Рефетека.ру / Математика

Дипломная работа: Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел

Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


Математический факультет


Кафедра математического анализа и МПМ


Выпускная квалификационная работа


ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ


Выполнила студентка 5 курса

математического факультета Лоптева О. Н.

_____________________________/подпись/


Научный руководитель:

к.ф.-м.н., доц. Варанкина В. И.

_____________________________/подпись/


Рецензент:

к.ф.-м.н., доц. Здоровенко М. Ю.

_____________________________/подпись/


Допущена к защите в ГАК


Зав. кафедрой_______________________ Крутихина М. В.

«____»______________________________

Декан факультета____________________ Варанкина В. И.

«____»______________________________


КИРОВ, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ


Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3


Глава 1

Исходные определения

§1. Порядковые определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

§2. Топологические определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5


Глава 2

Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел

§1. Вполне упорядоченные множества и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

§2. Конечные цепи и их порядковые типы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

§3. Порядковый тип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

§4. Свойства ординальных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

§5. Пространство ординальных чисел W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) и его свойства. . . . . . . . . . . .18

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


ВВЕДЕНИЕ


Идеи топологии были высказаны ещё выдающимися математиками 19 века: Н. И. Лобачевским, Риманом, Пуанкаре, Кантором, Гильбертом и Бауэром. Однако общая топология, как её понимают сейчас, ведёт начало от Хаусдорфа («Теория множеств», 1914).

Истоки теории упорядоченных и частично упорядоченных алгебраических систем лежат в геометрии, функциональном анализе и алгебре.

Линейно упорядоченные пространства, в том числе и линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, объединяют в себе две структуры: порядковую и топологическую. Систематического изложения теории пространства ординальных чисел не существует. Этим объясняется актуальность выбранной темы.

Целью дипломной работы является исследование пространства ординальных чисел, его порядковых и топологических свойств. В первой главе будут даны основные понятия теории множеств и общей топологии, а во второй главе будет введено понятие порядкового типа, установлены свойства порядковых чисел, а также проведено исследование пространства ординальных чисел, имеющее важное значение для данной работы. Будет доказана хаусдорфовость, нормальность, локальная компактность, счётная компактность, неметризуемость и некоторые другие свойства линейно упорядоченного пространства ординальных чисел.


ГЛАВА 1. Исходные определения и теоремы.


§1. ПОРЯДКОВЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Определение 1.1. Упорядоченным множеством называется непустое множество Х вместе с заданным на нём бинарным отношением порядкаЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел, которое:

рефлексивно: а Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел a;

транзитивно: a Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел b Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел c Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел a Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел c;

антисимметрично: a Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел b Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел a Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел a = b ( для любых a, b, cЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселX ).

Элементы упорядоченного множества называются сравнимыми, если

а < b, a = b или b < a.

Замечание: по определению будем считать, что a < b, если a Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел b и a Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел b.

Определение 1.2. Упорядоченное множество называется линейно упорядоченным, или цепью, если любые его два элемента сравнимы.

Определение 1.3. Элемент а упорядоченного множества Х называется наименьшим (наибольшим) элементом множества АЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселХ, если аЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселА и а Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел х

Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел а) для любого х Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселА.

Определение 1.4. Элемент а упорядоченного множества Х называется минимальным (максимальным) элементом множества АЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселХ, если в А нет элементов, меньших (больших) а, то есть если х Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел а (а Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел х) для некоторого хЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел, то х = а.

Определение 1.5. Пусть А – непустое подмножество линейно упорядоченного множества Х. Элемент а из Х называется верхней (нижней) гранью множества А, если он больше (меньше) любого элемента из А.

Определение 1.6. Если множество А имеет хотя бы одну верхнюю (нижнюю) грань, то А называется ограниченным сверху (ограниченным снизу).

Определение 1.7. Множество А называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

Определение 1.8. Точной верхней гранью множества А называется наименьший элемент множества всех верхних граней множества А. Обозначается sup A.

Определение 1.9. Точной нижней гранью множества А называется наибольший элемент множества всех нижних граней множества А. Обозначается inf A.

Определение 1.10. Пусть <X, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел> - линейно упорядоченное множество, содержащее, по крайней мере, два элемента. Для а, bЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселX, a < b положим

(a, b) = {xЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселX: a < x < b}. Такие множества будем называть интервалами в Х. Множество [a, b] = { xЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселX : a Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел x Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел b} называется отрезком в Х.

Определение 1.11. Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент.

