Рефетека.ру / Математика

Контрольная работа: Расчет вероятностей событий

Задание №1


Какова вероятность того, что наудачу взятое натуральное число не делится:

а) ни на два, ни на три;

б) на два или на три?


Решение:

Пусть А – событие, что натуральное число делится на 2→ p(A)=1/2 (каждое второе натуральное число кратно 2)

В-событие, что натуральное число делится на 3

p(В)=1/3 (каждое третье натуральное число кратно 3)

а) С – событие, что наудачу взятое натуральное число не делится ни на два, ни на три Расчет вероятностей событий

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей

Тогда вероятность события С:


Расчет вероятностей событий


Т.е. пять из шести натуральных чисел не делится ни на 2 ни на 3

б) D – событие, что наудачу взятое натуральное число не делится на 2 или на 3 Расчет вероятностей событий.

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий

Тогда вероятность события D:


Расчет вероятностей событий.


Т.е. одно из трех натуральных чисел не делится на 2 или на 3


Задание №2


В ружейной пирамиде имеются винтовки двух систем: одна винтовка типа 1 и две винтовки типа 2. Вероятность попасть в мишень при выстреле из винтовки типа 1 равна р1, из винтовки типа 2 – р2.

Стрелок производит 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки. Чему равна вероятность того, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз?


Решение:

А – событие, что поражена мишень

Пусть событие Н1 – винтовка I типа; событие Н2 – винтовка II типа.

Расчет вероятностей событий и Расчет вероятностей событий

А/Н1 – мишень поражена при выстреле из винтовки I типа

А/Н2 – мишень поражена при выстреле из винтовки II типа

Расчет вероятностей событий

Расчет вероятностей событий

Для нахождения вероятности Расчет вероятностей событийприменяют формулу


Расчет вероятностей событий


Расчет вероятностей событий


2. Рn (k) – вероятность, что в n испытаниях событие наступит k раз находится по формуле Бернулли Расчет вероятностей событий.

Вероятность события, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз, если произведено 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки.


Расчет вероятностей событий

Расчет вероятностей событий


Задание №3


При измерении урожайности картофеля вес клубней в одном кусте распределился по интервалам следующим образом:


Х(кг) 2,5–2,7 2,7–2,9 2,9–3,1 3,1–3,3 3,3–3,5 3,5–3,7 3,7–4,3
К-во кустов 50 150 200 250 150 100 100

Построить гистограмму и найти средний вес одного куста.


Решение:

Гистограмма – служит для изображения интервальных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака Расчет вероятностей событий, и высотами, равными частотам Расчет вероятностей событийинтервалов.


Расчет вероятностей событий


Для расчета среднего веса одного куста воспользуемся формулой средней арифметической.

Средней арифметической дискретного вариационного ряда Расчет вероятностей событийназывается отношение суммы произведений вариантов на соответствующие частоты к объему совокупности:


Расчет вероятностей событий


где Расчет вероятностей событий- варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, Расчет вероятностей событий- соответствующие им частоты.

Для каждого интервала найдем середины по формуле Расчет вероятностей событий.


Х(кг) 2,5–2,7 2,7–2,9 2,9–3,1 3,1–3,3 3,3–3,5 3,5–3,7 3,7–4,3

Расчет вероятностей событий

2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 4
К-во кустов 50 150 200 250 150 100 100

Расчет вероятностей событий

Расчет вероятностей событий


Ответ: средний вес одного куста составляет 3,22 кг.


Задание №4


По следующим данным построить интервальный вариационный ряд и гистограмму: 24, 14, 15, 26, 16, 17, 14, 15, 1, 11, 14, 12, 16, 17, 13, 10, 11, 12, 13, 15, 14, 10, 11, 14, 7, 15, 14, 15, 15, 14, 15, 14, 2, 5, 18, 19, 16, 17, 9, 10, 18, 19, 20, 22, 28.

Найти среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение.


Решение:

1. Проранжируем1 исходный ряд, подсчитаем частоту вариантов. Получим вариационный ряд

2. Для определения числа групп воспользуемся формулой Стерджесса:


n = 1+3,322 * lgN


где n – число групп, N =45 – число единиц совокупности

Для данных задачи n = 1 + 3,322*lg 45 = 1 + 3,322 * 1,65 = 6б49 » 6 групп

Величина интервала представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака в каждой группе.

Расчет вероятностей событий


3. Выполним промежуточные вычисления во вспомогательной таблице и определим значения числовых характеристик:

Середины интервалов Расчет вероятностей событий

Средняя арифметическая Расчет вероятностей событий где Расчет вероятностей событий- варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, Расчет вероятностей событий- соответствующие им частоты.

