Рефетека.ру / Математика

Реферат: Случайные процессы

 

Оглавление


Случайная функция, случайный процесс, случайное поле

Функция распределения вероятностей случайного процесса

Плотность распределения вероятностей случайного процесса

Моментные функции случайного процесса

Условные распределения вероятностей

Примеры математических моделей случайных процессов

Стационарные процессы

Литература


Случайная функция, случайный процесс, случайное поле

 

69.1. Случайной функцией Случайные процессы называется случайная величина Случайные процессы, зависимая от параметра Случайные процессы. Случайные величины Случайные процессы могут быть вещественными, либо комплексными, либо векторными; аргумент Случайные процессы может быть вещественным или векторным. Самый простой пример случайной функции получаем для вещественного параметра Случайные процессы и вещественной случайной величины Случайные процессы. При этом Случайные процессы называется случайной функцией одной переменной или случайным процессом. Отметим, что аргумент Случайные процессы случайного процесса не обязательно имеет размерность времени.

Более сложные примеры случайных функций встречаются в задачах физики, океанологии, метеорологии и других областях приложения теории вероятностей. Так, температура воздуха Случайные процессы в точке пространства Случайные процессы и в момент времени Случайные процессы часто рассматривается как случайная величина. Таким образом, температура воздуха Случайные процессы является случайной функцией, зависимой от трех декартовых координат Случайные процессы времени Случайные процессы. Случайную функцию, зависимую от нескольких переменных принято называть случайным полем.

 

69.2. Случайный процесс Случайные процессы как функция аргумента Случайные процессы имеет свою область определения Случайные процессы, которая может быть отрезком на вещественной оси, положительной полуосью, всей вещественной осью и т. д. Рассмотрим случайный процесс Случайные процессы при фиксированном Случайные процессы, тогда Случайные процессы - случайная величина, которая называется сечением случайного процесса в точке Случайные процессы.

Пусть выполняется Случайные процессы опытов, в каждом из которых измеряется значение Случайные процессы, Случайные процессы , случайной величины Случайные процессы. Тогда результаты измерений – это Случайные процессы чисел

Случайные процессы . (69.1)

 

В отличие от случайной величины Случайные процессы измерение случайного процесса Случайные процессы выполняется в течение некоторого интервала Случайные процессы -интервала наблюдения. Последний либо содержится в области определения Случайные процессы, либо совпадает с ней. Пусть детерминированная функция Случайные процессы, Случайные процессы, - результат измерения случайного процесса в первом опыте, функция Случайные процессы, Случайные процессы, - результат измерения случайного процесса во втором опыте, и т.д. Тогда результаты всех Случайные процессы опытов, аналогично (69.1), представляются совокупностью Случайные процессы детерминированных функций времени:

Случайные процессы (69.2)

Каждая функция Случайные процессы , Случайные процессы , называется реализацией (траекторией, выборочной функцией, выборкой) случайного процесса Случайные процессы. Совокупность (69.2) называется ансамблем реализаций случайного процесса Случайные процессы. Ансамбль реализаций содержит информацию о статистических свойствах случайного процесса Случайные процессы аналогично как и совокупность измерений (69.1) содержит информацию о статистических свойствах случайной величины Случайные процессы.

 

69.3. В зависимости от того, дискретны или непрерывны время Случайные процессы и реализации Случайные процессы, различают четыре типа случайных процессов.

1). Случайный процесс общего типа: время Случайные процессы - непрерывно и реализации Случайные процессы- непрерывны.

2). Дискретный случайный процесс: время Случайные процессы - непрерывно и Случайные процессы- дискретны.

3). Случайная последовательность: Случайные процессы - дискретно и Случайные процессы- непрерывны. В литературе случайные процессы этого типа принято называть временными рядами.

4). Дискретная случайная последовательность: Случайные процессы - дискретно и Случайные процессы- дискретны.