Определение 1.12. Пусть М и М1 – упорядоченные множества и пусть f – взаимно однозначное отображение М на М1. Отображение сохраняет порядок, если из того, что a Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел b ( a, bЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселM ), следует, что f (a) Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел f (b) (в М1). Отображение f называется изоморфизмом упорядоченных множеств М и М1, если соотношение f (a) Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел f (b) выполнено в том и только в том случае, если a Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел b. При этом множества М и М1 называются изоморфными между собой.

§2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.


Определение 1.13. Топологическим пространством называется пара (Х,Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел), состоящая из множества Х и некоторого семейства Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел подмножеств множества Х, удовлетворяющая следующим условиям:

множество Х и Ж принадлежат Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел ;

пересечение конечного числа множеств из Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел принадлежат Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел;

объединение любого числа множеств из Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел принадлежит Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Условия 1 – 3 называются аксиомами топологического пространства, его элементы – точками пространства. Подмножества множества Х, принадлежащие семейству Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, называются открытыми в Х. Семейство Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел открытых подмножеств пространства Х называется также топологией на Х.

Определение 1.14. Замкнутым множеством называется множество, которое является дополнением к открытому.

Определение 1.15. Окрестностью точки х топологического пространства называется любое открытое множество U, содержащее х.

Определение 1.16. Топологическое пространство Х называется компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.

Определение 1.17. Топологическое пространство Х называется компактным, если любая его центрированная система замкнутых множеств в Х имеет непустое пересечение.

Определения 1.16 и 1.17 равносильны ([5]).

Определение 1.18. Пространство Х называется локально компактным, если каждая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.

Определение 1.19. Топологическое пространство Х называется счётно компактным, если из каждого счётного открытого покрытия пространства Х можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение 1.20. Топологическое пространство Х называется счётно компактным, если каждое его бесконечное подмножество содержит хотя бы одну предельную точку.

Определения 1.19 и 1.20 равносильны ([5]).

Определение 1.21. Пространство Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел называется компактификацией топологического пространства Х, если:

1) Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел компактно;

2) Х – подпространство Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел;

3) Х плотно в Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Определение 1.22. Топологическое пространство Х называется Т1-пространством, если для каждой пары различных точек х1, х2Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел существует открытое множество Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, такое, что х1Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и х2Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Определение 1.23. Если любые две различные точки х и у топологического пространства Х имеют непересекающиеся окрестности, то пространство Х называется хаусдорфовым пространством или Т2-пространством.

Определение 1.24. Топологическое пространство Х называется регулярным пространством, или Т3-пространством, если Х есть Т1-пространство и для любого Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и каждого замкнутого множества Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, такого, что Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, существуют открытые множества U1 и U2, такие, что Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел2 и U1Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселU2 = Ж.

Определение 1.25. Топологическое пространство Х называется тихоновским пространством, или Т3Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел-пространством, если Х есть Т1-пространство и для любого Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и любого замкнутого множества Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, такого, что Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, существует непрерывная функция f: Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, такая, что f(x)=0 и f(y)=1 для Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Определение 1.26. Топологическое пространство Х называется нормальным, или Т4-пространством, если для каждой пары непересекающихся замкнутых множеств А и В существуют непересекающиеся открытые множества U и V такие, что АЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселU, BЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселV.


ГЛАВА 2. Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.


§1.ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И ИХ СВОЙСТВА.

Рассмотрим вполне упорядоченные множества и их свойства.

Предложение 1.1. Всякое подмножество вполне упорядоченного множества само есть вполне упорядоченное множество (очевидно).

Предложение 1.2. Если f – изоморфизм вполне упорядоченного множества А в себя, то для любого элемента хЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселА выполняется неравенство f (x)Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселx. (1)

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что в А есть элементы х, не удовлетворяющие неравенству (1). Тогда среди этих элементов есть наименьший, так как А является вполне упорядоченным. Обозначим его через х1 : f (x1)<x1. Обозначим f (x1) = x0 и перепишем неравенство: х0<х1. Так как f – изоморфизм, то выполняется неравенство: f(x0)<f (x1) = x0.

Таким образом, получили следующие неравенства: х0 < x1 и f (x0) < x0 . Эти неравенства противоречат определению элемента х1, как наименьшего из элементов х множества А, не удовлетворяющих условию f (x) < x. ■

Определение 2.1. Начальным отрезком, отсекаемым элементом аЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселА от линейно упорядоченного множества А, называется множество Аа = {x | x Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел A, x < a}.

Предложение 1.3. Пусть А’ – произвольное подмножество вполне упорядоченного множества А. Тогда множество А не изоморфно никакому отрезку множества А’.

