Рефетека.ру / Информатика и програм-ие

Курсовая работа: Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Калужский филиал

Кафедра “САУ и Электротехники”

ЭИУ3-КФ


Расчётно-пояснительная записка к курсовой работе


на тему:

“Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем”

по курсу:

Системы аналитических вычислений


Калуга 2007

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет

имени Н.Э. Баумана»

Калужский филиал


Факультет электроники, информатики и управления


Кафедра "Системы автоматического управления и электротехника" (ЭИУ3-КФ)


З А Д А Н И Е

на курсовой проект (работу)


по курсу _____Системы аналитических вычислений____________

Студент ________Герасимов Е.И._______ группа ___САУ-62_________

(фамилия, инициалы)

Руководитель_________________Корнюшин Ю.П.____________________

(фамилия, инициалы)

Тема проекта (работы) Численные методы интегрирования и______ оптимизации сложных систем

Техническое задание

Задание 1 .

Практическое изучение численных методов решения нелинейных уравнений (метод простых итераций) и решение заданного уравнения третьего порядка с целью исследования устойчивости заданной системы.


Задание 2 .

Построение годографа АФЧХ, графиков АЧХ и ФЧХ с указанием частот.


Задание 3 .

Практическое изучение численных методов интегрирования дифференциальных уравнений высокого порядка (метод Рунге-Кутта 5-го порядка, неявный метод Адамса 4-го порядка) и построение переходных процессов.


Задание 4 .

Проведение анализа заданной системы с использованием спектрального метода (базис: полиномы Чебышева 2-го рода).


Задание 5 .

Практическое изучение численных методов оптимизации (метод Хука-Дживса с использованием метода Фибоначчи) и определение параметров корректирующего устройства, путем минимизации функционала качества.

Объем и содержание проекта (работы)

Графические работы на ___5_____ листах формата ___A3____

Расчетно-пояснительная записка на __53____ листах формата А4


Структура расчетно-пояснительной записки


Обложка, Задание, Содержание, Введение, Основная часть, Заключение, Литература, Приложение(я).


Содержание и структура Основной части определяется студентом по согласованию с руководителем.

Рисунки, таблицы, литература оформляются в соответствии с ГОСТ 2.105-89 ЕСКД. Общие требования к текстовым документам, ГОСТ 7.32-90 Отчет о научно-исследовательской работе. Общие требования и правила оформления.


Рекомендуемая литература


Н.Д. Егупов, Ю.П. Корнюшин, Ю.Л. Лукашенко, А.А. Самохвалов, М.М. Чайковский Сложные системы автоматического управления с переменными параметрами: алгоритмическое и программное обеспечение решения задач исследования и синтеза, Калуга, 2003

Вержбицкий. Численные методы.

Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-ти т.; 2-е изд., перераб. и доп. Т.3: Синтез регуляторов систем автоматического управления / Под редакцией К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 616с.; ил.

Конспект лекций по курсу "Системы аналитических вычислений" за I и II семестр.

Руководитель проекта ____________________________

подпись

" ______ " ________________ 2007 г.

Студент ____________________________

Подпись

" ____ " _________________ 2007 г.

Содержание


1. Постановка задачи


АНАЛИЗ


Численные методы интегрирования

(Исследование устойчивости САУ)

Для заданной системы требуется определить:

Передаточную функцию замкнутой системы, для случая Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем;

Корни характеристического уравнения, используя метод секущих;

Найти аналитические выражения для АЧХ, ФЧХ, АФЧХ;

Построить годограф АФЧХ и графики АЧХ и ФЧХ с указанием частот;

Получить ДУ, описывающее данную систему;

Представить ДУ в нормальной форме Коши;

Найти аналитическое решение ДУ;

Найти решение ДУ численным методом(метод Рунге-Кутта 5-го порядка и метод Адамса неявный 4-го порядка);

Анализ заданной системы с использованием спектрального метода (базис: полиномы Чебышева 2-го рода).


СИНТЕЗ


Численные методы оптимизации

Записать передаточную функцию замкнутой системы, с учетом того что Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем;

Получить ДУ, описывающее данную систему;

Представить ДУ в нормальной форме Коши;

Вычислить неизвестные параметры корректирующего устройства Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем минимизируя функционал качества вида Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем методом Хука-Дживса с использованием метода Фибоначчи. Для нахождения реальной передаточной характеристики системы необходимо использовать один из методов численного интегрирования.

