Рефетека.ру / Менеджмент

Курсовая работа: Ігри з природою

Дніпропетровська обласна рада

Управління освіти і науки

Дніпропетровської облдержадміністрації

Обласний комунальний вищий навчальний заклад

«Інститут підприємництва «Стратегія»


Факультет Управління

Кафедра економічної кібернетики


Курсова робота

з дисципліни: Дослідження операцій

на тему: Ігри з природою


Виконав : Хавренко І.С.


м. Жовті Води

2009 рік

Зміст


Вступ

1. Теоретична частина

1.1 Структура статистичних ігор

1.1.1 Стратегічні і статистичні ігри

1.1.2 Суть статистичної гри

1.1.3 Простір стратегій природи

1.1.4 Простір стратегій статистики і функції втрат

1.2 Статистичні ігри без експерименту

1.2.1 Подання статистичної гри без експерименту у вигляді S-гри

1.2.2 Принципи вибору стратегій в статистичних іграх

1.2.3 Допустимі стратегії в статистичних іграх

2. Практична частина

Висновки

Список літератури


Вступ


В розглянутих задачах теорії ігор передбачалося, що в них беруть участь два учасники, інтереси яких протилежні. Тому дії кожного гравця направлені на збільшення виграшу (зменшення програшу). Проте в багатьох задачах, що зводяться до ігрових, невизначеність викликана відсутністю інформації про умови, в яких здійснюється дія. Ці умови залежать не від свідомих дій іншого гравця, а від об’єктивної дійсності, яку прийнято називати природою. Такі ігри називаються іграми з природою. Людина А в іграх з природою прагне діяти обачно, використовуючи, наприклад, мінімаксну стратегію, що дозволяє отримати якнайменший програш. Другий гравець В (природа) діє абсолютно випадково, можливі стратегії визначаються як її стани (наприклад, умови погоди в даному районі, попит на певну продукцію, об'єм перевезень, деяке поєднання виробничих чинників і т. д.). Саме не зловмисність і непередбачуваність другого гравця, тобто природи, викликає інтерес до статистичних ігор. Об'єктом даної роботи є статистичні ігри, а конкретно - загальний вид гри з природою, її структура, особливості, методи розв’язання. Метою даної роботи є аналіз структури статистичних ігор, їх особливостей і відмінностей від інших задач теорії ігор, а також вивчення методів розв’язку статистичних ігор і практичне їх застосування.

Задача даної роботи – провести детальний аналіз статистичних ігор, а також практично застосувати методи їх розв’язку.

Структура роботи. Відповідно до мети і задачі, дана робота складається із вступу, теоретичної частини (2 пункти, 7 підпунктів), практичної частини, висновків і списку літератури. В теоретичній частині розглядається загальна теорія курсової роботи, в практичній частині – приклад розв’язку статистичної задачі з використанням методів розв’язку, приведених в теоретичній частині.

1. Теоретична частина


1.1 Структура статистичних ігор


1.1.1 Стратегічні і статистичні ігри

Специфічним видом ігор, що мають велике значення при аналізі різних практичних ситуацій, є статистичні ігри. Вони мають ряд істотних відмінностей від стратегічних ігор. В основі теорії стратегічних ігор лежить припущення, що інтереси двох гравців протилежні. Кожний з гравців прагне так вибрати свою стратегію, щоб отримати для себе найбільшу вигоду і звести до мінімуму вигоду супротивника. В таких іграх кожний гравець діє активно і прагне по можливості використовувати оптимальну стратегію. Проте в багатьох практичних ситуаціях доводиться стикатися з випадками, коли один з гравців виявляється нейтральним, тобто таким, який не прагне отримати для себе максимальної вигоди. До таких ігор відносять ігри, в яких як один з гравців виступає природа. Тут в поняття «природа» вкладається вся сукупність зовнішніх обставин, в яких доводиться ухвалювати рішення.

Природу не можна розглядати як розумного супротивника, який міг би використовувати помилки, що скоїла людиною. Іншими словами, природа не має злого наміру по відношенню до людини. Вона просто розвивається і діє відповідно до своїх законів і у владі людини обернути ці закони собі на користь. Якби людина абсолютно точно знала закони природи, вона могла би їх використовувати з максимальною для себе вигодою. Проте у багатьох випадках людина або не знає закону природи, або знає його недостатньо повно. Неминучою платнею за спробу отримати розв’язок в умовах неповної інформації про закон природи є можливість ухвалення помилкових рішень. При цьому практично ситуації такі, що відмовитися взагалі від ухвалення якого-небудь рішення неможливо. Єдиний вихід з ситуації, що створилася — вироблення людиною такої стратегії відносно ухвалення рішень, яка хоча і не виключає можливість ухвалення неправильних рішень, але зводить до мінімуму пов'язані з цим небажані наслідки. Правда, у людини є ще можливість вивчати супротивника, тобто природу, за допомогою проведення експерименту. Проте цьому заважають дві обставини:

1) на проведення експерименту потрібен час, тоді як рішення у багатьох випадках потрібно ухвалити швидко;

2) експеримент вимагає витрати засобів, тобто може коштувати дорого — дорожче за той виграш, який дають додаткові знання, отримані в результаті експерименту.

