Рефетека.ру / Математика

Дипломная работа: Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел

Содержание


Введение

Основные понятия и определения

Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах

§1. Свойства НОД и НОК

§ 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп

Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**)

Библиографический список

Введение


В математических исследованиях множество действительных чисел R очень популярно как бескрайний источник простых примеров и как множество, использующееся во многих структурах.

Рассматриваемое в данной работе множество неотрицательных действительных чисел – это интересное легко интерпретируемое подмножество R.

Как известно, различные подалгебры множества R+ (например, полугруппа N) исследовались ранее. В этой работе мы продолжим изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных чисел с 0 и 1.

Работа состоит из двух глав. Первая глава содержит некоторые свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного элементов целой полугруппы (§1). В этой же главе говорится о строении НОД и НОК полугрупп. Во второй главе получена топологическая классификация мультипликативных полугрупп SМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселR+, обладающих одним из введенных специфических свойств:

(*) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел (a<bМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел);

(**) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел (0<a<bМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел).

Основные понятия и определения


Определение 1. Пусть Х – множество произвольной природы и t – семейство подмножеств Х, называемых открытыми, удовлетворяющее условиям:

пересечение конечного числа множеств из t принадлежит t,

объединение любого множества множеств из t принадлежит t,

Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и ЖОt.

Тогда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел называется топологическим пространством, t – топологией на Х.

Определение 2. Дополнения открытых множеств в Х называются замкнутыми множествами.

Определение 3. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел – топологическое пространство и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Введем на множестве Х1 топологию t1. Открытыми в пространстве Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел назовем все множества вида Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, где U – произвольное открытое множество в Х. Тогда пространство Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел называется подпространством топологического пространства Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, а топология t1 – топологией, индуцированной топологией t на множество Х1.

Определение 4. Семейство открытых множеств в топологическом пространстве Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел называется базой топологии t, если любое открытое множество в Х является объединением множеств из этого семейства.

Пример. На числовой прямой R с естественной (евклидовой) топологией открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов, они и образуют базу этой топологии. На множестве неотрицательных чисел R+ эта топология индуцирует топологию, в которой открытым множеством будет, например, Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел R+З (-1, 1).

Определение 5. Пространство Х1 называется плотным подпространством пространства Х, если любое непустое открытое множество в Х содержит точки множества Х1.

Очевидно, Х1 плотно в Х, если каждая точка подпространства Х1 является предельной точкой множества Х.

Определение 6. Множества в топологическом пространстве, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.

Определение 7. Топологическое пространство Х называется связным если открыто-замкнутыми множествами в нем являются лишь Х и Ж.

Определение 8. Множество Х1 в топологическом пространстве Х называется связным, если оно связно как топологическое подпространство пространства Х.

Примеры:

1. Множество точек плоскости является связным, если в нем любую пару точек можно соединить кривой.

2. На числовой прямой связными множествами являются лишь промежутки.

Определение 9. Топологическое пространство называется нульмерным, если оно обладает базой из открыто-замкнутых множеств.

Пример. Дискретное топологическое пространство, в котором все его подмножества являются открытыми, – нульмерно.

Далее везде будем обозначать символом S мультипликативную полугруппу.

Определение 10. Множество S с бинарной операцией умножения Ч называется мультипликативной полугруппой, если эта операция обладает свойством ассоциативности, т.е. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Определение 11. Элемент bМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS называется делителем элемента аМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS, если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для некоторого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. При этом говорят, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел делится на Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, или Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел делит Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел (Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел|Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел).

Определение 12. Общий делитель элементов Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, делящийся на любой их общий делитель, называется наибольшим общим делителем элементов Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и обозначается НОДМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Определение 13. Элемент Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS называется кратным элементу Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS, если a делится на b.

Определение 14. Общее кратное элементов Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, на которое делится любое их общее кратное, называется наименьшим общим кратным элементов Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и обозначается НОКМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Определение 15. Полугруппа S называется НОД-полугруппой (НОК-полугруппой), если любые два элемента из S имеют наибольший общий делитель (наименьшие общее кратное).

Определение 16. Элемент Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел из S называется неприводимым, если он имеет ровно два делителя 1 и а. Неприводимые элементы не представимы в виде произведения неединичных элементов, т.е. если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Определение 17. Элемент Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел из S называется простым, если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Очевидно, простые элементы неприводимы.

