Рефетека.ру / Математика

Статья: Доказательство Великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры

Доказательство теоремы Ферма методами элементарной алгебры


Бобров А.В.

г. Москва

Контактный телефон – 8 (495)193-42-34

bobrov-baltika@mail.ru


В теореме Ферма утверждается, что равенство для натуральных и может иметь место только для целых .

Рассмотрим равенство

, (1)

где и - натуральные взаимно простые числа, то есть числа, не имеющие общих целых множителей, кроме 1. В этом случае два числа всегда нечетные. Пусть - нечетное число, и - натуральные числа. Для всякого действительного положительного числа выполнима операция нахождения арифметического значения корня, то есть равенство (1) можно записать в виде:

, (2)

где и - действительные положительные множители числа В соответствии со свойствами показательной функции, для любого

из действительных положительных чисел и существуют единственные значения чисел , удовлетворяющие равенствам

, (3)

Из равенств (2) и (3) следует:

, . (4)

Поскольку p>q, всегда имеет место p-q=k, или аp= аkЧ аq, то есть числа и содержат общий множитель , что противоречит условию их взаимной простоты. Это условие выполнимо только при , то есть при . Тогда равенства (4) принимают вид:


, (5)

откуда следует

, (6)


то есть для взаимно простых и числа и всегда являются двумя последовательными целыми числами. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число выражается, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, то есть равенство (1) для натуральных взаимно простых и может быть выражено только в виде равенства

. (7)


Справедливость приведенного доказательства можно проиллюстрировать следующим примером.

Пусть в равенстве Ферма числа и – целые взаимно простые, – четное. Тогда числа , , их сумма и разность - также целые, показатель степени p>q .

Целые числа и

являются взаимно простыми, если не содержат общих целых множителей, кроме 1. Это условие выполнимо только тогда, когда общий целый множитель , то есть , .

Тогда разность , что для одновременно целых и может иметь местотолько при , то есть при или , что и позволило Пьеру де Ферма сделать почти 370 лет назад свою запись на полях арифметики Диофанта.


2


Похожие работы:

  1. • История доказательства Великой теоремы Ферма
  2. • Элементарное доказательство великой теоремы Ферма
  3. • Доказательство великой теоремы Ферма для четных ...
  4. • Доказательство Великой теоремы Ферма с помощью ...
  5. • Доказательство великой теоремы Ферма
  6. • Краткое доказательство великой теоремы Ферма
  7. • Общее доказательство гипотезы Биля, великой теоремы Ферма и ...
  8. • Великая теорема Ферма
  9. • Доказательство великой теоремы Ферма
  10. • Великая теорема Ферма
  11. • Доказательство великой теоремы Ферма
  12. • Способ доказательства теоремы Ферма в общем виде с ...
  13. • Простое доказательство великой теоремы Ферма
  14. • Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма
  15. • Теорема Ферма: история и доказательства
  16. • Доказательство великой теоремы Ферма
  17. • Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию
  18. • Пьер де Ферма
  19. • Пьер де Ферма
Рефетека ру refoteka@gmail.com