Рефетека.ру / Математика

Контрольная работа: Некоторые понятия высшей матаматики

Высшая математика


Слушатель – Никифоров Михаил Николаевич

Курс 1. АПМ-03. Семестр осенний. 2003 год.


Матрица – совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы.

Минором для элемента аig называется определитель матрицы, полученный из исходной, вычеркиванием i-ой строки и g-ого столбца.

Матрицы с нулевым определителем называются вырожденными или особенными. Особенная матрица обратной не имеет. Некоторые понятия высшей матаматики. Некоторые понятия высшей матаматики.

Bpq согласовано с Amn, если число строк В равно числу столбцов А, т.е. p=n. Одно согласование.

Если один столбец или одна строка все нули, то | |=0.

Если в матрице имеется 2 равных столбца или 2 равных строки, то | |=0.

Треугольная матрица. Все элементы выше или ниже главной диагонали =0. Тогда определитель матрицы равен произведению диагональных элементов.

При перемене местами 2 строк или 2 столбцов определитель меняет знак.

Определитель матрицы, содержащей 2 пропорциональные строки или столбца равен нулю.

Определитель матрицы равен сумме произведений некоторой строки на соответствующие алгебраические дополнения.


Системы уравнений с матрицами


Система 1 совместная, если имеет хотя бы одно решение.

Система 1 определенная, если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения.

Ранг матрицы.

Ранг нулевой матрицы равен 0.

Ранг единичной матрицыnm равен n.

Ранг трипсидальной матрицы равен числу ненулевых строк.

При элементарных преобразованиях матрицы ранг её остается неизменным.

При добавлении к матрице строки или столбца ранг её может только увеличиться или остаться неизменным.

Лекция 5.


Некоторые понятия высшей матаматики.


Замечание: 1) Некоторые понятия высшей матаматикиНет решения

2) Некоторые понятия высшей матаматики Некоторые понятия высшей матаматики. n-число неизвестных

а) r=n – одно решение Некоторые понятия высшей матаматики

б) r<n – бесконечное множество решений, зависящих от S=n-r параметров.


Векторная алгебра


Проекция вектора на ось:

Проекцией точки на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проекция АВ на х это число |A’B’| взятое со знаком +, если угол острый и со знаком – если угол тупой.


Некоторые понятия высшей матаматики, Некоторые понятия высшей матаматики

Некоторые понятия высшей матаматики.


Скалярное произведение векторов


Некоторые понятия высшей матаматики. Некоторые понятия высшей матаматики


Признак перпендикулярности Некоторые понятия высшей матаматики.

Векторное произведение векторов


Некоторые понятия высшей матаматики; Некоторые понятия высшей матаматики; Некоторые понятия высшей матаматики


Объем пирамиды Некоторые понятия высшей матаматики; Некоторые понятия высшей матаматики

Смешанное произведение векторов


Некоторые понятия высшей матаматики


Если Некоторые понятия высшей матаматики - углы, которые составляет вектор а с координатными осями, то Некоторые понятия высшей матаматики, откуда следует


Некоторые понятия высшей матаматики

Некоторые понятия высшей матаматики

Некоторые понятия высшей матаматики


Условие коллинеарности Некоторые понятия высшей матаматики

ab=0 – перпендикулярность

Некоторые понятия высшей матаматики - коллинеарность

abc=0 – компланарность


Аналитическая геометрия


Плоскость в пространстве

Нормаль и точка привязки однозначно определяют положение плоскости в пространстве.


Некоторые понятия высшей матаматики -


каноническое уравнение (1)

Общее уравнение плоскости


Некоторые понятия высшей матаматики, где Некоторые понятия высшей матаматики,


где А, В, С – координаты нормали, D – свободный член, x,y,z – текущий координаты.

Уравнение плоскости, проходящий через точку Некоторые понятия высшей матаматики перпендикулярно вектору N=(A;B;C), имеет вид


Некоторые понятия высшей матаматики


Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки записывают в виде


Некоторые понятия высшей матаматики

Уравнение плоскости в отрезках Некоторые понятия высшей матаматики

Нормальное уравнение плоскости Некоторые понятия высшей матаматики, где p – расстояние от начала координат.

Нормирующий множитель Некоторые понятия высшей матаматики

Расстояние от точки до плоскости


Некоторые понятия высшей матаматики


Угол между плоскостями Некоторые понятия высшей матаматики

Условия параллельности и перпендикулярности Некоторые понятия высшей матаматики; Некоторые понятия высшей матаматики

Уравнение пучка плоскостей: Некоторые понятия высшей матаматики

Прямые линии в пространстве.