 

Функция распределения вероятностей случайного процесса

 

70.1. При фиксированном Случайные процессы распределение вероятностей сечения Случайные процессы случайного процесса (как распределение вероятностей случайной величины) задается функцией распределения вероятностей

Случайные процессы . (70.1)

Соотношение (70.1) можно рассматривать при любом Случайные процессы. Функция Случайные процессы, как функция двух переменных Случайные процессы и Случайные процессы, называется одномерной функцией распределения вероятностей случайного процесса Случайные процессы. Аргументы Случайные процессы и Случайные процессы принято называть соответственно фазовой и временной переменными. Однако, Случайные процессы не дает исчерпывающую вероятностную характеристику случайного процесса Случайные процессы, поскольку она не учитывает зависимости случайных величин Случайные процессы при разных Случайные процессы (т.е. зависимости разных сечений случайного процесса). Более полно вероятностные свойства случайного процесса Случайные процессы описывает Случайные процессы-мерная функция распределения Случайные процессы - функция распределения случайного вектора Случайные процессы:

Случайные процессы . (70.2)

Однако, практическое применение находят лишь функции распределения первого и второго порядков Случайные процессы. Функции более высоких порядков Случайные процессы используются только в теории.

 

70.2. Основные свойства Случайные процессы-мерной функции распределения вероятностей случайного процесса аналогичны свойствам функции распределения вероятностей Случайные процессы-мерного вектора.

1) Функция Случайные процессы - неубывающая по каждому аргументу Случайные процессы , Случайные процессы.

2) Функция Случайные процессы - непрерывна справа по каждому аргументу Случайные процессы , Случайные процессы.

3) Функция распределения симметрична относительно перестановок двух любых пар Случайные процессы и Случайные процессы:

Случайные процессы .

4) Для любого целого Случайные процессы , Случайные процессы

Случайные процессы.

5) Для любого целого Случайные процессы , Случайные процессы

Случайные процессы.

6) Случайные процессы.

 

Плотность распределения вероятностей случайного процесса

 

Если Случайные процессы имеет производную

Случайные процессы , (71.1)

тогда эта производная называется Случайные процессы-мерной плотностью распределения вероятностей случайного процесса. Основные свойства плотности (71.1) аналогичны свойствам плотности распределения вероятностей Случайные процессы-мерного вектора. Рассмотрим основные из них.

1) Функция распределения Случайные процессы определяется через плотность:

Случайные процессы . (70.2)

2) Плотность Случайные процессы - неотрицательная функция:

Случайные процессы . (70.3)

3) Плотность удовлетворяет условию нормировки:

Случайные процессы . (70.4)

4) Выполняется равенство

Случайные процессы, (71.5)

называемое свойством согласованности.

5) Плотность – симметричная функция относительно перестановок двух любых пар Случайные процессы и Случайные процессы:

Случайные процессы . (71.6)

6) Плотность определяет вероятность попасть значениям случайного

процесса в заданные интервалы:

Случайные процессы. (71.7)

 

Моментные функции случайного процесса

 

72.1. Пусть Случайные процессы - случайный процесс, имеющий плотность Случайные процессы и Случайные процессы функция Случайные процессы переменных. Вместо аргумента Случайные процессы , Случайные процессы , функции Случайные процессы подставим Случайные процессы. Тогда Случайные процессы - случайная величина, математическое ожидание которой определяется соотношением:

Случайные процессы.

(72.1)

 

Рассмотрим простейшие примеры функции Случайные процессы. 1) Пусть Случайные процессы - функция одной переменной, тогда Случайные процессы и (72.1) принимает вид:

Случайные процессы. (72.2)

Функция Случайные процессы называется математическим ожиданием (средним, статистическим средним) случайного процесса Случайные процессы. 2) Аналогично выбор Случайные процессы приводит к равенству

Случайные процессы. (72.3)

Функция Случайные процессы называется корреляционной функцией случайного процесса Случайные процессы. 3) Аналогично вводятся дисперсия

Случайные процессы (72.4)

и ковариационная функцией случайного процесса

 

Случайные процессы

Случайные процессы. (72.5)

Получим соотношение, связывающее функции Случайные процессы. Из (72.5) следует

Случайные процессы

Случайные процессы . (72.6)

