Рефетека.ру / Химия

Учебное пособие: Соотношения неопределённостей Гейзенберга

Соотношения неопределенностей в операторной форме


Содержание: Сопряжённые динамических переменных ([импульс-координата]; [энергия-время]; [момент импульса-угол поворота]). Квант действия. Принцип исключения в операторной форме, определяющий возможность совместного измерения динамических переменных.

Принцип неопределённости и его операторные выражения.

7.2. Поставим фундаментальный вопрос: «Зависит ли результат измерения от организации самой процедуры измерения? Можно ли сконструировать универсальные приборы для совместного измерения любых величин?» Если ответ положительный, то последовательность измерений любой пары физических величин не играет роли, и процедуры их измерения можно выполнять в любом порядке. Если же ответ отрицательный, следует ожидать, что изменяя порядок измерений, можно получить и иной результат. Исследуем эту ситуацию.

Предстоит решить очень важную проблему, связанную с возможностью совместного измерения различных динамических переменных. Для этого рассмотрим две динамические характеристики. Им соответствуют эрмитовы операторы Соотношения неопределённостей Гейзенберга и Соотношения неопределённостей Гейзенберга, независимо преобразующие волновую функцию. В простейшем случае совместное измерение величин является комбинацией из двух последовательно выполняемых элементарных процедур. Как это выглядит математически?

Первичному измерению величины отвечает преобразование вида A = Соотношения неопределённостей Гейзенберга. После дующее вслед за величиной измерение величины порождает вторичное преобразование вида B=Соотношения неопределённостей ГейзенбергаA = Соотношения неопределённостей Гейзенберга. В целом последовательности двух измерений отвечает цепочка из двух преобразований волновой функции в виде операторного уравнения вида:

B = Соотношения неопределённостей Гейзенберга.

7.2.3. Меняя порядок измерения величин, следует в общем случае ожидать и иного результата. Если первой измерена величина , а второй величина то первое измерение отображается преобразованием C = Соотношения неопределённостей Гейзенберга, а второе измерение уже D=Соотношения неопределённостей ГейзенбергаC = Соотношения неопределённостей Гейзенберга, так что

D = Соотношения неопределённостей Гейзенберга.

Две эти разные последовательности измерений двух величин порождают два конечных результата B и D. В общем случае они могут не совпадать, но не исключён и нулевой результат. Составим их разность, и соберём все операторы слева от символа преобразуемой волновой функции, используя свойство ассоциативности эрмитовых операторов:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга= Соотношения неопределённостей Гейзенберга.

Оператор Соотношения неопределённостей Гейзенберга называется коммутатором (по-русски «перестановщик»).

7.2.4. Мы подготовились к очень важным заключениям, а именно:

а) если итог двух последовательных измерений независим от порядка их осуществления, то коммутатор должен быть нулевым:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга, т.е.

Соотношения неопределённостей Гейзенберга Соотношения неопределённостей ГейзенбергаСоотношения неопределённостей Гейзенберга.

Компактно это выглядит как: Соотношения неопределённостей Гейзенберга.

б) если итог двух последовательных измерений всё же зависит от порядка их выполнения, то Соотношения неопределённостей Гейзенберга, т.е.

Соотношения неопределённостей ГейзенбергаСоотношения неопределённостей ГейзенбергаСоотношения неопределённостей Гейзенберга.

Коммутатор здесь не равен нулю: Соотношения неопределённостей Гейзенберга.

7.2.5.1. При нулевом коммутаторе Соотношения неопределённостей Гейзенберга порядок измерений не влияет на получаемую количественную информацию, и обе величины и могут быть измерены совместно (в одном едином общем эксперименте с помощью единого прибора).

7.2.5.2. Если коммутатор Соотношения неопределённостей Гейзенберга ненулевой, то получаемая информация зависит от последовательности измерений, и величины и в одном приборе в принципе совместно не могут быть измерены.

Что же имеет место в природе на самом деле? Попробуем получить ответ.

7.3.Соотношения неопределённостей Гейзенберга.

7.3.1. Накоплена достаточная информация, чтобы решить одну из важнейших проблем квантовой механики, связанную с совместными измерениями динамических переменных.

Исследуем, можно ли измерить:

- импульс частицы, находящейся в определённой точке пространства;

- момент импульса вращающейся частицы в определённой точке орбиты;

- энергию системы в конкретный момент времени.

