ДОДАВАННЯ ГАРМОН¶ЧНИХ КОЛИВАНЬ

ЗМ¶СТ

Вступ

1. Енергя гармончних коливань

2. Додавання гармончних коливань. Биття

3. Додавання взамно перпендикулярних коливань

Висновки

НАОЧН¶ ПОС¶БНИКИ ТА ПРИЛАДИ

Установка для демонстрац додавання коливань.

Два генератори, осцилограф.

Кнофльм “Додавання коливань”.

ОРГАН¶ЗАЦ¶ЙНО-МЕТОДИЧН¶ ВКАЗ¶ВКИ ДЛЯ ПРОВЕДЕННЯ ЛЕКЦ¶·

Виразити кнетичну та потенцальну енерг системи, що здйсню вльн пружн коливання та графчно, за допомогою лектора-2000, пояснити закон коливань енерг. Вказати на закон збереження енерг, як для механчних коливань, так  для електромагнтних коливань в коливальному контур.

Додати графчно гармончн коливання однакового напрямку  однаково частоти. Пояснити за допомогою лектора-2000: якщо частоти мало вдрзняються, одержуться коливання з гармончно пульсуючою амплтудою – биття.

Пояснити: якщо коливальна система бере участь у двох взамноперпендикулярних коливаннях, то траекторю  руху  фгура Лссажу (елпс або прям ).

ВСТУП

Кнетична та потенцальна енерг коливально системи змнюються з частотою, яка вдвч перевищу частоту гармончних коливань.

Коливальна система може брати участь в деклькох коливальних процесах, тод необхдно знайти результуюче коливання, накше кажучи, коливання необхдно додати.

1. ЕНЕРГ¶Я ГАРМОН¶ЧНИХ КОЛИВАНЬ

Пд час гармончного коливального руху кнетична енергя коливально системи  потенцальна енергя взамод невпинно змнюються.

Повна енергя коливального руху:

; ,

поскльки .

Кнетична енергя змнються за гармончним законом, але з подвонною частотою.

кльксно дорвню робот квазпружньо сили ;

;

;

.

Потенцальна енергя змнються як  кнетична енергя, з частотою  в тиж же межах вд 0 до , але з зсувом фаз вдносно кнетично енерг на p.

Рис. 1

При електромагнтних коливаннях:

,

.

При властивих електромагнтних коливаннях, (коли нема втрат) W

з пливом часу не змнються, переходить з одн енерг в ншу.

2. ДОДАВАННЯ ГАРМОН¶ЧНИХ КОЛИВАНЬ. БИТТЯ

У випадках коли система знаходиться в деклькох коливальних процесах одночасно, то необхдно знайти результуюче коливання.

Наприклад, електромагнтн хвил, що надходять вд ряду радостанцй, збуджують в приймальному контур електромагнтн коливання рзних частот.

Таким же чином потрбно додати синусодн змнн струми в точц розгалудження ланцюга.

Додамо гармончн коливання однакового напряму  однаково частоти:

,

.

Для цього зобразимо гармончне коливання графчно методом обертового вектора амплтуди або методом вектороно даграми.

З точки 0, вибран на вс Х, пд кутами (початкова фаза першого коливання)  (початкова фаза другого коливання) вдкладамо модуль амплтуд  (Рис.1).

При обертанн векторв амплтуд навколо точки 0 з кутовою швидкстю , проекц векторв будуть перемщуватись по вс Х в межах числових значень амплтуд, змнюючись згдно з гармончним законом.

Рис. 1

Очевидно, що рвняння результуючого коливання буде рвнянн гармончного коливання т ж частоти  того ж напрямку.

- теорема косинусв

Вдповдно малюнку

;

.

Проаналзумо:

1)

2)

Таким чином:

.

Аналогчно - при деклькох однаково спрямованих коливаннях.

Практично особливу зацкавленсть представля випадок, коли два складамих гармончних коливань, однаково спрямованих, мало вдрзняються за частотою.

В результат додавання одержумо коливання з перодично змнюваного (пульсуючого) амплтудою – биття (рис.2).

Рис.2

Нехай  ; .

Тод ; ;

Знайдемо рвняння результуючого коливання аналтичним методом:

Результуюче коливання майже гармончне з частотою  повльно гармончне з частотою, що змнються:

.