Тому важливою задачею людини в грі проти «природи» є ухвалення рішення про те, чи потрібно проводити експеримент, а якщо потрібно, то який, коли його закінчити і які дії зробити після закінчення експерименту.

Ігри, в яких один супротивник — природа, а інший — людина, отримали назву статистичних ігор, а теорію таких ігор називають теорією статичних ігор. Людина, яка бере участь в грі проти природи, надалі називатимемо статистиком.


1.1.2 Суть статистичної гри

Близькою по ідеях і методах до теорії ігор є теорія статистичних рішень. Від теорії ігор вона відрізняється тим, що невизначена ситуація не має конфліктного забарвлення — ніхто нікому не протидіє, але елемент невизначеності в наявності. В задачах теорії статистичних рішень невідомі умови операції залежать не від свідомо діючого «супротивника» (або інших учасників конфлікту), а від об'єктивної дійсності, яку в теорії статистичних рішень прийнято називати «природою». Відповідні ситуації часто називаються «іграми з природою». «Природа» мислиться як якась незацікавлена інстанція, «поведінка» якої невідомо, але в усякому разі не зловмисна. Здавалося б, відсутність свідомої протидії спрощує задачу вибору розв’язку. Виявляється, ні: не спрощує, а ускладнює. Правда, ухвалюючому рішення в «грі з природою» насправді «легше» добитися успіху (адже йому ніхто не заважає), але йому «важче» обгрунтувати свій вибір. В грі проти свідомого супротивника елемент невизначеності частково знімається тим, що ми «думаємо» за супротивника, «ухвалюємо» за нього рішення, найсприятливіше для нас самих. В грі ж з природою така концепція не підходить: хто знає, як себе поведе природа? Тому теорія статистичних рішень — сама «хистка» в значенні рекомендації наука. Все ж таки у неї є право на існування і на увагу з боку осіб, що займаються дослідженням операцій.


1.1.3 Простір стратегій природи

Під стратегією природи розумітимемо повну сукупність зовнішніх умов, в яких доводиться ухвалювати рішення. Цю сукупність зовнішніх умов назвемо станом природи Ігри з природою. В загальному випадку існує деяка множина можливих станів природи Ігри з природою яка називатиметься простором стану природи, а елемент цього простору – чистими стратегіями природи. [5]

Якби було відоме наперед, яку з своїх чистих стратегій застосовує природа у кожному конкретному випадку, то з упевненістю ухвалювали б рішення на підставі повного знання стану природи. Проте звичайно буває, відомий тільки перелік чистих стратегій природи. Тобто відомий апріорний розподіл вірогідності Ігри з природою на просторі станів природи Ігри з природою. Цей апріорний розподіл вірогідності Ігри з природою називають змішаною стратегією природи.


1.1.4 Простір стратегій статистика і функція втрат

Задача статистика полягає в тому, щоб ухвалити яке-небудь рішення

або виконати яку-небудь дію з сукупності розв’язків або дій. Позначимо можливі дії статистика через Ігри з природою.

Кожна з цих дій є чистою стратегією статистика. Множина А= {а1 ..., ai} є простором чистих стратегій статистика.

Статистик повинен уміти оцінити кожну з своїх дій. Для цього він допускає, що скоюючи дію а, може зазнати збитків L(Ігри з природою, а),які залежать як від виконуваної дії а, так і від невідомого стану природи Ігри з природою. Функція L(Ігри з природою, а), що називається функцією втрат, повинна бути наперед визначена для всіх можливих комбінацій Ігри з природою і Ігри з природою, тобто повинна бути задана на прямому добутку множин Ігри з природою. Її можна задавати або аналітично, або по аналогії з матрицею втрат вигляду:


Ігри з природою


де Ігри з природою.

Знання функції втрат дозволяє статистику зробити дії, які є якнайкращими в умовах інформації, яку він має про стан природи. Знання апріорного розподілу вірогідностей дозволяє визначити середні втрати, яких зазнає статистик, виконуючи ту або іншу дію:


Ігри з природою


Якнайкращою для статистика дією буде байесовська дія а*, при якій втрати будуть мінімальні, тобто


Ігри з природою


Статистик не обов’язково повинен обмежитись використанням лише однієї чистої стратегії. Він може застосувати суміш чистих стратегій у відповідності до певного ймовірнісного закону розподілу. В цьому випадку статистик буде користуватись змішаною стратегією. Для змішаної стратегії статистик повинен задатися розподілом ймовірностей Ігри з природою, який визначає ймовірності, з якими будуть використані чисті стратегії. В загальному випадку статистик має в розпорядженні деякий набір змішаних стратегій Ігри з природою, що називається простором змішаних стратегій статистика.

Якщо статистик застосовує змішану стратегію Ігри з природою, а природа — змішану стратегію Ігри з природою, то середні втрати статистика:


Ігри з природою


В цьому випадку задача статистика полягає в тому, щоб вибрати таку стратегію Ігри з природою , при якій його середні втрати Ігри з природою будуть мінімальні, тобто:


Ігри з природою


Тут статистик не робить спроби уточнити свої знання про дійсний стан природи шляхом проведення експерименту. Тому даний тип статистичної гри може бути названий статистичною грою без експерименту.