Дисперсия Расчет вероятностей событий.

Среднее квадратическое отклонение Расчет вероятностей событий.


Значения

№ группы Интервалы Частота
1 1


нач кон
2 2

1 1,0 5,5

3

3 5

2 5,5 10,0

5

4 7

3 10,0 14,5

15

5 9

4 14,5 19,0

17

6 10

5 19,0 23,5

2

7 10

6 23,5 28,0

3

8 10





9 11





10 11





11 11





12 12





13 12





14 13





15 13





16 14





17 14





18 14





19 14





20 14





21 14





22 14





23 14





24 15





25 15





26 15





27 15





28 15





29 15





30 15





31 16





32 16





33 16





34 17





35 17





36 17





37 18





38 18





39 19





40 19





41 20





42 22

x min

1



43 24

x max

28



44 26

h

4,5



45 28






№ группы Интервалы Частота Промежуточные вычисления

нач кон сер ni xcp*ni (x-Xcp) (x-Xcp)2 ni*(x-Xcp)2
1 1,0 5,5 3,25 3 9,75 -10,9 118,81 356,43
2 5,5 10,0 7,75 5 38,75 -6,4 40,96 204,80
3 10,0 14,5 12,25 15 183,75 -1,9 3,61 54,15
4 14,5 19,0 16,75 17 284,75 2,6 6,76 114,92
5 19,0 23,5 21,25 2 42,50 7,1 50,41 100,82
6 23,5 28,0 25,75 3 77,25 11,6 134,56 403,68



45 636,75
1234,80




Расчет вероятностей событий

14,15
S2 27,44







5,24

Расчет вероятностей событий


Среднее значение Расчет вероятностей событий

Дисперсия Расчет вероятностей событий

Среднее квадратическое отклонение Расчет вероятностей событий


Ответ: Расчет вероятностей событий, Расчет вероятностей событий, Расчет вероятностей событий


Задание №5


Некоторая случайная величина подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием 50 и дисперсией 36. Найти вероятность того, что отдельное значение случайной величины заключено в интервале от 40 до 60.


Решение:

Пусть X – случайная величина подчиняется закону нормального распределения

По условию Расчет вероятностей событийи Расчет вероятностей событий

Найти: Расчет вероятностей событий

Для нормального распределения СВ X


Расчет вероятностей событий

Расчет вероятностей событий


где Ф(Х) – функция Лапласа, дифференциальная функция нормального закона имеет вид Расчет вероятностей событий.

Значения Ф(Х) – табулированы


Ответ: Расчет вероятностей событий


Задание №6


Определить вероятность того, что истинное значение расстояния отличается от среднего (1000 м), полученного в 100 опытах, не более, чем на 5 м, если стандартное отклонение 25 м.


Решение:

Пусть X – случайная величина расстояния, м

По условию Расчет вероятностей событий Расчет вероятностей событий Расчет вероятностей событий Расчет вероятностей событий

Найти: Расчет вероятностей событий


Расчет вероятностей событий

Расчет вероятностей событий


Ответ: Расчет вероятностей событий


Задание №7


При измерении дальности расстояния дальномеры дали различные показания так, что среднее расстояние оказалось 1000 м с выборочной дисперсией 36 м2. В каких пределах находится истинное расстояние с вероятностью 80%, если произведено 11 измерений.


Решение:

По условию задана выборка объемом Расчет вероятностей событий и дисперсия нормально распределенной СВ X 36. Найдено выборочное среднее Расчет вероятностей событий. Требуется найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания Расчет вероятностей событий, если доверительная вероятность должна быть равна Расчет вероятностей событий

1. Доверительный интервал имеет общий видРасчет вероятностей событий

2. По условию Расчет вероятностей событий Расчет вероятностей событий Расчет вероятностей событий Расчет вероятностей событий

Расчет вероятностей событий находим из решения уравнения

Расчет вероятностей событийРасчет вероятностей событийРасчет вероятностей событий

используя таблицу значений функции Лапласа Расчет вероятностей событий

3. Находим значения концов доверительного интервала


Расчет вероятностей событий.

Расчет вероятностей событий.


Т.о., искомый доверительный интервал Расчет вероятностей событий, т.е. Расчет вероятностей событий


Ответ: Расчет вероятностей событий


Задание №8


При определении массы пяти таблеток лекарственного вещества получены следующие результаты: 0,148; 0,149; 0,151; 0,153; 0,155 (г). Найти ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80%.