7.3.2. Выбор этих пар динамических переменных не случаен. Эти пары величин взаимно дополняют друг друга таким образом, что их произведение обладает размерностью циклической константы Планка Соотношения неопределённостей Гейзенберга, так что Соотношения неопределённостей Гейзенберга.

Размерность величины Соотношения неопределённостей Гейзенберга является произведением размерностей энергии и времени или импульса и расстояния. Физическую величину с такой размерностью принято называть действием. В силу этого-то константу Планка часто называют квантом действия.

7.3.3. Образуем три коммутатора Соотношения неопределённостей Гейзенберга, Соотношения неопределённостей Гейзенберга, Соотношения неопределённостей Гейзенберга, необходимых для исследования этих трёх ситуаций согласно выводам предыдущих параграфов. Сразу же запишем выражения и для комплексно сопряжённых операторов.

7.3.4. Первый коммутатор построим из оператора компоненты импульса и соответствующей ему координаты:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга

7.3.5. Второй коммутатор построим аналогично из оператора момента импульса и ему соответствующей координаты - угла поворота плоского ротатора:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга.

7.3.6. Также и третий коммутатор построим из оператора энергии и времени. Зависящий от времени гамильтониан заимствуем из временного уравнения Шрёдингера:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга

Перед Вами наиболее последовательный операторный вывод соотношений неопределённостей Гейзенберга. Они относятся к числу фундаментальных законов природы.

7.3.7. Все три коммутатора не равны нулю, и их численные значения мнимые и равны либоСоотношения неопределённостей Гейзенберга, либо -Соотношения неопределённостей Гейзенберга. Вместо мнимых значений удобно построить на их основе действительные квадраты модулей. Для этого каждое из полученных мнимых значений умножается на комплексно сопряжённую величину. Полагая волновую функцию нормированной, для компоненты импульса и соответствующей координаты получаем равенства:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга

Квадрат модуля каждого из трёх коммутаторов один и тот же. Во всех случаях получается Соотношения неопределённостей Гейзенберга. Во всех случаях получается квадрат циклической константы ПланкаСоотношения неопределённостей Гейзенберга:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга (7.4)

7.3.8. Это значение получено наиболее строго и представляет собою среднеквадратичный разброс, теоретически предопределённый для любого эксперимента, нацеленного на совместное измерение пар динамических переменных.

Разброс порядка величины константы Планка Соотношения неопределённостей Гейзенберга для явлений микромира очень велик - настолько велик, что совместные количественные измерения динамических переменных с таким коммутатором лишены физического содержания.

Так в определённой точке линейной траектории невозможно точно указать величину импульса системы, и, напротив, при точно фиксированном импульсе системы невозможно указать её точное положение.

В определённой точке траектории криволинейного движения невозможно указать вектор момента импульса, но если момент импульса фиксирован, то нельзя указать положение тела на криволинейной траектории.

В точно определённый момент времени невозможно указать энергию движущегося тела, и напротив, точное определение энергии тела не может быть привязано к определённому моменту времени в эволюции системы.

7.3.9. В некоторых задачах квантовой механики гамильтониан удаётся выразить через вышеприведённые коммутаторы, а их можно заменить просто мнимым числом. В подобных задачах удаётся отыскать правила квантования энергии наиболее просто, и с такими случаями нам придётся познакомиться позднее.

В элементарной квантовой теории их представлют также в виде произведений предельных ошибок, неизбежных при совместных измерениях, а именно:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга

или как произведение неизбежных среднеквадратичных отклонений:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга

Читатель, видимо, понял, что форма представления соотношений Гейзенберга определяется лишь способом вычисления погрешностей, но суть их всюду одна и та же.

Корпускулярно-волновая природа микромира не допускает чрезмерно упрощённых представлений о локализованных системах, «воткнутых, втиснутых» в материальные точки.

Мир на самом деле состоит из элементов в достаточной мере делокализованных, хотя они и ничтожно малы по нашим меркам. Первичное ощущение «твердокаменности» той или иной системы и проистекающее отсюда её восприятие могут быть обманчивы, и лишь строгий анализ фактов исключает заблуждения и ошибки.

Но тем, кто всё же решил, что принцип Гейзенберга разрешает ошибаться, заметим, что это мнимое право люди (особенно в той или иной мере причастные к власти) присваивают и эксплуатируют куда чаще, чем допускают законы природы (да и законы общества тоже!), и напомним крылатую фразу знаменитого пройдохи и циника Талейрана: «...Это не преступление! Это гораздо хуже! Это же ошибка!».

