Рефетека.ру / Педагогика

Учебное пособие: Перпендикуляр

Ход урока.

Деятельность учителя Деятельность ученика

– Мы завершили изучение большой темы курса стереометрии «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Как эта тема у нас появилась?


– Хорошо. В планиметрии мы изучали перпендикулярность прямых. А какие объекты могут быть перпендикулярны в пространстве?


– Да! Поэтому и тема называется «Перпендикулярность прямых и плоскостей».


– В планиметрии мы рассматривали различные случаи расположения двух прямых по наличию у них общих точек, в частности перпендикулярность прямых. По аналогии с изучением темы «Параллельность прямых и плоскостей», мы предположили, что аналогичные понятия можно ввести и в стереометрии.


– Перпендикулярными в пространстве могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости.

– Что же мы изучали в теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»?


– А какие задачи решали?


– Вы видите, какой это обширный материал, сколько в нем разных теорем, задач. На его рассмотрение мы потратили 14 уроков. Что нам предстоит сделать теперь?


– А что значит привести знания в систему?


– Правильно. А как будет звучать тема сегодняшнего урока?


– Хорошо. Цели мы уже сформулировали. Запишем тему.


–Определения перпендикулярности различных объектов, доказывали признаки и свойства перпендикулярности, способы нахождения расстояний и углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями.


– Доказывали перпендикулярность объектов, находили соответствующие расстояния и углы.


– Привести полученные знания и умения в систему и подготовиться к контрольной работе.


– Выделить основные понятия, установить взаимосвязь между ними, а также выделить основные типы задач и методы их решения.


– Перпендикулярность прямых и плоскостей.


– Перпендикулярность каких объектов мы изучили?


– Будем работать с таблицей.

< Открывает заголовок таблицы 1>

– Итак, в теме мы выделили три блока, связанные с перпендикулярностью. Вспомним, определение перпендикулярности каждой пары объектов и выделим способ доказательства перпендикулярности каждой пары. Какие прямые называются перпендикулярными?


– Как могут быть расположены перпендикулярные прямые в пространстве? < Открывает соответствующий рисунок>


– Какой теоретический факт, связанный с перпендикулярностью прямых мы изучали?


– Сформулируйте ее. < Открывает рисунок>

– Поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Начнем с определения.


< Открывает рисунок>

– В этой части было доказано много теорем, подумайте, какие теоремы вы бы отнесли к ней. Называйте и формулируйте их.


<Открывает соответствующие рисунки>


– В эту часть мы отнесем теорему о трех перпендикулярах и обратную к ней.

А как вы думаете почему?


–Молодец! Рассмотрим последнюю часть. Какие две плоскости называются перпендикулярными?


–Какие факты можно отнести в эту часть?


– Правильно. Итак, тема «Перпендикулярность прямых и плоскостей» появилась по аналогии с темой «Перпендикулярность прямых на плоскости». Я напомню вам, что многие определения и теоремы вы формулировали сами по аналогии с известными определениями в планиметрии или обобщая их – заменяя прямые на плоскости, лучи на полуплоскости. При доказательстве теорем в каждом последующем блоке использовались теоремы предыдущего блока <показывает столбцы> и теоретические положения темы «Параллельность прямых и плоскостей». Однако и перпендикулярность работает на параллельность – мы получили новые свойства и признаки параллельности прямых и параллельности плоскостей. Посмотрите на рисунки 7 и 8. Например, сформулируйте признак параллельности прямых по рисунку 7.


–Хорошо. Продолжите предложение: «Две прямые в пространстве перпендикулярны, если …».


<Аналогичная работа проводится для оставшихся двух случаев>



– Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей.


– Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900 .


– Они могут пересекаться и скрещиваться.


– Лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей.

<Формулируют>


– Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.


– Признак перпендикулярности прямой и плоскости <формулирует>.

– Теорема о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости <формулирует>.

– Теорема о связи между параллельностью двух плоскостей и их перпендикулярностью к прямой <формулирует>.


– Потому что она доказывается с помощью определения прямой перпендикулярной к плоскости.


– Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900 .


–Признак перпендикулярности двух плоскостей.


- Две прямые в пространстве параллельны, если они перпендикулярны некоторой плоскости.


Две прямые в пространстве перпендикулярны, если

- одна из них перпендикулярна некоторой прямой, а другая ей параллельна;

- одна из них перпендикулярна некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости;

- одна из них является наклонной к некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции первой прямой.


<Ученики формулируют следующие эвристики:

Прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны, если

- прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости;

- прямая параллельна некоторой другой прямой, перпендикулярной данной плоскости;

- данная плоскость параллельна некоторой другой плоскости, перпендикулярной данной прямой.