Доказательство:

Будем доказывать методом от противного и предположим, что существует изоморфизм вполне упорядоченного множества А в некоторый отрезок Ах’ подмножества А’Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселА. Тогда f (x) Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел Ax’. Следовательно, f (x) < x – противоречие с предложением 1.2. ■

Следствие 1.4. Два различных отрезка вполне упорядоченного множества не могут быть изоморфны между собою.

Доказательство.

Пусть Ах и Ау – два различных отрезка вполне упорядоченного множества А. Так как Ах и Ау различны, а множество А – вполне упорядочено, то х и у сравнимы, при этом хЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселу. Пусть для определённости x < y. Тогда Ах – отрезок множества Ау и по предложению 1.3 Ах и Ау не могут быть изоморфными. ■

Предложение 1.5. Существует не более одного изоморфизма одного вполне упорядоченного множества на другое.

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что f и g – два различных изоморфизма вполне упорядоченного множества А на вполне упорядоченное множество В. Так как f и g различны, то существует аЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселА: b = f (a) Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел b’ = g (a). Пусть для определённости b < b’. При всяком изоморфизме f множества А на множество В отрезок Ах Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел А переходит в отрезок Ву Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел В, где у = f (х). Поэтому отрезок Аа Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселА подобен отрезкам

Вb Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел В и Вb’ Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел B, т. е. Bb изоморфен Aa и Аа изоморфен Вb’. Следовательно, отрезок Вb изоморфен отрезку Bb’ , но это противоречит следствию 1.4. ■

Определение 2.2. Если для элемента а Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел А существует элемент а’ =

= inf {x | a < x, x Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел A}, то а’ называется непосредственно следующим за а.

Предложение 1.6. Если А – вполне упорядоченное множество, то у каждого элемента множества А, кроме наибольшего, имеется непосредственно следующий за ним элемент.

Доказательство.

Возьмём некоторый элемент аЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселА, пусть а не является наибольшим элементом. Рассмотрим множество {x | x Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел A, x > а}. По предложению 1.1 оно имеет наименьший элемент а’, который является точной нижней гранью рассматриваемого множества. Следовательно, а’ следует за а. ■


§2. КОНЕЧНЫЕ ЦЕПИ И ИХ ПОРЯДКОВЫЕ ТИПЫ.


Предложение 2.1. Множество из n элементов можно линейно упорядочить n! способами.

Доказательство.

Для доказательства достаточно применить формулу числа перестановок для n-элементного множества: Рn=n! ■

Предложение 2.2. Любое конечное линейно упорядоченное множество является вполне упорядоченным множеством.

Доказательство.

Пусть есть множество А – конечное линейно упорядоченное множество. Надо доказать, что А является вполне упорядоченным, то есть любое его подмножество имеет наименьший элемент. Рассмотрим произвольное множество В, являющееся подмножеством множества А. Предположим, что оно не имеет наименьшего элемента. Возьмём какой-нибудь элемент множества В. Обозначим его через b1. Так как в В нет наименьшего элемента, то в нём есть элемент b2, такой, что b2 < b1. Элемент b2 не является наименьшим элементом в В, поэтому имеется элемент b3<b2. Повторяя это рассуждение, строим для каждого натурального n элемент bn+1 Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел B, причём bn+1 < bn.

Таким образом, получили бесконечное множество {b1, b2, . . . ,bn, . . }Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, но это противоречит тому, что В – подмножество конечного множества А и, следовательно, само является конечным. ■

Предложение 2.3. Любые две конечные цепи, состоящие из n элементов, изоморфны.

Доказательство.

пусть есть две конечные цепи из n элементов:

a1 < a2 <…< an,

b1 < b2 <…< bn.

Для каждого аi положим f (ai) = bi. Очевидно, что отображение f является изоморфизмом. ■

Замечание: бесконечные линейно упорядоченные множества одинаковой мощности могут и не быть изоморфными. Например, множество натуральных чисел и множество целых чисел с естественными порядками. Мощности этих множеств равны, но они не являются изоморфными, так как в N есть наименьший элемент, а в Z наименьшего элемента нет.

Определение 2.3. Порядковым типом линейно упорядоченного множества А называется класс всех линейно упорядоченных множеств, изоморфных множеству А.

Будем считать, что порядковый тип пустого множества есть 0.

Обозначим через n порядковый тип n – элементного множества

Nn = {0, 1, 2,…, n - 1} с порядком 0 < 1 < 2 <…< n-1.


§3.ПОРЯДКОВЫЙ ТИП Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.