1.2 Статистичні ігри без експерименту


1.2.1 Подання статистичної гри без експерименту у вигляді S-гри

Статистична гра може бути подана у вигляді еквівалентної S-гри абсолютно таким же чином, як це робилося в стратегічних іграх. Для цього з кожною з чистих стратегій Ігри з природою пов'язуємо точку в m-мірному просторі, координатами якої будуть втрати статистика Ігри з природою при різних станах природи Ігри з природою. [5]

Розглянемо декілька принципів, якими може керуватися статистик при виборі своєї стратегії. При цьому серед статистиків не існує єдиної думки про те, який з принципів є якнайкращим в статистичних іграх. Іншими словами, не існує універсального правила, що дозволяє вибрати, певний образ дії незалежно від ситуації, що склалася. Хоча можуть бути розбіжності щодо того, що не потрібно робити в даній ситуації, можна прийти до повної згоди щодо того, що не потрібно робити. Це можливо при введенні поняття допустимих стратегій, аналогічного поняттю домінуючих стратегій в стратегічних іграх.


1.2.2 Принципи вибору стратегій в статистичних іграх

Принципом вибору називають правило, що дозволяє визначити якнайкращу змішану стратегію статистика. В різних випадках статистик може користуватися різними принципами вибору своєї стратегії.

Одним з можливих принципів вибору стратегії може бути принцип мінімакса, який успішно застосовують в стратегічних іграх, коли гра ведеться проти розумного супротивника, охочого заподіяти нам найбільшого збитку. Проте у ряді випадків доцільно використовувати цей принцип і в статистичних іграх. Згідно принципу мінімакса статистик вибирає таку змішану стратегію Ігри з природою, при якій середні втрати Ігри з природою будуть мінімальні при якнайгіршому для нього стані природи Ігри з природою. Найгіршим випадком буде таке Ігри з природою, коли величина Ігри з природою приймає максимальне значення. Цю величину статистик і повинен мінімізувати, тобто вибирати стратегію Ігри з природою, яка забезпечує умову:


Ігри з природою


Іноді доцільно вибирати стратегію, виходячи не з повних втрат L(Ігри з природою, а), а з додаткових L’(Ігри з природою, а), що визначаються із співвідношень:

L’(Ігри з природою, а)= L(Ігри з природою, а) - Ігри з природою.

Мінімаксні принципи, що витікають з припущення, що природа діє якнайгіршим для статистика чином, є виправданими в стратегічних іграх, але в статистичних іграх вони виражають точку зору дуже обережної людини, що прагне отримати доступне і що не ганяється за нездійсненним, щоб не зазнати випадково великого збитку. Недоліком мінімаксних принципів слід вважати також те, що вони не враховують апріорної інформації про стани природи і тим самим обмежують той виграш, який ця інформація може дати.

Тому мінімаксні принципи можна рекомендувати в тих випадках, коли відсутня апріорна інформація про стани природи або є підстави сумніватися в достовірності цієї інформації. Іншим принципом вибору стратегії, що враховує апріорний розподіл вірогідності Ігри з природою, є байесовський принцип. Згідно байесовському принципу змішану стратегію статистика Ігри з природою(а) оцінюють шляхом усереднювання втрат Ігри з природою по всіх можливих станах природи Ігри з природою з урахуванням апріорного розподілу вірогідностей Ігри з природою, тобто по величині:


Ігри з природою


Якнайкращою стратегією Ігри з природою (а) при цьому буде така, яка дає мінімум величини Ігри з природою. Цю якнайкращу стратегію називають байесовською стратегією.[5] Байесовський принцип, природно, можна застосовувати як до повних, так і до додаткових втрат. Проте в більшості випадків застосовують байесовський принцип до повних втрат.


1.2.3 Допустимі стратегії в статистичних іграх

Припустимо, що розглядаємо змішану стратегію статистика Ігри з природою(а). Можуть зустрітися два випадки.

1. Не можна знайти жодній стратегії, кращої ніж Ігри з природою(а). Це означає, що не існує такої стратегії Ігри з природою(а), для якої:

Ігри з природою (1.2.3.1)


при всіх Ігри з природою, хоча для деяких Ігри з природою співвідношення (1.2.3.1) буде справедливе. В цьому випадку стратегію Ігри з природою(а) можна назвати допустимою, але вона може і не бути бажаною, оскільки можуть бути і інші стратегії, які також мають право на увагу.

2. Існує стратегія Ігри з природою(а), краща ніж Ігри з природою(а). Це означає, що співвідношення (1.2.3.1) для стратегії Ігри з природою(а) буде справедливе при всіх Ігри з природою. В цьому випадку стратегію Ігри з природою(а) потрібно виключити з розгляду на користь стратегії Ігри з природою(а), тобто вважати її неприпустимою. Допустимі стратегії зручно розглядати в термінах S-гри. Оскільки в S-грі стратегія статистика визначається точкою S опуклої оболонки S*, а втрати при різних Ігри з природою визначаються координатами цієї точки, то стратегія, що визначається точкою S, буде допустимою, якщо не існує іншої точки Ігри з природою , у якої всі координати будуть менше відповідних координат точки S. Метод знаходження допустимих стратегій розберемо для випадку, коли простір станів природи складається з елементів Ігри з природою і Ігри з природою. На мал. 1.2.3.1 показана опукла область S*, що відповідає цьому випадку.