Провести анализ полученных результатов.

Определить неизвестные параметры корректирующего устройства Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, обеспечивающего робастное качество семейству систем.


АНАЛИЗ

Исходные данные: структурная схема заданной системы изображена на рис. 1, а значение параметров системы приведены в таблице 1.


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систему(t) x(t)

- -

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис. 1. Структурная схема системы.

Таблица 1

K1 K2 K3 T1, c T2, c T3, c
15 10 1 1.2 0.3 0.7

2.1 Передаточная функция замкнутой системы, для случая Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Передаточной функцией (ПФ) САУ называется отношение преобразования Лапласа Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем сигнала Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем на выходе системы к преобразованию Лапласа Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем сигнала на входе Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем при нулевых начальных условиях:

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (1)

Поскольку известны ПФ всех элементов, входящих в структурную схему (рис.1), то применяя аппарат структурных преобразований, позволяющий находить ПФ замкнутых систем, заданных структурными схемами, получим ПФ разомкнутой и замкнутой САУ, изображённой на рис.1:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем(1)


В формулу (1) подставлены численные значения, взятые из таблицы 1.

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (2)

Получена ПФ замкнутой системы (2).


2.2 Нахождение корней характеристического уравнения, используя МПИ


Для того, чтобы линейная стационарная система была устойчивой, все корни её характеристического уравнения (полюса ПФ) должны располагаться в левой половине s-плоскости.

Если не все полюса ПФ находятся в левой полуплоскости, то система не будет являться устойчивой. Если какие-то корни характеристического уравнения расположены на мнимой оси, а все остальные корни в левой полуплоскости, то выходная переменная будет иметь вид незатухающих колебаний при ограниченном входе, если только этот вход не является синусоидой, частота которой равна абсолютной величине корней мнимой оси. Такую систему называют находящейся на границе устойчивости.


2.2.1 Вид характеристического уравнения

Запишем характеристическое уравнение найденной ПФ (формула 2):

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

2.2.2 Метод секущих.

Проведём локализацию корней:

Построим график функции Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем на интервале Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.2. График характеристического полинома (3) на интервале


Уравнение имеет 1 действительный корень и 2 мнимых.

Уравнение решается методом секущих (4):


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (4)


Возьмем начальное приближение Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем и Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем для нахождения действительного корня.

S=-8.210097

Далее получим значения комплексных корней:

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Подставим Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем в (5)


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Получаем корни характеристического уравнения:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Вывод: 2 полюса передаточной функции находятся в правой полуплоскости. Система неустойчива.


2.2.3 Движение действительного корня полинома в s-плоскости

Построим график движения корня Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем в зависимости от номера итерации:

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.3. График движения корня Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем в зависимости от номера итерации


2.3 Аналитические выражения для АЧХ, ФЧХ, АФЧХ


График АЧХ:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Функции, определяемые зависимостями (6) и (7), называются соответственно амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиками.

Частотные характеристики определяются следующими показателями:

показатель колебательности Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем - характеризует склонность системы к колебаниям: чем выше Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, тем менее качественна система (как правило в реальных системах Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем);

резонансная частота Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем - частота, при которой АЧХ имеет максимум (на этой частоте гармонические колебания имеют наибольшее усиление);

полоса пропускания системы – интервал от Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем до Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, при котором выполняется условие Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем;

частота среза Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем - частота, при которой АЧХ системы принимает значение, равное Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, т.е. Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем;

Частота среза косвенно характеризует длительность переходного процесса; справедливо соотношение Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем. Таким образом можно сделать вывод: чем шире полоса пропускания, тем система является более быстродействующей.


2.4. Годограф АФЧХ и графики АЧХ и ФЧХ с указанием частот


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.4 График АЧХ заданной САУ

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.5 График ФЧХ заданной САУ


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.6 График АФЧХ заданной САУ

2.5 Дифференциальное уравнение заданной САУ


Получим ДУ заданной САУ:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


2.6 Нормальная форма Коши, полученного ДУ 3-го порядка


Так как ДУ заданной САУ имеет высокий порядок, то его необходимо свести к системе уравнений, каждое из которых должно иметь первый порядок, т.е. имеет место нормальная форма Коши:

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем. (9)

Так как ДУ заданной САУ имеет укороченную правую часть, то запишем нормальную форму Коши в следующем виде:

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем. (10)

Приведём уравнение (12) к нормальной форме Коши:

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (11)

или

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем,

где Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


2.7 Аналитическое решение ДУ


Пусть задано изображение выхода

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системили Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем.

