Рефетека.ру / Физика

Учебное пособие: Хвильові процеси. Акустика

Хвильові процеси.

Акустика.


1.Поширення коливань в однорідному пружному середовищі.


Якщо тіло, що коливається (камертон, струна, мембрана, і т. ін.), розташоване в пружному середовищі, то воно приводить в коливний рух частинки середовища, до яких воно дотикається. Внаслідок цього в елементах середовища, що прилягають до тіла, виникають періодичні деформації, а, отже це означає, що з’являються пружні сили, які намагаються повернути елементи середовища до початкових станів рівноваги. Завдяки взаємодії сусідніх елементів середовища пружні деформації будуть передаватись від одних ділянок середовища до інших, більш віддалених від тіла, що коливається.

Таким чином, періодичні деформації, викликані в якому-небудь місці пружного середовища, будуть поширюватись в середовищі з деякою швидкістю, що злежить від його фізичних властивостей. При цьому частинки середовища здійснюють коливний рух навколо положень рівноваги, від одних ділянок середовища до інших передається тільки стан деформації.

Процес поширення коливного руху в середовищі називається хвильовим процесом або просто хвилею.

В залежності від характеру деформації розрізняють хвилі поздовжні і поперечні. В поздовжніх хвилях частинки середовища коливаються вздовж лінії, що співпаде з напрямком поширення коливань. В поперечних хвилях частинки середовища коливаються перпендикулярно до напрямку поширення хвиль.

Поздовжні хвилі виникають в середовищі, що має об’ємну пружність, тобто в твердих, рідких і газоподібних тілах.

Поперечні хвилі виникають тільки в середовищі, що має пружність форми(яке зазнає деформації зсуву),тобто тільки в твердих тілах і на поверхні розділу рідких і газоподібних середовищ, що мають різну густину (наприклад, на поверхні води). В останньому випадку пружність форми забезпечується силами тяжіння і поверхневого натягу.

Нехай точкове джерело хвилі почало збуджувати коливання в момент часу t=0; через час t це коливання пошириться в різних напрямках на відстань ri=cit,де ci – швидкість хвилі в даном напрямку.

Поверхня, до якої доходить коливання в деякий момент часу, називається фронтом хвилі. Форма фронта хвилі визначається конфігурацією джерела коливань і властивостями середовища. Середовище називають ізотропним, якщо швидкість поширення хвилі однакова в усіх напрямках, і анізотропним в противном разі.


Мал. 1.


На мал. 1 зображено фронт хвилі від точкового джерела в ізотропному середовищі; такі хвилі називаються сферичними.

При описанні хвильових процесів виділяють поверхні, в яких всі частинки коливаються в однаковій фазі;їх називають хвильовими або фазовими поверхнями.

Формою хвилі називають графік, що показує розподіл в середовищі величини, яка коливається, вздовж деякої вісі r в даній момент часу (моментальна фотографія хвилі) (див. мал. 2).

Хвильові процеси. Акустика

Хвильові процеси. АкустикаХвильові процеси. АкустикаМал. 2


На мал. 2 штрихованою лніею показана форма хвилі через деякий проміжок часу Δt.

Кажуть що середовище має дисперсію якщо синусоїдальні хвилі рівних частот поширюються в ньому зрізною швидкістю. В середовищі з дисперсією складні хвилі змінюють свою форму.

2. Рівняння плоскої гармонійної хвилі.


Позначимо величину, що коливається буквою x. Це може бути зміщення частинок середовища відносно положень рівноваги, відхилення тиску чи густини в даному місці середовища від рівноважного значення і т. д. Початкову фазу коливань в точці O виберемо рівною нулю; величина, що коливається, в т.O змінється за законом x=A cos wt,де A-амплітуда, w=Хвильові процеси. Акустика- циклічна частота,

T-період коливань.

Будемо вважати, що хвильовий процес поширюється в напрямку вісі or.Знайдемо фазу коливань в довільній точці M, що розташована на відстані r від т.O(див. мал. 3). В даний момент часу t в т.M фаза коливань така ж, якою вона була в т. O Хвильові процеси. Акустикасек. тому назад, тобто в момент часу (t-Хвильові процеси. Акустика). Отже, значення величини, що коливається, в т.M в момент часу tдорівнює:

x=Acosw(t-Хвильові процеси. Акустика) (14.2)

Рівняння (14.2) називають рівнянням плоскої гармонічної хвилі; с називається її фазовою швидкістю.

Хвильові процеси. Акустика

Мал..3

Перетворимо (14.2) x=Acos(wt-Хвильові процеси. Акустика). Відношення Хвильові процеси. Акустиканазиваються хвильовим числом ;відстань на яку поширюється хвиля за час, рівний періоду коливань частинок середовища, називають довжиною хвилі l :

l=cT

На графіку хвилі довжина хвилі l - це відстань між двома найближчими точками хвилі, що коливаються в однаковій фазі. З використанням хвильового числа k рівняння плоскої хвилі набуде виду: x=Acos(wt-kr) (14.3)

Рівняння хвилі, що поширюється в сторону зменшення r, відрізняються від(14.2)та(14.3) лише знаком перед Хвильові процеси. Акустика (чи kr).

Рівняння хвилі є розв’язком диференціального рівняння, яке називають хвильовим. Знайдемо другі частинні похідні по часу t і по координаті r від функції(14.3):

Хвильові процеси. Акустика

Хвильові процеси. Акустика

зпівставивши ці похідні, одержимо:

Хвильові процеси. Акустика

Оскільки Хвильові процеси. Акустика, то Хвильові процеси. Акустика; отже:

Хвильові процеси. Акустика (14.4).

