Московский Государственный Институт Электроники и Математики

(Технический Университет)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по теме “Теория случайных функций“

Студент: Айдаров Д.А.

Вариант: 2.4.5.б

Преподаватель: Попка А.И.

Шымкент 2009

Дано: Восстанавливаемая, резервированная система (5,1) с КПУ, вероятность срабатывания КПУравна .

Время невыхода из строя (т.е. безотказной работы) основного элемента распределено экспоненциально с параметром .

Время восстановления вышедшего из строя элемента распределено экспоненциально с параметром .

Тип резервирования - ненагруженный.

Для описания состояния системы введем двумерный случайный процесс (t) = ((t), (t)) с координатами, описывающими:

- функционирование элементов

(t)  {0, 1, 2} - число неисправных элементов;

- функционирование КПУ

(t)  {0,1} - 1 - 1, если исправен, 0 - если нет.

Так как времена безотказной работы и восстановления имеют экспоненциальное распределение, то в силу свойств экспоненциального распределения, получим, что (t) - однородный Марковский процесс.

Определим состояние отказа системы:

Система отказывает либо если переходит в состояние 2 процесса (t) (т.е. отказ какого-либо элемента при количестве резервных элементов, равным нулю), либо если находится в состоянии 0 процесса (t) (т.е. отказ какого-либо элемента и отказ КПУ).

Таким образом, можно построить граф состояний системы:

0 1

П

0 - состояние, при котором 0 неисправных элементов, т.е. состояние (t) = (0, (t))

1 - состояние, при котором 1 неисправный элемент, т.е. состояние (t) = (1, 1)

П - состояние, при котором либо 2 неисправных  элемента, либо 1 неисправный элемент и неисправный КПУ, т.е. композиция состояний (t) = (1, 1), (t) =(2, 0) - поглощающее состояние.

Найдем интенсивности переходов.

Так как выход из строя каждого из элементов - события независимые, то получим:

вероятность выхода из строя элемента: 1-exp(-5h) 5h + o(h)

вероятность восстановления элемента: 1-exp(-h) h + o(h)



Пусть

Получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

Пусть ,

т.е. применим преобразование Лапласа к .

Т.к. , то, подставляя значения интенсивностей, получаем:





корни 

Представляя каждую из полученных функций в виде суммы двух правильных дробей, получаем:

Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем выражения для функций :



Искомая вероятность невыхода системы из строя за время t:



Где

,

Итак,



Где

Определим теперь среднее время жизни такой системы, т.е. MT (T - время жизни системы):