Здесь использовалось равенство Случайные процессы, поскольку Случайные процессы - детерминированная функция и ее можно вынести за оператор математического ожидания. Таким образом, (72.6) принимает вид

Случайные процессы . (72.7)

 

72.2. Функции вида

Случайные процессы , (72.8)

где целые числа Случайные процессы, называются начальными моментами порядка Случайные процессы случайного процесса Случайные процессы. Аналогично центральные моменты определяются соотношениями:

Случайные процессы . (72.9)

Для функций (72.8), (72.9) используется общее название - моментные функции. Наиболее простые моментные функции (до второго порядка) - это рассмотренные выше математическое ожидание Случайные процессы, дисперсия Случайные процессы корреляционная и ковариационная функции Случайные процессы, Случайные процессы, - находят широкое практическое применение в экспериментальных исследованиях в отличие от моментов более высоких порядков, которые используютя только в теоретических расчетах.

 

Условные распределения вероятностей

 

Если задана Случайные процессы- мерная плотность распределения вероятности случайного процесса Случайные процессы, тогда условная плотность Случайные процессы порядка Случайные процессы при условии, что случайный процесс в моменты времени Случайные процессы принимает значения Случайные процессы определяется по формуле:

Случайные процессы

Случайные процессы . (73.1)

Соответствующая условная функция распределения вероятностей Случайные процессы порядка Случайные процессы при условии, что случайный процесс в моменты времени Случайные процессы принимает значения Случайные процессы определяется соотношением:

Случайные процессы

Случайные процессы . (73.2)

Соотношения между условной плотностью Случайные процессы и условной функцией распределения вероятностей Случайные процессы аналогичны соотношениям для соответствующих безусловных функций, например, справедливо равенство:

Случайные процессы

Случайные процессы. (72.3)

В простейшем варианте при Случайные процессы формула (73.1) для условных плотностей принимает вид:

Случайные процессы . (73.4)

Отсюда

Случайные процессы . (73.5)

Поскольку плотность второго порядка симметрична относительно перестановок пар Случайные процессы и Случайные процессы , то из (73.5) следует

Случайные процессы . (73.6)

Соотношения (73.5), (73.6) - это формулы умножения для плотностей. Очевидна аналогия этих формул с формулой умножения вероятностей. Используя свойство согласованности, из (73.6) получим

Случайные процессы . (73.7)

Это соотношения аналогично формуле полной вероятности. Далее, выражения (73.6), (73.7) подставим в (73.4), тогда

Случайные процессы . (73.8)

Данное соотношение представляет собой аналог формулы Байеса.

 

Примеры математических моделей случайных процессов

 

Из соотношения (73.1) следует

Случайные процессы

Случайные процессы . (74.1)

Отметим, что здесь произведение первых двух сомножителей, согласно (73.1), равно

Случайные процессы . (74.2)

Аналогично, произведение первых трех сомножителей в (74.1) равно

Случайные процессы . (74.3)

 

74.1. Случайный процесс Случайные процессы называется процессом с независимыми значениями, если случайные величины Случайные процессы независимы в совокупности для любого Случайные процессы и всех различных Случайные процессы. При этом соотношение (74.1) принимает вид:

Случайные процессы . (74.4)

Таким образом, Случайные процессы- мерная плотность распределения вероятности Случайные процессы случайного процесса с независимыми значениями полностью определяется через его одномерную плотность вероятности Случайные процессы. Столь простая структура Случайные процессы- мерной плотности позволяет во многих случаях легко находить решения задач. Однако, столь простая математическая модель (74.4) может оказаться неадэкватной исследуемому процессу. Тогда результаты теоретических расчетов, основанные на формуле (74.4), не соответствуют результатам опыта, и возникает необходимость построения более сложной математической модели исследуемого процесса с учетом статистических связей между его различными сечениями Случайные процессы, Случайные процессы, что позволит получить более точное описание свойств исследуемого процесса.

 

74.2. Случайный процесс Случайные процессы называется процессом с ортогональными значениями, если

Случайные процессы (74.5)

для любых моментов времени Случайные процессы.

