, то умножим обе части на Теорема Гурвица и ее приложение. Получим, что Теорема Гурвица и ее приложение, где Теорема Гурвица и ее приложение( их количество 4e-1) – симметричная матрица, а слева кососимметричная матрица. Противоречие. Следовательно, Теорема Гурвица и ее приложение и Теорема Гурвица и ее приложение, и как показывают рассуждения выше, либо Теорема Гурвица и ее приложение, либо Теорема Гурвица и ее приложение. Если Теорема Гурвица и ее приложение, то, умножая на Теорема Гурвица и ее приложение, получим, что Теорема Гурвица и ее приложение (их число n-2=4e-1) – симметричная. Противоречие. следовательно Теорема Гурвица и ее приложение. В частности, если Теорема Гурвица и ее приложение и Теорема Гурвица и ее приложение, то получаем противоречие, т.е. Теорема Гурвица и ее приложение. Пусть Теорема Гурвица и ее приложение. Докажем, что Теорема Гурвица и ее приложение- линейно независимы. Их число равно Теорема Гурвица и ее приложение. Действительно, если между ними есть линейно зависимые, то получим, что Теорема Гурвица и ее приложение, где длина


Теорема Гурвица и ее приложениеТеорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложение


Длина


Теорема Гурвица и ее приложение


Т.е. мы не получили Теорема Гурвица и ее приложение. Противоречие.

Итак, Теорема Гурвица и ее приложение и Теорема Гурвица и ее приложение. Это возможно при Теорема Гурвица и ее приложение. Если n<10, то при n=2,4,8 теорема верна. Далее n-четное число. Осталось понять, что при n=6 кососимметричные матрицы из Теорема Гурвица и ее приложениелинейно независимы.


Теорема Гурвица и ее приложение в Теорема Гурвица и ее приложение.


С другой стороны, среди Теорема Гурвица и ее приложение, где Теорема Гурвица и ее приложение (их число равно 32) количество кососимметричных равно Теорема Гурвица и ее приложение. Т.к. Теорема Гурвица и ее приложение, то все эти матрицы Теорема Гурвица и ее приложение линейно независимы. В частности и эти линейно независимы Теорема Гурвица и ее приложение. С другой стороны их число меньше 15. Противоречие. (Можно сослаться что Теорема Гурвица и ее приложение, 6-не подходит).

Таким образом, теорема Гурвица доказана. [1]

Пример 2:


Теорема Гурвица и ее приложение

Теорема Гурвица и ее приложениеТеорема Гурвица и ее приложение


Можно ответить на вопрос Гурвица в случае s=n. Это сделал сам Гурвиц в конце жизни, через 20 лет после того, как поставил свой вопрос. Ответ, оказывается, связан с представлениями алгебр Клиффорда. Ответ звучит так: формула типа (r, n, n) существует тогда и только тогда, когда число r не превосходит числа p, зависящего от n следующим образом. Пусть Теорема Гурвица и ее приложение-наибольшая степень двойки, на которую делится число n. Разделим Теорема Гурвица и ее приложение на 4 с остатком. Обозначим через a неполное частное, а через b остаток. Тогда Теорема Гурвица и ее приложение=4a+b, Теорема Гурвица и ее приложение. Число p равно Теорема Гурвица и ее приложение[5]


6. Приложение теоремы Гурвица


В 1878 г. Немецкий математик Г. Фробениус доказал следующую замечательную теорему.

Теорема Фробениуса. Любая ассоциативная алгебра с делением изоморфна одной из трех: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел или алгебре кватернионов.

Впоследствии был установлен более общий результат, который можно назвать обобщенной теоремой Фробениуса.

Обобщенная теорема Фробениуса. Любая альтернативная алгебра с делением изоморфна одной из четырех алгебр: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел, алгебре кватернионов или алгебре октав.

Альтернативной алгеброй называется алгебра, в которой для любых двух элементов a, b справедливы равенства Теорема Гурвица и ее приложение,Теорема Гурвица и ее приложение.

Чтобы доказать эти теоремы, перечислим сначала некоторые свойства ассоциативной алгебры с делением.

Утверждение 1. Алгебра А содержит 1.

Утверждение 2. Если элемент Теорема Гурвица и ее приложение не пропорционален 1, то совокупность Теорема Гурвица и ее приложение элементов вида Теорема Гурвица и ее приложение образует подалгебру, изоморфную алгебре комплексных чисел.

Утверждение 3. Если элементы Теорема Гурвица и ее приложение не принадлежат одной подалгебре Теорема Гурвица и ее приложение, то совокупностьТеорема Гурвица и ее приложение элементов видаТеорема Гурвица и ее приложение образует подалгебру, изоморфную алгебре кватернионов.