Определение 18. Полугруппа S называется топологической полугруппой, если на множестве S введена топология, и топологическая и алгебраическая структуры в S согласованы, т.е.

бS, Чс– полугруппа;

S – топологическое пространство;

полугрупповая операция Ч непрерывна в S:

Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах


§1. Свойства НОД и НОК


Пусть S – коммутативная мультипликативная несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы называются целыми, или коническими.

Элементы Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел из S называются взаимно простыми, если НОД(Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел,Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел)=1.

Предварительно рассмотрим простейшие свойства отношения делимости в целых полугруппах.

Свойства делимости в целых полугруппах

(1) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел;

(2) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел – рефлексивность;

(3) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел – антисимметричность;

(4) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел – транзитивность;

(5) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел;

(6) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел;

(7) Любой простой элемент неприводим;

(8) р неприводим Ы Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел;

Свойство 1. НОД и НОК нескольких элементов определены однозначно, если существуют.

Доказательство. Проведем доказательство для НОД двух элементов а и b из S. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел(a,b) и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел(a,b). Тогда из определения НОД следует Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. По свойству антисимметричности имеем Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Свойство 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство. Импликации Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел очевидны. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, т.е. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для некоторого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Очевидно, b – общий делитель а и b. Возьмем произвольный общий делитель с элементов а и b. Для него существуют такой элемент Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, что и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Таким образом, с делит b. Это и означает, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Аналогично доказывается Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Следствие 1. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Следствие 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Свойство 3. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство следует из коммутативности операции умножения и свойств делимости.

Свойство 4. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство. Обозначим d1=НОД(НОД(a,b),c). Так как d1 является общим делителем НОД(a,b) и c, то d1 – общий делитель и для элементов a,b и c. Верно и обратно: любой общий делитель этих трех элементов является общим делителем для НОД(a,b) и c. Аналогичным свойством обладает и элемент d2=НОД(a, (НОД(b,c)). Тогда элементы d1 и d2 делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости получаем d1=d2.

Свойство 5. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство. Обозначим k1=НОК(НОК(a,b),c). Так как k1 является общим кратным элементов НОК(a,b) и c, то k1 – общее кратное и для элементов a,b и c. Верно и обратно: любое общее кратное этих трех элементов является общим кратным для НОК(a,b) и c. Аналогичным свойством обладает и элемент k2=НОК(НОК(a,b),c). Тогда элементы k1 и k2 делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости получаем k1=k2.

Свойство 6. Если элементы а и b не взаимно просты, то а и b имеют общий делитель, не равный 1.

Доказательство. По условию НОД(a,b)=d№1. Тогда по определению d и есть не равный единице общий делитель а и b.

Свойство 7. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел=Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство. Обозначим d=НОД(a,b). По свойству (6) делимости элемент сd делит любой общий делитель элементов ас и bс, следовательно, является их НОД. Свойство доказано.

Свойство 8. Если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство. Из условия Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел следует, что d делит любой общий делитель элементов а и b и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда по свойству (6) делимости элемент Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел делит любой общий делитель элементов Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, следовательно, является их НОД. Свойство доказано.

Свойство 9. Если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство. Пусть НОДМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и НОД(а,b) = 1, тогда среди делителей элементов b и с нет делителей элемента а. Следовательно, и среди делителей элемента bc нет делителей элемента а, что и означает, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Свойство 10. Если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для любых Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN.

Доказательство. Докажем, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел методом математической индукции. Пусть m = 1, тогда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел по условию, т.е. база индукции верна. Предположим, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для всех k < m. Покажем, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел при k = m. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел по свойству (10) для с = b. Отсюда, Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для всех Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел по свойству 3 делимости. Аналогичными рассуждениями получаем Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для любого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN. Следовательно, Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Свойство 11. Если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для любого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, тогда а = sd и c = td для некоторых s,tМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS таких, что НОД(s,t) = 1. Поскольку Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то НОД(s,b) = 1 и по свойству 9 НОД(s,tb) = 1. Следовательно, Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Свойство доказано.

Свойство 12. Существование НОК(a,b) влечет существование НОД(a,b) и равенство НОД(a,b) НОК(a,b) = ab.