Тогда используя вторую теорему разложения Лапласа Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системполучим следующее аналитическое выражение для выходного сигнала:

реакция системы на единичное ступенчатое воздействие (Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем) (12):


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (12)


2.8 Решение ДУ численным методом(метод Рунге-Кутта 5-го порядка и метод Адамса неявный 4-го порядка)


В неявных методах используется информация о возможном будущем значении решения в точке п+1. Это несколько повышает точность получаемых результатов по сравнению с явными методами.


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Для организации вычислительного процесса по интерполяционной формуле Адамса, имеющей точность решения Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем(13):


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

необходимо заготовить начальные значения Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, используя метод Рунге-Кутта 5-его порядка.


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Приведенные коэффициенты:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Проведём исследование решения ДУ в зависимости от шага:

Графики выходного сигнала, полученного в аналитическом виде , выходного сигнала, полученного решением ДУ и ошибки решения при шаге h=0.1 и h=0.01, h=0.001.

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.7. Графики выходного сигнала Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, полученного в аналитическом виде, выходного сигнала Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, полученного численным решением ДУ и ошибки решения при шагеЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.8. Графики выходного сигнала Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, полученного в аналитическом виде, выходного сигнала Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, полученного численным решением ДУ и ошибки решения при шагеЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.9. Графики выходного сигнала Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, полученного в аналитическом виде, выходного сигнала Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, полученного численным решением ДУ и ошибки решения при шагеЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


2.9 Анализа заданной системы с использованием спектрального метода (базис: Чебышева 2 рода)


Спектральная форма представления сигналов и временных динамических характеристик систем и объектов основана на их разложении в заданной системе ортогональных функций


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Если некоторый сигнал Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем принадлежит пространству Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, т.е. для него справедливо положение

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем,


То он может быть представлен в виде ряда Фурье:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (14)


Если ввести векторы


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


то ряд (14) можно представить следующим образом


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (15)


Совокупность коэффициентов Фурье Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем разложения сигнала Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем в ряд (14) называется спектральной характеристикой этого сигнала.


Коэффициенты Фурье Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем определяются по формуле


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (16)


Существенным и определяющим отличием спектрального описания дискретных сигналов от спектрального описания непрерывных сигналов на конечных интервалах является возможность их точного представления в виде рядов Фурье с конечным числом членов. Значит, если дискретный сигнал, а данный сигнал имеет место на входе ЭВМ после его аналого-цифрового преобразования (АЦП), задан на конечном множестве точек, например Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, в виде некоторой числовой последовательности Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, то его разложение по заданной системе ортогональных функций


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


определяется соотношением


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (17)


Система Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем - это система ортогональных, нормированных функций, удовлетворяющих условию


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Коэффициенты Фурье Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем определяются по формуле


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (18)


Далее вводим полиномы Чебышева 2-го рода (19):


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (19)


2.9.1 Алгоритм построения спектральной характеристики(СХ)


1. Исходные уравнение (20):


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем(20)

Вычислим ядра Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем и Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (21):


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (21)


3. Разложим Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем в ряды Фурье по заданному базису (22):


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем(22)

4. Получим значение Сх из приведенных ниже преобразований (23):


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем(23)


5. Найдем матрицу А:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


6. Получены значения ядер:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


7. Воздействие:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


8. Значение вектора Cх:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


9. Матрица А:


А=Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.10 Переходная функция, построенная спектральным методом

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.11 График выходного сигнала, полученного аналитически, сигнала, полученного спектральным методом и ошибки.

3. СИНТЕЗ


Исходные данные: структурная схема заданной системы изображена на рис. 12.

Введем в систему последовательное корректирующее устройство. В качестве регулятора выберем ПИД-регулятор.

Его передаточная функция имеет вид:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (24)


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис.12: Структурная схема заданной САУ с корректирующим устройством в прямой цепи.