Розглянемо стратегію, що визначається точкою Ігри з природою, яка розташовується всередині області S*. Ця стратегія не є допустимою, оскільки всі точки, що лежать на відрізку OS1 усередині S*, визначають кращі стратегії, ніж Ігри з природою. Якнайкращою з них є стратегія S, що належить нижній лівій межі області S*. [5]

Тому всі внутрішні точки можна виключити на користь точок, що належать нижній лівій межі області S*, відзначеної на малюнку жирною лінією. Проте зсув точки уздовж цієї межі не дає яких-небудь переваг, оскільки при цьому зменшуються втрати, що відповідають одному стану природи, але збільшуються втрати, що відповідають іншому стану природи. Тому точки, що належать нижній лівій межі області S* і визначають допустимі стратегії статистика.

Ігри з природою


Ігри з природою

S

Ігри з природою

Мал.1.2.2.1 Допустимі стратегії в S-грі


1.3 Принципи розвязання статистичних задач


Розглянемо гру з природою: у нас (сторона А) є т можливих стратегій Ігри з природою; що стосується обстановки, то про неї можна зробити п припущень: Ігри з природою. Розглянемо їх як «стратегії природи». Наш виграш Ігри з природою при кожній парі стратегій Ігри з природою заданий матрицею (таблиця 1.3.1).[2, c. 196-199]


Таблиця 1.3.1

Ігри з природоюІгри з природоюІгри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природоюІгри з природоюІгри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою



Необхідно вибрати таку стратегію гравця А (чисту, або можливо, змішану, якщо це можливо), яка є більш вигідною в порівнянні з іншими.

Найпростіший випадок вибору розв’язку в грі з природою — це випадок коли якась із стратегій гравця А перевершує інші («домінує» над ними), як, наприклад, стратегія А2 в таблиці 1.3.2.

Тут виграш при стратегії А2 при будь-якому стані природи не менше ніж при інших стратегіях, а при деяких — більше; значить потрібний вибирати саме цю стратегію.


Таблиця 1.3.2


Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою


Якщо навіть в матриці гри з природою немає однієї домінуючій над всіма іншими стратегії, все ж таки корисно подивитися, чи немає в ній дублюючих стратегій і поступливих іншим за всіх умов. Але тут є одна тонкість: так ми можна зменшити тільки число стратегій гравця А, але не гравця П. Припустимо, що «чищення» матриці проведено, і ні дублюючих, ні явно невигідних гравцю А стратегій в ній немає. Припустимо, що виграш Ігри з природою при нашій стратегії Ai і стані природа Ігри з природою більше, ніж при нашій стратегії Ak і стані природи Ігри з природою: Ігри з природою>Ігри з природою. Але за рахунок чого більше? За рахунок того, що вдало вибрали стратегію Ai? Необов'язково. Можливо, просто стан природи Ігри з природою вигідніше, ніж Ігри з природою. Наприклад, стан природи «нормальні умови» для будь-якої операції вигідніше, ніж «повінь», «землетрус» і т.п. Бажано ввести такі показники, які не просто давали б виграш при даній стратегії в кожній ситуації, але відображали б «вдачність» або «невдачність» вибору даної стратегії в даній ситуації. З цією метою в теорії рішень вводиться поняття «ризику». Ризиком Ігри з природою гравця А при користуванні стратегією Ai в умовах Ігри з природою називається різниця між виграшем, який ми отримали б, якби знали умови Ігри з природою, і виграшем, який ми отримаємо, не знаючи їх і вибираючи стратегію Ai :


Ігри з природою


Для прикладу візьмемо матрицю виграшів (Ігри з природою)(таблиця 1.3.3) і побудуємо для неї матрицю ризиків (Ігри з природою) (таблиця 1.3.4). При погляді на матрицю ризиків (таблиця 1.3.4) стають яснішими деякі риси даної «гри з природою». Так, в матриці виграшів (Ігри з природою) (таблиця 1.3.3) в другому рядку перший і останній елементи були рівні один одному: Ігри з природою .


Таблиця 1.3.3

Ігри з природоюІгри з природоюІгри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

4 8 6 9

Таблиця 1.3.4


Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою


Проте ці виграші зовсім не рівноцінні в значенні вдалого вибору стратегії: при стані природи Ігри з природою могли виграти найбільше 4, і вибір стратегії А2 майже абсолютно добрий; а ось при стані Ігри з природою могли б, вибравши стратегію А1 отримати на цілі 6 одиниць більше, тобто вибір стратегії А2 дуже поганий. Ризик — це «платня за відсутність інформації»: в таблиці 1.3.4 r21 = 1, r24= 6. Природно, хотілося б мінімізувати ризик, супроводжуючий вибір розв’язку.

Найпростіший випадок невизначеності — це «доброякісна або стохастична невизначеність», коли стани природи мають якісь вірогідності і цю вірогідності Ігри з природою нам відомі. Тоді вибираємо ту стратегію, для якої середнє значення виграшу, узяте по рядку, максимально:


Ігри з природою


А середній ризик повинен бути мінімальним:


Ігри з природою


Припустимо, що вірогідність Ігри з природою у принципі існує, але невідомі. Іноді в цьому випадку припускають всі стани природи рівноімовірними (так званий «принцип недостатньої підстави» Лапласа), але взагалі-то це робити не рекомендується. Все-таки звичайно більш менш ясно, які стани більш, а які — менш вірогідні. Для того, щоб знайти орієнтовні значення вірогідностей Ігри з природою, можна, наприклад, скористатися методом експертних оцінок.