При описании механических движений в системе частиц с номерами: {1,2, 3,...n} могут быть использованы различные пространственные переменные (прямоугольные-декартовы, косоугольные, полярные (шаровые, цилиндрические или эллиптические). Их полная совокупность, достаточная для составления исчерпывающих уравнений механики в конкретной задаче, называется конфигурационным пространством K. Координаты могут быть декартовы {x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, ... xn, yn, zn}, или полярные, например, шаровые {r1, J1, j1, r2, J2, j2, r3, J3, j3, ... rn, Jn, jn}, или любые другие - в общем виде: Соотношения неопределённостей Гейзенберга Максимальная размерность конфигурационного пространства K равна 3n - утроенному числу частиц в системе. Принадлежность переменных к конфигурационному пространству можно указать с помощью символов - кванторов включения, например, в виде: Соотношения неопределённостей Гейзенберга.


Постулат 1.Волновая функция и её свойства (конечность, однозначность, непрерывность и нормировка)


Формулировка:

Всякое состояние квантово-механической системы описывается функцией состояния - волновой функцией, заданной на многообразии всех переменных конфигурационного пространства системы, и также времени:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга

Волновые функции обязаны удовлетворять нескольким математическим требованиям. Они должны быть: 1) конечны, 2) однозначны, 3) непрерывны, 4) нормированны, т.е.: Соотношения неопределённостей Гейзенберга;(5.1)

Область интегрирования охватывает весь возможный диапазон значений каждой переменной во всём пространстве K. Вероятностный смысл волновой функции:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга

Соотношения неопределённостей ГейзенбергаСоотношения неопределённостей Гейзенберга

Соотношения неопределённостей Гейзенберга (5.2)

Нормировка оказывается условием суммирования плотности вероятности во всём конфигурационном пространстве. Квадрат модуля волновой функции является плотностью вероятности, с которой физическая система, пребывая в том физическом состоянии, которое описывается волновой функцией Y, распределена по конфигурационному пространству. Функции, отвечающие условиям 1, 2, 3 называются регулярными.

Волновая функция это математический образ квантово-механического состояния физической системы. Конечно же, это функция механического состояния системы.


Постулат 2. Измерения физических величин и операторные уравнения на собственные значения эрмитовых операторов


Формулировка:

Разрешёнными значениями динамической переменной являются те, что являются собственными значениями эрмитова оператора данной динамической переменной:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга (5.3)

Операторные уравнения являются математическими образами измерений. Операторы удобно рассматривать в качестве образов макроскопических приборов. Выражения для операторов основных динамических переменных. Оператор импульса и его rомпоненты (из формулы бегущей волны де Бройля). Операторы координат и оператор потенциальной энергии совпадают с самими этими переменными. Взаимосвязь операторов различных динамических переменных определяется тем, что они отображают макроскопическое устройство приборов. Операторы момента импульса одной частицы и его компонент имеют вид Соотношения неопределённостей Гейзенберга, оператор кинетической энергии единственной частицы равен Соотношения неопределённостей Гейзенберга, а для системы нескольких частиц представляет собою сумму вида Соотношения неопределённостей Гейзенберга. Радиус-вектор частицы Соотношения неопределённостей Гейзенберга, и его оператор представляет собой просто множитель перед волновой функцией, т.е. имеет вид: Соотношения неопределённостей Гейзенберга. Оператор потенциальной энергии это также просто множитель перед волновой функцией U(r)Ч, оператор полной энергии – гамильтониан складывается из операторов кинетической и потенциальной энергии: Соотношения неопределённостей Гейзенберга. (5.4) Принимается, что Соотношения неопределённостей Гейзенбергаи операторы всех прочих динамических переменных построены из этих двух по формулам классической механики.

Причина классической схемы взаимосвязи кроется в том, что операторы являются образами макроскопически устроенных приборов, а конструкционные компоненты которых подчиняются законам классической (макроскопической) физики.

Состояния и волновые функции, соответствующие определённым квантованным значениям физически наблюдаемой величины - тем, которые непосредственно проявляются в измерениях, называются чистыми.