3.1 Передаточная функция замкнутой цепи скорректированной САУ


Найдём передаточную функцию разомкнутой цепи, если известна передаточная функция объекта (25):


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем(25)

Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид (26):


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем(26)


Для решения задачи синтеза необходимо найти параметра регулятора Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, структура которого заданна (формула 31), при которых реальный выходной сигнал Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, являющийся реакцией на единичное ступенчатое воздействие, будет близок к заданному эталонному сигналу Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем.


В качестве эталонного выходного сигнала выберем следующий сигнал:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, (27)


где параметрЧисленные методы интегрирования и оптимизации сложных систем находится по следующей зависимости:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем. (28)

3.2 Функционал качества, подлежащий дальнейшей минимизации


Критерием близости выберем метрику пространства Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем.

Тогда целевая функция, подлежащая минимизации по параметрам регулятора будет иметь следующий вид:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (29)


3.2.1 Поиск минимума функции методом Фибоначчи

Если начальный интервал Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем имеет длину Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, то произведя Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем вычислений функции, можно уменьшить начальный интервал неопределённости в Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем раз по следующей формуле:

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (30)

по сравнению с его начальной длинной (пренебрегая Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем).

Если определить последовательность чисел Фибоначчи следующим образом: Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системдля Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем то можно найти положение первой точки, которая помещена на расстоянии Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем от одного из концов начального интервала, причём не важно, от какого конца, поскольку вторая точка помещается согласно правилу симметрии на расстоянии Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем от конца интервала:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем. (31)

После того, как найдено положение первой точки, числа Фибоначчи больше не нужны. Используемое значение Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем может определятся из практических соображений. Оно должно быть меньше Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, иначе будут иметь место лишние вычисления значений функции Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем.

Таким образом, поиск методом Фибоначчи является итерационной процедурой.

В процессе поиска интервала Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем с точкой Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, уже лежащей в этом интервале, следующая точка Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем всегда выбирается такой, что Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем.

Обозначим Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем и Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, тогда можно рассмотреть четыре случая организации вычислительного процесса:


1. Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем: новый интервал Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем.


2. Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем: новый интервал Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем.


3. Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем: новый интервал Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем.


4. Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем: новый интервал Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем.


Оканчивать вычислительный процесс можно двумя способами. Либо выполнить намеченные ранее Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем вычислений, либо, если в процессе вычислений интервал неопределённости станет меньше заданной величины.


3.2.2 Метод Хука-Дживса

В данном методе поиск состоит из последовательности шагов исследующего поиска вокруг базисной точки, за которым, в случае успеха, проводится поиск по образцу.

Процедура поиска следующая.

Выбрать начальную базисную точку Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем и шаг длиной Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем для каждой из переменных Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем.

Вычислить Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем в базисной точке Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем с целью получения сведений о локальном поведении функции Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем. Эти сведения будут использоваться для нахождения подходящего направления поиска по образцу, с помощью которого можно надеяться достичь большего убывания значения функции.

При поиске по образцу используется информация, полученная в процессе исследования, и минимизация функции завершается поиском в направлении, заданном образцом.

Завершить этот процесс, когда длина шага (длины шагов) будет уменьшаться до заданного малого значения.


3.3 Дифференциальное уравнение скорректированной системы


Для минимизации целевой функции (37) необходимо реализовать вычисление реального выходного сигнала Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем в каждый отдельный момент времени. Помимо этого, необходимо реализовать итерационный процесс и реализовать алгоритм вычисления параметра Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Для вычисления Численные методы интегрирования и оптимизации сложных системперейдём от передаточной функции замкнутой цепи к дифференциальному уравнению, используя свойства преобразований Лапласа. Оно будет иметь следующий вид:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (32)


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Запишем ДУ (32) в другом виде:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (33)


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


3.4 Нормальная форма Коши, полученного ДУ скорректированной системы


Для решения ДУ (33) с помощью численного метода решения дифференциальных уравнений, необходимо понизить его порядок, путём перехода от данного ДУ к нормальной форме Коши


Нормальная форма Коши для ДУ (33) будет иметь следующий вид:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


где коэффициенты Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем рассчитываются по следующим формулам:


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Тогда ДУ (33) можно записать в следующем виде

Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем, (34)


где Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем


Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем

Рис. 13. Графики выходных сигналов скорректированной (зеленая линия) и нескорректированной (синяя линия) САУ.