Определение 2.4. Множество натуральных чисел с естественным порядком и все изоморфные ему линейно упорядоченные множества называются множествами порядкового типа Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Предложение 3.1. Бесконечное линейно упорядоченное множество А имеет порядковый тип Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

во множестве А имеется наименьший элемент a0;

для любого аЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселА существует точная нижняя грань а’ во множестве {x | a < x, x Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел A};

3) для любого подмножества Х множества А из того, что а0Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселХ и Х

содержит вместе с каждым своим элементом непосредственно следующий за ним элемент, следует, что Х = А.

Доказательство.

Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел Пусть линейно упорядоченное множество А удовлетворяет условиям 1)- 3). Докажем, что А имеет порядковый тип Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, то есть А изоморфно множеству N.

Из условия (1) следует существование во множестве А наименьшего элемента а0.

Рассмотрим отображение f: N Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел A, заданное таким образом: f (0) = a0,

f (n + 1) = (f (n))’, где n = 0, 1, 2,… Существование (f (n))’ для каждого n обеспечивается условием (2). Тогда вследствие условия (3) f(N)=A. Таким образом, f инъективно и сюръективно, следовательно, взаимно однозначно. Докажем, что f сохраняет порядок: возьмём n, m Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел N, пусть для определённости n < m . Из условия (2) следует, что f (n) < (f (n))’ Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел f (m),

то есть f (n) < f (m). Следовательно, f сохраняет порядок.

Таким образом, f – взаимно однозначное отображение N Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел A, сохраняющее порядок. Следовательно, множество А имеет порядковый тип Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел Пусть есть бесконечное линейно упорядоченное множество А, имеющее порядковый тип Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. Множество N удовлетворяет условиям 1) – 3), а множество А изоморфно ему, поэтому и множество А удовлетворяет условиям 1) – 3). ■

Определение 2.5. Порядковым типом Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел* называется класс линейно упорядоченных множеств, эквивалентных множеству N с двойственным порядком: 1 > 2 > 3 >…

Предложение 3.2. упорядоченное множество является вполне упорядоченным тогда и только тогда, когда оно не содержит подмножество типа Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел*.

Доказательство.

Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел Предположим, что вполне упорядоченное множество А содержит подмножество Х типа Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел*. Тогда в Х нет наименьшего элемента, что противоречит вполне упорядоченности множества А. Следовательно, в А нет подмножеств типа Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел*.

Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел Пусть множество А не содержит подмножество типа Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел*. Докажем, что А является вполне упорядоченным множеством. Предположим, что это не так, т. е. А содержит подмножество В, в котором нет наименьшего элемента. Возьмём какой-нибудь элемент множества В, обозначим его b1. Так как в В нет наименьшего элемента, то существует элемент b2Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, для которого b2 < b1. Повторяя это рассуждение, строим для каждого n Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселN элемент bn+1 Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел B, причём:

bn+1 < bn.

Получили множество {b1, b2, … , bn, . . .} которое является подмножеством множества А и имеет тип Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел* - противоречие. ■


§4. СВОЙСТВА ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.


Про изоморфные между собой линейно упорядоченные множества мы будем говорить, что они имеют один и тот же порядковый тип.

Со времён Кантора порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются порядковыми или ординальными числами (ординалами). Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств называются трансфинитными числами (трансфинитами).

Определение 2.6. Порядковое число Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел меньше порядкового числа Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел), если какое-либо вполне упорядоченное множество типа Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел изоморфно некоторому отрезку какого-нибудь вполне упорядоченного множества типа Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Пусть Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел - некоторое ординальное число. Обозначим W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) – множество всех ординальных чисел, меньших Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Теорема 4.1. Отношение Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, установленное для ординальных чисел, превращает множество W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) всех ординальных чисел, меньших данного ординального числа Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, во вполне упорядоченное множество типа Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Доказательство.

Из определения 2.6 следует, что множество W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех отрезков Ах произвольно выбранного множества А типа Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел; так как отрезки Ах взаимно однозначно соответствуют элементам х Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел А, то имеем взаимно однозначное соответствие Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел = f (х), х Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел А, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) между множеством W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) и множеством А типа Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. При этом соответствии из х < x’ в А следует, что Ах есть отрезок множества Ах’ , значит, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел = f (x) < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел = f (x’) в W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел), и обратно. ■

Определение 2.7. Пара (А, В) непустых подмножеств линейно упорядоченного множества Х называется сечением множества Х, если:

А Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел В = Х;

2) А Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел В = Ж;

3) для любых х Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел А и у Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел В выполняется неравенство х < у.