Решение:


xi 1 2 3 4 5
mi 0,148 0,149 0,151 0,153 0,155

Вычислим ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80% по формуле: Расчет вероятностей событий- предельная ошибка малой выборки.

Учитывая, что Расчет вероятностей событий определим Расчет вероятностей событийтабулированные значения Расчет вероятностей событий- критерия Стьюдента.


Расчет вероятностей событий


Расчет вероятностей событий

Расчет вероятностей событий

Расчет вероятностей событий.


Таким образом,


Расчет вероятностей событий.


Ответ: Ошибка в определении массы таблетки с вероятностью 80% составляет 0,00088


Задание №9


При изменении скорости реакции 2-х человек провели по сто опытов и получили следующие данные: Xср = 100 мс, дисперсия средних равна 9 мс2, Yср = 110 мс, дисперсия средних равна 16 мс2.

Проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений для уровня значимости 0,02.


Решение:

Пусть Расчет вероятностей событий- гипотеза, математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y равны.

При достаточно больших объемах выборки выборочные средние Расчет вероятностей событийи Расчет вероятностей событийимеют приближенно нормальный закон распределения с математическим ожиданием Расчет вероятностей событий и дисперсией Расчет вероятностей событий.

При выполнении гипотезы Расчет вероятностей событийстатистика

Расчет вероятностей событийимеет стандартное нормальное распределение N (0; 1)

По данным задачи


Расчет вероятностей событий


В случае конкурирующей гипотезы Расчет вероятностей событий выбирают одностороннюю критическую область, и критическое значение статистики находят из условия Расчет вероятностей событий

Т.о. Расчет вероятностей событий

Табулированное значение Расчет вероятностей событий

Если фактические наблюдаемое значение статистики t больше критического tкр, определенного на уровне значимости a (по абсолютной величине), т.е. Расчет вероятностей событий, то гипотеза Расчет вероятностей событийотвергается, в противном случае – гипотеза Расчет вероятностей событийне противоречит имеющимся наблюдениям.

Т.к. наблюдаемое значение статистики Расчет вероятностей событий, а критическое значение Расчет вероятностей событий, то в силу условия Расчет вероятностей событийРасчет вероятностей событийделаем ввод, что гипотеза Расчет вероятностей событийотвергается, т.е. математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y не равны.


Задание №10


Оцените достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10:


X 60 65 66 70 64
Y 72 71 80 78 69

Решение:

Пусть Расчет вероятностей событий- гипотеза, достоверность различия в продолжительности жизни мужчин и женщин на уровне значимости 0,10

Вычислим Расчет вероятностей событийи Расчет вероятностей событий


Расчет вероятностей событий

Расчет вероятностей событий


При выполнении гипотезы Расчет вероятностей событийстатистика Расчет вероятностей событий.

где Расчет вероятностей событий и Расчет вероятностей событий


X

60 65 66 70 64

Расчет вероятностей событий

Y

72 71 80 78 69

Расчет вероятностей событий

Расчет вероятностей событий

25 0 1 25 1

52

Расчет вероятностей событий

4 9 36 16 25

90

Расчет вероятностей событий

13


Расчет вероятностей событий

22,5



Расчет вероятностей событий

Критическое значение статистики находят из условия Расчет вероятностей событий.

Т.о. Расчет вероятностей событий.

Табулированное значение Расчет вероятностей событий.

Т.к. наблюдаемое значение статистики Расчет вероятностей событий, а критическое значение Расчет вероятностей событий то в силу условия Расчет вероятностей событийделаем ввод, что гипотеза Расчет вероятностей событийотвергается, т.е. достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10 не подтверждается.


Задание №11


По данным наблюдений за последние 5 лет составили таблицу урожайности пшеницы и числа дождливых дней за вегетативный период:


Ц/ га 10 15 6 20 9
Число дождливых дней 14 20 6 20 10

Коррелируют ли данные величины?


Решение:

Для оценки тесноты корреляционной зависимости между величинами Y и X используется коэффициент корреляции – показатель тесноты линейной связи.


Расчет вероятностей событий

Расчет вероятностей событий (Расчет вероятностей событий)

Расчет вероятностей событий (Расчет вероятностей событий)

Свойства коэффициента корреляции:

1 0 Коэффициент корреляции удовлетворяет неравенству Расчет вероятностей событий.