Візьмемо випадок «поганої невизначеності», коли вірогідність станів природи або взагалі не існують, або не піддаються оцінці навіть приблизно. Тут все залежить від точки зору на ситуацію, від позиції дослідника, від того, якими бідами загрожує невдалий вибір рішення. Опишемо декілька можливих підходів, точок зору (або, як то кажуть, декілька «критеріїв» для вибору рішення).

1. Максимінний критерій Вальда. [2, c. 196] Згідно цьому критерію гра з природою ведеться як гра з розумним, причому агресивним супротивником, що робить все для того, щоб перешкодити нам досягти успіху. Оптимальною вважається стратегія, при якій гарантується виграш у будь-якому випадку не менший, ніж «нижня ціна гри з природою»:


Ігри з природою.


Якщо керуватися цим критерієм, що втілює «позицію крайнього песимізму», треба завжди орієнтуватися на гірші умови, знаючи напевно, що «гірше цього не буде». Очевидно, такий підхід — «перестраховочный», природний для того, хто дуже боїться програти, — не є єдино можливим, але як крайній випадок він заслуговує розгляду.

2. Критерій мінімаксного ризику Севіджа.

Поняття ризику виявляється корисним і для введення інших принципів поведінки в іграх з природою. На ньому, зокрема, заснований критерій Севіджа, відповідно до якого в умовах невизначеності (вірогідність станів природи невідома) слід вибирати таку стратегію i0, яка гарантує мінімальний ризик, тобто


Ігри з природою


Цей критерій — теж украй песимістичний, але при виборі оптимальної стратегії радить орієнтуватися не на виграш, а на ризик. Сутність такого підходу в тому, щоб всіляко уникати великого ризику при ухваленні рішення. В значенні «песимізму» критерій Севіджа схожий з критерієм Вальда, але самий «песимізм» тут розуміється по-іншому.

Покажемо на прикладі, що критерій Севіджа, взагалі кажучи, відрізняється від критерію Вальда. Розглянемо матрицю:

Ігри з природою


Для неї оптимальною по Вальду є перша стратегія:


Ігри з природою.


Відповідна матриці А матриця ризику є:


Ігри з природою


Оптимальною по Севіджу тут є друга стратегія: Ігри з природою, тобто критерії Вальда і Севіджа в даному прикладі приводять до різних результатів (хоча можна навести і приклади, в яких виходять однакові результати).

3. Критерій песимізму-оптимізму Гурвіца. Цей критерій рекомендує при виборі рішення не керуватися ні крайнім песимізмом, ні крайнім, легковажним оптимізмом. Згідно цьому критерію вибирається стратегія з умови

Ігри з природою


де Ігри з природою— «коефіцієнт песимізму», вибраний між нулем і одиницею.


При Ігри з природою= 1 критерій Гурвіца перетворюється на критерій Вальда; при Ігри з природою= 0 — в критерій «крайнього оптимізму», що рекомендує вибрати ту стратегію, при якій найбільший виграш в рядку максимальний. При 0 <Ігри з природою < 1 виходить щось середнє між тим і іншим. Коефіцієнт Ігри з природою вибирається з суб'єктивних міркувань — чим небезпечно ситуація, чим більше ми хочемо в ній «підстрахуватися», чим менша наша схильність до ризику, тим ближче до одиниці вибирається Ігри з природою.

При бажанні можна побудувати критерій, аналогічний Н, виходячи не з виграшу, а з ризику, але ми на цьому не зупинятимемося.

На перший погляд здається, що вибір критерію — суб'єктивний, вибір коефіцієнта Ігри з природою— теж суб'єктивний, значить і рішення теж приймається суб'єктивно, тобто, грубо кажучи, довільно.

В якійсь мірі це дійсно так — вибір рішення в умовах невизначеності завжди умовний, суб'єктивний. Та все ж в якійсь (обмеженої) мірі математичні методи корисні і тут. Перш за все, вони дозволяють привести гру з природою до матричної форми, що далеко не завжди буває просто, особливо коли стратегій багато (в наведених прикладах їх було дуже мало). Крім того, вони дозволяють замінити просту матрицю виграшів (або ризиків), послідовним чисельним аналізом ситуації з різних точок зору, вислухати рекомендації кожній з них і, нарешті, зупинитися на чомусь визначеному. Це аналогічно обговоренню питання з різних позицій, а в суперечці, як відомо, народжується істина. Отже не слід чекати від теорії рішень остаточних, незаперечних рекомендацій — єдине, чим вона може допомогти — це порадою.

Якщо рекомендації, витікаючі з різних критеріїв, співпадають — тим краще, значить, можна сміливо вибрати рішення, що рекомендується: воно швидше за все не «підведе». Якщо ж, як це часто буває, рекомендації суперечать один одному, то треба з'ясувати, наскільки до різних результатам вони приводять, уточнити свою точку зору і провести остаточний вибір. Не треба забувати що в будь-яких задачах в обгрунтовуванні розв’язків деяке свавілля неминуче — хоча б при побудові математичної моделі, виборі показника ефективності. Вся математика, вживана в дослідженні операцій, не відміняє цього свавілля, а дозволяє тільки «поставити його на своє місце».