Теорема 4.2. Для любых двух ординальных чисел Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел всегда осуществляется одно и только одно из трёх случаев: либо Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, либо Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел = Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, либо Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел > Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Доказательство.

Пусть даны два ординальных числа Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. Из определения 2.6 и предложения 1.4 следует, что Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел могут удовлетворять не более, чем одному из трёх отношений: Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел = Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел > Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Обозначим через D множество W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел). Это множество является вполне упорядоченным. Обозначим его порядковый тип через Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. Докажем неравенства Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. Достаточно доказать одно из них. Докажем, например, первое. Имеем D Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел). Если D = W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел), то Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел есть порядковый тип множества W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел), то есть Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел = Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. Пусть D Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел). Разбиение W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) = DЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел(W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел)\D) есть сечение во вполне упорядоченном множестве W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел). В самом деле, пусть х Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел D, у Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел)\D. Так как W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) линейно упорядочено, то либо х < y, либо у < х. Покажем, что второй случай невозможен. Действительно, так как хЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселW (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел), хЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселW (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел), то одновременно х < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и х < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. Если бы было у < х, то было бы у < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, у < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, то есть у Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел D. Итак, доказано, что х < у для любых х Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел D, у Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел)\D, а это и означает, что (D, W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел)\D) есть сечение в W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел). Пусть Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел есть первый элемент в W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел)\D. Тогда отрезок, отсекаемый в W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) элементом Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, совпадает с D, то есть Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел есть порядковый тип множества D, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел = Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Аналогично доказывается, что Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Однако, неравенства Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел не могут быть выполнены одновременно, так как в этом случае мы имели бы Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселD, так что Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел было бы типом отрезка множества D и не могло бы быть типом всего D.

Таким образом, имеются лишь следующие возможности:

1) Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел = Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел = Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и, значит, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел = Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел;

2) Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел = Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел = Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и, значит, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел;

3) Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел = Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и, значит, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. ■


Теорема 4.3. Любое множество А, состоящее из ординальных чисел, вполне упорядочено.

Доказательство.

Линейная упорядоченность множества А следует из теоремы 4.2. Остаётся доказать, что любое непустое множество A’ Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел А имеет наименьший элемент.

Возьмём какой-нибудь элемент а’ Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел A’. Если а’ – наименьший из чисел

х Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел А’, то всё доказано. Если же нет, то пересечение W (a’) Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел A’ непусто и, будучи подмножеством вполне упорядоченного множества W (a’), содержит первый элемент а. Ординальное число а и является наименьшим элементом в A’. ■

Определение 2.8. Пусть имеются два упорядоченных множества А и В, не имеющие общих элементов. Рассмотрим множество АЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселВ, состоящее из всех элементов аЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселА и bЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселB. Превратим множество АЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселВ в упорядоченное множество А+В, введя в него порядок таким образом: если а<a’ в A или b<b’ в В, то те же отношения сохраняются в А+В; если же аЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселА, bЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселВ, то положим a<b в А+В. Упорядоченное таким образом множество А+В называется порядковой суммой упорядоченных множеств А и В. Если Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел есть порядковые типы множеств А и В, то порядковый тип множества А+В называется суммой Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел порядковых типов Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Теорема 4.4. Пусть Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел - какое-нибудь ординальное число. Тогда Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1 есть ординальное число, непосредственно следующее за Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Доказательство.

Пусть А – какое-нибудь вполне упорядоченное множество типа Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. По определению сложения порядковых типов множество А’ типа Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1 получим, если присоединим к А новый элемент а’, следующий за всеми элементами аЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселА. Тогда A = A’a’, то есть Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1.

Всякое ординальное число Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел’< Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1 является типом некоторого отрезка Аx’ множества A’. Но если х = а’, то Аx’ = A’a’ = A и Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел’ = Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел; если же x = a < a’, то Ax’ = Aa и Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел’ < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. ■

Теорема 4.5. Пусть А и В – вполне упорядоченные множества. Пусть Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел - их порядковые типы. Если А Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел В, то Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. Тогда множество В изоморфно отрезку своего подмножества А, а это противоречит предложению 1.3. ■

Теорема 4.6. Сумма любых ординальных чисел хЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел (данных в любом порядке) есть ординальное число Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, не меньшее, чем любое из данных слагаемых хЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Доказательство.