2 0 В зависимости от близости r к единице различают связь слабую, умеренную, заметную, достаточно тесную, тесную и весьма тесную


Оценка тесноты линейной связи (шкала Чаддока)

Значение ЅrЅ

0–0,1

0,1–0,3

0,3–0,5

0,5–0,7

0,7–0,9

0,9–0,99

1

Теснота

линейной

связи

Нет

связи

Слабая Умеренная Заметная Высокая Очень высокая Функциональная

Значение R

Связь

Интерпретация связи

R = 0 Отсутствует Отсутствует линейная связь между х и у
0<R < 1 Прямая С увеличением х величина у в среднем увеличивается и наоборот
-1<R<0 Обратная С увеличением х величина у в среднем уменьшается и наоборот
R =+1 R = -1 Функциональная Каждому значению х соответствует одно строго определенное значение величины у и наоборот


Ц/га Число дождливых дней Промежуточные вычисления

Y

X

Y*X

Y2

X2

1 10 14 140 100 196
2 15 20 300 225 400
3 6 6 36 36 36
4 20 20 400 400 400
5 9 10 90 81 100

S

60 70 966 842 1132

Средние

12

14

193,2

168,4

226,4







Sx2

30,4





Sy2

24,4





Sx

5,51





Sy

4,94





r

0,925





Таким образом, коэффициент корреляции r=0,925, следовательно, можно сделать вывод, что между двумя факторами присутствует связь прямая и очень тесная.


Ответ: данные величины коррелируют.


Задание №12


По данным таблицы сделайте прогноз значения X, если Y = 3.


X 4 2 3 7 5 6 3
Y 2 7 4 6 5 2 1

Решение:

1. Определим и оценим тесноту корреляционной зависимости между величинами Y и X с помощью коэффициента корреляции Расчет вероятностей событий.





Промежуточные вычисления Уравнение регрессии

Y

X

Y*X

Y2

X2

Расчет вероятностей событий

1 2 4 8 4 16 3,853
2 7 2 14 49 4 3,824
3 4 3 12 16 9 3,838
4 6 7 42 36 49 3,897
5 5 5 25 25 25 3,868
6 2 6 12 4 36 3,882
7 1 3 3 1 9 3,838

S

27

30

116

135

148

3,84

Средние

3,86

4,29

16,57

19,29

21,14


Sx

1,67



a

3,794


Sy

2,10



b

0,015


r

0,012







Коэффициент корреляции r=0,012, следовательно можно сделать вывод, что между двумя факторами связь прямая, но очень слабая (почти отсутствует).

Уравнение регрессии выбирают по возможности простым, и оно, как правило, лишь приближенно описывает зависимость между значениями x одного признака и соответствующими средними значениями другого признака Расчет вероятностей событий.

Наиболее простой и употребляемый вид зависимости – линейная зависимость. Она определяется уравнением линейной регрессии.

В рассматриваемом примере предположим, что эмпирическая линия регрессии приближается к прямой, и, следовательно, теоретическая линия регрессии может быть представлена уравнением вида: Расчет вероятностей событийи изображается на графике в виде прямой регрессии. Уравнение регрессии называется выборочным, поскольку его параметры a и b находятся по результатам выборки (хi, уi), i=1,2,… n, причем наилучшим образом в смысле метода наименьших квадратов. Сущность метода заключается в том, чтобы была наименьшей сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений уi от соответствующих значений Расчет вероятностей событий, вычисленных по уравнению регрессииРасчет вероятностей событий, то есть Расчет вероятностей событий

Для нахождения параметров а и b уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов. Для этого составим и решим систему линейных уравнений:


Расчет вероятностей событийРасчет вероятностей событий


Решив систему уравнений, получим следующие значения параметров

a=3,794.

b=0,015.

Уравнение линейной регрессии Расчет вероятностей событий.

Прогноз значения X, если Y = 3 при линейной зависимости


Расчет вероятностей событий


Список литературы


Адрухаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей./ Под ред. Проф. А.С. Солодовникова. – М.: Высшая школа, 2005.

Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением MS Excel. /Под ред. Г.В. Гореловой, И.А. Кацко. – Ростов н/Д: Феникс, 2006.

Информатика и математика для юристов. /Под ред. Проф. Х.А. Адриашина, проф. С.Я. Казанцева. – М.: Юнити-Дана, Закон и право, 2003

Ковбаса С.И., Ивановский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для экономистов. – СПб.: Альфа, 2001.

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. – Ростов н/Д: Феникс, 1999 г. Информатика

Пехлецкий И.Д. Математика. / Под ред. И.Д. Пехлецкого. – М.: Издательский центр «Академия», 2003.

Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных чисел: Учебное пособие. /Под общ. Ред. А.А. Свешникова. – СПб: Издательство «Лань», 2007.

1 Ранжирование – операция, заключенная в расположении значений признака по возрастанию

Рефетека ру refoteka@gmail.com