Постулат 3.Уравнения Шрёдингера (временное и стационарное)


Формулировка:

Волновые функции, описывающие возможные состояния изменяющейся во времени физической системы, являются решениями временного уравнения Шрёдингера:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга (5.5)

Для стационарной системы уравнение Шрёдингера принимает вид операторного уравнения на собственные значения гамильтониана:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга (5.6)

Обратимся к стационарным системам. Введём гамильтониан, не зависящий от времени, и получится стационарное уравнение Шрёдингера. Выявим смысл комплексного сопряжения волновых функций как признак механической обратимости во времени решений уравнения Шрёдингера:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга

Результат (5.9)- это стационарное уравнение Шрёдингера. Оно представляет собой операторное выражение закона сохранения энергии стационарной системы. Это чисто пространственная часть общего решения. Временная часть описывает периодический процесс.

Внимание! Операция комплексного сопряжения временной компоненты волновой функции состоит в замене знака перед аргументом - временем в показателе комплексной экспоненты. Эта простая алгебраическая операция совершенно идентична простой замене знака перед переменной времени. Получается, что при изменении отсчёта времени на обратное, не изменяются законы, которым починяется физическая система. Это важнейший результат, состоящий в том, что уравнение Шрёдингера описывает процессы, обратимые во времени.


Постулат 4. Суперпозиция состояний. Состояния чистые и смешанные. Математические и физические основания принципа суперпозиции


Формулировка 1 (скорее математическая):

Если две волновые функции fp и fq являются решениями операторного уравнения на собственные значения, то их линейная комбинация F=cpfp+ cqfq также является его решением.

Истоки этой формулировки лежат в теории дифференциальных уравнений.

Формулировка 2 (скорее физическая):

Если система может находиться в состояниях с волновыми функциями fp и fq , то она может находиться и в состоянии с волновой функцией F=cpfp+ cqfq.

Истоки этой формулировки происходят из убеждения, что до опыта нельзя предсказать, в каком состоянии находится система, а потому приходится допустить для неё сразу все возможности.

Речь о тех функциях, что совокупность которых образует спектр собственных функций эрмитова оператора (оператора динамической переменной). Эта ситуация может быть распространена на любое число собственных функций линейного самосопряжённого оператора: Соотношения неопределённостей Гейзенберга

Этот постулат называется принципом суперпозиции состояний и допускает обобщение на любое число собственных функций, образующих спектр эрмитова оператора. Функции fk отвечают так называемым чистым состояниям, а их суперпозиция F - смешанному состоянию.


Постулат 5. Средние значения динамических переменных. Математические ожидания для динамических характеристик состояний чистых и смешанных


Формулировка:

Среднее значение динамической переменной, полученное в результате серии испытаний (измерений) совпадает с математическим ожиданием динамического оператора этой переменной, которое вычисляется по формуле:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга; (5.11)

Для чистых состояний это уравнение является формальным следствием 2-го постулата, но для случая смешанных состояний эта формула постулируется и тем самым возводится в ранг физического закона.


Постулат 6. Принцип Паули


Формулировка:

Полная волновая функция, коллектива идентичных фермионов антисимметрична относительно перестановки любой пары частиц между их индивидуальными одночастичными состояниями.

Это свойство можно записать в виде

Соотношения неопределённостей Гейзенберга. (5.12)

О перестановочной симметрии коллектива частиц.

Удобно ввести оператор перестановки Соотношения неопределённостей Гейзенберга, действие которого состоит в том, что он меняет местами идентичные частицы с номерами k и l между их одночастичными состояниями или что совершенно одно и то же – меняет состояния этих двух частиц между собой.

Если заранее оговорить, что всегда номера идентичных частиц в коллективе определяются просто порядковым номером в цепочке-перечислении, то номер можно и не записывать в явной форме. В таком случае записывая в позиции частицы символ какой-то волновой функции, удобно считать её символом состояния, в которое частица попадает.

Действуя на волновую функцию, оператор перестановки исторгает из неё собственное значение, но при этом умудряется её самоё не изменять. Перед нею просто возникает некоторое число - собственное значение этого оператора. Если же оператор перестановки применить к волновой функции коллектива повторно, то обе переставляемые частицы возвращаются на исходные позиции – в исходные состояния, и волновая функция обязана обратиться вновь сама в себя. Система возвращается в исходную ситуацию, и поэтому собственное значение квадрата оператора перестановки равно единице. Получаем равенства:

Соотношения неопределённостей Гейзенберга

Рефетека ру refoteka@gmail.com