Пунктирна лня на рис.2 графчно це зображу. Суцльна лня – графк результуючого коливання.

Частота змнювання модуля косинуса - частота биття, або . Перод биття .

Явище биття використовуться пд час настроювання струнких нструментв (коли настроювана частота  частота еталона збгаться, то биття нема).

Биття використовуться пд час гетеродинного приймання – сигналу.

В приймач вводять генератор високо частоти, мало потужност-гетеродин, частота якого може змнюватись.

Коливання, що приймаються приймачем, складаються з коливаннями гетеродина, частота якого пдбираться так, щоб в результат одержати биття бльш низько частоти, яка не змнються (завдяки гетеродину)  наступн каскади пдсилювача працюють на постйнй частот.

Гетеродини дозволяють приймати сигнали надвисоко частоти.

3. ДОДАВАННЯ ВЗАґМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИХ КОЛИВАНЬ

Розглянемо випадок, коли коливальна система бере участь в 2-х взамно перпендикулярних коливанняхз (промнь осцилографа при подач гармончно напруги на вертикальн  горизонтальн платвки).

Нехай ; ; .

Рвняння траектор результуючого коливання знаходиться шляхом виключення параметра t.

Розглянемо випадки:

1) , тод рвняння набува вигляд

2)

3)

4) , то результуюче коливання вдбуваться по складнй траектор, форма яко залежить вд рзниц фаз  спввдношення частот.

Якщо провести дотичн до траектор, паралельн всям, то вдношення чисел дотикв обернено пропорцйне частотам коливань, що додаються.

Наприклад:

Рис. 3

Методом фгур Лссажу визначають невдому частоту.

ВИСНОВКИ

Потенцальна енергя пружно-коливально системи змнються як  кнетична енергя з частотою 2w  в тих же межах, але з зсувом фаз вдповдно кнетично енерг на p. Аналогчно при вльних електромагнтних коливаннях енергя з плином часу не змнються, а переходить з енерг електричного поля конденсатора в магнтну енергю поля котушки  навпаки.

При додаванн гармончних коливань однакового напрямку  однаково частоти- результуюче коливання  гармончним т ж частоти. В результат додавання гармончних коливань близько частоти, однаково спрямованих, одержуться биття.

За допомогою фгур Лссажу визначаться невдома частота.

ЗАТУХАЮЧ¶ КОЛИВАННЯ

ЗМ¶СТ

Вступ.

1. Затухаюч коливання. Диференцальне рвняння затухаючих механчних та електромагнтних поливань  його ршення. Логарифмчний декремент затухання. Добротнсть.

2. Вимушен коливання. Диференцальне рвняння вимушених коливань  його ршення.

Висновки.

НАОЧН¶ ПОС¶БНИКИ ТА ПРИЛАДИ

1. Дафльм “Колебания и волны”.

2. Осцилограф, камертон, мкрофон.

3. Установка для демонстрац затухаючих коливань.

ОРГАН¶ЗАЦ¶ЙНО-МЕТОДИЧН¶ ВКАЗ¶ВКИ ДО ПРОВЕДЕННЯ ЛЕКЦ¶·

Визначити затухаюч коливання згдно з другим законом Ньютона та узагальненим законом Ома одержати диференцальне рвняння вдповдно механчних та електромагнтних коливань, графчно зобразити закон затухаючих коливань та визначити х параметри, звернути увагу на логарифмчний декремент затухання та добротнсть коливального контура. Продемонструвати за допомогою камертона та на осцелограф затухаюч коливання.

Продемонструвати за допомогою мкрофона та визначити вимушен коливання.

ВСТУП

У реальних коливальних системах за рахунок змни енерг коливального руху виконуться робота сил тертя, а також омчних втрат  випромнювання електромагнтно енерг в електричних коливальних системах. Тому з часом амплтуда вльних коливань зменшуться. Практично вс вльн коливання – затухаюч  тому вони гармончн. Проте, якщо сили тертя набагато менш за сили пружност, наприклад, то наближено можна затухаюч коливання вважати гармончними з певним перодом Т3.

Коливання не затухають, якщо енергя коливально системи поповнються за рахунок, наприклад д зовншньо гармончно сили. Частота встановлених вимушених коливань дорвню частот д зовншньо сили.