Две плоскости перпендикулярны, если одна из этих плоскостей содержит прямую, перпендикулярную второй плоскости. >


–Давайте теперь поработаем с задачей. Рассмотрим следующую конфигурацию: дан равносторонний треугольник АВС, через середину О стороны АВ проведен перпендикуляр ОD к плоскости АВС, построены отрезки DА, DВ, DС, ОС. Запишем что дано. Задание 1: найдите пары перпендикулярных прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, выделите теоретический базис доказательства.

– Работаем в парах. Первый ряд ищет пары перпендикулярных прямых, второй – перпендикулярных прямой и плоскости, третий ряд – пары перпендикулярных плоскостей. Даю вам 5 минут.

– Начнем с первого ряда. Делайте записи в тетради. <Записи на доске делает ученик>


–Хорошо. Послушаем теперь второй ряд.


–Третий ряд, пожалуйста.



<Работают>

< Ученики называют по одной найденной паре по очереди, называя то положение, которое использовали>

– DO^AB (DO^ABC, значит, по определению прямой, перпендикулярной плоскости , DO, в частности, перпендикулярно АВ)

– DO^AC, DO^BC (аналогично)

– DC^AB (по лемме, теореме о трех перпендикулярах, лемме).


–DO^ABC(по условию).

–AB^COD,CO^ADB(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).


–DAB^ABC (по признаку перпендикулярности плоскостей)

–DOC^ABC (по признаку перпендикулярности плоскостей)

–DOC^ADB (по признаку перпендикулярности плоскостей).


– Мы знаем, что изученная тема позволяет ввести метрические характеристики пространства: расстояния между объектами и углы между ними.

Давайте повторим, как определяются расстояния между различными фигурами. <Открывает заголовок: «Расстояния в пространстве»>

<Учитель открывает по очереди каждый рисунок в таблице>

–Что называется расстоянием от точки до прямой?


–Какие еще расстояния можете назвать?


– Вспомните, как мы решали задачи о нахождении расстояний.


– То есть решение таких задач сводилось всегда к решению треугольников, поэтому отметим это в таблице.

– Теперь вспомним, какие углы мы рассматривали.<Открывает заголовок: «Углы в пространстве»>

– Опишите это понятие.

<Открывает соответствующий рисунок>


– Какие еще углы вы знаете?


– Решение задач на нахождение углов тоже сводится к решению треугольников.


– Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного от этой точки к данной прямой.

– От точки до плоскости. Это длина перпендикуляра, проведенного изданной точки к данной плоскости.

– Расстояние между параллельными прямыми. Это расстояние от произвольной точки одной прямой до другой.

– Между параллельными прямой и плоскостью. Это расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.

– Между параллельными плоскостями – расстояние от произвольной точки одной из плоскостей к другой.

– Между скрещивающимися прямыми– расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проведенной через другую прямую параллельно первой.


– Сначала мы строили отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Затем включали его в треугольник.


– Угол между прямыми.

– Если прямые пересекаются, то углом между ними называется наименьший из углов, образованных при их пересечении. Если прямые скрещиваются, то надо провести прямые, параллельные данным через произвольные точки пространства и искать угол между ними.

– Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

– И угол между плоскостями – это наименьший двугранный угол, образованный при их пересечении.


– Вернемся к задаче. Найдите углы наклона прямых DA, DB, DC к плоскости ABC. Будем использовать тот же рисунок. Две минуты вам на размышление.

– Начнем с первого задания.


– Как вычислять угол мы только поговорим, а вычисления сделаете дома. Продолжай.


–Второй ряд, пожалуйста.


–И последний угол?


–Дорешаете дома.


–Следующее задание. Найдите расстояния от т. D до пл. АВС, от С до АDВ, от А до DОС. Работаем по рядам и по тому же рисунку.


–Отлично! Теперь найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС.

Эту задачу будем решать на новом рисунке.

–Итак, начнем.


–Далее. Прежде чем вычислять, нужно правильно построить искомый отрезок. Пусть кто-нибудь выйдет к доске и построит его.

– Мы не знаем как изобразить перпендикуляр из точки D до прямой ВС. В какой еще плоскости расположена прямая ВС?

– Чем является искомая прямая по отношению к этой плоскости?

– То есть прямая ВС должна быть перпендикулярна к наклонной. Что отсюда следует?

– А через какую точку пройдет проекция наклонной?

– Значит нужно сначала изобразить перпендикуляр из точки О к прямой ВС. Можем ли мы это сделать?


– А если бы мы и о треугольнике АВС ничего не знали, то как бы изобразили перпендикуляр из точки D к прямой ВС?


– Как найти DК?


– Как найти расстояние от D до АС? Постройте его на доске.


– Найдите линейные углы двугранных углов при ребрах АС и ВС. Это задача №7.