Доказательство теоремы Фробениуса.

Дадим сначала другое определение альтернативной алгебры.

Пусть a, b –два произвольных элемента алгебра А. Рассмотрим всевозможные произведения, составленные из них. Если каждое такое произведение не зависит от способа расстановки скобок, алгебра А называется альтернативной.

При доказательстве теоремы будем использовать второе определение альтернативности, т.е. докажем следующую теорему: Если алгебра А с делением такова, что любое произведение, составленное из двух произвольных элементов a, b, не зависит от расстановки скобок, то алгебра А изоморфна одной из четырех алгебр: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел, алгебре кватернионов или алгебре октав.

Доказательство утверждения 1. Найдя элемент е из уравнения xa=a и умножив обе части равенства ea=a слева на е, получим e(ea)=ea или, учитывая ее альтернативность, (ee)a=ea. Отсюда следует, что ее=е. Опять-таки в силу альтернативности имеем (be)e=b(ee) и e(ec)=(ee)c, т.е. (be)e=be и e(ec)=ec. Отсюда следует be=b и ec=c. Значит е - единица алгебры.

Другие утверждения примем без доказательства.

Попытаемся доказать, что алгебра А является нормированной. Отсюда по теореме Гурвица будет следовать нужный нам результат.

Введем в алгебре А операцию сопряжения следующим образом. Если элемент а пропорционален 1, то Теорема Гурвица и ее приложение. Если же а не пропорционален 1, то, согласно утверждению 2, он содержится в комплексной подалгебре Теорема Гурвица и ее приложение. В этой подалгебре для элемента а имеется сопряженный элемент Теорема Гурвица и ее приложение, который мы и примем за элемент, сопряженный к а в алгебре А.

Из определения Теорема Гурвица и ее приложение непосредственно вытекает Теорема Гурвица и ее приложение, а также Теорема Гурвица и ее приложение, где Теорема Гурвица и ее приложение - любое.

Для вывода других свойств сопряжения нам необходимо выяснить один вопрос. Пусть элемент а не пропорционален 1. Рассмотрим какую-либо кватернионную подалгебру Теорема Гурвица и ее приложение, содержащую а. В этой подалгебре для а тоже имеется сопряженный элемент Теорема Гурвица и ее приложение. Будет ли он совпадать с определенным выше элементом Теорема Гурвица и ее приложение? Покажем, что будет.

Элементы а и Теорема Гурвица и ее приложение, как сопряженные в комплексной алгебре, удовлетворяют условиям Теорема Гурвица и ее приложение и Теорема Гурвица и ее приложение, где t, p – действительные числа.

Элементы а и Теорема Гурвица и ее приложение как сопряженные в алгебре кватернионов удовлетворяют аналогичным условиям: Теорема Гурвица и ее приложение и Теорема Гурвица и ее приложение, где k, l – действительные числа.

Вычтем из последних равенств предыдущие, получим: Теорема Гурвица и ее приложение и Теорема Гурвица и ее приложение и если Теорема Гурвица и ее приложение, то из этих соотношений вытекает, что элемент а пропорционален 1, что противоречит предположению.

Т.о., элемент, сопряженный а, один и тот же, независимо от того, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной подалгебры Теорема Гурвица и ее приложение (т.е. как комплексное число) или же как элемент какой-либо подалгебры Теорема Гурвица и ее приложение(т.е. как кватернион).

Заметим попутно, что то же самое относится и к модулю элемента а. Поскольку Теорема Гурвица и ее приложение как в случае комплексных чисел, так и в случае кватернионов, то модуль элемента а не зависит от ого, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной или же кватернионной подалгебры.

Из того, что доказано нами относительно сопряжения, легко следует, что для любых двух элементов a и b алгебры А справедливы равенства


Теорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложение


Действительно, если a и b принадлежат одной комплексной подалгебре (т.е. Теорема Гурвица и ее приложение совпадает с Теорема Гурвица и ее приложение), то написанные равенства суть свойства сопряжения в этой подалгебре; если же b не содержится в Теорема Гурвица и ее приложение, то эти равенства снова справедливы – уже как свойства сопряжения в Теорема Гурвица и ее приложение.

Из Теорема Гурвица и ее приложение и из Теорема Гурвица и ее приложение вытекает, что элемент, сопряженный Теорема Гурвица и ее приложение равен Теорема Гурвица и ее приложение; следовательно, Теорема Гурвица и ее приложение, n – действительное число.

