Рефетека.ру / Математика

Реферат: Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами

Дисциплина: "Высшая математика"

Тема: "Решение матричных уравнений: Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами"

1. Базовые действия над матрицами


Определение 1. Две матрица называются равными, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Определение 2. Суммой двух матриц Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами (Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами) и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами (Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами) одинаковых порядков Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами называется матрица Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами (Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами) того же порядка, элементы которой равны Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

На письме это действие может быть записано так: Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Операция сложения обладает, очевидно, обычными свойствами: перестановочным Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами; сочетательным Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Определение 3. Произведением матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами на число Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами называется матрица Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, элементы которой равны Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Умножение матрицы на число может быть записано: Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами или Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Эта операция обладает следующими свойствами: сочетательным относительно числового множителя Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами; распределительным относительно суммы матриц Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами; распределительным относительно суммы чисел Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

После первых двух действий необходимо отметить, что вычитание матриц производится аналогично сложению, а деление матрицы на число может быть определено как умножение на обратное число.

Определение 4. Произведением матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами (Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами), имеющей порядок Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, на матрицу Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами (Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами), имеющую порядок Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, называется матрица Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами (Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами), имеющая порядок Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, элементы которой равны Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, где Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Записывается это действие так Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Из сказанного выше следует, что для нахождения элемента Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, в произведении Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами необходимо попарно перемножить все соответствующие элементы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами-ой строки матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами на элементы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами-го столбца матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, а затем все это сложить. Из определения также следует, что для умножения двух матриц необходимо, чтобы число столбцов матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами было равно числу строк матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Отсюда следует, что одновременно произведение Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами существует только лишь в том случае, когда число столбцов Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами равно числу строк Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, а число столбцов Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами равно числу строк Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. В этом случае Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами будут квадратными матрицами, но разных порядков. Чтобы оба произведения были одинакового порядка, необходимо, чтобы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами были квадратными матрицами одинакового порядка.

Произведение матриц Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами имеет свойства: сочетательное Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами; распределительное Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Перестановочным свойством в общем случае произведение матриц не обладает. Оно выполняется лишь в некоторых случаях.

Среди квадратных матриц необходимо выделить важный класс диагональных матриц.

Определение 5. Диагональной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны 0:


Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

В том случае, если Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, то для любой квадратной матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами порядка Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами справедливо Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Действительно, для Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами получаем Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Для Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами - Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Отсюда, Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Среди диагональных матриц с равными друг другу элементами особое место занимают две матрицы: единичная и нулевая. У единичной матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, обозначается она - Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, у нулевой Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, обозначается она - Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Как было показано Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Перемножив эти матрицы, можно убедиться, что Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами; Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Таким образом, матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами выполняют ту же роль, что и 1 и 0 среди чисел. Вообще нулевой называют любую матрицу, элементы которой равны нулю.


2. Обратная матрица


Кроме действий над матрицами как сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу есть также операция делении на матрицу. Она эквивалентна умножению на обратную матрицу. Рассмотрим, что же это такое.

Определение 1. Матрица Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, удовлетворяющая вместе с матрицей Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами равенствам Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, где Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами - единичная матрица, называется обратной к Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и обозначается Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Поскольку Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами обладают в произведении перестановочным свойством, то обе матрицы должны быть квадратными и одного порядка.

Прежде чем рассматривать вопрос о существовании обратной матрицы, введем некоторые понятия.

Определение 2. Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной. В противном случае она называется вырожденной.

Определение 3. Пусть дана квадратная матрица

Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.


Матрицей союзной или присоединенной к матрице Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами называется матрица


Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами,


где Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами алгебраические дополнения элементов Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами данной матрицы.

Необходимо обратить внимание на то, что в матрице Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами алгебраические дополнения к элементам Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами-ой строки расположены в Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами-ом столбце.

Теорема 1. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то есть Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Теорема 2. Матрица Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами имеет обратную Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами только в том случае, если она невырожденная.

Доказательство. Пусть для матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами существует обратная Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, тогда Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Отсюда следует, что


Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами,


иначе единицы справа быть не может.

Теорема 3. У каждой невырожденной матрицы существует единственная обратная Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Доказательство. Пусть Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами имеет две обратные матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Тогда


Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.


Теорема 4. У каждой невырожденной квадратной матрицы существует обратная, равная Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Докажем эту теорему, вычисляя Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Очевидно, что мы должны получить при этом матрицу Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, элементы которой находятся по формуле


Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.


В полученном выражении, если Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, то Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Действительно, Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами похоже на выражение для вычисления величины определителя. При этом элементы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами-ой строки умножаются на алгебраические дополнения Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами-го столбца. Но так как эти дополнения содержат в себе Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами-ую строку, то получается, что мы вычисляем определитель с двумя одинаковыми строками. Значит, он равен нулю.