Пусть дано некоторое ординальное число Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и каждому Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел поставлено в соответствие ординальное число хЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел. Пусть Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел - сумма по типу Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел всех ординальных чисел хЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел; обозначим её через Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел =Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Если ХЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел - какое-нибудь множество, упорядоченное по типу хЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел, то сумма вполне упорядоченного (по типу W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел)) множества множеств ХЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел есть вполне упорядоченное множество Х, типом которого является Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. Так как множество Х содержит в качестве своего подмножества каждое из множеств ХЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел, то на основании теоремы 4.5 для любого хЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел имеем хЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.■

Теорема 4.7. Для любого множества ординальных чисел можно построить ординальное число, большее любого из чисел этого множества.

Доказательство.

Пусть есть множество ординальных чисел Х. На основании теоремы 4.6 сумма всех элементов хЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел множества Х есть ординальное число, большее, чем любое из данных хЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел. ■

§5. ПРОСТРАНСТВО ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ W (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1 ) И ЕГО СВОЙСТВА.

Мощностью ординального числа называется мощность соответствующего ему вполне упорядоченного множества. Так, числа 1, 2, 3, … являются конечными ординальными числами, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел - счётное ординальное число, так как является порядковым типом множества N.

Обозначим Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1 – первое несчётное ординальное число. Рассмотрим W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) – множество всех ординальных чисел, меньших Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1. По теореме 4.1 множество W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) является вполне упорядоченным и имеет тип Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1, то есть |W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)| = Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1 – первая несчётная мощность.

Определение 2.9. Ординальное число называется предельным, если оно не имеет предшествующего.

Предложение 5.1. Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1 – предельное ординальное число.

Доказательство.

Если Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1, то Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел - счётно или конечно. Тогда таковым будет и число Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. Следовательно, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1. Таким образом, никакое число Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1 не является предшествующим Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1. ■

Предложение 5.2. Среди чисел множества W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) бесконечно много предельных ординальных чисел.

Доказательство.

Пусть Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1, тогда Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел - конечно или счётно. Тогда Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел - счётно, следовательно, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1, поэтому Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1).■

W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) – линейно упорядоченное множество, так как любые его два элемента сравнимы (по теореме 4.2). Следовательно, на нём можно ввести порядковую топологию, при этом W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) становится линейно упорядоченным пространством. Для него выполняются общие топологические свойства линейно упорядоченных пространств:

1. Хаусдорфовость. Пространство W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) является хаусдорфовым пространством ([1]).

2. Нормальность. Пространство W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) является нормальным пространством ([1]) и, следовательно, тихоновским пространством ([3]).

3. Фундаментальная система окрестностей произвольной точки из W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1).

Определение 2.10. Множество Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел окрестностей точки х образует фундаментальную систему окрестностей этой точки, если для любой окрестности U(x) точки х найдётся окрестность О(х)Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, для которой хЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Любая точка пространства W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) обладает фундаментальной системой окрестностей, состоящей из открыто-замкнутых множеств, то есть для любого Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел> 0 множество всех открыто-замкнутых интервалов [Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1; Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел] = ={x: Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел< x < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1}, где Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел образует фундаментальную систему окрестностей точки Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

4. Локальная компактность.

Лемма 5.3. W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) компактно тогда и только тогда, когда Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел не является предельным ординальным числом.

Доказательство.

Необходимость. Будем доказывать методом от противного и предположим, что Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел - предельное ординальное число. Рассмотрим множество «хвостов», то есть множество вида W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел)\W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) = {xЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселW(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел):

x Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел}, где Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел– некоторое ординальное число: Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. Это замкнутые множества. Очевидно, что пересечение конечного числа «хвостов» является «хвостом», то есть не пусто. Таким образом, «хвосты» образуют центрированную систему замкнутых множеств. Так как Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел - предельное ординальное число, то пересечение всех множеств этого семейства пусто и, следовательно, W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) не компактно - противоречие. Следовательно, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел - не является предельным ординальным числом.

Достаточность. Проведём доказательство по индукции:

1.W(0) = Ж - очевидно компактно.

2.Индукционное предположение: пусть Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел’ = Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1 – не предельное ординальное число. Предположим, что W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) компактно для любого Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел<Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1.

Пусть Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел - семейство открытых множеств, образующих покрытие пространства W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1). Так как точка Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел покрыта, то существует UЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел<Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел: [Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1; Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел] Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселUЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел. По индукционному предположению пространство W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1), являющееся подпространством W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1), компактно, так как Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1<Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1. Поэтому конечное подсемейство F из Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел покрывает W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1). Тогда FЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел{U} – это конечное подпокрытие из Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, которое покрывает W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1). Следовательно, W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1) компактно. ■

Из этой леммы следует, что пространство W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) не является компактным, так как Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1 - предельное ординальное число.

Предложение 5.4. Пространство W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) локально компактно.

Доказательство.