Розглянемо елементарний приклад «гри з природою» 4 Ігри з природою 3, матриця виграшів якої (Ігри з природою) дана в таблиці 1.3.5.


Таблиця 1.3.5

Ігри з природоюІгри з природоюІгри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою


Виберемо оптимальну стратегію користуючись критеріями Вальда, Севіджа і Гурвіца, причому в останньому візьмемо Ігри з природою= 0,6 (перевага трохи у бік песимізму).

1. Застосуємо критерій Вальда. Підрахуємо мінімуми по рядках (див. таблицю 1.3.6) і виберемо ту стратегію, при якій мінімум рядка максимальний (рівний 25). Це — стратегія A3.


Таблиця 1.3.6

Ігри з природоюІгри з природоюІгри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природоюІгри з природою


2. Застосуємо критерій Севіджа. Перейдемо від матриці виграшів (таблиця 1.3.6) до матриці ризиків (таблиця 1.3.7), в правому додатковому стовпці запишемо максимальне в рядку значення ризику Ігри з природою.

З чисел правого стовпця мінімальне (60) відповідає стратегіям А2 і Аз; значить, обидва вони оптимальні по Севіджу.

Таблиця 1.3.7


Ігри з природоюІгри з природоюІгри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природоюІгри з природоюІгри з природою


3. Застосуємо критерій Гурвіца (при Ігри з природою= 0,6). Знову перепишемо таблицю 1.3.5, але цього разу в правих трьох додаткових стовпцях поставимо: мінімум рядка Ігри з природою, його максимум Ігри з природою, і величину Ігри з природою, округлену до цілих одиниць (див. таблицю 1.3.8). Максимальне значення hi = 47 відповідає стратегії А3.

Отже, в даному випадку всі три критерії однозначно говорять на користь стратегії А3, яку є всі підстави вибрати.


Таблиця 1.3.8

Ігри з природоюІгри з природоюІгри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природоюІгри з природою


Розглянемо випадок, коли між критеріями виникає «суперечка». Матриця виграшів (Ігри з природою) (з наперед виписаними стовпцями мінімумів рядків Ігри з природою , максимумами рядків Ігри з природою, і значеннями Ігри з природою (при Ігри з природою= 0,6)) дана в таблиці 1.3.9.

По критерію Вальда оптимальною є стратегія Ігри з природою, по критерію Гурвіца з Ігри з природою= 0,6 — стратегія Ігри з природою .

Таблиця 1.3.9

Ігри з природоюІгри з природоюІгри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природоюІгри з природою



По критерію Севіджа матриця ризиків з додатковим стовпцем, що містить максимуми рядків Ігри з природою, дана в таблиці 1.3.10. Мінімальним в останньому стовпці є число 38, так що критерій Севіджа, так само як і критерій Гурвіца, показує стратегію Ігри з природою.


Таблиця 1.3.10

Ігри з природоюІгри з природоюІгри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природоюІгри з природою



Відзначимо наступне: всі три критерії (Вальда, Севіджа і Гурвіца) були сформульовано для чистих стратегій, але кожний з них може бути поширений і на змішані, подібно тому, як це робиться в теорії ігор. Проте змішані стратегії в грі з природою мають лише обмежене (головним чином, теоретичне) значення. Якщо в грі проти свідомого супротивника змішані стратегії іноді мають сенс як «трюк», що вводить в оману супротивника, то в грі проти «байдужої природи» цей резон відпадає. Крім того, змішані стратегії придбавають значення тільки при багатократному повторенні гри. А якщо вже її повторюємо, то неминуче починають вимальовуватися якісь риси вірогідності ситуації, і ми ними можемо скористатися для того, щоб застосувати «стохастичний підхід» до задачі, а він змішаних стратегій не дає.

Крім того, в ситуаціях з «поганою невизначеністю», коли болісно не вистачає інформації, головна задача — цю інформацію отримати, а не вигадувати хитромудрі методи, що дозволяють без неї обійтися. Одна з основних задач теорії статистичних рішень — це якраз планування експерименту, мета якого — з'ясування або уточнення якихось даних.


2. Практична частина


Приклад 1


Уряд планує будівництво чотирьох типів електростанцій: Ігри з природою(теплових), Ігри з природою (пригребельних), Ігри з природою (безшлюзових) і Ігри з природою (шлюзових). Ефективність кожного з типів залежить від різних чинників: режиму річок, вартості палива і його перевезення і т.п. Необхідно вибрати самий оптимальний варіант.

Розвязання

Припустимо, що виділено чотири різні стани, кожний з яких означає певне поєднання чинників, що впливають на ефективність енергетичних об'єктів. Стани природи позначимо через Ігри з природою і Ігри з природою. Економічна ефективність будівництва окремих типів електростанцій змінюється залежно від станів природи і задана матрицею:

Ігри з природою


Згідно критерію Вальда:


Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою


Тоді оскільки Ігри з природою, то слід передбачити будівництво безшлюзової ГЕС (А3) .

Скористаємося критерієм Севіджа. Побудуємо матрицю ризиків:

Ігри з природою


Покажемо як були отримані елементи матриці ризиків.