Полученные параметры регулятора:

Кп=1.0547895

Кд=0.0550905

Ки=0.9452075

5. Выводы


Численные методы решения дифференциальных уравнений используются в тех случаях, когда не удается найти их решение в аналитическом виде. Прежде всего, это относится к линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами и нелинейным дифференциальным уравнениям, соответственно описывающим динамику линейных нестационарных и нелинейных систем управления.

Сущность численных методов состоит в том, что решение ДУ строится только для дискретных значений аргумента.

Все численные решения ДУ делятся на две группы: одношаговые и многошаговые. В одношаговых методах используется информация о поведении решения в предыдущей точке. В многошаговых о поведении решения в нескольких предыдущих точках.

Численные решения ДУ можно разделить на две группы: явные и неявные. В явных методах, в отличие от неявных, используется явная зависимость значения функции в текущей точке от значений функции в предыдущих точках. Преимуществом таких методов является относительная простота вычисления значения функции на каждом шаге, однако, сходимость данных методов определяется шагом интегрирования Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем.

В отношении численных методов оптимизации следует отметить следующее. Все численные методы минимизации делятся на прямые и градиентные методы. В прямых методах используется только значение функции в конкретных точках, а в градиентных - информация о первых и вторых производных функции. Также методы минимизации можно разделить на методы минимизации функции одной переменной и методы, позволяющие минимизировать функции многих переменных. При минимизации необходимо учитывать наличие ограничений на параметры исходной функции.

6. Литература


Н.Д. Егупов, Ю.П. Корнюшин, Ю.Л. Лукашенко, А.А. Самохвалов, М.М. Чайковский Сложные системы автоматического управления с переменными параметрами: алгоритмическое и программное обеспечение решения задач исследования и синтеза, Калуга, 2003

Вержбицкий. Численные методы.

Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-ти т.; 2-е изд., перераб. и доп. Т.3: Синтез регуляторов систем автоматического управления / Под редакцией К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 616с.; ил.

Конспект лекций по курсу "Системы аналитических вычислений" за I и II семестр.

7. Приложение 1 (Листинг скриптов для нахождения корней полинома)


function secush

clc

e=10.^-5;

x=-8.1;

xm1=-8

Asm1=8.6159999

i=0;

As=0.252*(x.^3)+1.41*(x.^2)+14.2*x+161;

x1=x-(As.*(xm1-x))./(Asm1-As);

Asm1=As;

As=0.252*(x1.^3)+1.41*(x1.^2)+14.2*x1+161;

i=i+1;

while abs(x1-x)>e

xm1=x;

x=x1;

x1=x-(As.*(xm1-x))./(Asm1-As);

Asm1=As;

As=0.252*(x1.^3)+1.41*(x1.^2)+14.2*x1+161;

i=i+1;

A(i)=x;

end

hold on

for n=1:i

plot(n,A(n),'b-o')

end

grid on

xlabel('iteraciya')

ylabel('roots')

disp('ответ');

disp(x);

8. Приложение 2 (Листинг скриптов для решения ДУ)


function Difer

clc

T=4;

a0=638.89;

a1=56.35;

a2=5.60;

b0=595.24;

h=0.0005;

A_X(1,1:3)=[0 0 0];

A=[0 1 0;

0 0 1;

a0 a1 a2];

B=[0 0 b0]';

k=0;

t=0;

while (t < (T-h))

if (t <= 3*h)

K1=A*(A_X(k+1,:))';

K2=A*(A_X(k+1,:))'+1/3*K1;

K3=A*(A_X(k+1,:))'+1/6*K1+1/6*K2;

K4=A*(A_X(k+1,:))'+1/8*K1+3/8*K2;

K5=A*(A_X(k+1,:))'+1/2*K1-3/2*K3+2*K4;

A_X(k+2,:)=(A_X(k+1,:))+h/6*(K1'+4*K4'+K5');

else

h1=h;

t=t+h1;

H=(eye(length(A_X(1,:)))-(9*h1/24)*A);

G=(eye(length(A_X(1,:)))+19*h1/24*A)*(A_X(k+1,:))'+h1/24*A*(-5*(A_X(k,:))'+(A_X(k-1,:))')

+h1/24*B*(9*1+19*1-5*1);