1. ЗАТУХАЮЧ¶ КОЛИВАННЯ. ДИФЕРЕНЦ¶АЛЬНЕ Р¶ВНЯННЯ ЗАТУХАЮЧИХ МЕХАН¶ЧНИХ КОЛИВАНЬ ТА ЕЛЕКТРОМАГН¶ТНИХ КОЛИВАНЬ ¶ ЙОГО Р¶ШЕННЯ. ЛОГАРИФМ¶ЧНИЙ ДЕКРЕМЕНТ ЗАТУХАЮЧИХ КОЛИВАНЬ. ДОБРОТН¶СТЬ

Розглянемо вльн затухаюч коливання – коливання, амплтуда яких внаслдок втрати енерг реальною коливальною системою з плином часу зменшуться. Простим механзмом зменшення енерг коливань з’являться  перетворення в теплоту внаслдок тертя в механчних коливальних системах, а також омчних втрат  випромнювання електромагнтно енерг в електричних коливальних системах.

Закон затухаючих коливань визначаться властивостями коливальних систем. Звичайно розглядають лнйн системи – деалзован реальн системи.

Лнйними системами являються, наприклад, пружинн маятники при малому розтягуванн пружини (коли слушний закон Гука), коливальний контур, ндуктивнсть, мнсть  опр якого не залежить н вд струму в контур, н вд напруги.

Рзн по свой природ лнйн системи описуються дентичними лнйними диференцальними рвняннями, що дозволя пдходити до вивчення коливань рзно фзично природи з дино точки зору, а також проводити х моделювання, в тому числ  на ЕВМ.

Диференцальне рвняння вльних затухаючих коливань лнйно системи задаться у вигляд:

,

де S – коливальна величина, що опису той чи нший фзичний процес,

d - const - коефцнт затухання,

- циклчна частота вльних незатухаючих коливань т ж коливально системи, тобто при d = 0 (при вдсутност втрат енерг).

Ршення рвняння у випадку малих згасань ()

,

де - амплтуда затухаючих коливань, а – початкова амплтуда.

Рис.

Промжок часу , за який час амплтуда затухаючих коливань зменшуться в е разв, зветься часом релаксац.

Якщо затухання мале, то можна умовно користуватись поняттям пероду як промжок часу мж двома послдовними максимумами (чи мнмумами) коливально фзично величини. Тод перод затухаючих коливань з урахуванням формули

рвняться .

Якщо A(t)  A(t+T) - амплтуди двох послдовних коливань, вдповдних моментам часу, що вдрзняються на перод, то вдношення

називаться декрементом затухання, а його логарифм

- логарифмчним декрементом затухання;

N – число коливань, здйснюваних за час зменшення амплтуди у е разв.

Для характеристики коливально системи користуються поняттям добротност Q яка при малих значенням логарифмчного декремента дорвню

, а поскльки згасання невелике () то Т прийнято рвним .

Застосумо висновки, одержан для вльних затухаючих коливань лнйних систем, для коливань рзно фзично природи, для пружинного маятника масою m , що здйсню мал коливання пд дю пружно сили F = -кх, сила тертя пропорцйна швидкост, тобто , де r – коефцнт опору; знак мнус указу на протилежн напрямки тертя  швидкост.

За даних умов закон руху маятника матеме вигляд:

Використовуючи формулу  вважаючи, що коефцнт затухання , одержимо диференцальне рвняння затухаючих коливань маятника:

Маятник коливаться по закону з частотою .

Диференцальне рвняння вльних затухаючих коливань заряду в контур (при R ¹ 0) ма вигляд:

.

Коефцнт затухання також коливання заряду здйснюються за законом з частотою , добротнсть коливального контура .

На закнчення вдмтимо, що при збльшенн коефцнта затухання перод затухаючих коливань зроста  при обертаться в безкнечнсть, тобто рух переста бути перодичним. В даному випадку коливальна величина асимптотично наближаться до нуля, коли t® ¥. Процес не буде коливальним. Вн зветься аперодичним.