(14.4) і називають хвильовим рівнянням. На закінчення підкреслимо, що на графіку хвилі вказано положення різних точок середовища в один і той же момент часу, а на графіку гармонічного коливного руху зображено положення однієї і тієї ж точки, що коливається, в різні моменти часу.

3.Енергія хвилі. Вектор Умова


Процес поширення хвилі в якому-небудь напрямі в середовищі супроводжується переносом енергії коливань в цьому напрямі.

Розглянемо плоску хвилю. Нехай S- це частина її фронту в момент часу t. Через Хвильові процеси. Акустика сек. фронт переміститься на відстань Хвильові процеси. Акустика, наслідок чого частинки в об’ємі Хвильові процеси. Акустикаприводяться в коливальний рух


S

X


Хвильові процеси. Акустика

Мал. 4


Позначимо через Хвильові процеси. Акустикаw енергію коливань частинок одиниці об’єму середовища;припустимо, що об’єм Хвильові процеси. Акустикадуже малий і тому в межах енергія w скрізь однакова. Можна стверджувати, що за час Хвильові процеси. Акустика середовище в об’ємі Хвильові процеси. Акустика через майданчик S одержало енергію wХвильові процеси. Акустика. Таким чином, за одиницю часу через майданчик S пройшла енергія

Хвильові процеси. Акустика (14.5)

Хвильові процеси. АкустикаP –це потік енергії хвилі (за одиницю часу) через майданчик S(орієнтований перпендикулярно с )

Густиною потоку енергії називають енергію, що проходить за одиницю часу через одиницю площі майданчика, перпендикулярного до напрямку поширення хвилі:

Хвильові процеси. Акустика(14.6)

Хвильові процеси. АкустикаОскільки с -вектор, то

I=wc (14.7)

Густина потоку енергії-це векторна велична;її називають вектором Умова

Одиниці вимірювання:

[P]=Вт; [I]=Хвильові процеси. Акустика;[w]=Хвильові процеси. Акустика

Для сферичної хвилі Хвильові процеси. Акустика і густина потоку енергії буде обернено пропорційною квадрату відстані від джерела

Хвильові процеси. Акустика


Інтерференція хвиль. Стоячі хвилі.


Якщо в деякому однорідному та ізотропному середовищі два точкові джерела збуджують сферичні хвилі, то в довільній т. M простору відбувається накладання хвиль у відповідності з принципом суперпозиції :кожна точка середовища, до якої приходять дві або декілька хвиль, бере участь в коливаннях, викликаних кожною хвилею зокрема; хвилі не взаємодіють одна з одною і поширюються незалежно одна від одної .результат додавання коливань залежить від співвідношення фаз, періодів та амплітуд хвиль, які зустрілися.

Хвилі і джерела, що їх збуджують, називаються когерентними, якщо різниця фаз хвиль F1-F2 не залежить від часу. Дві синусоїдальні хвилі когерентні якщо їх частоти однакові (w1=w2 ).

Інтерференцією називають явище накладання когерентних хвиль, внаслідок якого має місце їх взаємне підсилення в одних точках простору і ослаблення в інших. Результат інтерференції залежить від

різниці фаз хвиль, що накладаються.

Хвильові процеси. Акустика M

S1 r2

r1

s2

Хвильові процеси. Акустика

мал.5

Нехай в т.M накладаються дві хвилі від джерела s1 і від джерела s2 .рівняння руху точки М відповідно для джерел s1 і s2 мають вид: Хвильові процеси. Акустика

Хвильові процеси. Акустика

Різниця фаз дорівнює:

Хвильові процеси. Акустика

Хвильові процеси. Акустика називають різницею ходу хвиль. Якщо різниця ходу хвиль Хвильові процеси. Акустика (n=0,Хвильові процеси. Акустика 1,Хвильові процеси. Акустика 2,…),то Хвильові процеси. Акустика, і в т.М спостерігається підсилення коливань (максимум амплітуди результуючого коливання). Якщо Хвильові процеси. Акустика, то Хвильові процеси. Акустика, і в т.М буде спостерігатись ослаблення коливань ( мінімум амплітуди результуючого коливання). При A1=A2 коливання повністю загасять одне одне.

Отже, умова максимума :

Хвильові процеси. Акустика (14,8)

мінімума :

Хвильові процеси. Акустика(14,9)

Окремим випадом інтерференції хвиль є стоячі хвилі. Стояча хвиля утворюється в результаті накладання двох хвиль, що поширюються у взаємно протилежних напрямках і задовольняють умовам: частоти, амплітуди і напрямки коливань повинні бути однаковими.

Хвильові процеси. Акустика;

Рівняння зворотної :

Хвильові процеси. Акустика.

Рівняння результуючої (стоячої) хвилі:

Хвильові процеси. Акустика(14,10)

(Використано рівняння :

Хвильові процеси. Акустика).

Амплітуда коливань точок стоячої хвилі залежить від координати r;

У всіх точках, де Хвильові процеси. Акустика, амплітуда дорівнює нулю, тобто коливання завжди відсутні ; ці точки називають вузлами стоячої хвилі . В точках, де Хвильові процеси. Акустика амплітуда максимальна і дорівнює 2A; ці точки називають пучностями стоячою хвилі .


Хвильові процеси. Акустика

мал..6


Знайдемо відстань між вузлами: Хвильові процеси. Акустика.

Хвильові процеси. Акустика.

Хвильові процеси. Акустика;Хвильові процеси. Акустика.

Відстань між вузлами Хвильові процеси. Акустика

Рефетека ру refoteka@gmail.com