Некоторые понятия высшей матаматики-уравнение прямой

Некоторые понятия высшей матаматики - параметрическое уравнение прямой.

Некоторые понятия высшей матаматики - каноническое уравнение прямой.


Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки


Некоторые понятия высшей матаматики

Угол между 2 прямыми


Некоторые понятия высшей матаматики


Взаимное расположение 2 прямых.

1. Некоторые понятия высшей матаматики (могут лежать и на одной прямой)

2. Некоторые понятия высшей матаматики (могут скрещиваться)

3. Некоторые понятия высшей матаматики. Если (3) Некоторые понятия высшей матаматики, то скрещиваются.


Взаимное расположение прямой и плоскости


1. Некоторые понятия высшей матаматики

2. Некоторые понятия высшей матаматики

3. Угол между прямой и плоскостью Некоторые понятия высшей матаматики

4. Некоторые понятия высшей матаматики


Аналитическая геометрия на плоскости.


Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Расстояние между 2 точками Некоторые понятия высшей матаматики.

Если заданы точки А и В и точка С делит отрезок АВ в отношении Некоторые понятия высшей матаматики, т.е. Некоторые понятия высшей матаматики, то Некоторые понятия высшей матаматики.

Уравнение прямой на плоскости


Ax+By+C=0;


Уравнение прямой в отрезках Некоторые понятия высшей матаматики.

Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки Некоторые понятия высшей матаматики.

Уравнение прямой, проходящей через точку, под заданным углом Некоторые понятия высшей матаматикик оси Ох (Некоторые понятия высшей матаматики): Некоторые понятия высшей матаматики

Расстояние от точки до прямой Некоторые понятия высшей матаматики


1. Некоторые понятия высшей матаматики

2. Некоторые понятия высшей матаматики

3. Некоторые понятия высшей матаматики


Окружность


Уравнение окружности с центром в M(a;b) радиусом R Некоторые понятия высшей матаматики

Уравнение окружности с центром в начале координат Некоторые понятия высшей матаматики

Эллипс


Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов эллипса) есть величина постоянная, Некоторые понятия высшей матаматики, чем расстояние между фокусами.

Обозначим M(x;y) – произвольная точка эллипса, 2с – расстояние между фокусами F1 и F2; 2а – сумма расстояний от точки М до F1 и F2 (a – большая полуось эллипса). Некоторые понятия высшей матаматики - малая полуось эллипса. Некоторые понятия высшей матаматики.

Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид Некоторые понятия высшей матаматики. Некоторые понятия высшей матаматики

Число Некоторые понятия высшей матаматики называется эксцентриситетом эллипса и характеризует сплюснутость эллипса относительно осей Некоторые понятия высшей матаматики. Если Некоторые понятия высшей матаматики, то получается окружность. a=b.


Гипербола


Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если M (x;y) – точка гиперболы; F1, F2 – фокусы, 2с – расстояние между фокусами, 2а – разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов Некоторые понятия высшей матаматики, где а – действительная полуось гиперболы. Некоторые понятия высшей матаматики - мнимая полуось гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы Некоторые понятия высшей матаматики.

Гипербола пересекает ось Ох в точках Некоторые понятия высшей матаматики и Некоторые понятия высшей матаматики, с осью Оу пересечений нет.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых Некоторые понятия высшей матаматики.

Эксцентриситет гиперболы Некоторые понятия высшей матаматики.


Парабола


Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки F – фокуса и заданной прямой – директрисы параболы. Если ось абсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, а начало координат делит этот перпендикуляр пополам, то каноническое уравнение имеет вид Некоторые понятия высшей матаматики.

Эксцентриситет параболы Некоторые понятия высшей матаматики - отношение расстояния от точки параболы до директрисы к расстоянию от этой точки до фокуса.


Общее уравнение второго порядка


Некоторые понятия высшей матаматики - общее уравнение кривой второго порядка

Параллельный перенос: Некоторые понятия высшей матаматики.