Оскільки Ігри з природою, то:


Ігри з природою


Поскольку Ігри з природою, то:


Ігри з природою


Поскольку Ігри з природою, то:


Ігри з природою


Поскольку Ігри з природою, то:

Ігри з природою


Згідно критерію Севіджа визначаємо Ігри з природою. Відповідно до цього критерію також передбачається будівництво безшлюзової ГЕС (А3) .

Скористаємося критерієм Гурвіца. Припустимо Ігри з природою;

тоді:


Ігри з природоюІгри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою


Отримаємо Ігри з природою, тобто слід прийняти рішення про будівництво пригребельних ГЭС(Ігри з природою). Якщо ж припустити відомим розподіли вірогідності для різних станів природи, наприклад, якщо вважати ці стани рівноімовірними (Ігри з природою), то для ухвалення рішення слід знайти математичне очікування виграшу:


Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою

Оскільки максимальне значення має М 3, то слід вибрати рішення А3.

Відповідно до даних отриманих в розв’язку можна зробити загальний висновок: використовуючи при розв’язку критерій Вальда і Севіджа була отримана рекомендація про будівництво безшлюзовой гідроелектростанції (А3), використовуючи при розв’язку критерій Гурвіца була отримана рекомендація про будівництво пригребельної гідроелектростанції(Ігри з природою), але якщо ж припустити відомим розподіли вірогідності для різних станів природи, то дана рекомендація про будівництво безшлюзовой гідроелектростанції (А3) .


Приклад 2


Інвестор планує великі капіталовкладення в підприємство. Був проведений аналіз руху і технічного стану основних засобів. Дані приведені у таблиці 2.1.


Підприємство Коефіцієнт оновлення Коефіцієнт придатності Коефіцієнт приросту

Ігри з природою

0,15 0,64 0,12

Ігри з природою

0,27 0,65 0,27

Ігри з природою

0,3 0,7 0,24
Таблиця 2.1 Дані про рух і технічний стан основних засобів


На основі цих даних інвестору необхідно зробити вибір.

Роз'вязання

Припустимо, що виділено три різні стани, кожний з яких означає певне поєднання чинників, що впливають на ефективність і прибутковість підприємства . Стани позначимо через Ігри з природою . Складемо матрицю на основі отриманих даних :

Ігри з природою


Згідно критерію Вальда:


Ігри з природою

Ігри з природою

Ігри з природою


Тоді оскільки Ігри з природою, то слід на основі даних інвестувати в друге підприємство .

Скористаємося критерієм Севіджа. Побудуємо матрицю ризиків:


Ігри з природою


Покажемо як були отримані елементи матриці ризиків.

Оскільки Ігри з природою, то:


Ігри з природою


Поскольку Ігри з природою, то:

Ігри з природою


Поскольку Ігри з природою, то:


Ігри з природою


Згідно критерію Севіджа визначаємо


Ігри з природою.


Відповідно до цього критерію слід інвестувати у третє підприємство.

Скористаємося критерієм Гурвіца. Припустимо Ігри з природою;

тоді:


Ігри з природоюІгри з природоюІгри з природою


Отримаємо Ігри з природою, тобто слід інвестувати у друге підприємство.

Відповідно до даних отриманих в розв’язку можна зробити загальний висновок: використовуючи при розв’язку критерій Вальда і Гурвіца була отримана рекомендація про інвестування у підприємство Ігри з природою, використовуючи при розв’язку критерій Севіджа була отримана рекомендація про інвестування у підприємство Ігри з природою.