– Назовите их и докажите.


–Как их найти?



– Так как ОD^АВС, то АО – проекция наклонной АD на плоскость АВС, следовательно РDАО – угол между DА и АВС.


– Его можно найти из прямоугольного треугольника АОD: DО дано, а АО равно половине АВ.

–Угол между DВ и АВС – это РDВО.

–Угол между DС и АВС – это РDСО.


– Так как DО – перпендикуляр, проведенный из точки D к плоскости АВС, то DО – искомое расстояние.

– Мы доказывали, что СО^DАВ, значит СО–расстояние от С до DАВ.

–АВ^DОС, то АО–расстояние от А до DОС.


Так как DО перпендикулярно АВ, то DО – расстояние между D и прямой АВ.


–АВС.

– Наклонной.

– Она должна быть перпендикулярной к проекции.

– Через точку О, так как она проекция точки D.

– Да. Сначала построим перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А. Пусть М–середина ВС, тогда АМ – медиана правильного ∆АВС, а, следовательно, и высота. Проведем ОК параллельно АМ, тогда ОК^ВС, и ОК–проекция DК на АВС. При этом DК^ВС (по теореме о трех перпендикулярах). Поэтому DК–расстояние от точки D до прямой ВС.


– Произвольно.

– Его можно найти из треугольника DОК. DО известно, ОК равно половине АМ, так как ОК – средняя линия ∆АМВ.


– Аналогично, причем DL равно DК.

– Они уже построены.


– РDКО – линейный угол двугранного угла при ребре ВС (по определению), так как ОК перпендикулярна ВС и DК перпендикулярна ВС. Аналогично, РDLО – линейный угол двугранного угла при ребре АС.


– Например, РDКО можно найти из прямоугольного треугольника DОК. А угол DLO равен углу DКО.


– Это все задания, которые мы планировали решить на уроке.

– А теперь подведем итоги сегодняшней работы. Мы говорили о понятии перпендикулярности в пространстве. Сказали, что перпендикулярными могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости.

– Какие типы задач нами были рассмотрены?


–Как вы думаете какое значение имеет данная тема в курсе стереометрии?


–на доказательство перпендикулярности объектов, задачи на нахождение расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, задачи на нахождение углов между прямой и плоскостью, между плоскостями.


–позволяет ввести метрические характеристики пространства, то есть определение углов и расстояний между основными фигурами.




– Что вы теперь умеете делать?


– Необходимо помнить, что каждое построение нужно обосновать прежде, чем проводить вычисления.

– Мы умеем доказывать перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей; решать основные задачи на вычисление расстояний и углов, как то находить расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости, находить углы между прямой и плоскостью, между плоскостями.
Дома оформить решение последней задачи и подготовиться к контрольной работе.

Расстояния в пространстве (Таблица 1)

От точки до прямой

Между параллельными прямыми

От точки до плоскости

Между парал–лельными прямой и плоскостью

Между параллельными плоскостями

Между скрещивающимися прямыми


Перпендикуляр


Перпендикуляр

ПерпендикулярAM ^ α

Перпендикуляр

AM ^ α

Перпендикуляр

AM ^ β

Перпендикуляр

AM ^ β

Решение треугольников

Углы в пространстве

Между прямыми

Между наклонной к плоскости и плоскостью

Между плоскостями


Перпендикуляр

0° < φ ≤ 90°

Перпендикуляр

0° < φ < 90°

Перпендикуляр

0° < φ ≤ 90°

Решение треугольников

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярные

прямые

Перпендикулярные прямая и плоскость

Перпендикулярные

плоскости

Перпендикуляр

Записи на доске и в тетрадях

Перпендикулярность прямых и плоскостей


Перпендикуляр

Дано: ∆АВС - равносторонний,

О - середина АВ,

ОD ^ АВС.

АВ=6см, ОD=3см.

1. Найти пары перпендикулярных прямых.

Решение.

а) DO^AB, DO^AC, DO^BC (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

б) DC^AB (по лемме, теореме о трех перпендикулярах, лемме).


2. Найти пары перпендикулярных прямой и плоскости.

Решение.

а) DO^ABC(по условию).

б)AB^COD, CO^ADB (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).


3. Найти пары двух плоскостей.

Решение.

DAB^ABC, DOC^АВС, DOC^ADB (по признаку перпендикулярности плоскостей).


4.Найти углы между DA, DB, DC и плоскостью ABC.

Решение.

Так как ОD^АВС, то АО – проекция наклонной АD на плоскость АВС, следовательно РDАО – угол между DА и АВС.


5. Найдите расстояния от т. D до плоскости АВС, от С до АDВ, от А до DОС.

Перпендикуляр6. Найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС.

Рефетека ру refoteka@gmail.com