Возьмём произвольную точку Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел из W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1). Так как Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселW(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1), то Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел<Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1 и Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1<Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1 (так как Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1 – предельное ординальное число). Следовательно, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1 не является предельным ординальным числом. В качестве окрестности точки Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел возьмём открыто-замкнутое множество U(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) = {Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел|

Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел < Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1} = {Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел| Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел} = W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1) – компактно (по лемме 5.3) и содержит точку Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. Следовательно, W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) локально компактно. ■

5. Счётные множества в W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1).

Определение 2.11. Множество А называется кофинальным в W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел), если оно не ограничено сверху, т. е. (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел ) (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел).

Предложение 5.5. Ни одно счётное множество в W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) не кофинально.

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что в W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) существует счётное кофинальное множество S.

Докажем, что W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) = Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел:

Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел Очевидно, что W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел)Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселW(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) для любого Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселSЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1).

Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел Докажем, что W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Пусть Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселW(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1). Так как S кофинально, то существует Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселS: Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. Следовательно, Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселW(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел)Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Таким образом, W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) = Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Заметим, что |W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)| = Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1. Тогда Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел|S|Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел0. Следовательно, |S|= Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1, чего быть не может, так как S – счётное множество. ■

6. Счётная компактность.

Предложение 5.6. Любое счётное множество из W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) содержится в компактном подпространстве пространства W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1).

Доказательство.

Пусть А - счётное подмножество в W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1). По предложению 5.5 оно не является кофинальным, то есть А ограничено сверху в W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1). Пусть Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел= supA. Тогда Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселW(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) и АЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселW(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1), где W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1) на основании леммы 5.3 компактно, так как Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел+1 не предельное ординальное число. Таким образом, нашлось компактное подпространство пространства W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1), в котором содержится множество А. ■

Следствие 5.7. Любое счётное замкнутое множество в W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) компактно.

Доказательство.

Пусть А – счётное замкнутое множество в W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1). Так как замкнутое подмножество компактного пространства компактно ([8]), а множество А по условию замкнуто, и по предложению 5.6 оно содержится в компактном подпространстве пространства W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1), то А компактно. ■

Предложение 5.8. Пространство W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) счётно компактно.

Доказательство.

Пусть S – произвольное бесконечное подмножество в W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1), а (Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселn) – его строго возрастающая последовательность. По предложению 5.5 множество {Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселn} не является кофинальным, то есть оно ограничено сверху. Пусть Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел=supЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселn. В любой окрестности (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) точки Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, где Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, есть точки последовательности Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселn множества S. Тогда Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел - предельная точка множества S. ■

7. Пространство W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) не метризуемо, так как оно не компактно, но счётно компактно, а в метрических пространствах любое счётно компактное пространство компактно.

8. Компактификации.

Лемма 5.9. Из любых двух не пересекающихся замкнутых множеств в W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) хотя бы одно ограничено.

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что H и K – кофинальные замкнутые не пересекающиеся множества. Мы можем выбрать возрастающую последовательность (Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселn), nЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселN, где Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселnЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселH для n – нечётных, и Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселnЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселК для n – чётных. Так как множества Н и К замкнуты, то предельные точки им принадлежат, то есть Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел = sup Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселnЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел, чего быть не может, поскольку множества Н и К не пересекаются. ■

Предложение 5.10. Любая функция fЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселС (W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)) постоянна на «хвосте» W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)\W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел зависит от f ).

Доказательство.

Заметим, что любой «хвост» W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)\W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел), где Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселW(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1), счётно компактен, так как он является замкнутым подпространством счётно компактного пространства W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) ([3]). Следовательно, каждое множество образов f [W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)\W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел)] – это счётно компактное подмножество R (поскольку функция f непрерывна, а непрерывный образ счётно компактного множества счётно компактен ([3]) ) и, следовательно, компактно, поэтому пересечение Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел[W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)\W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел)] центрированного семейства замкнутых множеств непусто. Выберем произвольное число r из этого пересечения. Докажем, что f -1(r) кофинально в W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1). Так как rЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел[W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)\W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел)], то rЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселf [W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)\W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел)] для любого Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселW(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1). Следовательно, f –1(r)Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселW(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)\W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) для любого Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

Рассмотрим для каждого nЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселN замкнутое множество Аn = {x Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселW(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1):

| f (x) – r | Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел}. Оно не пересекается с f –1(r), а f –1(r) кофинально, поэтому по лемме 5.9 Аn имеет точную верхнюю грань в W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1). Обозначим Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселn = sup An. Возьмём произвольное ординальное число Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел>supЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселn. Пусть Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)\W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел), тогда Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел>Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. Предположим, что f (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел)Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел r, тогда |f (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) - r|Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел для некоторого n. Следовательно, Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселАn и Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселn<Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, т. е. Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел, но Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел>Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел - противоречие.

