Рефотека.ру / Математика

Контрольная работа: Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

Вариант 1


1


Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,8, р3 = 0,7.

Найти вероятности того, что:

а) все три стрелка попадают в цель;

б) только один из них попадает в цель;

в) хотя бы один стрелок попадает в цель.

Обозначим события: А – все 3 стрелка попадают в цель; В – только один стрелок попадает в цель; С – хотя бы один стрелок попадает в цель.

Вероятности промахов равны соответственно: q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3.


а) Р(А) = р1р2р3 = 0,9∙0,8∙0,7 = 0,504.

б) Р(В) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9∙0,2∙0,3 + 0,1∙0,8∙0,3 + 0,1∙0,2∙0,7 = 0,092.

в) Событие Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики– все три стрелка промахиваются. Тогда


Р(С) = 1 – Р(Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики) = 1 – 0,1∙0,2∙0,3 = 1 – 0,006 = 0,994.


11


Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз

У нас n достаточно велику, р малу, λ = np = 150 ∙ 0,02 = 3 < 9, k = 5. Справедливо равенство Пуассона: Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики. Таким образом, Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики


21


По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).


хі 1 2 3 4 5
рі 0,05 0,18 0,23 0,41 0,13

Последовательно получаем:


5

М(Х) = ∑ хірі = 0,05 + 2∙0,18 + 3∙0,23 + 4∙0,41 + 5∙0,13 = 3,39.

i=1

5

D(X) = ∑ xiІpi – MІ = 0,05 + 2І∙0,18 + 3І∙0,23 + 4І∙0,41 + 5І∙0,13 – 3,39І = i=1

1,1579.


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиРешение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиσ(Х) = √D(X) = √1,1579 = 1,076.

31


Случайная величина Х задана интегральной функцией


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики


а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики;


г) построить графики функций F(x) и f(x).


Последовательно получаем:


а) Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики ;

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a) Ю PРешение задач по курсу теории вероятности и математической статистики= F(1) – FРешение задач по курсу теории вероятности и математической статистики= Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики– 0 = Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики.

Графики функций поданы далее.


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики


41


Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 2; β = 13; а = 10; σ = 4.


Используем формулу Р(α < x < β) = Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

Имеем: Р(2 < x < 13) =Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики= ФРешение задач по курсу теории вероятности и математической статистики– Ф(–2).

Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:


ФРешение задач по курсу теории вероятности и математической статистики– Ф(–2) = ФРешение задач по курсу теории вероятности и математической статистики+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.


51


По данному статистическому распределению выборки


хі 4 5,8 7,6 9,4 11,2 13 14,8 16,6
5 8 12 25 30 20 18 6

Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.


Для решения задачи введём условную переменную

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики, где С – одно из значений хі, как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h – это шаг (у нас h = 1,8).

Пусть С = 11,2. Тогда Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики.

Заполним таблицу:


xi mi xiґ ximi (xiґ)Іmi
4 5 – 4 – 20 80
5,8 8 – 3 – 24 72
7,6 12 – 2 – 24 48
9,4 25 – 1 – 25 25
11,2 30 0 0 0
13 20 1 20 20
14,8 18 2 36 72
16,6 6 3 18 54

∑ = 124
∑ = – 19 ∑ = 371

Используя таблицу, найдём Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики;

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиD(xґ) = ∑(xiґ)Іmi – (xiґ)І = Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики – (– 0,1532)І = 2,9685.

Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):

_

x = xґh + C = – 0,1532∙1,8 + 11,2 = 10,9242; D(x) = D(xґ)∙hІ = 2,9685∙1,8І = 9,6178;


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиРешение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиσ(x) = √D(x) = √9,6178 = 3,1013.


61


По данной корреляционной таблице найти выборочное уравнение регрессии.