Доказательство. Если хотя бы одно из чисел Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел или Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел равно 0, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и равенство справедливо. Пусть элементы Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел ненулевые и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Поскольку Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел - общее кратное чисел Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для некоторого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Так как Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел - общий делитель Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Докажем, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел делится на любой общий делитель элементов Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел - произвольный общий делитель чисел Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, т.е. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для некоторых Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Поскольку Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел - общее кратное элементов Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Так как Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для некоторого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Отсюда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Следовательно, Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, и, значит, Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселНОД(Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел).

Предложение 1. Полугруппа Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел является НОК-полугруппой тогда и только тогда, когда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел есть НОД-полугруппа.

Доказательство. По свойству 12 достаточно доказать, что любая НОД-полугруппа является НОК-полугруппой. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел есть НОД-полугруппа. Возьмем произвольные Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Если хотя бы одно из чисел Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел равно 0, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Рассмотрим случай Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Обозначим Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для некоторых Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Поскольку Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел по свойству 7, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Положим Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Число Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел является общим кратным элементов Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Осталось показать, что на Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел делится любое общее кратное Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Возьмем произвольное общее кратное Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел элементов Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, т. е. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для некоторых Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, т.е. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел (поскольку Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел). По свойству 11 имеем Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, значит, Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для некоторого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Поэтому Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, т.е. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

§ 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп


Далее будем рассматривать множество всех неотрицательных действительных чисел R+ и мультипликативную полугруппу SМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселR+, содержащую 0 и 1, с топологией, индуцированной топологией числовой прямой.

Лемма 1. Если S связно, то S=Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел или S=R+.

Доказательство. Пусть S связное множество в R+. Тогда S является промежутком. Поскольку Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Если в S нет элемента c > 1, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. В противном случае числа Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел (Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN) принимают сколь угодно большие значения. Поскольку S – промежуток, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для всех Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN. Отсюда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселR+.

Лемма 2. Если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел несвязно, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство. Предположим, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда в силу несвязности Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел существуют такие числа Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Так как Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Полученное противоречие завершает доказательство.

Лемма 3. Если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел или Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел=R+.

Доказательство. Очевидно, Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел - полугруппа. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда существует элемент Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Докажем, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Возьмем произвольное Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Пусть натуральное N таково, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда из Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел следует Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Отсюда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть S – НОД-полугруппа и пространство S несвязно. Тогда:

(0,с)Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS для любого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел,

если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то иМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для любого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство. 1) Если в интервале (0,1) нет элементов из S, то заключение очевидно. Пусть (0,1)ЗS№Ж. Предположим, что (0,c)Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS для некоторого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Не теряя общности, будем считать, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Так как S несвязно, то по лемме 2 существует sМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел[0, 1]\S. Возьмем в S ненулевой элемент Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и положим b=asМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS. Пусть d=НОД(a,b). Поскольку 0<s<1, то snМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел0 при nМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда sN < c для некоторого натурального N, и, значит, sNМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS. По свойству 8, пункт (3), НОД(a/d, b/d)=1. Поскольку b/d:a/d=sМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS, то элемент a/d необратим в S. Очевидно, необратимым является и (a/d)N. По свойству 11, пункт (5), имеем НОД((a/d)N, (b/d)N)=1. Из (b/d)N:((a/d)N=sNМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS следует, что НОД((a/d)N, (b/d)N)=(a/d)N. Значит, элемент (a/d)N ассоциирован с 1, т. е. обратим. Получили противоречие. Следовательно, (0, с)Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS для любого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

2) Если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то заключение справедливо. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда по лемме 3 существует sМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Предположим, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для некоторого с >1. Возьмем в S элемент Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и положим b=asМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS. Поскольку s>1, то snМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел+Ґ при nМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Следовательно, sN>c для некоторого натурального N, и, значит, sNМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS. Повторяя рассуждения, проведенные выше, заключаем: Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для любого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Предложение 2. Пусть S – НОД-полугруппа. Если пространство S несвязно и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то S нульмерно.

Доказательство. Докажем, что при выполненных условиях в любом интервале Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, где Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, есть точки, не принадлежащие S. Доказывая от противного, предположим, что [a,b]Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS для некоторых Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Возможны два случая.