Итак, если Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, то Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Если же Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, то полученное выражение в точности соответствует формуле для вычисления определителя. Значит,


Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицамиРешение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами

Но Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами определяет диагональные элементы. Значит, в полученной матрице по главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы - нули. Это единичная матрица Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Следовательно, Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Отсюда следует правило вычисления обратной матрицы:

1. находим Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами (он должен быть не равен нулю);

2. транспонируем матрицу Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами;

3. заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением;

4. делим каждый полученный элемент на Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.


3. Решение матричных уравнений


Понятие обратной матрицы дает возможность решать матричные уравнения. Пусть имеется уравнение вида Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, где Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами - некоторые матрицы, причем Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами - неизвестная. Для нахождения Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, прежде всего, необходимо Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами перенести вправо: Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Затем, пользуясь тем, что Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, умножим равенство на Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами:


Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.


При решении подобных уравнений необходимо учитывать, с какой стороны стоит множитель при Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Если уравнение имеет вид Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, то


Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.


Если же уравнение имеет множители при Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами с обеих сторон

(Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами), то Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

4. Базисный минор и ранг матрицы


Введя понятие линейной комбинации строк и столбцов матрицы, как это было сделано у векторов, можно ввести понятие их линейной зависимости и независимости.

Определение 1. Строки Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами,..., Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами называются линейно зависимыми, если существуют числа Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, не все равные нулю, такие что справедливо равенство Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Здесь 0 - нулевая строка.

Определение 2. Строки Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами называются линейно независимыми, если их линейная комбинация обращается в ноль лишь при условии, что Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

В этом случае линейная комбинация называется тривиальной.

Так же как и у векторов имеется соответствующая теорема.

Теорема 1. Для того чтобы строки Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из них была линейной комбинацией остальных.

Доказательство проводится так же, как и в 4 (там это разбито на две теоремы).

Теорема 2. Если в систему строк матрицы входит нулевая строка, то эти строки линейно зависимы.

Доказательство. Действительно, нулевая строка представляет собой тривиальную линейную комбинацию любых строк. Но тогда мы сразу переходим к теореме 1.

Рассмотрим теперь понятие базисного минора. Пусть имеется произвольная матрица порядка Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами:

Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.


Определение 3. Минором Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами-го порядка матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами называется определитель Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами строк и Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами столбцов матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Определение 4. В матрице Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, порядка Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, минор порядка Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами называется базисным, если он не равен нулю, а все остальные миноры порядка Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами равны нулю или миноров порядка Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами вообще нет, то есть Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами совпадает с меньшим из чисел Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами или Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Очевидно, что в матрице может быть несколько базисных миноров, но все они должны быть одного порядка.

Определение 5. Рангом матрицы называется порядок базисного минора. Обозначается ранг матрицы - Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами. Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными.

Теорема 3. (Теорема о базисном миноре). Базисные строки и столбцы линейно независимы. Любая другая строка или столбец матрицы Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами являются линейной комбинацией базисных строк или столбцов.

Доказательство проведем для строк. Покажем вначале, что базисные строки линейно независимы. Если бы они были линейно зависимы, то одна из этих строк была бы линейной комбинацией остальных. Тогда на основании свойств определителя эту комбинацию можно вычесть из указанной строки и получить на ее месте ноли. Но если вся строка состоит из нолей, то минор равен нулю, что противоречит теореме.

Докажем вторую часть этой теоремы. Рассмотрим любой минор Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами-го порядка, включающий в себя базисный. Расположим базисный минор в левом верхнем углу:

Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.


По определению данный минор равен нулю. Раскроем его по последнему столбцу:


Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.


Здесь Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами, разделим на него все равенство:


Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами

Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами


Из полученного выражения следует, что Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами-ая строка является линейной комбинацией базисных строк.

Отсюда можно сделать вывод, что число линейно независимых строк или столбцов равно рангу матрицы. Это свойство используется для практического вычисления Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами.

Литература


Александров В.В., Потапов М.К., Пасиченко П.И., Потапов М.К. Александров В.В., Потапов М. К и др. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции. Учебник. М: Высшая школа, 2001. - 736с.

Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. - 200с.

Баврин И.И. Высшая математика - 1980 г.

Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричные вычисления. - М.: Мир, 1999.

Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Мир, 1969.

Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (2-е издание). - М.: Наука, 1966.

Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1973.

Похожие работы:

  1. • Способы решения систем линейных уравнений
  2. • Электрические цепи с бинарными потенциалами
  3. • Решение произвольных систем линейных уравнений
  4. • Линейные системы уравнений
  5. • Решение систем дифференциальных уравнений
  6. • Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD
  7. • Разработка программы решения системы линейных ...
  8. • Матрицы и определители
  9. • Автоматизация проектирования цифровых СБИС на базе матриц ...
  10. • Программирование математических задач
  11. • Точные методы численного решения систем линейных ...
  12. • Высшая математика для менеджеров
  13. • Исследование методов решения системы дифференциальных ...
  14. • Особенности вычисления определителя матрицы
  15. • Численные методы решения систем линейных уравнений
  16. • Система математических расчетов MATLAB
  17. • Матричный анализ
  18. • Поиск решений системы линейных уравнений методом ...
  19. • Матрицы
Рефетека ру refoteka@gmail.com