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

у х 6 9 12 15 18 21 ny
5 4 2



6
15
5 23


28
25

18 44 5
67
35

1 8 4
13
45



4 2 6
nx 4 7 42 52 13 2 n = 120

Для упрощения расчетов введем условные переменные


u = Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики, v = Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики. Составим таблицу:


v u – 3 – 2 – 1 0 1 2 nv nuvuv
– 2 4 6 2 4



6 32
– 1
5 2 23 1


28 33
0

18 0 44 0 5 0
67 0
1

1 –1 8 0 4 1
13 3
2



4 2 2 4 6 16
nu 4 7 42 52 13 2 n = 120 ∑ = 84

Последовательно получаем:


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики;

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики;

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики;

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики;

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиРешение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиσuІ = Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики– (u)І = 1,058 – (– 0,425)І = 0,878; σu = √0,878 = 0,937;

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиРешение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиσvІ = Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики– (v)І = 0,742 – (– 0,125)І = 0,726; σv = √0,726 = 0,8521;


По таблице, приведённой выше, получаем ∑nuvuv = 84.

Находим выборочный коэффициент корреляции:


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики


Далее последовательно находим:


x = u∙h1 + C1 = – 0,425∙3 + 15 = 13,725; y = v∙h2 + C2 = – 0,125∙10 + 25 = 23,75;

σx = σu∙h1 = 0,937∙3 = 2,811; σy = σv∙h2 = 0,8521∙10 = 8,521.


Уравнение регрессии в общем виде: Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики Таким образом,

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии: Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.

1) при х = 12 по таблице имеем


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики


по уравнению:


ух=12 = 2,457∙12 – 9,968 = 19,516; ε1 = 19,762 – 19,516 = 0,246;


2) при х = 18 по таблице имеем


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики


по уравнению:


ух=18 = 2,457∙18 – 9,968 = 34,258; ε2 = 34,258 – 34,231 = 0,027.


Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.

Вариант 2


2


Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающие устройства. Вероятности их срабатывания равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,95, р3 = 0,85. Найти вероятности срабатывания при аварии:

а) только одного устройства;

б только двух устройств;

в) всех трёх устройств.


Обозначим события: А – срабатывает только одно устройство; В – срабатывают 2 устройства; С – срабатывают все 3 устройства. Вероятности противоположных событий (не срабатывания) соответственно равны q1 = 0,1, q2 = 0,05, q3 = 0,15. Тогда


а) Р(А) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9∙0,05 ∙0,15 + 0,1∙0,95∙0,15 + 0,1∙0,05∙0,85 = 0,02525.

б) Р(В) = p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 = 0,9∙0,95∙0,15 + 0,9∙0,05∙0,85 + 0,1∙0,95∙0,85 = 0,24725.

в) Р(С) = р1р2р3 = 0,9∙0,95∙0,85 = 0,72675.


12


В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что из взятых наудачу из этой партии 50 изделий ровно 3 окажутся дефектными.

По условию Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиn = 50, k = 3. Поскольку р малу, n достаточно большое, в то же время nр = 0,5 < 9, справедлива формула Пуассона: Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики.

Таким образом, Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики


22


По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).


хі

2

3 4 5 8
рі 0,25 0,15 0,27 0,08 0,25

Последовательно получаем:


5

М(Х) = ∑ хірі = 2∙0,25 + 3∙0,15 + 4∙0,27 + 5∙0,08 + 8∙0,25 = 4,43.

i=1

5

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиD(X) = ∑ xiІpi – MІ = 2І∙0,25 + 3І∙0,15 + 4І∙0,27 +5І∙0,08 + 8І∙0,25 – 4,43І і=1

= 5,0451.

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиσ(Х) = √D(X) = √5,0451 = 2,246.

32


Случайная величина Х задана интегральной функцией


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики


а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики;


г) построить графики функций F(x) и f(x).

Последовательно получаем:

а) Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики ;

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a) Ю PРешение задач по курсу теории вероятности и математической статистики= F(1) – FРешение задач по курсу теории вероятности и математической статистики= Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики


Графики функций приводятся далее.

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиРешение задач по курсу теории вероятности и математической статистики


42


Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 5; β = 14; а = 9; σ = 5.

Используя формулу Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики имеем


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики


Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики


52


По данному статистическому распределению выборки


хі 7,6 8 8,4 8,8 9,2 9,6 10 10,4
6 8 16 50 30 15 7 5

Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для решения задачи введём условную переменную Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

где С – одно из значений хі , как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h – это шаг (у нас h = 0,4).