 

74.3. Случайный процесс Случайные процессы называется процессом с независимыми приращениями, если случайные величины Случайные процессы и Случайные процессы независимы для любых неперекрывающихся отрезков Случайные процессы, Случайные процессы.

74.4. Пусть моменты времени Случайные процессы - упорядочены по индексу. Случайный процесс Случайные процессы называется марковским, если его условная плотность вероятности удовлетворяет равенству:

Случайные процессы . (74.6)

Таким образом, для марковского процесса случайная величина Случайные процессы зависит только от Случайные процессы и не зависит от всех Случайные процессы, Случайные процессы. Принято говорить, что марковский процесс помнит свою историю только на один шаг.

Соотношение (74.1) для марковского процесса принимает вид:

Случайные процессы.

(74.7)

Отсюда следует, что, Случайные процессы- мерная плотность распределения вероятности Случайные процессы случайного марковского процесса полностью определяется его двумерной плотностью Случайные процессы, поскольку одномерная плотность Случайные процессы и условная Случайные процессы определяются через Случайные процессы по формулам (73.7) и (73.4).

Марковский процесс можно рассматривать как обобщение процесса с независимыми значениями, в том смысле, что последний не помнит свою историю, а марковский процесс помнит свою историю на один шаг. Но и марковский процесс можно усложнить, удлиняя его память на два шага, на три шага и т.д. В результате получаются более точные математические модели исследуемого процесса, что, однако, достигается их усложнением. Такие модели также принято называть марковскими процессами, но самая простая из них, с памятью в один шаг (74.7), в этом ряду называется простейшим марковским процессом.

 

Стационарные процессы

 

75.1. Случайный процесс Случайные процессы называется строго стационарным, если его Случайные процессы - мерная плотность вероятности удовлетворяет условию:

Случайные процессы (75.1)

для любого Случайные процессы. Отсюда при Случайные процессы и Случайные процессы получим

Случайные процессы . (75.2)

Это равенство означает, что плотность первого порядка Случайные процессыне зависит от времени Случайные процессы. При этом математическое ожидание случайного процесса

Случайные процессы (75.3)

- величина постоянная, не зависимая от времени. Аналогично, постоянными для этого процесса являются среднее квадрата Случайные процессы и дисперсия Случайные процессы. Пусть Случайные процессы и Случайные процессы, тогда из (75.1) следует равенство

Случайные процессы . (75.4)

Таким образом, плотность второго порядка Случайные процессы зависит от временных аргументов Случайные процессы через их разность Случайные процессы. Поэтому корреляционная функция Случайные процессы и ковариационная функция Случайные процессы также являются функциями разности Случайные процессы своих аргументов.

В общем случае в соотношении (75.1) можно положить, например, Случайные процессы, тогда плотность Случайные процессы зависит от Случайные процессы временных аргументов Случайные процессы Следовательно, моментные функции, которые в общем случае зависят от Случайные процессы временных аргументов Случайные процессы, для строго стационарных случайных процессов также зависят от Случайные процессы временных аргументов Случайные процессы

 

75.1. Раздел теории случайных процессов, в котором излагаются основные свойства функций Случайные процессы и Случайные процессы, принято называть корреляционной теорией случайных процессов. Таким образом, в рамках корреляционной теории рассматриваются моментные функции не более, чем второго порядка. В связи с этим вводится специальное определение стационарности.

Случайный процесс Случайные процессы называется стационарным в широком смысле (по Хинчину), если его математическое ожидание Случайные процессы и дисперсия Случайные процессы - величины постоянные, не зависимые от времени Случайные процессы, а корреляционная функция Случайные процессы зависит от аргументов Случайные процессы через их разность Случайные процессы.

 

Литература

 

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1999. - 575с.

2. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1973. - 368с.

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения М.: Высшая школа, 2000. - 480с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1999. - 479с.

5. Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 256с.

6. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979. - 496с.

7. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1991. - 400с.

8. Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Новое знание, 2000. - 206с.

9. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. - 256с.

10. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1976. - 352с.

11. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2000. - 543с.

Рефетека ру refoteka@gmail.com