2. ВИМУШЕН¶ КОЛИВАННЯ. ДИФЕРЕНЦ¶АЛЬНЕ Р¶ВНЯННЯ ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ ¶ ЙОГО Р¶ШЕННЯ

Затухання коливань пов’язано з затратою енерг коливально системи для подолання опору. Для того, щоб в реальнй коливальнй систем одержати незагасаюч коливання, потрбно компенсувати втрати енерг. Така компенсаця можлива з допомогою будь-якого перодично дючого фактора, що змнються по гармончному закону.

Коливання, що виникають пд дю зовншньо сили, називаються вимушеним и коливаннями.

Вимушен коливання здйснюють, наприклад, корпус  фундамент машин при обертанн неврвноваженого ротора; мембрана гучномовця пд дю магнтного поля збуджуваного змнним струмом; струм, збуджуваний в атом прибуваючими сигналами  наводящими в контур змнну ЕРС та нш.

Якщо розглядати механчн коливання, то зовншня спонукаюча сила .

Закон руху для пружного (фзичного) маятника ма вигляд:

,

де w - циклчна частота коливань спонукаючо сили.

Загальне ршення цього неоднордного диференцального рвняння явля собою суму вльних  вимушених коливань, тобто

.

Але перша складова ма помтну роль тльки в початковй стад процесу (встановлення коливань), оскльки вльн коливання швидко затухають (рис.1).

Рис.1

Для одержання незгасаючих електромагнтних коливань необхдно зовн пдводити енергю, яка б компенсувала втрати на Ленц-джоулеве тепло  випромнювання контура. В цьому випадку вдбуватимуться не вльн, а вимушен електромагнтн коливання.

Для здйснення таких коливань необхдно включити в коливальний контур джерело струму, що ма ЕРС.

Рис.2

Розглянемо найпростший випадок вимушених електромагнтних коливань в контур, що вдбуваться пд дю синусодально ЕРС.

,

де - амплтудне значення (амплтуда ЕРС), w -циклчна частота.

Для одержання диференцального рвняння вимушених електромагнтних коливань достаньо в закон Ома для однордного коли iR = e + Dj пдставити значення - падння потенцалу на конденсаторах  e замнити сумою спонукаючо ЕРС  ЕРС самондукц:

.

Враховуючи, що

,

одержимо:

.

Ршення диференцального рвняння можна представити у вигляд:

,

,

де a - зсування фаз мж q  зовншньою e (ЕРС). Пдставляючи в ц вправи значення  b одержимо:

.

.

Подливши q на мнсть С, одержимо значення напруги на конденсатор, продиференцювавши функцю ( q(t) ) по t , знайдемо установлений струм у контур.

,

,

.

Якщо j - зсув фаз мж струмом  зовншньою ЕРС, то

,

тобто .

Амплтудне значення струму визначаться виразом:

.

Ця формула ма схожсть з законом Ома в тому розумнн, що амплтуда напруги пропорцйна амплтуд струму. Тому формулу

.

ВИСНОВКИ

Коливання, амплтуда яких з часом зменшуться, називаються затухаючими.

Закон затухаючих коливань визначаться властивостями системи.

Основними параметрами затухаючих коливань являються початкова амплтуда, частота (перод) затухаючих коливань, коефцнт затухання та добротнсть, а також час релаксац  кльксть коливань в систем за час релаксац.

Вивчаючи коливальн системи з малими затуханнями, як мають широку область застосування, особливо в технц зв’язку. Але  практичн випадки використання коливальних систем з рзким затуханням, або аперодичних.

Незатухаюч коливання, як пдтримують за допомогою зовншньо перодично дючо сили називають вимушеними.

Частота встановлених вимушених гармончних коливань дорвню частот д зовншньо гармончно сили.

Л¶ТЕРАТУРА

1. Кучерук ¶.М., Горбачук ¶.Г. Загальна фзика. Електронка  магнетизм.- К.:Вища школа, 1990. §

2. Савельев И.В. Курс физики, т.3, Квантовая физика.-М.: 1989. §

3. Трофимова Т.И. Курс физики,-М.: Высшая школа, 1985, 432 с. §

4. Бушок Г.Ф., Левандовський В.В., Пвень Г.Ф. Курс фзики (Оптика. Фзика атома  атомного ядра. Молекулярна фзика  термодинамка), т.2,-Кив.: Либдь, 2001, - 421 с. §