Случай 1. Пусть 0<a<Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Докажем, что найдется n0Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN, для которого aМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселbМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. В самом деле, допуская, что bМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел<aМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для всех nМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN и, переходя в неравенстве bМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел<a к пределу при nМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, получили бы bМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселa<b. Откуда bМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел>aМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для всех натуральных n>n0. Тогда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел что невозможно по лемме 4.

Случай 2. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Возьмем такое число с > a, чтобы 1<c<b. Рассуждая, как и в случае 1, получаем cМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселbМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для некоторого n0Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN. ТогдаМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел что также невозможно по лемме 4.

Докажем, что S нульмерно. Пусть V – произвольное открытое множество в S и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Требуется показать, что существует такое открыто-замкнутое в S множество U, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Поскольку топология в S индуцируется топологией числовой прямой, то существуют такие числа a и b Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то это и есть открыто-замкнутое множество U. Пусть левее s в интервале Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел нет точек множества S, а правее – есть, и точка с - одна из них. По доказанному выше существует точка Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, такая, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. В этом случае Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел – искомое открыто-замкнутое множество U. Аналогично рассматривается случай, когда левее точки s в интервале Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел есть точки множества S, а правее нет, и случай, когда интервал Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел содержит точки из S и справа и слева от s. Предложение доказано.

С помощью предложения 2 можно получить следующую топологическую классификацию числовых НОД-полугрупп.

Предложение 3. Любая НОД-полугруппа S относится к одному из следующих классов:

S связно.

S нульмерно, замкнуто в R+ и 0 – предельная точка для S.

S нульмерно, не замкнуто в R+ и 0 – предельная точка для S.

Точка 0 изолирована в S.

Доказательство. По лемме 1 существуют полугруппы Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, которые являются связными множествами. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел несвязно. Если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел=Ж, то 0 – изолированная точка. Если существует элемент Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для любого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN и последовательность Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел сходится к 0. Следовательно, 0 – предельная точка для S, множество Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел при этом может быть как замкнутым в R+, так и не замкнутым. Предложение доказано.

Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел

со свойствами (*) и (**)


В этой главе на основе предложения 2 дадим топологическую классификацию полугрупп S, которые обладают одним из следующих свойств:

(*) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел (a<bМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел);

(**) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел (0<a<bМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел).

Лемма 8. Полугруппа S, удовлетворяющая хотя бы одному из свойств (*), (**) является НОД-полугруппой и НОК-полугруппой. При этом, в первом случае НОД(a,b)= max{a,b}, НОК(a,b)= min{a,b} для любых a,bМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS, а во втором случае – НОД(a,b)= min{a,b}, НОК(a,b)= max{a,b}, если числа Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел не равны нулю.

Доказательство. Пусть полугруппа S обладает свойством (*). Покажем, что любые два элемента Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел имеют НОД и НОК. По свойству (*) a = Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS. Получили, что элемент b является делителем a. Следовательно, по свойству 2 делимости НОД(a,b) = b = max{a,b} и НОК(a,b) = а = min{a,b}. Аналогичными рассуждениями можно показать, что если полугруппа S обладает свойством (**), то для любых ненулевых элементов Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел НОД(a,b)= min{a,b}, НОК(a,b)= max{a,b}. Пусть хотя бы одно из чисел а или b равно 0, например, b. Тогда НОД(a,b) = НОД(а,0) = а и НОК(a,b) = НОК(а,0) = а.

Лемма 9. Если в полугруппе S со свойством (*) существует элемент c > 1, то S \ {0} – группа.

Доказательство. Докажем, что в S произвольный ненулевой элемент a < 1 обратим. Элемент acn > 1 для некоторого nМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN. Тогда 1 / acn Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS в силу свойства (*). Откуда 1 / a = (1 / acn) cn Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS.

Предложение 4. Любая полугруппа S со свойством (*) относится к одному из следующих классов:

S = [0,1].

S = R+.

S = {rn | n = 0,1,2,…}Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, где 0 < Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

S = {rn | nМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселZ}Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, где 0 < Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

S – нульмерное плотное подпространство в [0,1].

S – нульмерное плотное подпространство в R+.

S = {0,1}.

Доказательство. Если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел связно, S=Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел или S=R+ по лемме 1.