A_X(k+2,:)=(inv(H)*G)';

end

Otr(k+1)=t;

k=k+1;

h=-0.43496

end

plot(Otr,A_X(1:k,1),'b-');

grid on

9. Приложение 4 (Листинг скриптов для спектрального анализа)


spectr.m

syms t T;

Kx=(638.89/2)*(t-T).^2-56.35*(1./2)*(-2*(t-T))+5.6;

Ky=(595.24/2)*(t-T).^2;

F2=2*t;

L(2)=F2;

F3=4*t.^2-1;

L(3)=F3;

F4=8*t.^3-4*t;

L(4)=F4;

F5=16*t.^4-12*t.^2+1;

L(5)=F5;

F6=32*t.^5-32*t.^3+6*t;

L(6)=F6;

F7=64*t.^6-80*t.^4+24*t.^2-1;

L(7)=F7;

F8=128*t.^7-192*t.^5+80*t.^3-8*t;

L(8)=F8;

F9=256*t.^8-448*t.^6+240*t.^4-40*t.^2+1;

L(9)=F9;

F10=512*t.^9-1024*t.^7+672*t.^5-160*t.^3+10*t;

L(10)=F10;

F1=1;

L(1)=F1;

F2=2*T;

L1(2)=F2;

F3=4*T.^2-1;

L1(3)=F3;

F4=8*T.^3-4*T;

L1(4)=F4;

F5=16*T.^4-12*T.^2+1;

L1(5)=F5;

F6=32*T.^5-32*T.^3+6*T;

L1(6)=F6;

F7=64*T.^6-80*T.^4+24*T.^2-1;

L1(7)=F7;

F8=128*T.^7-192*T.^5+80*T.^3-8*T;

F9=256*T.^8-448*T.^6+240*T.^4-40*T.^2+1;

L1(9)=F9;

F10=512*T.^9-1024*T.^7+672*T.^5-160*T.^3+10*T;

L1(10)=F10;

F1=1;

L1(1)=F1;

G=L'*L1;

In=Kx*G;

r=int(In,T,0,t);

Cx=int(r,t,0,1.5);

In=Ky.*G;

r=int(In,T,0,t);

Cy=int(r,t,0,1.5);

A=((Cx+eye(10)).^-1)*Cy;

Cy=int(L,t,0,1.5);

Cx=A*Cy'

Postr.m

function H=fun(t)

Cx=[3.7672; 1.3134; 0.5181; 0.2065; 0.0819; 0.0323; 0.0127; 0.0491; 0.0189; 0.0723];

F2=2*t;

L(2)=F2;

F3=4*t.^2-1;

L(3)=F3;

F4=8*t.^3-4*t;

L(4)=F4;

F5=16*t.^4-12*t.^2+1;

L(5)=F5;

F6=32*t.^5-32*t.^3+6*t;

L(6)=F6;

F7=64*t.^6-80*t.^4+24*t.^2-1;

L(7)=F7;

F8=128*t.^7-192*t.^5+80*t.^3-8*t;

L(8)=F8;

F9=256*t.^8-448*t.^6+240*t.^4-40*t.^2+1;

L(9)=F9;

F10=512*t.^9-1024*t.^7+672*t.^5-160*t.^3+10*t;

L(10)=F10;

F1=1;

L(1)=F1;

H=(Cx'*L');

t=[0:0.01:5];

plot(t,H)

10. Приложение 5 (Листинг скриптов для оптимизации)


jivs.m

clear

clc

a=0;

b=5;

h=0.1;

Kp1=2; Kd1=1; Ki1=0;

J1=int2(Kp1, Kd1, Ki1);

while h>0.0000001

Kp2=Kp1+h;

J2=int2(Kp2, Kd1, Ki1);

if J2>J1

Kp2=Kp1-h;

J2=int2(Kp2,Kd1,Ki1);

if J2>J1

Kp2=Kp1;

end

end

Kd2=Kd1+h;

J2=int2(Kp2, Kd2, Ki1);

if J2>J1

Kd2=Kd1-h;

J2=int2(Kp2,Kd2,Ki1);

if J2>J1

Kd2=Kd1;

end

end

Ki2=Ki1+h;

J2=int2(Kp2, Kd2, Ki2,h);

if J2>J1

Ki2=Ki1-h;

