СОДЕРЖАНИЕ

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Задание 9

Задание 10

Задание 11

Задание 12

Задание 13

Задание 14

Литература

Задание 1. Исследовать сходимость рядов:

а)

 

Решение:

Воспользуемся признаком Даламбера

Ряд сходится.

б)

 

Решение:

Для исследования этого ряда на сходимость удобнее применить радикальный признак Коши:

p ===

== =5

Так как показатель Коши ряда строго больше единицы, то по радикальному признаку Коши ряд расходится.

Задание 2. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

Решение:

Рассмотрим ряд из модулей:

Сравним его с рядом

Мы сможем это сделать согласно признаку сравнения:

Ряд  исследуем при помощи интегрального признака:

т.е. ряд  расходится. Значит ряд из модулей тоже расходится, а наш знакопеременный ряд не обладает абсолютной сходимостью. Но он сходится условно согласно теореме Лейбница

|=

Задание 3. Найти область сходимости ряда:

Решение:

Найдем интервал сходимости , где R – радиус сходимости. Найдем радиус сходимости R :

Следовательно, интервал сходимости ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала:

Полученный ряд является обобщенным гармоническим рядом, в котором

 

Следовательно, полученный ряд расходится.

Получили знакочередующийся ряд. Используем теорему Лейбница:

Значит, полученный ряд сходится.

Областью сходимости заданного ряда является промежуток .

Задание 4. Вычислить с точностью

ε = 0,001  .

Решение:

Так как 8³ является ближайшим к числу 520 кубом целого числа, то целесообразно число 520 представить в виде суммы двух слагаемых:

520 = 8³ + 8.

Тогда

 =  = 8 = 8(1+0,001562)^1/3 =

=8 =

= 8+ 0,0416-0,0002272+…

Третий член уже меньше чем 0,001, поэтому его следует отбрость и последующие за ним. Итак,

  8 + 0,0416  8,0416

Задание 5. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд интеграла  дифференциального уравнения, удовлетворяющего следующему начальному условию:

Решение:

Воспользуемся разложением

Так как по условию х = 0, то будем иметь

Найдем коэффициенты при х:

 ;

 ,  .

Подставляя найденные значения в формулу, получим

Задание 6. Среди 10 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.

Решение:

Определимся с событием:

А – среди выбранных 4 билетов 2 выигрышных.

Вероятность этого события:

Число всех элементарных исходов п ( число всех комбинаций выбора из 6 билетов по 2 билета ) равно числу сочетаний:

Число элементарных исходов т, благоприятствующих событию А :

Тогда, искомая вероятность равна:

 

Задание 7. В двух партиях 38% и 79% – процент доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно бракованное и одно доброкачественное?

Решение:

Определимся с событиями:

А₁ – выбор доброкачественного изделия из первой партии,

выбор бракованного изделия из первой партии,

А₂ – выбор доброкачественного изделия из второй партии,

выбор бракованного изделия из второй партии.

Тогда

.

а) А – хотя бы одно изделие бракованное.

б) В – оба изделия бракованные.

.

в) С – одно изделие доброкачественное и одно изделие бракованное.

.

Задание 9. Из 1000 ламп п_i принадлежит i-ой партии, i = 1, 2, 3,  В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.

Решение:

Так как , то

 

Определимся с событиями:

А – выбрана бракованная лампа;

выбрана лампа i-ой партии, i = 1,2,3.

Найдем вероятности событий В_i :

п = 90 + 690 + 220 = 1000 ,

Найдем вероятности события А при условии, что события B_i ( i = 1,2,3 ) наступили, т.е. найдем вероятности выбора бракованной лампы при условии, что лампы взяты из 1-ой, 2-ой, 3-ей партий :

По формуле полной вероятности найдем искомую вероятность:

Задание 9. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет т_i % изделий ( i = 1, 2, 3). Среди изделий i-го завода n_i % первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-ым заводом.

.

Решение:

Определимся с событиями:

А – купленное изделие первосортное;

изделие выпущено i-ым заводом, .

Запишем вероятности событий В_i :

Запишем условные вероятности, т.е. вероятности того, что купленное изделие первосортное при условии, что оно выпущено i-ым заводом:

Вероятность того, что купленное первосортное изделие выпущено 1-ым заводом, вычислим по формуле Бейеса:

Задание 10. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна р = 0,8. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству:

 

k₁ = 75;

k₂ = 90

Решение:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа :

где Ф(х) – функция Лапласа,

Найдем х₁ и х₂ :

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. , получим

.

По таблице найдем :

Искомая вероятность

 

Задание 12. Дискретная случайная величина Х принимает только два значения х₁ и х₂ , причем . Известна вероятность р₁ = 0,7 возможного значения х₁, математическое ожидание М(Х ) = 1,3 и дисперсия D(X ) = 0,21. Найти закон распределения этой случайной величины.

 

Решение:

Сумма вероятностей всех возможных значений ДСВ равна 1. Отсюда вероятность того, что Х примет значение х₂ равна

р₂ = 1 – р₁ = 1 – 0,7 = 0,3.

Запишем закон распределения ДСВ Х :