Определим в алгебре А скалярное произведение (a, b) с помощью формулы Теорема Гурвица и ее приложение. Что выражение (a, b) обладает всеми свойствами скалярного произведения, проверяется просто. Напомним эти свойства:


Теорема Гурвица и ее приложение, если Теорема Гурвица и ее приложение и (0,0)=0

Теорема Гурвица и ее приложение

Теорема Гурвица и ее приложение

Теорема Гурвица и ее приложение


В данном случае свойство 2 очевидно, 2-е свойство вытекает из Теорема Гурвица и ее приложение, 3-е из Теорема Гурвица и ее приложение. Для доказательства 1-го свойства следует написать


Теорема Гурвица и ее приложениеТеорема Гурвица и ее приложение


и учесть, что модуль комплексного числа а строго положителен, если Теорема Гурвица и ее приложение, и равен нулю, если а=0.

Заметим, что из последнего равенства следует Теорема Гурвица и ее приложение, т.е. норма элемента а в алгебре А совпадает с модулем а как комплексного числа (или кватерниона).

Т.к. любые 2 элемента a и b алгебры А принадлежат одной комплексной или одной кватернионной подалгебре, то Теорема Гурвица и ее приложение (ведь алгебра комплексных чисел, так же как и алгебра кватернионов, является нормированной), или (ab,ab)=(a,a)(b,b). Но это равенство как раз и означает нормированность алгебры А. Дальше вступает теорема Гурвица, согласно которой алгебра А изоморфна одной из четырех алгебр: действительных чисел, кватернионов, октав. В этом как раз и заключается обобщенная теорема Фробениуса.[7]

Приведем еще одно применение теоремы Гурвица (или тождества Гамильтона).

Теорема Лагранжа.


Теорема Гурвица и ее приложение.


Лемма. Для любого простого числа p>2 найдется число Теорема Гурвица и ее приложение , такое что mp=aТеорема Гурвица и ее приложение+bТеорема Гурвица и ее приложение+cТеорема Гурвица и ее приложение, a, b, cТеорема Гурвица и ее приложение.

Доказательство:

Рассмотрим два множества чисел:


K={0, 1, 4, ..., Теорема Гурвица и ее приложение}, L={-1-0, -1-1, -1-4, ..., -1-Теорема Гурвица и ее приложение}.


В каждом из множеств числа попарно несравнимы по модулю p. В самом деле, возьмем Теорема Гурвица и ее приложение из множества K (или, эквивалентно, -1-kТеорема Гурвица и ее приложение-1-kТеорема Гурвица и ее приложение из множества L), где Теорема Гурвица и ее приложение, Теорема Гурвица и ее приложение. Если kТеорема Гурвица и ее приложениеkТеорема Гурвица и ее приложение(mod p), то (kТеорема Гурвица и ее приложение+kТеорема Гурвица и ее приложение)(kТеорема Гурвица и ее приложение-kТеорема Гурвица и ее приложение)Теорема Гурвица и ее приложение 0 (mod p). . Но 0< kТеорема Гурвица и ее приложение+kТеорема Гурвица и ее приложение <p и 0<| kТеорема Гурвица и ее приложение-kТеорема Гурвица и ее приложение|<p, поскольку kТеорема Гурвица и ее приложение<p/2, kТеорема Гурвица и ее приложение<p/2 и Теорема Гурвица и ее приложение. Противоречие.

Всего в этих двух множествах p+1 чисел, следовательно, среди них найдутся сравнимые по модулю p, т. е. такие числа Теорема Гурвица и ее приложение из первого множества и Теорема Гурвица и ее приложение из второго, что Теорема Гурвица и ее приложение. Откуда Теорема Гурвица и ее приложение для некоторого Теорема Гурвица и ее приложение. Теперь, поскольку k<p/2, Теорема Гурвица и ее приложение<p/2, получаем mp=Теорема Гурвица и ее приложение<Теорема Гурвица и ее приложение<Теорема Гурвица и ее приложение, а значит, m<p. Лемма доказана.

Доказательство теоремы Лагранжа:

Докажем, что любое простое число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Для p=2 имеем Теорема Гурвица и ее приложение. Для p>2, по предыдущей лемме, найдется такое m<p, что число mp можно представить в виде mp=Теорема Гурвица и ее приложение(nТеорема Гурвица и ее приложение можно положить равным 0). Выберем теперь минимальное натуральное m, обладающее таким свойством. Покажем, что оно равно 1. Пусть m четно. Тогда либо все nТеорема Гурвица и ее приложение имеют одинаковую четность, либо среди них есть два четных и два нечетных (нумерация этих чисел не важна, поэтому пусть nТеорема Гурвица и ее приложение nТеорема Гурвица и ее приложение(mod 2), а nТеорема Гурвица и ее приложениеnТеорема Гурвица и ее приложение(mod 2). В обоих случаях числа


Теорема Гурвица и ее приложение являются целыми. Имеем:

Теорема Гурвица и ее приложениеТеорема Гурвица и ее приложение=Теорема Гурвица и ее приложение,


значит, Теорема Гурвица и ее приложение также представляется в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Но Теорема Гурвица и ее приложение, а m, по предположению, минимальное число с таким свойством. Противоречие.