Висновки


Специфічним видом ігор, що мають велике значення при аналізі різних практичних ситуацій, є статистичні ігри. Вони мають ряд істотних відмінностей від стратегічних ігор. В основі теорії стратегічних ігор лежить припущення, що інтереси двох гравців протилежні. Кожний з гравців прагне так вибрати свою стратегію, щоб отримати для себе найбільшу вигоду і звести до мінімуму вигоду супротивника. В таких іграх кожний гравець діє активно і прагне по можливості використовувати оптимальну стратегію. Під стратегією природи розуміється повна сукупність зовнішніх умов, в яких доводиться ухвалювати рішення. Цю сукупність зовнішніх умов називають станом природи Ігри з природою. В загальному випадку існує деяка множина можливих станів природи Ігри з природою яка називатиметься простором стану природи, а елемент Ігри з природою цього простору – чистими стратегіями природи. Задача статистика полягає в тому, щоб ухвалити яке-небудь рішення або виконати яку-небудь дію з сукупності рішень або дій. Статистик повинен уміти оцінити кожну з своїх дій. Функція L(Ігри з природою, а) називається функцією втрат. Знання функції втрат дозволяє статистику зробити дії, які є якнайкращими в умовах інформації, яку він має про стан природи. Знання апріорного розподілу вірогідності дозволяє визначити середні втрати, які несе статистик, виконуючи ту або іншу дію. Статистична гра може бути представлена у вигляді еквівалентної S-гри абсолютно таким же чином, як це робилося в стратегічних іграх. Не існує універсального правила, що дозволяє вибрати, певний образ дії незалежно від ситуації, що склалася. Принципом вибору називають правило, що дозволяє визначити якнайкращу, змішану стратегію статистика. В різних випадках статистик може користуватися різними принципами вибору своєї стратегії. Одним з можливих принципів вибору стратегії може бути принцип мінімакса, який успішно застосовують в стратегічних іграх, коли гра ведеться проти розумного супротивника, охочого заподіяти нам найбільший збиток. Проте у ряді випадків доцільно використовувати цей принцип і в статистичних іграх. Мінімаксні принципи, витікаючі з припущення, що природа діє якнайгіршим для статистика чином, є виправданими в стратегічних іграх, але в статистичних іграх вони виражають точку зору дуже обережної людини, що прагне отримати доступне і що не ганяється за нездійсненним, щоб не потерпіти випадково великого збитку. Недоліком мінімаксних принципів слід рахувати також те, що вони не враховують апріорної інформації про стани природи і тим самим обмежують той виграш, який ця інформація може дати. Іншим принципом вибору стратегії, що враховує апріорний розподіл вірогідності, є байесовський принцип. Байесовський принцип, природно, можна застосовувати як до повних, так і до додаткових втрат. Найпростіший випадок вибору рішення в грі з природою — це випадок коли якась із стратегій гравця А перевершує інші («домінує» над ними). Тут виграш домінуючої стратегії при будь-якому стані природи не менше ніж при інших стратегіях, а при деяких — більше; значить потрібний вибирати саме цю стратегію. Якщо навіть в матриці гри з природою немає однієї домінуючої над всіма іншими стратегії, все ж таки корисно подивитися, чи немає в ній дублюючих стратегій і поступливих іншим за всіх умов. Згідно критерію Вальда гра з природою ведеться як гра з розумним, причому агресивним супротивником, що робить все для того, щоб перешкодити нам досягти успіху. Оптимальною вважається стратегія, при якій гарантується виграш у будь-якому випадку не менший, ніж «нижня ціна гри з природою».

Відповідно до критерію Севіджа в умовах невизначеності слід вибирати таку стратегію, яка гарантує мінімальний ризик. Критерій Гурвіца рекомендує при виборі рішення не керуватися ні крайнім песимізмом, ні крайнім, легковажним оптимізмом. В курсовій роботі розглянуто практичне застосування критеріїв Вальда, Севіджа і Гурвіца на прикладі вибору оптимального варіанту будівництва гідроелектростанції і об’єктів інвестування. Відповідно до даних отриманих в розв’язку прикладу 1 можна зробити загальний висновок: використовуючи при розв’язку критерій Вальда і Севіджа була отримана рекомендація про будівництво безшлюзовой гідроелектростанції (А3), використовуючи при розв’язку критерій Гурвіца була отримана рекомендація про будівництво пригребельної гідроелектростанції(Ігри з природою), але якщо ж припустити відомим розподіли вірогідності для різних станів природи, то дана рекомендація про будівництво безшлюзовой гідроелектростанції (А3).

Відповідно до даних отриманих в розв’язку прикладу 2 можна зробити загальний висновок: використовуючи при розв’язку критерій Вальда і Гурвіца була отримана рекомендація про інвестування у підприємство Ігри з природою, використовуючи при розв’язку критерій Севіджа була отримана рекомендація про інвестування у підприємство Ігри з природою.

Список літератури


Бутинець Ф.Ф. Економічний аналіз: Навч. посібник для студентів ВНЗ.-Житомир:ПП «Рута», 2003.-680с.

Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология.-2-е изд.-М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. литературы, 1988.-208с.

Вентцель Е.С. Элементы теории игр. – М.: Физ.-мат. издательство, 1961.- 69с.

Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами.- М.: Главная редакция физ.-мат. литературы из-ва «Наука», 1976.

Горелин В.А. Исследование операций: Учебник.- М. «Машиностроение»,1986.-288с.

Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. -М.: Высшая школа, 1976.

Партхасаратхи Т., Рагхаваи Т. Перевод с англ. Доманского П.П. Некоторые вопросы теории игр двух лиц.- М.: «Мир», 1974.-280с.

Савицька Г.В. Економічний аналіз діяльності підприємств: Навч. посібник.-2-ге видання, випр. і допов.- К.:Знання, 2005.-662с.

Похожие работы:

  1. • Підходи до моделювання активного ризику
  2. • Критерій Байєса-Лапласа при експоненційно ...
  3. • Фoрмування мнoжини oптимальних рiшень за критерiєм ...
  4. • Процес реалiзацiї рiшень i його регулювання
  5. • Гра як метод виховання молодших школярів
  6. • Розвивальний потенціал дидактичної гри у сучасній ...
  7. • Ігрова діяльність у навчальному процесі початкової ...
  8. • Розвиваючі ігри
  9. • Роль дидактичної гри в розвитку зв"язного мовлення
  10. • Дидактичні ігри та їх місце в системі навчальних ...
  11. • Технологія дидактичної гри
  12. • Значення дидактичної гри в середній школі
  13. • Шляхи розвитку у молодших школярів бережливого ...
  14. • Екологічна освіта на уроках біології
  15. • Педагогічні ідеї Гринченка
  16. • Екологічне виховання засобами народознавства
  17. • Розумовий розвиток старших дошкільників як психолого ...
  18. • Внесок громадських організацій, приватних осіб та асоціацій у ...
  19. • Мистецтво як складова духовної культури суспільства
Рефетека ру refoteka@gmail.com