Поворот осей: Некоторые понятия высшей матаматики


Некоторые понятия высшей матаматики


Некоторые понятия высшей матаматики - инварианты. Некоторые понятия высшей матаматики - дискриминант

Если Некоторые понятия высшей матаматики>0, то уравнение эллиптического вида

Если Некоторые понятия высшей матаматики<0, то уравнение гиперболического типа

Если Некоторые понятия высшей матаматики=0, то уравнение параболического типа

Выбираем угол так, чтобы B’=0, тогда


Некоторые понятия высшей матаматикиНекоторые понятия высшей матаматикиНекоторые понятия высшей матаматики

(1) Некоторые понятия высшей матаматики (B=0) Некоторые понятия высшей матаматики


1. Некоторые понятия высшей матаматики. Осуществляем параллельный перенос для уничтожения членов Некоторые понятия высшей матаматики.(**) ** подставляем в


(1)Некоторые понятия высшей матаматики+ Некоторые понятия высшей матаматики

Некоторые понятия высшей матаматики

Некоторые понятия высшей матаматики

Некоторые понятия высшей матаматикиНекоторые понятия высшей матаматики

(2)Некоторые понятия высшей матаматики (3)


а) Некоторые понятия высшей матаматики>0 – эллиптический вид

A`C`>0 (одного знака)

Если F``>0, то пустое множество

Если F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0)

Если F``<0, то получим эллипс в виде Некоторые понятия высшей матаматики, где Некоторые понятия высшей матаматики

б) Некоторые понятия высшей матаматики<0 (гиперболический вид) A’C’<0 (разные знаки). Пусть A’>0

A`=Некоторые понятия высшей матаматики, Некоторые понятия высшей матаматики, Некоторые понятия высшей матаматики, тогда Некоторые понятия высшей матаматики.

Если F0=0, то Некоторые понятия высшей матаматики, получаем пару пересекающихся прямых.

Если F0>0, то Некоторые понятия высшей матаматики (гипербола)

Если F0<0, то Некоторые понятия высшей матаматики (гипербола, где оси поменялись местами)

в) Некоторые понятия высшей матаматики (параболический тип) A`C`=0


Некоторые понятия высшей матаматики (5)

а) D`=E`=0, пусть Некоторые понятия высшей матаматики

Некоторые понятия высшей матаматики

б) Некоторые понятия высшей матаматики Некоторые понятия высшей матаматикиНекоторые понятия высшей матаматики

** в (5)

Некоторые понятия высшей матаматики

Некоторые понятия высшей матаматики, где 2р=Некоторые понятия высшей матаматики, если p>0, то парабола Некоторые понятия высшей матаматики.


Теория пределов


Число а называется пределом последовательности xn для любого (Некоторые понятия высшей матаматики) сколь угодно малого положительного числа Некоторые понятия высшей матаматики найдется номер, зависящий от Некоторые понятия высшей матаматики, начиная с которого все члены последовательности отличаются от а меньше, чем на Некоторые понятия высшей матаматики.

Предел последовательности

Под числовой последовательностью Некоторые понятия высшей матаматикипонимают функцию Некоторые понятия высшей матаматики, заданную на множестве натуральных чисел Некоторые понятия высшей матаматикит.е. функцию натурального аргумента.

Число a называется пределом последовательности xn (x=1,2,…): Некоторые понятия высшей матаматики=а, если для любого сколь угодно малого Некоторые понятия высшей матаматики>0, существует такое число N=N(Некоторые понятия высшей матаматики), что для всех натуральных n>N выполняется неравенство Некоторые понятия высшей матаматики.

1) Некоторые понятия высшей матаматики, Некоторые понятия высшей матаматики - натуральное число. Если xn=a, то (a, a, a, a) – стационарная последовательность.

2) Некоторые понятия высшей матаматики, где a, d – const, тогда (a, a+d, a+2d,…a+(n-1)d)

xn+1=xn+d – рекуррентная формула.

3) Числа Фибоначчи. (1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…), где x1, x2 =1 и Некоторые понятия высшей матаматики.


Некоторые понятия высшей матаматики (*);

Некоторые понятия высшей матаматики Некоторые понятия высшей матаматики

Некоторые понятия высшей матаматики - эпсилон – окрестность числа а.

1. Некоторые понятия высшей матаматики. Некоторые понятия высшей матаматики Некоторые понятия высшей матаматики


2. Некоторые понятия высшей матаматики

Основные теоремы пределах

О единственном пределе. Последовательность имеет не более 1 предела.

Предельный переход в неравенстве.

О трех последовательностях. О сжатой последовательности.

Похожие работы:

  1. • Философия древней Индии
Рефетека ру refoteka@gmail.com