Пусть m нечетно. Тогда числа nТеорема Гурвица и ее приложение можно представить в виде nТеорема Гурвица и ее приложение=qТеорема Гурвица и ее приложениеm+mТеорема Гурвица и ее приложение(Теорема Гурвица и ее приложение). причем |mТеорема Гурвица и ее приложение|<Теорема Гурвица и ее приложение. Тогда


mp=Теорема Гурвица и ее приложение =sm+Теорема Гурвица и ее приложение,


где s - некоторое целое число.

Следовательно, Теорема Гурвица и ее приложение=mn , где n - неотрицательное целое число. Если n=0, то все mТеорема Гурвица и ее приложение=0, nТеорема Гурвица и ее приложение=qТеорема Гурвица и ее приложениеm, и тогда mp=Теорема Гурвица и ее приложение =mТеорема Гурвица и ее приложениеk, где k - натуральное, т. е. p=mk, m<p, а это означает, что m=1. Предположим теперь, что nТеорема Гурвица и ее приложение1. По теореме Гурвица получаем


(Теорема Гурвица и ее приложение)(Теорема Гурвица и ее приложение)=Теорема Гурвица и ее приложение, где

sТеорема Гурвица и ее приложение=Теорема Гурвица и ее приложение,

sТеорема Гурвица и ее приложение=Теорема Гурвица и ее приложение,

sТеорема Гурвица и ее приложение=Теорема Гурвица и ее приложение,

sТеорема Гурвица и ее приложение=Теорема Гурвица и ее приложение.


По определению, mТеорема Гурвица и ее приложениеnТеорема Гурвица и ее приложение(mod m), т. е. sТеорема Гурвица и ее приложениеТеорема Гурвица и ее приложениеТеорема Гурвица и ее приложение 0(mod m) и, значит, Теорема Гурвица и ее приложение. Аналогично доказывается, что Теорема Гурвица и ее приложение при i=2, 3, 4. Но тогда (в силу неравенств |mТеорема Гурвица и ее приложение|<Теорема Гурвица и ее приложение) получаем: nm=Теорема Гурвица и ее приложениеТеорема Гурвица и ее приложение , т. е. n<m, и в итоге mp*nm=Теорема Гурвица и ее приложение, откуда np=Теорема Гурвица и ее приложение, что противоречит минимальности m. Итак, всякое простое число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Тогда, по теореме Гурвица, и любое составное число представимо в таком виде. Наконец, 1=Теорема Гурвица и ее приложение. Теорема доказана.[6]

Пример 3.


Теорема Гурвица и ее приложение


Заключение


Мы рассмотрели различные системы «чисел», которые можно построить, исходя из действительных чисел, путем добавления рядя «мнимых единиц». Доказали, что существуют тождества с большим, чем 2, числом квадратов и описали их (теорема Гурвица). Было выяснено, что


Теорема Гурвица и ее приложение

Теорема Гурвица и ее приложение+Теорема Гурвица и ее приложение

Теорема Гурвица и ее приложение

=Теорема Гурвица и ее приложение+

Теорема Гурвица и ее приложение+

Теорема Гурвица и ее приложение

Теорема Гурвица и ее приложение


Так же было найдено приложение теоремы Гурвица.

Я добилась целей, которые перед собой поставила.

Список используемой литературы


Charles W. Curtis “Linear algebra” An Introductory Approach (Fourth Edition), Springer Verlag, 1984, xvii - 347 pp.

Rowe David E. “Jewish Mathematics” at Gцttingen in the Era of Felix Klein. Isis, Vol. 77, No. 3, (Sep., 1986) – 432 pp

Калужин Л. А. “Основная теорема арифметики, Популярные лекции по математике” М.: Наука, 1969 г. - 32 стр.

Кантор И.Л., Солодовников А.С. “Гиперкомплексные числа” М.: Наука, 1973. - 144 с.

Тиморин В.А. “Квадратичная математика” - 2005

Тихомиров В. М. “ Великие математики прошлого и их великие теоремы” М.: МЦНМО, 2003.- 16 с.

Херстейн И. “Некоммутативные кольца” М.: Мир, 1972. - 192 c.

Рефетека ру refoteka@gmail.com