Пусть С = 8,8. Тогда Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

Заполним таблицу:


xi mi xiґ ximi (xiґ)Іmi
7,6 6 – 3 – 18 54
8 8 – 2 – 16 32
8,4 16 – 1 – 16 16
8,8 50 0 0 0
9,2 30 1 30 30
9,6 15 2 30 60
10 7 3 21 63
10,4 5 4 20 80

∑ = 137
∑ = 51 ∑ = 335

Используя таблицу, найдём


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики;

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиD(xґ) = ∑(xiґ)Іmi – (xiґ)І = Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики – 0,3723І = 2,3067.


Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):


x = xґh + C = 0,3723∙0,4 + 8,8 = 8,9489; D(x) = D(xґ)∙hІ = 2,3067∙0,4І = 0,3961;


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиРешение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиσ(x) = √D(x) = √0,3961 = 0,6075.


62


По данной корреляционной таблице

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

у х 4 8 12 16 20 24 ny
10 2 5



7
20
6 8 4

18
30
8 46 10

64
40

5 20 4
29
50

3 14 2 5 22
nx 2 19 62 48 6 3 n = 140

найти выборочное уравнение регрессии.


Для упрощения расчетов введём условные переменные


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики Составим таблицу.


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиv u

– 2 – 1 0 1 2 3 nv nuvuv
– 2 2 4 5 2



7 18
– 1
6 1 8 0 4 –1

18 2
0
8 0 46 0 10 0

64 0
1

5 0 20 1 4 2
29 28
2

3 0 14 2 2 4 5 6 22 66
nu 2 19 62 48 6 3 n = 140 ∑ = 114

Последовательно получаем:


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики;

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики;

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики;

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики;

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиРешение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиσuІ = Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики– (u)І = 0,9 – 0,329І = 0,792; σu = √0,792 = 0,89;

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиРешение задач по курсу теории вероятности и математической статистикиσvІ = Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики– (v)І = 1,164 – 0,293І = 1,079; σv = √1,079 = 1,0385;

По таблице, приведённой выше, получаем ∑nuvuv = 114.

Находим выборочный коэффициент корреляции:


Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики


Далее последовательно находим:


x = u∙h1 + C1 = 0,329∙4 + 12 = 13,314; y = v∙h2 + C2 =0,293∙10 + 30 = 32,929;

σx = σu∙h1 = 0,89∙4 = 3,56; σy = σv∙h2 = 1,0385∙10 = 10,385.


Уравнение регрессии в общем виде: Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики Таким образом,

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии: Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.

1) при х = 12 по таблице имеем Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики


по уравнению: ух=12 = 2,266∙12 + 2,752 = 29,944; ε1 = 30,484 – 29,944 = 0,54;

2) при х = 16 по таблице имеем Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

по уравнению: ух=16 = 2,266∙16 + 2,752 = 39,008; ε2 = 39,167 – 39,008 = 0,159.

Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.

Похожие работы:

  1. • Теория вероятностей и математическая статистика
  2. • Организация и содержание элективного курса "Основы ...
  3. • Автокорреляционная функция. Примеры расчётов
  4. • Теория вероятностей и математическая статистика
  5. • Статистическое изучение выборочных данных ...
  6. • Теория вероятности и математическая статистика
  7. • Теория вероятностей и математическая статистика
  8. •  ... теории вероятностей и математической статистики в ...
  9. • Применение точечных и интервальных оценок в теории ...
  10. • Розрахунок типових задач з математичної статистики
  11. • Метод Монте-Карло и его применение
  12. • Теория вероятностей
  13. • Статистический анализ выборочных совокупностей
  14. • Вклад А.Н. Колмогорова в развитие теории вероятностей
  15. • Возможности использования элементов теории вероятностей и ...
  16. • Теория вероятности и математическая статистика
  17. • Расчет вероятностей событий
  18. • Теория вероятностей
  19. • Теория вероятностей
Смотреть все похожие работы
Рефотека ру refoteka@gmail.com