Пусть S несвязно. Поскольку полугруппа {0}И[1,+Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел) не обладает свойством (*), то S нульмерно. Предположим сначала, что S замкнуто (в R+). Если в S ровно два элемента, то S = {0,1}. Пусть поэтому Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Покажем, что точка 1 изолирована в S. Предположим, что это не так. Тогда в S существует строго возрастающая последовательность (еn), сходящаяся к 1. Так как S замкнуто и несвязно, то в Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел(0,1) найдутся такие элементы c < d, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел(c,d) = Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел по лемме 4. В то же время строго возрастающая последовательность (en,d) элементов из S сходится к числу d. Противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в S. Обозначим Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Возьмем произвольный ненулевой элемент Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел из Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Для него Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел при некотором Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN. По свойству (*) получаем Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Поскольку Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда в случае SМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел имеем Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел0,1,2,…Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, а в противном случае Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселZМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел по лемме 9.

Пусть S нульмерно и не замкнуто. Существует монотонная последовательность чисел 0Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселаnМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS, сходящаяся к некоторому аМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS. Пусть bn = an / an+1, если (an) возрастает, и bn = an+1 / an, если она убывает. Тогда bnМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS (Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN) и bnМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел1 при Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Возьмем произвольное число сМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел(0,1). Для каждого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN найдется такое k(n)Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда имеем Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Следовательно, числа Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселNМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел из Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел образуют плотное подмножество в [0,1]. Если SМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то получаем случай 5. Если же SМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то по лемме 9 получаем случай 6. Предложение доказано.

Предложение 5. Любая полугруппа S со свойством (**) относится к одному из следующих классов:

S = R+.

S = {rn | nОN}Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, где Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

S = {rn | nМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселZ}Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, где Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

S\{0} – нульмерное плотное подпространство в [1,Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел).

S – нульмерное плотное подпространство в R+.

S = {0,1}.

Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселИ[1,+Ґ).

Доказательство. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел связно. Поскольку полугруппа [0,1] не обладает свойством (**), то по лемме 1 получаем S=R+.

Очевидно, Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел является полугруппой со свойством (**).

Пусть далее Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел несвязно и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел нульмерно по предложению 2.

Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел замкнуто и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселЖ. Если в Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел нет элемента, большего 1, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел(1,+Ґ)№Ж. Докажем, что точка 1 изолирована в Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Допустим, что это не так. Тогда в Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел существует строго убывающая Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел последовательность, сходящаяся к 1. Так как Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел замкнуто и несвязно, то в Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел[1,+Ґ) есть такие элементы Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. В то же время строго убывающая последовательность Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел элементов из Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел сходится к числу Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, следовательно, ее члены, начиная с некоторого номера, попадают в интервал Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Получили противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Обозначим Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и поскольку Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел замкнуто, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Возьмем произвольный элемент Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел из Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Для него Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел при некотором Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN. По свойству (**) получаем Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Поскольку Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. В этом случае Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселNМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел замкнуто и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселЖ. Как и выше, доказывается, что 1 – изолированная точка. Обозначим Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Так как Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел замкнуто, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Из свойства (**) следует, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Из неравенства Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел по доказанному выше получаем: Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для некоторого натурального N. Поскольку Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. В этом случае Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселZМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел не замкнуто и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселЖ. Тогда существует монотонная последовательность чисел Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, сходящаяся к некоторому Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, если последовательность элементов Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел убывает, и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, если она возрастает. Тогда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для всех Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел при Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Возьмем произвольное число Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Для каждого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN найдется такое Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда имеем Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Следовательно, числа Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселNМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел из Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел образуют плотное подмножество в [1,+ Ґ) (случай 4).

Если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел не замкнуто и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселЖ, то аналогичные рассуждения показывают, что S – плотное подпространство в R+.

Следствие 1. Любая полугруппа S, обладающая свойствами (*) и (**) относится к одному из следующих классов:

S = R+.

S – нульмерное плотное подпространство в R+.

S = {0,1}.

Библиографический список


Варанкина, В.И., Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы и конгруэнции [Текст] // В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов, И. А. Семенова / Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 2. С  493-510.

Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре [Текст] / А. Г. Курош. – М.: Наука, 1973.

Рефетека ру refoteka@gmail.com