J2=int2(Kp2,Kd2,Ki2,h);

if J2>J1

Ki2=Ki1;

end

end

h=fibon(a,b,h);

while J2<J1

Kp=Kp1+2*(Kp2-Kp1); Kd=Kd1+2*(Kd2-Kd1); Ki=Ki1+2*(Ki2-Ki1);

J1=J2;

J2=int2(Kp,Kd,Ki,h);

Kp1=Kp2;Kp2=Kp; Kd1=Kd2;Kd2=Kd; Ki1=Ki2;Ki2=Ki;

end

end

disp(Kp)

disp(Kd)

disp(Ki)

int2.m

function J=int2(Kp,Kd,Ki,h)

clc

T=4;

A=[0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1; -595.23809523*Ki -43.6507936507-595.23809523*Kp -56.34920634920635-595.23809523*Kd -5.59523809523809];

B=[0; 595.23809*Kd; 595.23809*Kp-3330.498866*Kd; 595.23809*Ki-33540.615-354308.277*(Kd)^2-3330.498*Kp-18634.934*Kd];

k=0;

t=0;

while (t < (T-h))

if (t <= 3*h)

K1=A*(A_X(k+1,:))';

K2=A*(A_X(k+1,:))'+1/3*K1;

K3=A*(A_X(k+1,:))'+1/6*K1+1/6*K2;

K4=A*(A_X(k+1,:))'+1/8*K1+3/8*K2;

K5=A*(A_X(k+1,:))'+1/2*K1-3/2*K3+2*K4;

A_X(k+2,:)=(A_X(k+1,:))+h/6*(K1'+4*K4'+K5');

else

h1=h;

t=t+h1;

H=(eye(length(A_X(1,:)))-(9*h1/24)*A);

G=(eye(length(A_X(1,:)))+19*h1/24*A)*(A_X(k+1,:))'+h1/24*A*(-5*(A_X(k,:))'+(A_X(k-1,:))')

+h1/24*B*(9*1+19*1-5*1);

A_X(k+2,:)=(inv(H)*G)';

end

Otr(k+1)=t;

k=k+1;

end

grid on

fibon.m

function h=fibon(a,b,h)

F(1)=1; F(2)=1;n=100;

for i=[1:0.1:n-2]

F(i+2)=F(i+1)+F(i);

end

j=0;

x1=a; x3=b;

L1=x3-x1;

L2=(F(n-1)/F(n))*L1+((-1)^n)/F(n)*eps;

x2=x3-L2;

x4=x1+x3-x2;

while (abs(x3-x1) > eps)

F2=x2;

F4=x4;

if ((x2 < x4)&&(norm(F2) < norm(F4)))

x1=x1; x3=x4;

x4=x1+x3-x2;

elseif ((x2 > x4)&&(norm(F2) < norm(F4)))

x1=x4; x3=x3;

x4=x1+x3-x2;

elseif ((x2 < x4)&&(norm(F2) > norm(F4)))

x1=x2; x3=x3;

x2=x1+x3-x4;

elseif ((x2 > x4)&&(norm(F2) > norm(F4)))

x1=x1; x3=x2;

x2=x1+x3-x4;

end

j=j+1;

la=x1+(x3-x1)/2;

end

l=la;

Похожие работы:

  1. Численное интегрирование функций
  2. • Численное интегрирование методом Гаусса
  3. • Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных ...
  4. • Исследование точности численного интегрирования
  5. • Исследование точности численного интегрирования
  6. • Численное интегрирование функции методом Гаусса
  7. • Исследование точности численного интегрирования
  8. • Точность численного интегрирования
  9. • Экспериментальное исследование свойств методов Рунге ...
  10. • Сравнительный анализ численных методов
  11. • Исследование точности численного интегрирования
  12. • Методы синтеза и оптимизации
  13. • Численное интегрирование методом прямоугольников
  14. • Решение систем линейных дифференциальных уравнений ...
  15. • Сравнительный анализ методов оптимизации
  16. • Решение систем линейных дифференциальных уравнений ...
  17. • Отыскание корня уравнения методом половинного деления
  18. • Численные методы анализа и синтеза периодических сигналов
  19. •  ... практикума "Теория оптимизации и численные методы"
Рефетека ру refoteka@gmail.com