Таким образом, f (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел) = r для любого Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселЛинейно упорядоченное пространство ординальных чисел W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)\W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел), Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел>Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел. ■

Определение 2.12. Пусть сХ – произвольная компактификация тихоновского пространства Х. Множество сХ\Х, то есть множество всех точек, которыми сХ отличается от Х, называется наростом компактификации сХ.

Определим упорядочение на семействе ζ(Х) всех компактификаций пространства Х.

Определение 2.13. Пусть с1Х и с2Х – компактификации пространства Х. Положим с2ХЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселс1Х, если существует непрерывное отображение f: с1ХЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселс2Х такое, что f (х) = х для всех хЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселс1Х.

Известно, что каждое некомпактное локально компактное хаусдорфово пространство Х обладает компактификацией Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселХ с одноточечным наростом. Эта компактификация является наименьшим элементом семейства ζ(Х) всех компактификаций пространства Х по отношению к упорядочению Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел и называется одноточечной компактификацией (александровской компактификацией) ([3]). Отсюда следует, что пространство W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел{Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1} является александровской компактификацией пространства W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1).

Определение 2.14. Пусть Х. - произвольное тихоновское пространство. Наибольший элемент семейства ζ(Х) всех компактификаций пространства Х называется стоун-чеховской компактификацией (или стоун-чеховским расширением) пространства Х.

Предложение 5.12. Пространство W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) имеет единственное компактное хаусдорфово расширение (а именно W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел{Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1}).

Доказательство.

Докажем, что W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел{Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1} является стоун-чеховской компактификацией пространства W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1). Известно, что если каждое непрерывное отображение тихоновского пространства Х в компактное хаусдорфово пространство можно непрерывно продолжить на некоторую компактификацию Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселХ пространства Х, то Линейно упорядоченное пространство ординальных чиселХ является стоун-чеховской компактификацией пространства Х ([3]). Таким образом, достаточно доказать, что любая непрерывная функция, определённая на W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1), продолжается по непрерывности на W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел{Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1}.

Каждая непрерывная вещественная функция, определённая на W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1), финально постоянна, то есть для некоторого аЛинейно упорядоченное пространство ординальных чиселW(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) и всех х, у > a имеем f (x) = f (y) (по предложению 5.10). Следовательно, если f продолжить на пространство W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел{Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1}, являющееся одноточечной компактификацией пространства W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1), положив Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел (Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) = f (х), где х >a, Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел|W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1) = f , то мы получим непрерывную функцию Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел на W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел{Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1}. Значит, W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1)Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел{Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1} – расширение Стоуна-Чеха пространства W(Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел1). ■


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


1. Чиркова Н. В. Выпускная квалификационная работа «Линейно упорядоченные пространства», научный руководитель Варанкина В. И., Киров, 2002.

2. Александров П. С. «Введение в теорию множеств и общую топологию». М.: Наука, 1977.

3. Энгелькинг Р. «Общая топология». М.: Мир, 1986.

4. Келли Дж. Л. «Общая топология». М.: Наука, 1981.

5. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа». М.: Наука, 1968.

6. И. А. Лавров, Л. Л. Максимова «Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов». М.: Физматлит, 1995.

7. Р. Столл «Множества. Логика. Аксиоматические теории». М.: Просвещение, 1968.

8. Ч. Коснёвски «Начальный курс алгебраической топологии». М.: Мир, 1983.

Похожие работы:

  1. • Структура нейронных сетей
  2. • Математические основы нейронных сетей
  3. • Жизнь и научная деятельность американского математика и ...
  4. • Число как основное понятие математики
  5. • Алгоритмический язык Паскаль
  6. • Статистические методы анализа результатов психолого ...
  7. • Самообучающиеся системы
  8. • Формальная логика как наука о мышлении
  9. • Разработка программы решения системы линейных ...
  10. • Методы обработки результатов психологического исследования
  11. • Массовые опросы в социологии
  12. • Характеристика избирательных систем
  13. • Виборча система України: сучасний стан і перспектива ...
  14. • Принятие маркетинговых решений
  15. • Нумерология как точная наука
  16. • Понятие об измерительных шкалах, их виды. Понятие о ...
  17. • Системный экономический анализ предприятия с целью его ...
  18. • Организация ввода-вывода. Обработка массивов ...
  19. • Математические основы нейронных сетей
Рефетека ру refoteka@gmail.com